Đề ôn luyện hsg môn toán lớp 12 số 11 file word có lời giải chi tiết

®Ị thi häc sinh giái líp 12 ( Thêi gian 180 phút) Giáo viên:Lê Việt Cờng Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m a) khảo sát hàm số m=-1 b) Tìm m để phơng tr×nh x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = cã nghiƯm phân biệt Bài 2:(5 điểm) Cho phơng trình x x  x  12 m  x  a) Giải phơng trình m = 12 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 3: (4 điểm) 2005 Tính Lim x Bài 4: (3 điểm) x   10 x 2006  100 x x Giải phơng trình log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2 Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G1, G2, G3, G4 lần lợt trọng tâm mặt BCD, ACD, ABD, ABC Đặt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4 CMR: ABCD tứ diện m1+m2+m3+m4 = 16R hớng dẫn sơ lợc toán HSG12 1b) Phơng trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = (x-2m)(x2-3x-m)=0  x 2 m    x  3x m 0(2) Phơng trình có nghiệm phân biệt phơng trinh(2) có nghiệm ph©n biƯt  2m  m 0, m    2m   3.2m  m        m    9  m   Bài 2:( đ) a)(2 đ) Từ điều kiÖn  x 4  VP  12(    ) 12 VT  4 + 12 12 phơng trình có nghiệm x=4 b) (3 đ ) Phơng trình đà cho  f(x) =  x x  x  12   x   x  m (2) Xét hàm số f(x) [0;4] f(x)=f1(x)f2(x) với f1(x) = x x x  12 x cã f’1(x) = x x  x  12 >0 [0;4] f1(x) x [0;4]  f1(x)  f2(x) = 5 x  4 x cã f’2(x) = 1 5 x  4 x   4 x  5 x 5 x 4 x >0  f2(x)  [0;4] f2(x) x [0;4]  f(x)  trªn [0;4]  Min[o;4] f(x) = f(0) = 12    vµ Max[o;4] f(x) =12 Tõ ®ã (2) cã nghiƯm  Min[o;4] f(x)  m  Max[o;4] f(x)  12   m 12 điều kiện để (1) có nghiệm Bài 3:( đ) n Trớc hết ta chøng minh: a 0, n  N, n  th× Lim  ax   a x Đặt y = n Lim x n  ax x n ®ã x  y ax y y a  Lim n a Lim  (2 ®) n x n y  1 y  y  1  y  1 ( y   y  1) 2005 Ta cã: Lim x  0  10 x 2006  100 x  x 2005 = Lim x  0  10 x 2006  100 x  2006 x  10 x  2006  100 x   = Lim 2006  100 x  x  0 = 2005  2006  10 x    100 x    Lim  x x x  0  10 100 220560   2005 2006 2005.2006 Câu 4: Phơng trình đà cho xét hàm số y= (3 đ) x  x  x  2 x  x  Log x  x  x 1 x  x   2  x  x 1 32 x  x  x  víi x>0, Minf(x) = víi x=1 y= g(x)= x x víi x>0, Maxf(x) =3 víi x=1 Phơng trình đà cho có nghiệm x=1 Bài 5:( đ) Gọi O G lần lợt tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện Ta có: Mặt khác: 2 2  OA  OB  OC  OD  R   GA  GB  GC  GD O 4R =       2 OG GA  OG GB  OG GC  OG GD  4R2 = 40G2 +GA2+GB2+GC2+GD2 mµ GA2 = m1 , 16  4R2 = 40G2 +  4R2  GB2 =  (1 ®) (1 ®) = m3 ,GD2 16 2 2 m1  m2  m3  m4 16  = m4 16  2 2 m1  m2  m3  m4 (1 đ) 16 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có  R2  m2 ,GC2 16    m m m m  4(m1  m2  m3  m4)  m1  m2  m3  m4    m1  m  m  m  ( ®) 64 256 16R m1  m2  m3  m4  DÊu xảy : O G   m1 m2  m3 m4 Tø diÖn ABCD ®Òu (1®)