đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: toán (Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số: y x4 x (C ) 2 điểm M (C ) có hoành độ xM = a Với giá trị a tiếp tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm phân biệt khác M Tìm m để phơng trình (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) 2m +1 =0 Cã nghiÖm tho· m·n: x2 +6x + Câu 2: (4 điểm) 1.Tìm GTLN GTNN hàm số f(x) đoạn [-1; 2] biết f(0) = (1) vµ f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2) sin x sin 3x cos x cos 3x tg ( x )tg ( x ) C©u 3: (4 điểm) Giải phơng trình : Tìm: log lim x ( x 2 x2 x ( x x 2) log ( x x 3) x 3 ) x C©u 4: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông A AB = a, cạnh bên SA = SB = SC = a tạo với đáy góc Xác định cos để thể tích hình chóp lớn Tính c¸c gãc cđa ABC biÕt sin 3A A C A B sin sin 2 2 Câu 5: (4 điểm) Tính: I ln (1 tg 2x )e x dx Trên trục toạ độ Oxy: Cho parabol (P): y x2 16 đờng thẳng ( ) : 3x – 4y + 19 = ViÕt ph¬ng trình đờng tròn có tâm I thuộc đờng thẳng () có bán kính nhỏ tiếp xúc với parabol (P) -hÕt Hä tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: ĐÁP ÁN Câu 1: (4 điểm) 1> Điểm M (C ) , xM = a -> yM a4 3a 2 ta cã Pt tiÕp tuyến với (C) có 0,5đ phơng trình 0,5đ dạng ( ) : y y x' ( x x M ) y M víi y M' 2a 6a M => a4 3a 2 ( ) vµ (C) lµ nghiƯm ( ) y (2a 6a )( x a ) Hoành độ giao điểm 4 x a x ( 2a 6a )( x a ) 3a ( x a ) ( x 2ax 3a 6) 0 2 2 x a 2 g ( x ) x 2ax 3a 0,5đ Bài toán trở thành tìm a để g(x)=0 có nghiệm phân biệt kh¸c a ' 2 g ( x ) a (3a 6) g ( a ) 6a 0 a a 1 a a 1 0,5® a a Vậy giá trị a cần tìm 2> pt (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 2m (x2 + 6x +5)(x2 + 6x + 8) = 2m Đặt t = x + 6x +5 = (x + 3)2 – -4 0,5® Do x2 + 6x +7 x2 + 6x +5 -2 => t -2 Bài toán trở thành tìm m để pt: f(t) = t(t+3) = 2m-1 cã nghiÖm t 4; 2 f(t) số giao điểm đồ thị f(t) = t2 + 3t đờng y= 2m - y = 2m vẽ đoạn [-4; -2] 2m 4 m 2 -2 o 0,5® 0,5® t -4 -2 Vậy để phơng trình có nghiệm m 2 Câu 2: (4 điểm) 1> Tõ (2): f2(x)f’(x) = + 2x + 3x2 sè) 0,5 ® f ( x ) 3 x x x c (c 0,5đ + Từ (1) : f(0) = => c = , hàm sè XÐt g(x) = 3x3 + 3x2 + 3x + víi 0,5® f ( x ) 3 x x x x [-1; 2] x [ 1;2] x g’(x) = 9x2 + 6x + = lµ điểm tới 0,5đ hạn g(-1) = 2, g(2) = 40, g(- ) = Do ®ã GTLN f(x) 2> ĐK: Do cos( x tg ( x 40 0,5® => max(g(x)) = 40, min(g(x)) = - 0,5đ GTLN f(x) lµ ) 0, cos( x ) 0; tg ( x ) 0; tg ( x 0) 6 0,5® ) cot g ( x ) cot g ( x ) tg ( x ).tg ( x 1) 3 6 Ta đợc phơng trình 1 sin x sin 3x cos x cos 3x (3 sin x sin 3x) sin 3x (3 cos x cos 3x) cos 3x 1 3(sin x sin 3x cos x cos s3 x) cos 3x sin x cos x cos