Thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán Bảng A ( Thời gian 180 phút , không kể giao đề) Bài 1( 4,0 điểm) Cho hàm số : y = x mx m x (C m ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (Cm) m = 2) Tìm m để cực đại , cực tiểu (Cm) nằm hai phía đờng thẳng 9x 7y = Bài 2( 4,0 điểm) 1)Tìm p q để giá trị lớn hàm số y = x px q trªn 1;1 lµ bÐ nhÊt 3) Gäi ( x ; y ) nghiệm bất phơng trình log x Bài ( 4,0 điểm) Cho cos3x cos2x + mcosx = (1) 1) Giải phơng tr×nh (1) m = 2 y ( x y ) 1 T×m ( x; y) cho 2x + y lín 2) Tìm m để phơng trình (1) có số nghiệm nhiỊu nhÊt trªn ;2 Bài 4(4,0 điểm) x sin x dx cos x 1) TÝnh I 2) Cho x2 +y2 =1 Chøng minh : 16( x y ) 20( x y ) 5( x y ) Bài 5( 4,0 điểm) 1) Cho tứ diện ABCD Các mặt tứ diện có diện tích Chứng minh tâm mặt cầu nội , ngo¹i tiÕp tø diƯn trïng 2) Cho tø diƯn ABCD mặt phẳng (P) Tìm mf (P) ®iĨm M cho MA MB MC MD nhỏ Hớng dẫn chấm thang điểm thi học sinh giỏi 12 toán bảng a Bài Hớng dẫn chấm môn Điểm 1) Khi m = y x x (C1 ) x 0,25 *) Tập xác định : x *) Sù biÕn thiªn : y ' x 2x ; ( x 1) 0,5 y ' 0 x & x Ta có bảng biến thiên x - y -2 + C§ + + + + 0,5 y - - CT 0,25 *)Hàm số đạt cực đại x = -2 yCĐ = -3 ®¹t cùc tiĨu t¹i x = yCT = *)x = tiệm cận đứng Lim f(x) = - vµ lim f(x) = + x1x1+ *) y = x + tiệm cận xiên v× lim(f(x) –x – ) = lim 0 x x Đồ thị : dạng đồ thị 0,25 x y 0,25 -2 O x -3 -7 2)Tập xác định x y ' x 2x ; y’ = x =-2 ; x = ( x 1) 0,5 Vậy với m (Cm) có cực đại cực tiểu Theo câu 1) ta có yCĐ= m x = -2 ; ®Ỉt A ( -2 ; m – ) 0,5 yCT = m + t¹i x = ; ®Ỉt B ( ; m + ) A ; B nằm hai phía đờng thẳng 9x 7y – = 0,5 (9xA – 7yA – )( 9xB – 7yB – ) < 0,25 ( -7m )( -21 – 7m) < -3 < m < 9 7 VËy m 3; thoả mÃn toán 0,25 1)Đặt y = f(x) = x2 + px + q ; h(x) = f ( x ) h(x) = h( ) ta cã f(0) = q ; f(1) = 1+p + q ; f(-1) = 1- p + q ; Gäi max f (1) f (0) f (1) f (0) p f ( 1) f (0) f ( 1) f (0) p f (1) NÕu p > p h( ) f ( 0) f ( 1) NÕu p < p h( ) f ( 0) p ) ; f ( 1) ; f (1) Chó ý : Max h(x) = max f ( 1;1 *) NÕu p = f(x) = x2 + q ; f(0) = f(- p ) = q ; f(1) = + q Gi¸ trị lớn h(x) giá trÞ q;1 q 1 1 q f (1) h( ) 2 2 1 1 NÕu q < - q f (0) h( ) 2 2 1 1 NÕu q = - fx ) x max h( x) x 0; x giá trị nhỏ 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 NÕu q nhÊt cña h() VËy p = ; q = - thoả mÃn toán 0,5 0,25 0,5 x2 2y2 1 (I ) 2x y x y 2) log x y (2 x y ) 1(*) x y ( II ) 2 0 x y x y Trờng hợp 1: Nếu (x;y) thoả m·n (I) ta cã x2 +2y2 2 xy ( x 1) ( y 2 )2 Theo bất đẳng thức Bunhiacèpxki ta cã 0,5 1 81 9 (2 x y ) ( x 1)2 ( 2y ) x y x y 16 4 2 2 2x y x 2 2y với x ; y thoả m·n (*) DÊu “=” x¶y y x 2 0,5 0,5 VËy x = ; y = th× 2x + y lín nhÊt Trêng hỵp : ( x ; y ) thoả mÃn (II) 2x + y không đạt giá trị lớn Vì từ (II) x y x y cos3x – cos2x + mcosx – = (1) cos x 0 cos x(4 cos x cos x m 3) 0 cos x cos x m 0 cos x 0 1) Víi m = th× (1) cos x 2) x k x 2k 0,5 (2) 0,5 k Z 0,25 t cos x ; t 1 Xét phơng trình (2) 4t 2t m 0 (3) VÏ ®å thị hàm số y = cosx ;2 Y y=t1 y=t2 0,25 - O - Sè nghiệm (2) số giao điểm y = t y = cosx x ;2 víi t lµ nghiệm (3) Phơng trình (1) có số nghiệm nhiỊu nhÊt trªn ;2 0,5 phơng trình (3) có hai nghiƯm t1 < t2 tho¶ m·n ' f ( 0) 13 < t1 < t2