Đang tải... (xem toàn văn)
§Ò thi häc sinh giái 12 (Thêi gian lµm bµi 180’) C©u 1 Chøng minh r»ng hµm sè y = x4 6x2 + 4x + 6 lu«n lu«n cã 3 cùc trÞ ®ång thêi gèc to¹ ®é O lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c t¹o bëi 3 ®Ønh vµ 3 ®iÓm c[.]
§Ị thi häc sinh giái 12 (Thêi gian lµm bµi 180) Câu 1: Chứng minh hàm số y = x 4- 6x2 + 4x + lu«n lu«n cã cực trị đồng thời gốc toạ độ O trọng tâm tam giác tạo đỉnh điểm cực trị đồ thị hàm số Câu 2: Giải hệ phơng trình x+y = 4z y+z= 4x z+x= 4y C©u 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vu«ng gãc oxy cho parab«n (P): y = 4x M điểm di động (P) M 0, T điểm (P) cho T 0, OT vu«ng gãc víi OM a Chøng minh M di động (P) đờng thẳng MT qua điểm cố định b Chứng minh M di động (P) thì trung điểm I MT chạy pa bol cố định Câu 4: Giải phơng trình sau: sinx + siny + sin (x+y) = 3 n C©u 5: Cho d·y sè In = 2n cos x dx , x nN* TÝnh nlim In C©u 6: Cho a > 0, chøng minh r»ng ln a < 1 a a a a Ngời đề :Ngô Quốc Khánh Trờng PTTH Lam Sơn Đáp án Câu 1: (3 điểm ) Tập xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + y’ = 4x3 - 12x + y’ = g(x) = x3 - 3x + = Ta cã g(x), liªn tơc g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = (1) g( - 2) g(- 1) g( -1) g( 1) g( 1) g( 2) g(x) liên tục nên phơng trình (1) có nghiệm ph©n biƯt tháa m·n : - < x1 < -1 < x2 < < x3 < * Ta cã y = y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1) Gọi điểm cực trị A (x 1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) vµ G (x0,y0) lµ träng tâm tam giác ABC Theo ĐL Viet có x1 + x + x = (2) x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3) x1 x2 x3 =0 Tõ (1) (2) (3) suy ra: Tõ (2) suy x = y0 = (y1+y2+y3) = -3 ( x12 x22 x32 )-(x1+x2+x3) - 6 = -3 (x1 + x2 + x3)2 - (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6 = -3 (0 - (-3) - 6) = VËy G (0;0) 0(0;0) (ĐPCM) Câu 2: ( điểm) x+y = z (1) y+z= 4x (2) z+x= áp dụng bất đẳng thức cosi tacó: 4y (3) z ( z 1).1 T¬ng tù 4x < 2x < (I) ®k x,y,z > (4 z 1) = 2z (2’) 4y < (1’) 2y (3’) Tõ (1’) ;(2’) ; (3’) vµ (1) ; (2) ; (3) suy 2(x+y+z) = z x y < 2z + 2x + 2y (4) Tõ (4) suy ra: 4z - = (I) 4x - = x=y=z= nghiÖm ®óng (I) 4y - = VËy hƯ (I) cã nghiÖm x = y = z = C©u 3: (P): y2 = 4x y2 y2 a (3điểm ) Giả sử M ; y ; T ; y víi y1,y2 0; y1 y2 y 12 y 12 y y 4 y1 y2 + 16 = (1) OT.OM 0 OTOM y 12 y 22 y 12 4 x- Phơng trình đờng thẳng MT: y - y1 y - y1 4x - y 12 = (y1 + y2) (y-y1) 4x - (y1 + y2) y - 16 = 4(x- 4)- (y1 + y2) y= Nên đờng thẳng MT qua điểm cố định J (4;0) b (3điểm) Gọi I (x0, y0) trung điểm MT y y 22 x0 = = (1) y1 y 2 y0 = Tõ (1) suy x = (2) 1 (y1+y2)2 - 2y1y2 = (2y0)2 - (-16) 8 y02 y 02 = 2x0 - Từ I chạy parabôn (P) : y = 2x = cố định Câu 4: (3 điểm) sin x + sin y + sinz (x+y) = 3 (1) ¸p dơng bất đẳng thức Bunhiacốpxki từ (1) ta có 27 3 = [sinx + siny + sinz (x+y)] < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y + sin2(x+y)) ( ) = cos x cos y +sin2 (x+y) 2 = 3.[1- cos (x+y) cos (x-y) + - cos (x+y)] = 2-(cos (x+y)+ < (2- + 1 cos (x-y)2) + cos2 (x-y) 27 )= (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) + cos (x-y)2 > 4 Tõ (2) suy ra: cos2 (x-y) = (1) cos (x+y) + cos (x-y) = sinx = sin y = sin (x+y) = x 2k y 2n víi k , n Z 3 4n Câu 5: (3 điểm) In 2n Ta chøng minh: < In < n Ta cã: In n = 2n n dx x 2n x n d (sin x ) sin x = x x n n n n - sin x.d ( x ) 2n sin x dx x2 n n ( k 1) * Ta cã: In = k n ( k 1) => JK = (1) sin x < x 2n , 4n nªn x x * Ta cã: In < 4n n cos x dx = x n = cosx dx x 2k 2k sin x + x2 1 (2) n n n =- sin x dx đặt JK = x2 ( k 1) sin x dx > x2 ( k 1) ( k 1) 2k sin x dx x2 ( k 1) sin x ( x )dx >0 (x )2 2k n Ta l¹i cã: In = Jk (3) nªn In > (4) k n Tõ (2) (4) suy < I n Ta l¹i cã nLim n = nªn n (1) ®óng Lim I n n C©u 6: (3 ®iĨm) 1 a ln a < a a3 a (1) víi a > Trong hỵp 1: a >1 (1) (a + a )lna < (1 + a ) (a-1) (2) Đặt x = a => x >1 (2) 3(x3 +x) lnx < (1+x).(x3-1) x > x4 + x3 - x - - (x 3+x)lnx > (3) x > Đặt f(x) = x4 + x3 - x - -3 (x3 + x)lnx x 1;+ ) Ta cã f’(x) = x3 + 3x2 - - (3x2 + 1) lnx + (x + x) x = 4x3 - - (3x2 + 1) lnx f”(x) = 3.(4x - 3x - 6xln x f(4)(x) = 3.(8- ) x f(3)(x) = ( 8x + -6ln x - 9) x2 6(4 x x 1) = 6( x 1)(4 x x > , x > )= x x x3 x3 Suy f(3)(x) đồng biến nên [1;+ ) f(3)(x) > f(3)(1) = t¬ng tù f’(x)> víi x > (3) f(x)> f (1) = với x >1 suy (3) Trờng hợp 2: < a < đặt a = , a1 > quay vỊ trêng hỵp a1 Tài liệu tham khảo Hàm số - Tác giả : Trần Phơng Tạp chí " Crux - Mathematicorum " Tạp chí toán học Ca na đa Hng dẫn tìm tải tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6