SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH (BẢNG B), NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: Tốn ĐỀ THI DỰ BỊ Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/12/2020 (Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang) Họ tên thí sinh: Số báo danh: y= x- x + có đồ thị ( C ) Đường thẳng D : y = x + 2m (với m tham số Câu (3,0 điểm) Cho hàm số (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác AOB 12 với O thực, m > - 1) cắt đồ thị gốc tọa độ Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số thực ( 2x + 7) ( ) 2x + - = x3 + 6x2 + 12x + ìï ïï log 2x + + x - y = ïí y +2 ïï ï 2x + y - + ( y - 1) y - 2x + = 10 b) Giải hệ phương trình sau tập số thực ïỵ ( 1Câu (2,0 điểm) Giả sử ( ) 2x) 2x2 + = a0 + a1x + a2x2 + + a20x20 + a21x21 Tính a17 2 2 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn a + b + c = 36r (với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác ABC r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ) Chứng minh tam giác ABC tam giác ìï u = ïï í n+1 ïï u = u + ( - 1) , n ẻ Ơ * A = lim un2 n+1 (u ) 2020 n Câu (3,0 điểm) Cho dãy số n thỏa mãn ïỵ Tính ( ) Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D, có ( ) AB = AD < CD, điểm B - 2; đường thẳng BD có phương trình y = Biết đường thẳng D : 4x - 2y - = cắt đoạn thẳng AD,CD hai điểm M , N cho BM vng góc với · BC tia BN phân giác góc MBC Tìm tọa độ điểm D, biết D có hồnh độ dương ( SBC ) ( ABC ) Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC , điểm S thay đổi cho hai mặt phẳng vng góc với AB = AC = SA = SB = Tính độ dài cạnh SC thể tích khối chóp S.ABC lớn Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P = x2 + y2 + z2 + ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Hết Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay; khơng sử dụng tài liệu khác - Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn thi: Tốn – Bảng B HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu Điể m Đáp án x- x + có đồ thị ( C ) Đường thẳng D : y = x + 2m (với m tham số thực, Cho hàm số m > - 1) cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác AOB 12 (C ) D : Phương trình hồnh độ giao điểm ìï x ¹ - x- = x + 2m Û ïí ïï x + 2mx + 2m + = ( 1) x +1 ïỵ 0,5 ( 1) ln có nghiệm phân biệt " m Ỵ ¡ + Phương trình -A ( x1;x1 + 2m) , B ( x2;x2 + 2m) x ,x ( 1) Theo Viet, Khi , với nghiệm phương trình 0,25 ìï x + x = - 2m ï í ( 2) ïï x1x2 = 2m + ta có ỵ y= (3,0đ ) (4,0đ ( 2) AB = ( x1 + x2 ) - 4x1x2 = 4m2 - 8m - 0,5 d ( O;AB ) = 2m Ta