Đề ôn luyện hsg môn toán lớp 12 số 20 file word có lời giải chi tiết

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn Toán học – Thêi gian lµm bµi 180 Bµi 1: Cho y = (-m + 1) x3 + 3( m + 1) x2 - mx - m a) T×m giá trị m để hàm số đồng biến b) Chứng minh với m đồ thị hàm số qua điểm cố định thẳng hàng Bài 2: Tìm giá trị tham số a để bất phơng trình : x 1 ax x a Đợc nghiệm với x Bài 3: Giải phơng tr×nh x3  x 2 ( x  x 1) Bài 4: Tìm cặp số (x; y) tho¶ m·n y6 + y3+ x2 = xy  x y Bµi 5: Cho khèi tø diƯn ABCD ; M điểm nằm bên tứ diện;AM, BM , CM, DM Lần lợt cắt mặt BCD; ACD; ABD; ABC A1, B1 , C1 , D1 a) Chøng minh r»ng : 2 MA1 MB1 MC1 MD1 AA1 BB1 CC1 DD1 Không đổi b) Tìm vị trí điểm M để biểu thøc P AM  MA1 BM  MB1 CM  MC1 DM MD1 Đạt giá trị nhỏ Bài 6:Chứng minh với số nguyên dơng n phơng tr×nh x2n+ = x + chØ cã nghiệm số thực xn Khi tìm lim xn n đáp án biểu điểm môn Toán häc thi häc sinh giái líp 12 Bµi 1: a) (1.5 điểm ) D=R Cần điều kiện : y = (m + 1) x2 + ( m + ) x - m  Tho· m·n víi  x (0.25 ®iĨm) + m + = => m = - cã y’ = > Tho· m·n víi  x vËy m = -1 giá trị cần tìm (0.25 điểm) + m +  = > m = - §Ĩ y’  Tho· m·n víi  x cần điều kiện m '  9(m  1)  12m(m  1) 0 m      m 1 (m  1)(7 m  3) 0 hc m  KÕt luËn: m       ; 1    ;    (0.50 ®iĨm) (0.25 ®iĨm) b) Gäi (x0 ;y0) điểm cố định mà đồ thị qua víi  m => m ( x03  302  x0  1)  x03  3x02  y0 (*) Để phơng trình (*) không phụ thuộc m cÇn   x0  x0     x0  x0  x0  0 y0 0 Xét phơng trình x 3x x0  0 Gäi f(x) = x03  3x02  x0 hàm số liên tục R + Có f(0) f(-1) phơng trình f(x) = cã mét nghiÖm thuéc (-1; 0) (1.0 điểm) + Có f(1) f(2) phơng trình f(x) = cã mét nghiÖm thuéc (1; 2) + Cã f(-1) > ; x   th× f(x) (0,5 điểm) + NÕu a < -1 th× ax - 4x + a - < víi x BÊt phơng trình đà cho thỏa mÃn với x x + > ax2 - 4x + a - tháa m·n víi x  ax2 - 5x + a - < tháa m·n víi x (1,0 ®iĨm)   = 25 - 4a (a - ) < (v× a < -1) a    '  4  a ( a  3)    = 4a2 - 16a - 25 >  a 4 41 (do a < - 1) + NÕu a > th× ax2 - 4x + a - > với x Bất phơng trình đà cho thỏa mÃn víi x  x + < ax2 - 4x + a - tháa m·n víi x  ax2 - 5x + a - > tháa m·n víi x   = 25 - 4a (a - ) < (v× a = > 0)  4a2 - 16a - 25 > KÕt ln:  a  41 (1,0 ®iĨm) (do a > 4)    41    41   a    ; ;    2    (0.5 điểm) Bài 3: ( điểm ) Tập xác định D = x R (0,25 điểm) Do x = không nghiệm phơng trình đà phơng trình