x 2 1 cos x cos x x k (k Z ) 2 NghiÖm NghiÖm k (loại tg ( x ) ) 6 x k ( k Z ) t/m đk x 2x x 2x x 2x đặt 0,5đ x Câu 3: (4 điểm) 1> ĐK: pt 0,5đ log log 8 x 3 x 1 ( x x 2) log ( x x 2) log x t x a y toán 0,5đ ( x x 3) y ®a vỊ hƯ x (8 x x ( x 3) y 3) y y t ( a 1) ( a 1) y a y y t a y a f ( y) a 1 a 1 ( x x 3) (*) v× 0< a a 0,5đ 1 a (do a > 1) Nên hàm số f(y) nghịch biến a f(1) = nên y = lµ nghiƯm nhÊt cđa pt (*) => x2 – 2x – = a1 = + x 1 x Giải 2> đặt I lim x y (t/m) 11 (t/m) x th× 1 2y y y 11 3 3y vËy pt ®· cho cã nghiƯm x1 , x2 0,5® y y (1 y ) lim y y2 0,5® 0,5® y (1 y ) y2 y2 y ( y 3) lim y y y (1 y ) y (3 (1 y ) (1 y )3 y (1 y ) ) y 3 lim y y y (1 y ) (1 y )3 y (1 y ) 1 2 VËy I 1,0® Câu 4: (4 điểm) Gọi O trung điểm BC => trục đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC => SO đờng cao hình chóp S.ABC góc cạnh bên đáy, góc SBO = gãc SAO = SCO = OA OB OC SA SB SC 0 => SO 0,5® S + SO =asin , AC = a ( cos cos 1 ) a2 S ABC AB AC 2 a cos B a + VS.ABC = a3 sin cos O A C 0,5® áp dụng BĐT cô si cho số dơng sin vµ cos -1 > V= DÊu a3 a sin cos a sin cos 12 12 “=” x¶y sin 4 cos cos 2 VËy Do cos sin 2 0,5đ 0,5đ hình chóp tích lớn 0,5® 3A 3A cos( ) 2 nên gt toán trở thành 0,5đ 3A A B C B C ) sin( ) cos 2 4 3A 3A B C sin ( ) sin( ) cos 4 4 A A B C B C B C sin ( ) sin( ) cos cos (1 cos ) 0 4 4 4 cos( 3A B C B C sin( ) cos sin 0 4 (*) 0,5® Do 3A B C B C 0 sin( ) cos 0; sin Khi (*) dấu = xẫy Giải hệ ta đợc: nên VT (*) không âm B C 0 sin A B C sin( ) cos 0 4 0,5® A 100 B C 40 Câu 5: (4 điểm) x 2 1> Ta cã I ln(1 tg )dx xdx x 2 I I 2 0 2 x TÝnh I ln(1 tg )dx §ỉi cËn: x = => t đặt ; x x x t t dx dt 2 0,5® 0,5® => t = t tg 2 t I ln 1 tg ( ) dt ln(1 )dt ln dt t t 0 tg tg 2 0,5® t 2 ln 2dt ln(1 tg )dt t ln I ln I I ln I ln 2 0 VËy I 2 ln 0,5đ Nhận thấy đờng thẳng () điểm chung với parabol (P) Gọi (' ) đờng thẳng tiếp xúc với Parabol (P) song song víi dt () () => pt (' ) lµ 3x – 4y - + m = ( m 19) () hƯ pt: (I) pt ®t x2 3x m 16 4 x cã nghiÖm (I) I1 (d) M0 3x – 4y + = toạ độ tiếp điểm + Gọi (d) đt qua điểm M0 vuông góc vói M ( 6; n d ( 4;3) M1 I x m 9 ( ' ) : H M ( 6, ( ' ) 0,5® ) => (d) ) => pt ®t (d) 4x + 3y + 123 0,5đ I giao điẻm (d) vµ 3 x y 19 0 123 4x y 0 x y 36 13 20 ( ) => toạ độ I nghiệm hệ => I ( 36 13 ; ) M I 2 20 Pt đờng tròn tâm I, bk R = IM0 cã d¹ng 36 13 ( x ) ( y ) 4 20 0,5® Ta chứng minh: đờng tròn (C) có phơng trình đờng tròn có bk nhỏ so với ®êng trßn t/m ycbt ThËt vËy: LÊy ®iĨm I1 bÊt kì () , M1 parabol (P) ' H = I1M1 ( ) ta cã: I1 M I H IM => IM0 nhỏ Do đờng tròn bk IM0 đờng tròn bk nhỏ Vậy đờng tròn cần tìm: 36 13 x y 4 20 0,5®