Đề Thi học sinh giỏi Lớp 12 Môn: Toán Thời gian: 180 Phút Giáo viên đề : Trịnh Văn Hùng Bài : (4điểm ) mx x Cho ®êng cong ( Cm) : y 2x m ( m lµ tham sè vµ |m | 2)) Tìm điểm trục hoành mà từ ®ã vÏ ®ỵc hai tiÕp tun víi ®êng cong (Cm ) mà chúng vuông góc vơí (Giải tích - Toán nâng cao 12) Tác giả Phan Huy Khải ) b) Cho In = T×m e nx 1 e x dx víi n lµ sè tù nhiên lim In n ( Toán nâng cao lớp 12) Phan Huy Khải ) Bài 2: (4 Điểm ) a) Giải biện luận phơng trình sau theo tham sè a - a x =1 x 1 ( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Giải bất phơng trình 2x - 2) x 12 x 9x 16 ( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) Bài ( 4điểm ) a)Giải Phơng trình :2)sin(3x+ )= sin 2x cos2 2x b) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc thâa m·n : 2)sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos A B C +3cos +cos 2 Chøng minh : tam giác ABC tam giác ( Báo Toán học tuổi trẻ 5/2)004) Bài 4(4điểm) : a)Cho n số nguyên dơng , hÃy tìm giíi h¹n A = x n nx n lim x ( x 1)2 ( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Giải hệ phơng trình x log y log (Đại số sơ cấp tác giả Trần Phơng) (3y) log2 (3x ) log Bài ( 4điểm) : a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình thang có cạnh AD =2) BC Gọi M,N hai trung điểm SA , SB tơng ứng Mặt phẳng (DMN ) cắt SC P Tính tỉ số điểm P chia đoạn thẳng CS ( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Cho a,b,c số thực lớn 2) Chứng minh : loga b c + log b a c + logc a b ( Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ,tác giả Trần Phơng) HÕt Đáp án Câu Gọi M(x0;0 ) điểm cần tìm Đờng thẳng ( )qua M có hệ số góc k có phơng trình y= k( x-x0) Để( ) tiếp tuyến đờng cong phơng trình sau có nghiệm kép (0,5đ) x mx k ( x x ) 2x m ( 1- 2)k) x2)+(m+2)kx0-mk)x +1+mkx0=0 cã nghiÖm kÐp 2k 0 [k (2 x m) m] 4(1 2k )(1 mkx ) 0 k ( 2) (I ) k (2x m) 4k (2 mx ) m (3) Bài toán trở thành tìm điều kiện để (I) có hai nghiện phân biệt k1, k2) k1.k2) = -1 (0,5đ) thay (2)) vào (3) ta cã : (2)x0-m) 2) +m2) + 12) (4) Vì (4) nên hệ (I) (3) Điều kiện cần tìm : 2x m m2 (2x m) m x (2x m) 4 m ( 2)x0 +m)2) = 4-m2) ( v× m 2)) (5) Nếu m > 2) (5) vô nghiệm Nếu m < 2) (5) có hai nhghiệm cần tìm víi x0 = m± 2) VËy cã hai ®iĨm M(x0;0) cần tìm với x0 = b) Ta có x ( 0;1) th× : m± 2) m 2) m 2) (0,5®) e ( n 1) x e nx > In > In+1 e x e x e nx > x (0;1) In >0 n e x Vậy {In} dÃy đơn điệu giảm bị chặn dới , nên tồn Mặt khác lim I n (0,5®) n nx e (n x ) e = dx x 1 e Ta cã In + In+1 = e ( n 1) x dx = e ( n 1) 1 n 1 n In = e - In-1 1 n Râ rµng : lim n lim I n n (*) = (0,5®) lim I n n e 1 n =0 nªn tõ (*) suy 2) lim I n n 1 n lim I n n =0 =0 (0,5đ) Bài 2: a) Giải biện luận phơng trình theo tham số a: x - a x =1 a x 0 x 1 a x x a 2x a 2 a x x a a x 2 f ( x ) 4x 4(a 1) a 4a (2) (3) (0,5đ) (4) Ta xét trờng hợp sau: +) Nếu a < a > a nên hệ (2)) (3) (4) vô nghiệm tức (1) vô nghiệm +) Nếu a=0 hÖ (2)), (3), (4) cã nghiÖm nhÊt x=0 a x a (5) +) NÕu a >0 th× ta cã f ( x ) 4 x 4(a 1) x a 4a (4) XÐt tam thøc f(x) a cã f( )= -2)a < vµ f(a) = a2) > a Vậy theo định lí đảo (4) có hai nghiệm x1,x2) tho· m·n x1< < x2) < a (1®) Kết luận +) Nếu a < (1) vô nghiƯm +) NÕu a 0 th× (1) cã nghiƯm