có 0,5 1 12 = ×d (O;AB ) AB Û 12 = ×2m × × 4m - 8m - 2 Từ giả thiết, ta có -3 ù= Û m4 - 2m3 - m2 - 18 = Û ( m - 3) é êm + m + 2m + 6û ú ë ém = 0,5 Û ê êm3 + m2 + 2m + = ( ) ê ë -f ( m) = m3 + m2 + 2m + 6,m > - Xét hàm số f ¢( m) = 3m2 + 2m + > 0, " m > - Ta có 0,5 f ( m) > f ( - 1) = > ( 3) vô Suy Do phương trình 0,25 nghiệm. -Thử lại m = thỏa mãn toán. a) ( 2x + 7) 2x + - = x3 + 6x2 + 12x + ( 1) Giải phương trình sau tập số thực ( Trang ) ) Điều kiện: x …- ( *) Ta có - ( 1) Û ( ) ( ) ( 1) Û f 2x + = f ( x + 2) ( 1¢) Xét hàm số Khi -f ¢( t ) = 3t2 + > 0, " t Ỵ ¡ y = f ( t) Ta có Suy hàm số đồng biến liên ( - ¥ ;+¥ ) tục khoảng Do ìï x …- ( 1¢) Û 2x + = x + Û ïíï x2 + 2x - = Þ x = - ( *) ) ïïỵ (thỏa mãn ( 1) x = 2- Thử lại nghiệm phương trình -ìï ïï log 2x + + x - y = (1) ïí y +2 ïï ïïỵ 2x + y - + ( y - 1) y - 2x + = 10 (2) ìï y …- ï í ïx>- Điều kiện: ïỵ f ( t ) = t + 2t,t Ỵ ¡ b) 2x + + 2x + = ( x + 2) + 2( x + 3) 0,75 0,25 0,5 0,5 0,25 ( 1) Û log2 ( 2x + 6) - log2 ( y + 2) + x - y = Û log2 ( x + 3) + x + = log2 ( y + 2) + y + 2( *) f (t) = log2 t + t Hàm số đồng biến 0,25 ( 0,+¥ ) Từ (*) ta có y = x + - 0,25 „ x„ Thay vào (2) ta được: 3x - + x - x = 10 (điều kiện ) ( Û ) ( 3x - - + ( x - 2) - x + ) 6- x - = -9( x - 2) 2( - x) Û + ( x - 2) - x + =0 3x - + 6- x + éx = ê Û ê ê + 6- x =0 ( 3) ê 6- x + ë 3x - + Trang 0,25 0,25 ìï 9 ïï 3x - + „ Þ … = ïï 3x - + í ïï „ ïï - x + …2 Þ x £ 6 x + ï Do nên ỵ 0,25 Þ + 6- x - … 3x - + 6- x + Suy phương trình (3) vơ nghiệm Vậy hệ cho có nghiệm (x;y) = (2;3) (2,0đ ) ( 1- ( ) 0,25 0,25 2x) 2x2 + = a0 + a1x + a2x2 + + a20x20 + a21x21 Ta ( 1- 5 k=0 k=0 2x) = å C 5k (- 2x)k =å C 5k(- 2)kxk 0,5 - 0,5 có - ( ) 8 k=0 k=0 2x2 + = å C 8k (2x2)8- k 3k = å C 8k 28- k3kx16- 2k 17 C 02830x16C 51(- 2)x + C 812731x14C 53(- 2)3x3 + C 822632x12C 55(- 2)5x5 Số hạng chứa x là: -Vậy a17 = C 802830C 51(- 2) + C 812731C 53(- 2)3 + C 822632C 55(- 2)5 = - 764416 ( p - a) ( p - b) ( p - c) S2 a + b + c = 36r = 36 = 36 p p Ta có 2 - 0,5 0,5 0,25 = 36 ( p - a) ( p - b) ( p - b) ( p - c) ( p - c) ( p - a) p - 0,25 Ta có ( p - a) ( p - b) „ AM - GM 2p - (a + b) = c 0,25 -Þ ( p - a) ( p - b) ( p - b) ( p - c) ( p - c) ( p - a) p „ abc 8p 0,25 Þ a2 + b2 + c2 „ Mặt khác 9abc Û a2 + b2 + c2 ( a + b + c) „ 9abc a +b +c ( ) a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca Þ ( a + b + c) ( ab + bc + ca) £ 9abc -Trang 0,25 0,25 2 Û a ( b - c) + b( c - a) + c ( a - b) £ Û a = b = c Vậy tam giác ABC 0,5 ìï u = ïï í n+1 ïï u = u + ( - 1) , n ẻ Ơ * ( 