đà cho (0,25 điểm) x3  x x2  x  x 1    x   x  x    x   1 x   2 (0,5 ®iĨm) 1    2 x   1  x  x x Đặt (vì x t x t x Điều kiện (0,5 điểm) t 1 x x x ) (0,25 điểm) Ta đợc phơng tr×nh míi 2t2 - 5t + =  t 2   t 1  (0,25 ®iĨm) ( loại không thoả mÃn ) (0,25 điểm) Với t = 2  x  x  0  x 1  x (0,5 điểm) Kết luận: Vậy phơng trình đà cho có nghiệm x = (0,25 điểm) Bài 4: (3 điểm ) Điều kiện : xy - x2 y2 0 hay Ta cã : (0,25 ®iĨm) xy 1 1 1  2  x y  xy     4 4   xy  x y  ( DÊu xảy : y + y + 2x2  xy - x2 y2 = - Do Kết hợp với giả thiết (0,25 điểm) vµ chØ xy = x   (2 x  y ) 4 xy  y  ) (0,25 ®iĨm) (0,25 điểm) Cộng hai vế hai bất đẳng thøc ta cã : y  x   ( x  y ) 4 xy   1  ( x  y ) ( y  x ) (0,25 ®iĨm) Do   (2 x  y ) 0 dÊu b»ng x¶y + (2x - y ) =1 ( y x) nên ta cã   (2 x  y ) ( y  x) = (0,25 ®iĨm)   y  x 0  2 x  y  Gi¶i hƯ ta đợc y1 ; x1 0 (0,25 ®iĨm)  y2 1 ;   x2 1 Thư l¹i chØ thÊy : (x ; y ) =  y3      x3       ; (0,5 điểm) thoả mÃn (0,5 điểm) Bài 5: (4 điểm ) a) Gọi thể tích khèi tø diƯn M.BCD ; M.ACD ; M.ABC vµ ABCD lµ V1 , V2 , V3 , V4 vµ V ®ã : MA1 V1 MB1 V2 MC1 V3 MD1 V3     ; ; ; AA1 V BB1 V CC1 V DD1 V (1,0 ®iĨm) Céng đẳng thức = > khết = (không ®ỉi ) (0.5 ®iĨm ) 2 b) Theo kết câu a để thuận tiên gọi V1 = a ; V2 = b ; V3 = c ; V4= d2 Khi ®ã : AA1 V a  b  c  d   MA1 V1 a2 => 2 AM b c d MA1 a2 T¬ng tù: 2 BM d  c  a MB1 b2 2 CM d a b MC1 c2 2 DM a b c MD1 d2 Mặt khác theo Bất đẳng thøc Bunhi a ta cã : (1,0 ®iĨm) (b + c + d ) 3 (b2 + c2 + d2 ) => BM b2  c2  d  bc d      AM a a (0,5 điểm) Tơng tự : BM a c d  MB1 b CM a b d  MC1 c DM a b c  MD1 d DÊu “=” x¶y a2 = b2 = c2 = d2  b c d d c a a b d a b c       12  a b c d 3 =>T (Theo BĐT cô si cho số không âm ) Vậy T = a2 = b2 = c2 = d2 Hay M lµ trọng tâm tứ diện ABCD ) Bài 6: (3 điểm ) Tập xác định D = R Phơng trình đà cho  x 2n 1  x 1 (0,5 ®iĨm )  x ( x n  1) 1 (*) + NÕu x    x n : vế trái Vậy phơng trình vô nghiƯm +NÕu < x vÕ tr¸i (*) âm = > phơng trình vô nghiệm +Nếu 1 xÐt f(x) = x n x hàm số liên tục (1 ; + ) mà f(-1) f(2) < nên theo tính chất hàm sè liªn tơc xn Sao cho xn  (1;2 ) ®Ĩ f (xn ) = : víi xn = n 1 xn   Vµ lim xn lim lim n  (0.5 ®iĨm ) (0,25 ®iĨm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm ) 2n  xn  2n   2n  2n (theo bất đẳng thức côisi ) Vậy (0,5 điểm) (0,5 ®iĨm ) 2n  1 2n xn = 2n     Do  xn   2n   (0,25 ®iĨm)