nhÊt x= a 2a b) Giải bất phơng trình 2x - 2) x 12 x 9x 16 Nhân biểu thức liên hợp vế trái ta cã ( Víi x [-2);2)] ) (1) (0,5®) 6x 2x 2 x 2(6x 4) (0,5®) x 16 (3x 2)[ x 16 2( x 2 x ] (0,5®) (3x 2)(9 x 8x 32 16 x (3x 2)( x x )(8 x x Do 8+x+2) x nªn (2)) (3x-2)) (x-2) 2x ) x x Tập nghiệm bất phơng trình T = [ -2); )( ; 2)] 3 (1đ) Bài ( 4điểm ) a)Giải Phơng tr×nh :2)sin(3x+ )= sin 2x cos2 2x sin( x ) 0 ( 2) 4 sin (3x ) 1 sin 2x cos 2x (3) (0,5đ) Giải (2)): ) ] = 1+ 8sin2)x(1-sin2)2)x) 2)+ 2)sin6x = 1+ 8sin 2)x-8sin32)x 2)+ 2)(3sin2)x-4sin32)x) = 1+8sin2)x-8sin32)x x k 12 sin2)x = (k,lZ ) x 12 +)Thay x= + kả vào (2)) ta có : 12 k VT(2)) = sin( 3k ) ( 1) 0 k=2)n ,n Z x= + 2)nả nghiệm (1) 12 +) Thay x= vµo (2)) ta cã : 12 3 1 VT(2)) = sin( 3 ) ( 1) l=2)m-1;m Z 12 5 x= ( 2m 1) lµ hä nghiƯm cđa (1) 12 (2)) 2)[1-cos(6x + (0,5®) VËy (1) cã hai hä nghiÖm : x= b) Ta cã sinA +sin B = 2) sin sinB ) cos + 2)nả x= ( 2m 1) ; (n,mZ) 12 12 AB A B C cos 2 cos 2 C chØ A = B dÊu ( = ) xảy (1) A (sin B + sinC ) 5 cos 2 B (sin C + sinA ) 3 cos 2 T¬ng tù : (2)) (3) Tõ (1), (2)), (3), suy : 2)sinA + 3sin B + sin C 5cos (1®) A B C +3cos +cos 2 Đẳng thức xảy tam giác ABC (1đ) Bài : a)Cho n số nguyên dơng , hÃy tìm giới hạn A = x n nx n lim x ( x 1)2 ta cã xk -1 = (x-1)(1+x+x2)+ +xk-1) (0,5®) (0,5®) n ( x 1)(1 x x x ( x 1) A lim x1 ( x 1)[1 ( x 1) (1 x x n )] n ( n 1) 1 (n 1) x1 lim x ( x 1) ( x 1) ( x x1 n A lim x1 VËy : A = n) n ( n 1) (0,5®) b) Giải hệ phơng trình x log y 3 log (3y) log2 (3x ) log log2x 3 2(1log(23 y )) ( x 3 ) x ( y 3 ) y log log log log y 3 3 (3x ) ( ) log log 2 XÐt hµm sè : f(t) = log(2 t 3) log 2t ®ång biÕn trªn (0; + 1) (1) viÕt díi d¹ng f(x) = f(y) ) víi t(0; + (1) ) (0,5®) (1®) (sin A + (I) x y ( 2) x log ( x 3) 2(1 log ) (3) x (3) x 22(1log3 ) x 4.2log3x x 4.2log3 log x ( II) 2 x 4.(x )log3 4 x 4.x log3 x1 log3 3.x log3 4 XÐt hµm sè q(x) = 1 log x (4) trªn (0;+ ) 3.x log3 nghịch biến (0;+ ) (0,5đ) Nên (4) có nghiệm nghiệm , g(1) =4 VËy x=1 lµ nghiƯm nhÊt cđa (4) x y x y 1 x 1 Khi ®ã hƯ (II) trở thành Vậy hệ phơng trình đà cho có nghiệm x=y=1 Bài5 : a) Đặt DA = a ; DC = b ; DS = c; Từ giả thiết ta đợc CB = a P CS nên đặt: CP = x.CS M, N, P, D mặt phẳng nên DM, DN, (0,5đ) DP đồng phẳng ta có: = DM +DP (1) DN Vì M trung điểm SA nên: DM = DS DA ca = 2 (2)) a DS DB a b c cb Vì N trung điểm SB nên: DN = = + + 2= 2 (3) Ta cã: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b) DP = (1-x)b + xc (4) (0,5đ) Từ (1), (2)), (3) (4) ta có: a b c + + = c+ a + (1 x ) b + xc 2 2 a + b + c = a + (1-x) b + ( + x) c 2 2) x 1 4 b(1 x ) x 2 VËy P trªn SC cho CP = a b) Ta cã log bc ln a ln a ln a ln(b c) ln bc ln b ln c T¬ng tù : log a c a b log a b c2 1 CS hay P chia đoạn thẳng CS theo tỉ sè k=3 2) (0,5®) ln b ln a ln c ln c ln a ln b VT(1) 2)( ln a ln b ln c ) + + ln b + ln c ln a + ln c ln a + ln b Bỉ ®Ị Víi x,y,z>0 th× z x y + + z+y x+z x+y ≥ (0,5®) (*) 2) ThËt vËy (*) ( z x y +1) + ( +1)+( +1) ≥ +3 z+y x+y x+z 2) [ (y+z) +(z+x) +(x+y) ] ( 1 + + ) z+y x+z x+y 9 áp dụng bổ đề ta có : VT(1) (**) Theo Côsi (**) thoà mÃn (0,5đ) (ĐPCM) (0,5®) HÕt Hướng dẫn tìm tải tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6