§Ị thi häc sinh giái líp 12 B¶ng A Thêi gian: 180 phút Bài 1: (4 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: y x 4x 1 x TÝnh tÝch ph©n: x sin xdx I cos x Bµi 2: (4 điểm) Cho phơng trình: a x x Giải phơng trình a = Tìm a để phơng trình có nghiệm Bài 3: (4 điểm) Giải phơng trình: tgx 3cotg3x = 2tg2x Chứng minh ABC thoả m·n: tgA + tgB + tgC = cot g A cot g B cot g C 2 Bài 4: (2 điểm) Tìm giới hạn: lim ( x x 3 x 1 ) x Bài 5: (2 điểm) Giải bất phơng tr×nh: x x log 2x (x 1) Bµi 5: (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy Cho elip (E) có phơng trình: x2 y2 ; 16 điểm I(-1;-2) đờng thẳng (d): x + y – = ViÕt ph¬ng trình đờng thẳng qua I cắt (E) hai điểm A, B cho I trung điểm AB Tìm toạ độ điểm M (E) cho khoảng cách từ M đến d nhỏ ý Néi dung Thang ®iĨm Híng dÉn chÊm ®Ị thi học sinh giỏi lớp 12 Bài 1 Tập xác định: R\{1} Sự biến thiên: y= x 2x 0 (1 x) 0.5 x 0,y ( ) 4 [x2,y ( ) 0 +, lim y ; lim y x 1 x 0.25 -> đờng thẳng x=1 tiệm cận đứng +, lim y ; lim y x x x 4x y x 1 x 1 x lim [y ( x 3)] x đờng thẳng y= - x+3 tiệm cận xiên x x Bảng biến thiên: = lim 0.25 x y y’ - + 0 + + + + 0 - Đồ thị: - y 0.25 x 0.75 Bµi x sin xdx TÝnh: I = cos x Đặt x t x t 0 dx = - dt ( t ) sin t sin t dt dt I 2 cos t cos t I = - I sin t dt cos t 0.75 Đặt u = cost -> du = - sintdt t u -1 I du 11 u Đặt u = tgv víi v ( ; ) , du = (1+tg2v)dv 2 u v -1 - 4 du (1 tg v )dv dv I dv v 2 1u tg v 0.5 ( ) 4 0.75 Bài 0.25 Điều kiện: x Phơng trình đà cho tơng đơng với : a (x 1)(x x 1) ( x x 1) (x 1) x a x2 x đặt t = 1 ( x x x 1 x ) ( x x 0) x x 1 ®iỊu kiện t 32 3 phơng trình trë thµnh: f(t) = t2 + at – = Với a = ta có: phơng trình (1) lµ: t2 + 4t – = [ t (1) 0.75 ( lo ¹ i ) t [ 0; Víi t =- + 32 ] ta cã: t = x x x 1 t2x2 + t2x +t2 = x – t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + = 0.75 t 3t t x hiÓn nhi ª n tho¶ m· n x 1 2t VËy với a = phơng trình đà cho có nghiÖm: x1, 0.5 t 3t t , víi t 2t 0.5 Phơng trình đà cho có nghiệm phơng trình: t2 + at = (1) cã nghiÖm t [0; 32 ] D dễ thấy phơng trình (1) có nghiệm t1, t2 tho¶ m·n: t1 < < t2 , phơng trình có nghiệm t2 D f( 32 2( 1) ) 0 a 32 VËy tËp giá trị cần tìm a là: 0.25 [ 2( 1) 32 ; ) 0.25 0.5 Bài 0.25 Điều kiện: cos2x 0; cosx 0; sin3x 0 tgx – 3tg3x = 2tg2x tgx – cotg3x = 2(tg2x + cotg3x) sin x cos 3x sin x cos 3x 2( ) cos x sin 3x cos 2x sin 3x - cos4x cos2x = cos2x (2cos22x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = cos32x = - 1 ®èi chiÕu ®iỊu kiƯn: cos x 0 cosx 0 cos2x 0 cos2x -1 sin3x 0 sinx(3 – 4sin2x) 0 sin2x 0 sin2x 1 