Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: y 2x (1) x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho AB IB , với I (2, 2) Câu (2 điểm): x y 2x 1 y 1 Giải hệ phương trình: x y x y 3x y 4 Giải phương trình: ( x, y ) sin 2x 3tan 2x sin x 2 tan x sin x Câu 3(1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có, điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y 0 Đường thẳng qua D trung điểm đoạn AB có phương trình: x y 23 0 Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hồnh độ dương Câu (2 điểm): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc mặt phẳng ( SCD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA DB theo a Câu 5(1 điểm) : Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P a2 b2 c2 a 1 b 1 c 1 Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN Câu Ý Lời giải Cho hàm số: y 2x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) x Điểm 1,5 hàm số 0,5 TXĐ: D R \ 2 lim y 2 phương trình đường TCN: y = x lim y ; lim y x 2 x 2 y/ 1 x 2 phương trình đường TCĐ: x = 0,25 x D Hàm số nghịch biến khoảng xác định Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên: x -∞ y ’ y 2 - 0,25 +∞ +∞ -∞ Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị: 0,5 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt đường 1,5 tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho AB IB , với I(2;2) 0,55 x0 (C ) x0 Gọi M x0 ; PTTT (C) M: y x0 x x02 x0 x0 0,5 Do AB IB tam giác AIB vuông I IA = IB nên hệ số góc 1 / nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = k = -1 y x 2 tiếp tuyến k = -1 0,25 x0 1 1 x0 1 x0 3 có hai phương trình tiếp tuyến: y x ; y x Giải hệ phương trình: 0,25 1,0 x y x 1 y 1 x y x y 3x y 4 x Đk: y (1) x, y (2) 0,25 2 x y 0 2 Pt(2) x y 3 x y y 0 x y 0 (loai ) 0,25 0,25 Pt(1) x x y y 1 xy x y xy x y xy x y xy xy 3 xy xy 0 xy 5 xy 8 (loai ) ( x y 4 xy xy 0) x y 1 Hệ cho tương đương: 3 xy x y 3 x y 0,25 3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: ; , ; 2 2 sin x tan x sin x 2 Giải phương trình: tan x sin x cos x 0 Đk: (*) tan x sin x 0 Pt tương đương: 3sin x tan x sin x 0 3sin x cos x sin x sin x cos x 0 0,25 0,25 cos x 1 sin x sin x 0 cos x cos x 0 sin x 0 sin x sin x 0 cos x x k x k x k 0,25 0,25 Nghiệm x k thỏa mãn (*) Phương trình có họ nghiệm: x k 3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y 0 Đường thẳng qua D trung điểm đoạn AB có phương trình: x y 23 0 Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hồnh độ dương Gọi C c; c d1 , M trung điểm AB, I giao điểm AC d2: 3x – 4y – 23 = Ta có AIM đồng dạng CID c 10 c 10 CI 2 AI CI 2 IA I ; c 10 c 10 4 23 0 c 1 Mà I d nên ta có: 3 Vậy C(1;5) 3t 3t 23 Ta có: M d M t ; B 2t 5; 3t 3t 19 AB 2t 10; , CB 2t 6; t 1 Do AB.CB 0 t t 3 3t 3t 19 0 t 29 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 B( 3; 3) (loai) 33 21 33 21 B ; B ; 5 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác 1,0 SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc mặt phẳng ( SCD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a H, M trung điểm AB CD SH AB SH ABCD Ta có: SAB ABCD a Góc (SCD) mặt đáy SMH 600 SH a Ta có HM tan 60 a a a3 VS ABCD 2 12 2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA DB theo a Kẻ đường thẳng d qua A d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng qua H , d cắt d J, cắt BD I (SHI) kẻ HK vng góc với SI K Khi đó: d BD ,SA d I ,( S ,d ) 2d H ,( S ,d ) 2d H ,( SBD ) 2HK 0,25 SH IH BH BH AD a IH AD BD BD 10 1 a Xét SHI vng H, ta có: HK HK HS HI a Vậy d BD ,SA Cho a, b, c ba số duơng Tìm giá trị lớn biểu thức: Ta có BIH đồng dạng BAD 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,5 1,0 P a b2 c a b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 1 2 a b c 1 a b c 1 2 2 3 a 1 b 1 c 1 a b c a 1 b 1 c 1 3 54 Vậy P a b c a b c 3 2 a b c 2 54 f (t ) = t t 2 f / (t ) t 162 ; f / (t ) 0 t t 2 + f’(t) với t a b c 0,25 0,25 (t 1) t 4 t 1(loai ) + - 1/4 f(t) 0,25 a b c 3 a b c 1 Vậy giá trị lớn P a b c c 1 0,25