SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 (BẢNG B VÒNG 2) - Câu Với n số nguyên dương Giải phương trình: 1 + + + =0 sin2x sin4x sin2n x Li gii kp , k ẻ Â (m = 1, n) 2m Điều kiện: sin2m x ¹ 2m x kp, k ẻ Â x ¹ cot x - cot2x = cosx cos2x sin x = = sin x sin2x sin x.sin2x sin2x Do ta có cơng thức tổng qt: cot2m- 1x - cot2mx = sin2mx Phương trình cho trở thành: ( ) (cot x - cot2x) + (cot2x - cot 4x) + + cot2n- 1x - cot2xx = Û cot x - cot2xx = Û cot2px = cot x Û x = So lại điều kiện ta có nghiệm: x = Câu hp ,h Î ¢ - n hp n , h ẻ Â vi h p - , " p ẻ Â - ( n ) A, B, C ba góc tam giác Chứng minh: 1< sin A sin B sinC + + f (n), " n ẻ Â + (2) ffn [ ( )] > n + 2000,n" ẻ Â + a/Chng minh: f (n + 1) = f (n), " n ẻ Â + b/Tìm biểu thức f ( n) Lời giải Câu a Vỡ f (n) ẻ Â + nờn t gi thiết (1) ta được: f (n + 1) ³ f (n) + 1, " n ẻ Â + Kt hp giả thiết (2) ta n : n + 2001 = (n + 1) + 2000 = ffn [ ( + 1)] ³ffn[ ( )] + 1n= + 2001 đó: f (n + 1) = f (n) + 1, " n ẻ Â + Cõu b f (n) = f (1) + n - 1, " n ẻ Â + ị ff{ff(1)} = (1) + (1) - Suy ra: 1+ 2000 = 2ff(1) - Þ f (1 n) = 1001 n Þ ( )n= + 1000, " ẻ Â + Th li tha cỏc iu kiện, nên f (n) = n + 1000, " n Î ¢ + Câu 2 Cho parabol ( P ) : y = 2x đường tròn (C ) : x + y – 8x + 12 = Chứng minh có vơ số tam giác với ba đỉnh ( P ) mà cạnh tiếp xúc với ( C ) Lời giải Đường trịn ( C ) có tâm I ( 4,0) , bán kính R = Lấy A ( x1; y1) , B ( x2; y2 ) tùy ý ( y1 ¹ y2) thuộc ( P ) , phương trình đường thẳng AB là: AB : ( y - y1) ( x2 - x1) = ( y2 - y1) ( x - x1) 2 Do A, B Ỵ ( P ) nên y1 = 2x1 , y2 = 2x2 đó: AB : 2x – ( y1 + y2 ) y + y1.y2 = Tìm điều kiện tiếp xúc: AB tiếp xúc ( C ) Û | + y1y2 | + (y1 + y2) 2ù = Û (8 + y1y2)2 = é (1) ê4 + (y1 + y2) ú ë û Tượng tự, C(x3; y3) thuộc (P) y1 y3, ta có: 2ù AC tiếp xúc (C) Û (8 + y1y3) = é ê4 + (y1 + y3) û ú (2) ë Do AB AC tiếp xúc ( C ) ta (1) (2) Điều chứng tỏ y1 y3 hai nghiệm phương trình ẩn y : 2ù 2 (8 + y1y)2 = é ê4 + (y1 + y) û ú hay (y1 - 4)y + 8y1y + 48 - 4y1 = (3) ë Với y1 2, (3) phương trình bậc hai có ’ > nên (3) ln có hai nghiệm y2 y3: y2 + y3 = 8y1 - y12 y2.y3 = 48 - 4y12 y12 - 2ù Do đó, vào ta được: (8 + y2y3) = é ê4 + (y2 + y3) û ú Vậy theo điều kiện tiếp xúc ta ë BC tiếp xúc ( C ) Và từ kết chứng tỏ có vơ số tam giác thỏa đề