01 ba ria vung tau 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 02 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 8/12/2020 Câu (1,25 điểm) Giải phương trình cos x sin x  2cos x sin x  2cos x Câu (1,25 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn n   n 1 n  3 x  x  biết Cn4  Cn 3 7  n  3 Câu (1,25 điểm) Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường   tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO 30 , SAB 60 Tính diện tích xung quanh hình nón Câu (1,25 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi C ' trung điểm SC Mặt phẳng qua AC ' song song với BD , cắt SB B ' cắt SD D ' Tính thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' x2  2x  m y x m Câu (1,25 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số đồng biến 1    ;   2 khoảng  y  x3  (m  1) x  ( m  4m  3) x Câu (1,25 điểm) Cho hàm số với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 biểu thức A  x1 x2  2( x1  x2 ) đạt giá trị nhỏ Câu (1,25 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với ABCD  mặt phẳng  SA a Gọi I trung điểm SD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CI Câu (1,25 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, AA '  a A ' B ' C ' Hình chiếu đỉnh A mặt phẳng  trùng với trung điểm A ' B ' Gọi  góc hai đường thẳng A ' B AC ' Tính cos  Câu (1,25 điểm) Cho hai số thực x , y khác , biết  x 1  x y    x2 1  x  y x  y  1 x x y y Tính giá trị biểu thức P 2   x    y Câu 10 (1,25 điểm) Giải phương trình log x  log   x  log  x  1 C d : y mx  Câu 11 (1,25 điểm) Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị   , đường thẳng   K 3;10  C d điểm  Tìm tất giá trị thực tham số m cho     cắt ba điểm phân A 0;1 biệt A , B , C   trọng tâm tam giác KBC nằm đường thẳng y 2 x  y 2ln  x  1   m  1 ln   x   m x Câu 12 (1,25 điểm) Tìm tất giá trị thực m để hàm số đạt cực tiểu điểm x 1  x  y  x  y  y   x  x  Câu 13 (1,25 điểm) Giải hệ phương trình  1;2;3; ;100 Câu 14 (1,25 điểm) Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp  gồm 100 số nguyên dương Tính xác suất chọn ba số độ dài ba cạnh tam giác Câu 15 (1,25 điểm) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB  AC a, BC a Các đường thẳng BB ' , BA ' , CA ' tạo với mặt phẳng  ABC  góc 600 Điểm M nằm cạnh AA ' Mặt  ABC  phẳng   qua M song song với  cắt đoạn thẳng AB ', BC ', CA ' điểm MA a , D, E , F Biết thể tích khối tứ diện A ' DEF 18 tính tỉ số MA ' Câu 16 (1,25 điểm) Xét ba số thực dương a , b , c thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 P    b c c a a b a  b2  c  -HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MƠN : TỐN ( Hướng dẫn chấm gồm có 09 trang ) Câu (1,25 điểm) Giải phương trình cos x sin x  2cos x sin x  2cos x Nội dung Điểm cos x sin x  2cos3 x sin x  2cos x  sin x   cos x   2cos x   cos x  0 Ta có  sin x  cos x sin x 0   sin x  cos x  sin x 0 0,25  sin x 0 sin x  cos x 0 sin x 0  x k  k   0,25 0,25 sin x  cos x 0  tan x   x  0,25 0,25   k  k   Câu (1,25 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn n   n 1 n  3 x  x  biết Cn4  Cn 3 7  n  3 Nội dung Ta có  Điểm 0,25 Cnn41  Cnn3 7  n  3  Cnn31 7  n  3  n  3 ! 