cos x 0 1 cos x { cos x 1 {cos x => cos32x = - (tho¶ m·n ®iỊu kiƯn) cos2x = - cos x k 2 VËy phơng trình đà cho có nghiệm là: x k, k Z víi cos 0.5 Vì tgA, tgB, tgC xác định nên ABC không vuông tgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC tgAtgB A B cot g cot g C A B 2 cot g tg( ) A B 2 cot g cot g 2 cot g 0.25 A B C A B C cot g cot g cot g cot g cot g 2 2 2 0.25 -> giả thiết đề cho tơng t¬ng víi: tgA.tgB.tgC = cot g A cot g B cot g C > 2 0.25 ABC nhọn -> tgA, tgB, tgC sè d¬ng ta cã: tgA.tgB = sin A sin B cos(A B ) cos C cos A cos B cos(A B ) cos C ta chứng minh đợc: cos( A B ) cos C cos C (*) cos( A B ) cos C cos C 0.25 thËt vËy: 1- cosC > 0; cos(A-B) – cosC = 2cosA.cosB > ®ã (*) cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC – cos2C cos(A-B) + cos(A-B)cosC – cosC – cos2C cosC cos(A-B) – cosC 0 cos(A-B) (vì cosC > 0) VËy: tgA.tgB 1 cos C cot g C cos C t¬ng tù: tgA.tgC tgB.tgC cotg B A cotg2 tgA tgB tgC cot g dÊu “=” x¶y khi: 0.25 A B C cot g cot g 2 cos(A - B) = cos(B - C) = cos(C - A) = A = B = C 0.25 VËy nÕu tgA tgB tgC cot g A cot g B cot g C ABC tam giác 2 0.25 0.25 Bài x 3 x 1 ) lim ( 1)3 x x x2 x2 0.25 đặt t = x + ta cã x t 0.25 lim ( x lim ( Bµi x x 3x 1 ) lim{[(1 ) t ]3 t x2 t x x log 2x (2 x 1) 2(x 1) (2x 1) log } e (1 ) t (®iỊu kiƯn x {x 1 1.5 ) 0.25 2x log 2 ( x 1) 2(x 1) log [2( x 1) ] log (2x 1) x XÐt hµm sè: f(X) = X + log2X f ' (X ) 1 0 X ln -> f(X) ®ång biến 0.5 x * R đặt: X1=2x + X2= 2(x-1)2 => X1, X2 R* víi x {x 1 Khi bất phơng trình trở thành f(X2) f(X1) X X tøc lµ: 2(x-1)2 2x+1 x x 0 [ 3 x x 0.5 Vậy bất phơng trình ®· cho cã tËp nghiƯm lµ: ( 3 3 ; ] [ ; ) 2 0.5 0.25 Bài Giả sử đờng thẳng đờng thẳng có phơng trình cần tìm Vì qua I(-1; -2) nên có phơng trình tham sè: { (a2+b2 0 x 1 at y bt Vì A, B giao điểm (E) nên: A(-1 + at1; -2 + bt1); B(-1 + at2; -2 + bt2) víi t1, t2 lµ nghiệm phơng trình: 0.25 ( at ) ( bt ) 1 16 ( a2 b2 a 2b ) t 2( )t 0 16 16 16 (*) 0.5 ( a2 b2 )( 1) 16 16 0.25 v× a2 + b2 nên phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 I trung điểm AB nªn: a(t t ) b( t t ) vµ 2 b(t t ) 0 t1 + t2 = (v× a2 + b2 0 ) a( t t ) 0 t1 + t2 = 0.5 0.25 0.25 a 2b 0 16 9a = -32b, chän b = -9 => a=32 => đờng thẳng có phơng trình: x y 32 Gi¶ sư M(x0; y0) M (E ) nên: 2 x0 y0 16 đặt x sin t d ( M ,d ) víi c os {sin vµ y0 cos t , sin t cos t -> d ( M,d ) Khi ®ã: { x 4 sin t 0.5 y0 cos t cos(t ) 6 cos( t ) => d(M, d) nhá nhÊt cos(t - ) = 16 x 4 sin( k ) 4 sin y 3 cos( k 2) 3 cos 0.75 t k 0.5 VËy điểm cần tìm là: M( 16 ; ) 5 0.25