đề thi học sinh giỏi khối 12 (bảng a) môn: toán thời gian: 180' Bài 1:(4 điểm) Cho hµm sè: y x mx x 2m (cm) Kh¶o sát vẽ đồ thị hàm số m = T×m m (0; ) cho hình phẳng giới hạn đồ thị (Cm), ®êng th¼ng: x=0; x=2; y=0 cã diƯn tÝch b»ng Bài 2: (4 điểm) Giải phơng trình: giải phơng trình: tgx (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x) log22 x + x.log7(x + 3)= log2x [ x + 2.log7(x + 3)] Bài 3: ( điểm) Tìm a để phơng tr×nh sau cã nghiƯm a a sin x = sin x Tìm a để phơng trình sau có nghiệm phân biệt x3 x x 2(a 1) x 1 x 1 4(1 a ) 4a 0 x x Bài 4( điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R Gọi R1, R2, R3 lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BOC, COA, AOB Cho biÕt: R1+R2+R3 = 3R TÝnh gãc cña ABC Cho (E): x2 + 4y2 = M lµ điểm thay đổi đờng thẳng y=2 Từ M kẻ đến (E) hai tiếp tuyến Gọi tiếp điểm T1, T2 Tìm vị trí M để đờng tròn tâm M tiếp xúc với đờng thẳng T1, T2 có bán kính nhỏ Bài 5:( điểm) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 Cho hàm số f(x) xác định dơng R thỏa mÃn: f (0) Tìm hàm số f(x) Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Các đờng thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần lợt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A1, B1, C1, D1 CMR: GA1 GB1 GC1 GD1 GA GB GC GD '2 ' Đáp án thang điểm Đáp án Bài 1: 1.Khi m=1 y Thang ®iĨm x3 x 2x 3 TX§ : D = R + y ' x 2x x y ' 0 x Hàm số đồng biến (-; -1- 3) (-1+ 3 ; +∞) 0,5 Hàm số nghịch biến ( -1yCĐ = y(-1- ) = ;1+ ) yCT = y(-1+ )= y '' 2 x ; y '' x Đồ thị hàm số lồi (-; -1) Đồ thị hàm số lõm (-1;-) 0.5 ) làm điểm uốn y ; Lim x y NhËn I(-1, + Lim x Bảng biến thiên 0,5 x y y + -1- C§ -∞ + -1+ + + CT - Đồ thị: 0.5 Xét phơng trình : x mx x 2m 0 trªn [0; 2] 0.5 3 Đặt f ( x) x mx x 2m 0; f ' ( x) x 2mx Phơng trình: f ' ( x) có hai nghiệm trái dấu x12 Nhận xét: Tính a.c =1 để phơng trình (1) có nghiệm t>2 (1) phải có nghiệm trờng hợp sau: a t 2 t t1 t 0.5 VN VN f ( 2) a Kết luận: Để phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt : a< Bài 4: Theo định lý hàm số sin cho BOC ta cã: 0.5 a a R sin A R 2 R1 2 R1 R1 sin BOC sin A sin A cos A R R T¬ng tù choCOA, AOB : R2 ; R3 cos B cos C 1 + VËy cã: 6 (1) cos A cos B cos C 1 9 6 (Do ABC nhän) cos B cos C cos A cos B cos C 3 + ( Ph¶i chøng minh : cos A cos B cos C ) + DÔ cã : cos A 0.5 0.5 + VËy (1) CosA CosB CosC A B C 60 o 0.5 2 (E): x y M đờng thẳng y M(a;2) + Gọi T1(x1,y1); T2(x2,y2) tiếp điểm xx 1: y y1 1 tiÕp tuyÕn T1, T2 là: 0.5 : 0.5 x2 x y y 1 Do 1; 2 ®i qua M(a, 2) 0.5 a x1 y1 1 a x y 1 NhËn xÐt : T1, T2 có tọa độ thỏa mản phơng trình ®êng th¼ng : a.x y 1 Vậy phơng trình đờng thẳng T1, T2 là; ax + 8y – =0 R d ( M + §êng tròn tâm M tiếp xúc T1, T2 có bán kính là: R + Ta tìm a để R nhỏ : Đặt a t R f (t ) f ' (t ) t 116 0 t R f (0) (t 64) T1T2 ) a 12 0.5 a 64 a 12 a 64 t 12 t 64 đạt đợc : t=0 a=0 + Kết luận: điểm M(0;2) Bài : Tõ: f 0.5 '2 ( x) f f ' ( x) f ( x) ' ( x) f ( x ) 0 + XÐt (1) Cã: ( f ' ( x) f ( x) dx ( )dx f ( x) e ( 2 ) x C1 + VËy: f ( x ) e ( 2 ' ( x ) ( ) f ( x) ' ( x ) ( ) f ( x) f ( x ) 0) ( 2) 0.5 ln f ( x) ( ) x C1 f (0) 1 e C1 1 C1 0 3) x + XÐt (2) t¬ng tù : ta đợc kết : f ( x) e ( Đáp số: f f (1) ' f ( x) f ( x) f ( x) e ( ) x hc f ( x) e ( 2 ) x 0.5 ) x Gäi O lµ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Có: OA OG GA OA OG GA 2OG.GA T¬ng tù ta cã: OB OG GB 2OG.GB OC OG GC 2OG.GC 0.5 OD OG GD 2OG.GD + Tõ trªn : 4( R OG ) GA GB GC GD + L¹i cã : GA.GA1= GB.GB1=GC.GC1=GD.GD1=R2 – OG2 VËy : GA1 GB1 GC1 GD1 ( R OG )( 0.5 0.5 1 1 ) GA GB GC GD 0.5 1 1 (GA GB GC GD ).( ) GA GB GC GD + áp dụng Bunhia cosi cã: 1 1 GA1 GB1 GC1 GD1 (GA GB GC GD) ( ) 16 GA GB GC GD GA GB GC GD DÊu xảy ABCD 0.5 GA GB GC GD Tứ diện ABCD gần tứ diện 0.5 0.5