7 n      n  1 !2! n2 7  n 12    3 x   SHTQ khai triển  x 0,25 12 k 12 Tk 1 C x Hệ số số hạng chứa x ứng với k thỏa mãn 10 Vậy hệ số hạng chứa x C12 66  36  k  36   k  ,0 k 12  9k 9  k 10 0,25 0,25 0,25 Câu (1,25 điểm) Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường   trịn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO 30 , SAB 60 Tính diện tích xung quanh hình nón Nội dung Điểm d O, AB  OI a Gọi I trung điểm AB Ta có  r  SO OA tan SAO r tan 300  Đặt OA r Ta có 0,25 0,25  AI  OA2  OI  r  a  SI  AI tan SAB  r  a2  Ta có 2  SI OS  OI  r  a S xq  rl    r2 a r a   r  , l SA  a cos300 0,25 0,25 0,25 a a  a S O B I A Câu (1,25 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi C ' trung điểm SC Mặt phẳng qua AC ' song song với BD , cắt SB B ' cắt SD D ' Tính thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' Nội dung Điểm S C' B' I B C D' O D A Gọi O  AC  BD, I SO  AC ' Ta có I  B ' D ' B ' D '/ / BD SB ' SD ' SI    Dễ thầy I trọng tâm SAC nên SB SD SO a a3 a3 , S ABCD a  VS ABCD  SO.S ABCD   VS ABC VS ACD  12 Ta có VS AB ' C ' SB ' SC ' 1 a3     VS A ' B ' C '  V SB SC 3 36 S ABC Ta có SO  0,25 0,25 0,25 0,25 VS AC ' D ' SD ' SC ' 1 a3     VS A ' C ' D '  V SD SC 3 36 Tương tự S ACD a3 VS AB ' C 'D' VS AB ' C '  VS AC ' D '  18 Vậy Câu (1,25 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số 0,25 y x2  2x  m x m đồng biến 1    ;   2 khoảng  Tập xác định: y'  D  \  m , Nội dung Điểm x  2mx  m ( x  m)2 0,25 1    ;   2 Hàm số đồng biến khoảng   1   x  2mx  m 0, x    ;      1  m   1  y ' 0, x    ;    2  1 x2 1   x  2mx  m 0, x    ;    m   g  x  , x    ;   2 x 1 2   Ta có Từ  1  2 0,25 0,25  m  max g  x     1    ;  2  0,25 , ta có tất giá trị m cần tìm m  0,25 y  x3  (m  1) x  ( m  4m  3) x Câu (1,25 điểm) Cho hàm số với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 biểu thức A  x1 x2  2( x1  x2 ) đạt giá trị nhỏ Nội dung Tập xác đị Điểm 2 nh: D = ¡ , y ' = x + 2(m +1) x + m + 4m + 0,25 Hàm số có hai điểm cực trị  y ' 0 có hai nghiệm phân biệt   '  m  6m      m   0,25  x1  x2  m    m  4m  x x  A  m  8m   2 Ta có  nên 0,25   0,25 9  m     2 Đẳng thức xảy m     5;  1 Vậy m  giá trị cần tìm  0,25 Câu (1,25 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với ABCD  mặt phẳng  SA a Gọi I trung điểm SD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CI Nội dung Điểm S I D A O C B Gọi O  AC  BD SB / / OI  SB / /  IAC   d  SB, CI  d  SB,( IAC )  d  S ,( IAC )  Ta có 1 a VSACI  VSACD  SA.S ACD  2 12 Ta có Tính AC a 2, IA  0,25 0,25 0,25 a a , IC  2 Áp dụng công thức Hê rông S  p( p  a )( p  b)( p  c) tính 3V a a d  S ,( IAC )   S IAC  d  SB, CI   SIAC Hay Do S IAC  a2 0,25 0,25 Câu (1,25 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, AA '  a A ' B ' C ' Hình chiếu đỉnh A mặt phẳng  trùng với trung điểm A ' B ' Gọi  góc hai đường thẳng A ' B AC ' Tính cos  Nội dung Điểm Gọi M , N , K trung điểm AA ', AB, A ' C ' MK / AC '  A ' B, AC '  MN , MK   Do MN / / A ' B 0,25 A ' B ' C ' Gọi H trung điểm A ' B ' L hình chiếu B  Khi AH   A ' B ' C ' ABLH hình chữ nhật a 1 a AH  A ' A2  A ' H  , MK  AC '  AH  C ' H  2 Ta có 0,25 a 1 a , MN  A ' B  BL2  A ' L2  2 2 2 MN  MK  KN  cos   cos NMK  MN MK Ta có 3a 3a 2 3a   2   a 2a KN  B ' N  B ' K   x 1  x Câu (1,25 điểm) Cho hai số thực x , y khác , biết x x y y Tính giá trị biểu thức P 2   x    y y   Nội dung Từ đề ta có ;  x 1  x y    x2 1  x   0,25 0,25 0.25 x2 1  x  y x  y  1 Điểm 0,25 2 y x 1  x  x   x 1 2  y  y Do 0,25 y 0   y 1   y  y  0 x x Thay vào giả thiết ta  x   x   x   x x  2 x 2 x  x   x  x 0 0,25 0,25 Vậy 0,25 1   2 P 2  log x  log   x  log  x  1 Câu 10 (1,25 điểm) Giải phương trình Nội dung Điều kiện :  Điểm 0,25  x  ; x 0  log x  log   x  log  3x  1 Phương trình  log  x   x   log  x  1  x   x  3 x  0,25 0,25 Trường hợp :  x  , ta có x  x 3x   x 1 (thỏa mãn)   x0 2 , ta có x  x 3x   x  x  0 Trường hợp :  x 4  17 Kiểm tra điều kiện ta chọn x 4  17 0,25 0,25 C d : y mx  Câu 11 (1,25 điểm) Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị   , đường thẳng   K 3;10  C d điểm  Tìm tất giá trị thực tham số m cho     cắt ba điểm phân A 0;1 biệt A , B , C   trọng tâm tam giác KBC nằm đường thẳng y 2 x  Nội dung Phương trình hoành độ giao điểm C Điểm d  x 0 x  x  mx   x  x  x  m  0    x  3x  m 0 (*) d   *   cắt ba điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác  m   0  m 0 B x ; mxB  1 ; C  xC ; mxC  1 Theo Vi-ét ta có xB  xC 3  B Gọi trọng tâm tam giác KBC G  xB  xC 10  y B  yC 3m  12 xG  2 ; yG   m  3 Ta có Theo đề yG 2 xG   m  2.2   m 3 0,25 C K  d  Tuy nhiên điều kiện để ba điểm K , B, C không thẳng hang  10 3m   m 3 Vậy khơng có giá trị tham số thỏa mãn u cầu toán 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 12 (1,25 điểm) Tìm tất giá trị thực m để hàm số đạt cực tiểu điểm x 1 Nội dung Tập xác định : y 2ln  x  1   m  1 ln   x   m x m 1 D   1;2  y '  x    x  m Điểm 0,25 x 1  y '  1 0 Hàm số đạt cực tiểu điểm  m    m  m  0    m 2 0,25 1 x  1 x 1 x  Lập bảng biến thiên ta thấy x 1 điểm cực đại Với hàm số nên m  loại x  3x  m 2  y '    4 x 1  x  x  1   x  Lập bảng biến thiên ta hấy x 1 Với điểm cực tiểu hàm số Vậy m 2 nhận 0,25 0,25 m   y '  0,25  x  y  x  y  y   x  x  Câu 13 (1,25 điểm) Giải hệ phương trình  Nội dung Điểm  x  x  x  y  x  y  * Điều kiện : x 0 Phương trình f x x3  x f ' x 3x   x   Hàm số   có   nên hàm số đồng biến   *  f  x   f x  y  x  x  y  y x  x   Thay vào phương trình cịn lại ta thu : x  x   x  x  x  x   x  x  0      x  1  x  2     0,25 0,25 0,25 0,25 x  0 Từ điều kiện x 0 ta tìm nghiệm 1;0 phương trình