SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG TRƯỜNG THPT TƠ HIỆU KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN THI: TỐN Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,5 điểm) Cho hàm số y x x hàm số y x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình sau : 3x x x x b) Giải bất phương trình sau: x Câu (1,0 điểm) 2 x y 3xy 3x y 0 Giải hệ phương trình 2 4 x y x x y x y Câu (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng đường phân giác góc A có phương trình 2x y 0 , khoảng cách từ C đến gấp lần khoảng cách từ B đến Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung b) Cho tam giác ABC vuông A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b IB c IC 2a IA 0 Tìm điểm M cho biểu thức ( b MB2 c MC 2a MA ) đạt giá trị lớn Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a E sin a 4cos a cos a 4sin a b) Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L hình chiếu B AK, F trung điểm BC, biết KAB 2KAC Chứng minh FL vng góc với AC Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh rằng: x2 y z xyz x y z …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Giám thị coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1: (1,5 điểm) Câu Nội dung u cầu tốn PT sau có hai nghiệm phân biệt x x x m hay x x m 0 (*)có ' m>1 x xB 1 ; Gọi x A ; x B nghiệm (*), I trung điểm AB ta có x I A y I x I m m Yêu cầu toán y I x I Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 m 1 m 2; m 0 Kết hợp ĐK, kết luận m 2 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình sau : 0,25 3x x x x b) Giải bất phương trình sau: x Câu Nội dung Điều kiện: x 9 Ta có x x x 3x x x Điểm 0,5 x 8 x x a) x 9 x 42 x 49 4( x 1)(9 x) x 13x 82 x 85 0 x 5 0,25 0,25 0,25 x 2 x 8 9 2 x 2 x TH1 : Xét x ta có : 1 5 x 2 x x 9 x 3 x 5 Vậy x nghiệm Điều kiện: x 0 b) 9 x x 5 x 2 x x 9 ( Bpt vô nghiệm) TH2 : Xét x ta có : 1 0,25 0,25 9 x x 0 x x x 8 x x 10 x 0 0 x x TH3 : Xét x 8 ta có : 1 x x 10 x 0 0,25 x 5 x 5 Kết hợp với miền x xét ta có x 5 nghiệm Bpt Vậy tập nghiệm Bpt : S 1;2 8;5 2 x y 3xy 3x y 0 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 4 x y x x y x y 2 x y 3xy 3x y 0(1) (1,0 điểm) 2 4 x y x x y x y (2) Điều kiện: 2x+y 0, x+4y 0 Từ (1) ta y=x+1 y=2x+1 *) Với y=x+1, thay vào (2) ta 3x x 3x x 0,25 0,25 0,25 3( x x ) ( x 3x 1) (x x 4) 0 1 ( x x)(3 ) 0 x 1 3x 1 x x x 0 x x 0 x 1 ( x; y ) {(0;1);(1; 2)} *) Với y=2x+1, thay vào (2) ta 3x x 1 x 0,25 0,25 3x ( x 1) ( x 2) 0 x(3 ) 0 x 1 1 9x x 0 Khi ta nghiệm (x;y) (0;1) Đối chiếu điều kiện toán ta nghiệm (x;y) hệ cho (0;1) (1;2) Câu (2,5 điểm) Câu Nội dung a) y0 D(B; )= ; C(0:y0) ; D(C; )= , theo ta có 5 y0 y 10; y 5 Điểm 0,25 C khác phía B suy C(0;-8) Gọi B’(a;b)là điểm đối xứng với B qua B’nằm AC Do BB' u (1; 2) nên ta có: a 2b 0 ; A Trung điểm I BB’ phải thuộc nên có: 2a b 0 Từ ta có: a= -7/5; b=4/5 3 Theo định lý Ta - Let suy CA CB' 44 B A(x; y);CAH x; y ;CB' C ; 5 21 26 ; ) ;C(0;-8) Từ suy A( 10 0,25 0,25 0,25 0,25 Kẻ đường cao AH, ta có b a.CH;c a.BH nên b BH c CH Do đó: b BH c CH 0 0,25 b) Suy b IB c IC b IH c IH a IH Kết hợp giả thiết suy 2a IA a IH hay 2.IA IH Do điểm I thỏa mãn gt I thỏa mãn A trung điểm IH Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: x.IA y.IB z.IC 0 (*) bình phương vơ hướng vế (*), ý 2IA.IB IA IB2 AB2 ta có: (x.IA y.IB2 z.IC2 )(x y z) xyc2 xzb yza Từ có ( 2a IA b IB2 c IC ) 3b 2c Mặt khác xMA x(IA IM) x(IM IA 2IA.IM) Tương tự cho yMB2; zMC2 cộng đẳng thức lại ta có xMA yMB2 zMC2 (x y z)IM xIA yIB2 zIC2 Thay số có: 2a MA b2 MB2 c2 MC2 a IM 3b 2c2 3b2 c2 Dấu xảy M trùng I 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a E sin a 4cos a cos a 4sin a Ta có E sin a 4(1 sin a) cos a 4(1 cos 2a) E (sin a 2) (cos a 2) E (2 sin a) (2 cos a) 3 0.25 0.25 0.5 b) A L C F K B Đặt AB=c, AC=b, BC=a, KAC 2 ; BAC 3 Khi đó: KAB Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK ACK, ta được: BK AK CK AK ; sin 2 sin B sin sin C sin B (*) Do BK=2CK, nên từ đẳng thức ta có: cos sin C Lại có: b2 c2 a a b2 c a 2 FA FC bc.cos A bc cos 3 (1) LC LA2 b 2b.LA.cos LA2 b 2bc cos 2 cos LA2 LC 2bc cos cos 2 b bc cos cos3 b bc cos b bc cos 3 (**) 0,25 0.25 0.25 0,25 Thay (*) vào (**), ta được: LA2 LC bc cos 3 (2) Từ (1) (2) suy ra: FA2 FC LA2 LC FL.CA 0 FL CA Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh rằng: x2 y z xyz (I) x y z Giả thiết suy ra: 1 1 Ta Có: xy yz zx 1 1 1 1 x2 1 1 ;" " y z x x xy yz zx x y x z 2 x y z Viết hai BĐT tương tự cộng lại ta được: x y z ;" " x y z x y z x y z 1 1 2 Ta CM: xyz xy yz zx xyz x y z x y z 1,0 2 x y y z z x 0 Điều luông Dấu có x=y=z Vậy (I) CM, dấu có x=y=z= Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 0,25