Đề xuất đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho phơng trình: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phơng trình với m=1 2) Tìm m để phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt x ; 2 Bài 2: 1) Giải phơng trình (Sin)x + (tg)x = ()x ) 2) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm phân biệt (với x tham số, < x < x 32-x - Sin a +1 log (x2 + 4x + 6) + ) + ( 3) 4x log =0 2( x Sina 1) 3 Bµi 3: Víi mäi ABC, k 0, Chøng minh: 4 Cos A B B C C A Cos Cos Cosk ( A ) Cosk ( B ) Cosk (C ) 2 3 a1 ; b1 Bµi 4: XÐt hai d·y sè: an ; bn ; voi ai 1 bi bi 1 ai bi (i=1, ) Chøng minh (a2006) + + b2006) + )2 > 16) + 039 Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD 1) Gäi i (i= 1, 2, , 6) + ) độ lớn góc nhị diện có cạnh lần lợt cạnh tứ diện 6) + Chøng minh: Cos i 2 i 2) Gọi G trọng tâm tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB M cắt DC N Gọi V, V1 lần lợt lµ thĨ tÝch cđa tø diƯn ABCD vµ DAMN Chøng minh: V1 V 3) Gọi diện tích mặt đối diện với đỉnh A, B, C, D tứ diện lần lợt là: Sa, Sb, Sc, Sd I tâm hình cầu nội tiÕp tø diÖn ABCD Chøng minh: Sa IA Sb IB Sc IC Sd ID 0 Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái lớp 12 Môn: Toán Bảng A Câu Bài 1 Néi dung Cosx 0 §iĨm Víi m =1; Phơng trình 4Cos x 2Cosx 0 x= k x k 2 2 x k 2 Cosx 0 Cosx 1 Cosx 2 2 Cosx Phơng trình 4Cos x 2Cosx m * Cosx =0 Cã nghiÖm: x ; x= 3 0,5 * Ycbt 4Cosx2 - Cosx +m - =0 Cosx t (-1 t 1) f (t ) 4t 2t m 0,5 t1 t2 : (a) (b) 0 VP VËy ph¬ng trình vô nghiệm x VP 2 Đặt Sina -1 =m (-2 m 0) x x 6) + 2 ta có: xR thì: nên TXĐ phơng trình R x-m 2 Ta có phơng trình ( 3) x Xét hàm số: f(t) = x 6) + 3 log ( x x 6) + ) t log (t) : x m 2 log (2 x m 2) 2; + hàm số đồng biến với x[2; +) nên phơng trình x2 + 4x +6) + = x-m +2 0,5 0,25 0,5 (*) x x m 0 : (1) x 6) + x m 0 : (2) 0,25 Theo yêu cầu toán (*) có nghiệm ph©n biƯt (1) cã nghiƯm kÐp x ;(2) cã nghiÖm x (2) cã nghiÖm kÐp x ;(1) cã nghiÖm x1 (1), (2) có nghiệm chung; nghiệm lại khác m (lo¹i) m m 0,25 0,25 Vậy theo yêu cầu to¸n: Sina Sina a=- 6) + k 2 5 a k ' 2 6) + a - k "2 0,25 Cã họ giá trị a cần tìm Bài A C A C Mäi ABC cã Cos 1 (1) 4 4 0,5 mµ: k B B 3B 4 nªn: Cosk B Cos B 0 0,5 (2) Ta cã: 1 A C B C A C A C 2B C os C os C os Cos 2 2 4 C os 0,5 A C 3B A C 3 Cos C os Cos B Cosk B Cosk B : (a) 4 4 3 3 Chøng minh t¬ng tù cã: 1 B C C A C os C os Cosk C : (b) 2 2 3 1 C A A B C os C os Cosk A : (c) 2 2 3 Từ (a), (b), (c) suy (đpcm) Dấu "=" A=B = C= Bài ABC (i=1,2,3….).) Ta cã Si = (ai + bi) Th× 0,5 Si+1 = (a i+1 + bi+1 1 ) = bi : (i=1,2, ) bi 2 = bi 1 1 +2 bi bi bi 0,5 1 bi bi bi nªn ta cã: (a1 + b1)2 > (a2 +b2)2 > (a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + (a2006) + +b2006) + )2 > (a2005 + b2005)2 + Cộng bđt trên, ta có: (a2006) + +b2006) + )2 > 2005 = 16) + 040 > 16) + 039 Bµi 0,5 0,5 0,5 A D1 I D B A1 M C H¹ IA1 (BCD); ID1 (ABC) IB1 (ACD); IC1 (ABD) D M BC Dùng A1M BC IM BC 1,0 nên A1MD1 (Tơng tự với 2.)6) + ) IA IB IC ID 0 4r IA IB IC ID 0 1 1 1,0 Ta cã: 1 4r 2r (Cos1 Cos Cos ) 0 Cos i 2 : 1,0 (dpcm) i=1 2 A G M B D A' N O C A' trọng tâm BCD Gọi: O trung điểm BC DM DN Đặt: x y DB DC V DM DN DA Ta cã: DAMN xy (1) VABCD DB DC DA dt(DMA') DM DA ' dt( DMA ') Cã: x: dt(DBO) DB DO dt ( DBC) dt ( DNA ') T ong tù y : (b) dt ( DBC ) dt ( DMN ) x y Tõ (a), (b) suy ra: dt ( DBC ) dt ( DMN ) DM DN mµ xy x+y=3xy dt ( DBC ) DB DC x y(3x-1) =x: (x ) y= 3x-1 x va x x 1 vµ y 1 x T ong tù, suy ra: x; y 1 V1 x2 1 VËy: xy f ( x ) : ;1 V 3x 2 3x x Cã: f'(x) = =0 x= (3 x 1) 0,5 (a) 0,5 0,5 vµ: x f'(x) f(x) 2 V1 V 2 + 0,5 D P' M' N' I C A N M P B M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI) Gäi N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI) P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI) I tứ diện, nên: M, M',.) thuộc cạnh tứ diện Do: (DAM) mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AD nên: d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)] MB dt (AMB ) VDAMB dt (DAB ) Sc MC dt ( AMC ) VDAMC dt ( DAC ) Sb 0,5 S điểm M đoạn BC; nên: MB c MC Sb Sb MB Sc MC 0 Sb ( IB IM ) Sc ( IC IM ) 0 Sb IB Sc IC ( Sb Sc ).IM : (1) 0,5 Chøng minh t¬ng tù: Sd ID Sa IA ( Sd Sa ).IM : (2) Mặt khác: I MM' = (AMD) (BCM') nên vecto IM ; IM '; MM '; song song VËy gäi vecto: v ( Sa IA Sb IB Sc IC Sd ID) 0,5 th× v ( Sa Sb ) IM (Sc Sd ).IM ') song song víi MM ' Chøng minh t¬ng tù: v // NN ' vµ v // PP ' 0,5 Nhng MM ' ; NN ' ; PP '; không đồng phẳng nên: v (đpcm) Chú ý: 1)Điểm toàn điểm tổng cộng sau đà làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5) 2) Nếu thí sinh làm cách khác mà xác cho điểm tối đa câu