x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm   0,25 1;2;3; ;100 Câu 14 (1,25 điểm) Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp  gồm 100 số nguyên dương Tính xác suất chọn ba số độ dài ba cạnh tam giác Nội dung Điểm n  C100 Số phần tử khơng gian mẫu   Ta tính số cách chọn ba phần tử khác tập hợp A cho ba phần tử độ dài ba cạnh tam giác Giả sử ba số cần chọn x  y  z Khi ta phải có x  z  y 0,25 Đặt k  z  y ; k 49 x   2; ;98 Với k 1, ta có Ta xét trường hợp sau: y; z  3;4  ;  4;5 ; ;  99;100  + x 2 số   có 97 y; z  4;5  ;  5;6  ; ;  99;100  + x 3 số   có 96 … y; z   99;100  + x 98 có số  thỏa mãn 97.98    97  97.49 Do số ba trường hợp x   3; ;97 Với k 2, ta có Tương tự ta xét trường hợp : y; z  4;6  ;  5;7  ; ;  98;100  + x 3 có số   có 95 … y; z   98;100  + x 97 có số  thỏa mãn 95.96    95  95.48 Như trường hợp số ba 0,25 0,25 y; z  Lập luận tương tự đến trường hợp k 49 x 50 có số  thỏa 51;100  mãn  49 n  k  2k  1 79625 0,25 k 1 Vậy số cách chọn ba số thỏa mãn yêu cầu n 79625 65 P   0,25 n    C100 132 Xác suất biến cố cần tìm Câu 15 (1,25 điểm) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB  AC a, BC a Các đường thẳng BB ' , BA ' , CA ' tạo với mặt phẳng  ABC  góc 600 Điểm M nằm cạnh AA ' Mặt  ABC  phẳng   qua M song song với  cắt đoạn thẳng AB ', BC ', CA ' điểm MA a , D, E , F Biết thể tích khối tứ diện A ' DEF 18 tính tỉ số MA ' Nội dung 10 Điểm C' A' B' F M P D A C E N H B Theo ĐL cơsin, ta có 1   cos BAC   BAC 1200  S ABC  AB AC.sin1200  a 2  BB '  A ' B  A ' C  A ' A  A ' B  A ' C  Từ giả thiết hình chiếu vng góc A ' ABC   tâm H đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BC HB  a  2sin BAC Ta có (định lý sin)  A ' H HB.tan 60 a d  A ';  MNP   Lại có 0,25   cắt cạnh BB ', CC ' N , P AM MD NE PF x    x   x  1 AA ' Đặt Theo định lý Talet MN NP PM S MDF MD MF S FPE S END  x   x   x   x  S MN MP S S MNP Ta có MNP Tương tự MNP S  DEF 1  3x   x  3 x  x   S DEF  3x  3x  1 a S MNP Giả sử 0,25 d  A ';  ABC    A' M 1  x  d  A ';  DEF     x  a A' A 0,25 a a3  a   x   x  x  1 18 Từ giả thiết ta có phương trình MA x   MA ' Giải phương trình ta tìm nghiệm  VA ' DEF   x   3x  3x  1 0,25 0,25 Câu 16 (1,25 điểm) Xét ba số thực dương a , b , c thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức a2 b2 c2 P    2 b c c a a b a  b  c 1 Nội dung Điểm 11 Ta có : a2 b2 c2 a4 b4 c4      b  c c  a a  b a  b  c b  c  a c  a  b  a 2 b c 0,25 2  a  b  c   b  c  a   c2  a  b  Mà a  b  c   b  c  a   c  a  b  ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a   a b 2  2 a b c 2    a  b   b  c   c  a  3 a  b  c  4 a  b  c    b 2c  c a 2 2 0,25 3 a  b2  c a  b2  c  P  t  t  0 a  b  c  Đặt f  t  Ta xét hàm số : f ' t    t  3t  1 0,25 t  ; t   0;   3t  Phương trình f '  t  0   3t  1 8 t t 1; t   27t  27t  55t  0 Giải hai nghiệm dương f  t   , đạt t 1 Lập bảng biến thiên tìm t 0; Vậy giá trị nhỏ biểu thức P , đạt a b c 1   21 -HẾT - 12 0,25 0,25