1) A = lim un2 n + n u ( ï n) 2020 nđ+Ơ Cho dóy s tha ợ Tớnh n 2020 2020 un = + ×1) , v1 = × ( 2021 2021 Đặt -n- æ ửổ ữ 2020ữ ỗ ỗ ữ ữ vn+1 = ị = ỗ ,n ẻ Ơ * ỗ ữ ữ ỗ ỗ ( 1) tr thnh 2020 è2021÷ øè2020÷ ø Khi n- é ù nú 2020 êỉ ÷ ỗ ữ un = ìờỗ + ( - 1) ỳ, n ẻ Ơ * ữ ỗ ữ 2021 ờố2020ứ ỳ ë û Suy ( ) (3,0đ ) 0,75 0,75 0,75 (2,0đ ) é ỉ ứ ỉ ộ ựn- ử2 nữ 2020 ờ2020ỗ ỳ ữ ữ ỗ ỳ + ( - 1) ữ ữ A = lim ỗ ỳ =ỗ ỗờ ữ ữ ỳ nđ+Ơ 0,75 ữ ữ 2021ỗờ 2020 ỳ ỗ ố2021ứ ữ ỗ ỷ ố ứ ỳ û Do -Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D, có AB = AD < CD, điểm ( ) đường thẳng BD có phương trình y = B - 2; 2 Biết đường thẳng 2y - = cắt đoạn thẳng AD,CD hai điểm M , N cho BM vng góc · với BC tia BN phân giác góc MBC Tìm tọa độ điểm D, biết D có hồnh độ dương D : 4x - B A M K 0,5 D N H C Gọi H hình chiếu vng góc B CD Khi ABHD hình vng D CHB = D MAB Suy Từ giả thiết, suy - D DHB Khi vng cân Trang 2 0,5 BD = 2BH = 0,5 BH = d ( B ;CN ) = d ( B;MN ) = H Do ét = BD = 25 Û ê êt = - Þ t = D t; ,t > ê D Ỵ BD ë Vì nên Khi ( ( ) 0,25 0,25 ) D 3; Vậy -( SBC ) ( ABC ) ln vng góc Cho hình chóp S.ABC , điểm S thay đổi cho hai mặt phẳng với AB = AC = SA = SB = Tính độ dài cạnh SC thể tích khối chóp S.ABC lớn Gọi H trung điểm BC Vì D ABC cân A nên AH ^ BC ìï ( SBC ) ^ ( ABC ) 0,25 ïï ï SBC I ABC = BC ị A H ^ SBC ì ớ( ) ( ) ( ) ïï ï A H ^ BC Ta có: ïỵ D A HB = D A HC = D A HS (c - g - c) Þ HB = HC = HS A Do D SBC vuông S (2,0đ ) Đặt SC = x > Ta có: BC = + x ; S A H = A B - BH = 1C H B + x2 - x2 = × 1 - x2 VS.ABC = SB.SC A H = x 6 Cauchy 1 = x - x2 „ = 12 12 8 (2,0đ ) ( x + y + z + 1) Ta có Þ x2 + y2 + z2 + ( 0,5 ) „ x2 + y2 + z2 + ( + 1+ + 1) „ 0,25 × x +y +z +1 ( x + 1+ y + 1+ z + 1) Mặt khác Þ 0,5 0,5 Vậy thể tích khối chóp S.ABC lớn 6 x = - x2 Û x = SC = × hay Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P = x2 + y2 + z2 + ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) 0,25 …27( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) 27 … × ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ( x + y + z + 3) Trang 0,25 P = x2 + y2 + z2 + 54 „ × x + y + z + x + y + z + x + y + z + ( )( )( ) ( ) - Þ P„ 54 × t ( t + 2) 0,25 Đặt t = x + y + z + > 54 f ( t) = ,t > t ( t + 2) Xét hàm số f '(t) = Suy 0,25 - 162 + Þ f '(t) = Û t - 5t + = Û t ( t + 2) Max f ( t ) = f ( 4) = (1;+¥ ) 0,25 ét = ê êt = ê ë 0,25 × 0,25 Vậy P đạt GTLN t = Û x = y = z = Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, lập luận chặt chẽ chấm điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm trịn Hết Trang 0,25