§Ị thi chän häc sinh giái líp 12 THPT M«n thi: Toán (thời gian làm bài: 180 phút) Câu 1: (2đ) Không dùng bảng số tính cá nhân chứng minh: tg 550 > 1,4 Câu 2: (2 đ ) Chøng minh n Cos dx Sin n x.dx n n n n Cos x Sin x Cos x Sin x Và suy giá trị chúng Câu ( đ ) Biện luận theo m số nghiệm ccủa phơng trình x x m x x m Câu 4: ( đ ) Tìm m để phơng trình: x4 (2m + ) x2 + m + = Có nghiệm thoả mÉn: - < x1 < -1 < x2 < < x3 < < x4 < C©u 5: (2đ) Tìm nghiệm khoảng ( : ) phơng trình sin x 3Cos x 1 2Cos ( x ) Câu (2đ) Trong tam giấc ABC có góc cạnh thoả mÃn: CosB 2a c (1) SinB 4a c Chứng minh tam giác tam giác cân Câu 7: ( đ ) m n Tìm giới h¹n E = x Lim1 ( ) (m,n Z ) m 1 x xn C©u 8: (2®) 1 x y 51 x y 1 2 x y (1) Giải hệ phơng trình : y x ln( y x) 0( 2) Câu (2đ) Cho đờng tròn (C1 ) : x2 + y2 x – 6y + = (C2 ): x2 + y2 – 2mx – = T×m m ®Ĩ (C1 ) vµ ( C2 ) tiÕp xóc víi Nói rõ loại tiếp xúc Câu 10 (2đ) Chứng minh n số nguyên, n 1 n 1 n 1 > n n Sở GD&ĐT Thanh hoá Trờng THPT Thọ Xuân Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Năm học 2005-2006 Môn toán- bảng A Câu Hớng dẫn chấm Điểm (0,5đ) Câu 1: tg10 18 Ta cã: tg 550 tg (450 100 ) tg10 tg 18 1 x XÐt hµm sè : f(x) = ta cã: 1 x f’(x) = > VËy f(x) ®ång biÕn x (- ;1) hc x (1 x ) 2 (0,5®) (0,5®) (1;+ ) (0,5®) Theo (1) ta cã tg550=f(tg )> f( )>f( ) =1,4 18 18 Đặt t= -x dt = - dx (0,5®) Ta cã: n Cos xdx = n n x Sin x Cos = n Sin tdt n Mặt khác: Cos n ( t )dt Sin ( t ) x Cos n ( t ) 2 n n Cos n xdx Sin n xdx + = n n n n Cos x Sin x Cos x Sin x 0 Từ(1) (2): (0,25đ) = n Sin xdx n x Sin n x Cos t Sin t = Cos tg n (0,5®) (1) (0,5®) dx = (2) (0,25®) Cos xdx Sin n xdx = = n n n n Cos x Sin x Cos x Sin x x x m x x m (1) Đặt t= x x m (t 0) (2) t2 = x x m Ta cã: t=2 Tõ (2) x x m = x4+4x+m=16 -x4-4x+16=m Đặt: f(x)= -x4-4x+16 f(x) = -4x3-4=-4(x3+1) f(x)=0 x=-1vµ f(-1)=19 t t 0 t 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® x Lim = - Bảng biến thiên f(x) - x F’(x) -1 19 + + - F(x) 0,25đ - - Từ bảng biến thiên ta có bảng biƯn ln theo m sè nghiƯm cđa (1) nh sau: m + Số nghiệm phơng trình (1) 19 - 0,5đ Đây phơng trình trùng phơng Đặt t= x2 0; phơng trình đà cho cã d¹ng: t2 – (2m+3)t +m+5 = (2) Phơng trình đà cho có nghiệm x1;x2;x3;x4 phơng trình (2) có nghiệm dơng t1 ; t2 dơng.(0 R2 , lập luận tơng tự ta có đợc hệ vô nghiệm 0,25đ Kết luận: Để (C1) (C2) tiếp xúc với m = 1 1 n 10 n n số hạ ng n m = - 11 tiếp xúc tiếp xóc ngoµi 1 1 n 1 n n áp dụng bất đẳng thøc c«si cho n+1 sè gåm n sè 1+ n thõa sè n n 1 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 số ta có: n 0,5đ n 1 n 0,25® n Dấu đẳng thức xảy VËy n 1 n 1 > 0,25® n 1 n 0,5® n 0,5® Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com