TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG TỔ TOÁN – TIN ĐỀ THI THỬ ĐỘI TUYỂN HSG VĂN HÓA LỚP 11 LẦN - NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN TỐN (Thời gian làm 180 phút) Câu Cho hàm số y x x 2m m Tìm m để giá trị nhỏ hàm số đạt giá trị lớn nhất? Lời giải Hàm số cho P có hệ số a nên đạt giá trị nhỏ đỉnh P Ta có ymin y 1 m 2m m 1 0 Từ suy max ymin 0 m 1 Câu Giải phương trình x 3x Lời giải x 0 x 0 Phương trình tương đương với 2 x x x x x 0 x 0 2 3 x ( x 1) x x 0 x 0 x 0 x 0 2 x 0 x x 1 0 x 1 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 0 x 1 Câu Giải phương trình (1 tan x)(1 sin x) 1 tan x Lời giải Đk: cos x 0 (1 tan x)(1 sin x) 1 tan x (cos x sin x)(cos x sin x) cos x sin x x k cos x sin x 0 (k Z ) cos x 1 x k Vậy phương trình có nghiệm x k , x k k Z xy 2 x y x y 1 1 Câu Giải hệ phương trình: x y x2 y 2 Lời giải ĐK: x y Ta có 1 x xy y xy x y xy 1 ( x y ) xy 0 x y x y x 1 y 3 xy 2 x y 1 x y 0 x y x y xy 0 x y y 0; x 1 -Từ 3 ta có y y 0 y 3; x -Vì x y nên không thỏa mãn Vậy hệ có hai nghiệm 1;0 2;3 Câu Cho a, b, c số dương thỏa mãn: ab bc ca 3 Chứng minh rằng: 1 1 2 a b c b c a c a b abc Lời giải Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức Cơsy ta có: ab bc ca 3 a 2b 2c a 2b 2c 1 abc 1 Suy ra: 1 1 a b c abc a b c a ab bc ca 3a Tương tự: 1 1 ; b c a 3b c a b 3c Cộng vế với vế BĐT ta được: 1 a b c 1 b c a 1c a b 3a 3b 3c ab bc ca 3abc abc Dấu xảy a b c 1 x ( x ) Câu Cho dãy số n xác định sau : với n xn xn1 n 1 xn n2 xn Tìm nlim Lời giải Ta có xn 1 xn 2(n 1) xn 1 2(n 1) 2(n 1) xn xn 1 xn xn 1 1 2(n 1) 2n xn1 xn xn xn 1 2(n 1) xn xn ………………… 1 2 x1 x0 1 n( n 1) 2 n 2 n n 1 Cộng vế với vế suy ra: xn x0 n2 Vậy lim n x lim n(n 1) n xn n 1 n n n n n xn n n2 Câu Một hộp chứa 11 cầu đánh số theo thứ tự từ đến 11, lấy ngẫu nhiên cầu Có cách chọn để tổng số ghi cầu số lẻ Lời giải Để tổng số thẻ lấy số lẻ thẻ lấy số thẻ mang số lẻ 1; 3; TH1: Chọn cầu lẻ cầu chẵn có: C61 C55 6 cách TH2: Chọn cầu lẻ cầu chẵn có: C63 C53 200 cách TH3: Chọn cầu lẻ cầu chẵn có: C65 C51 30 cách Theo quy tắc cộng, ta có số cách lấy thỏa mãn toán là: 200 30 236 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A , cạnh AB BC nằm hai đường thẳng có phương trình 12 x y 23 0 x y 0 , đường thẳng AC qua điểm M 3;1 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải 12 x y 23 0 x 2 B 2;1 Vì B AB AC Tọa độ điểm B nghiệm hệ x y y VTPT hai đường thẳng AB BC n1 12; 1 n2 2; ABC AB, BC o Tam giác ABC cân A ABC ACB 90 ACB AC , BC Ta có cos ABC cos n1 , n2 Đường thẳng AC qua M 3;1 nên phương trình AC a x 3 b y 1 0 với a b 0 VTPT đường thẳng AC n3 a; b 2a 5b Ta có cos ACB cos n2 , n3 29 a b a 12b 9a 100ab 96b 0 a 8 b Trường hợp a 12b (loại - AC //AB ) Trường hợp a b Phương trình đường thẳng AC x y 33 0 8 x y 33 0 78 37 C ; Vì C BC AC Tọa độ điểm C nghiệm hệ 29 29 2 x y 0 8 x y 33 0 60 53 A ; Vì A AB AC Tọa độ điểm A nghiệm hệ 29 29 12 x y 23 0 60 53 78 37 Vậy A ; , B 2;1 , C ; 29 29 29 29 Câu Cho chóp S ABC có đáy ABC vuông B SA ABC Biết AB a, AC 4a, SA 2a Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Chứng minh SC AHK Tính góc giữa đường thẳng SB mặt phẳng AHK Lời giải AK BC BC SAB AK SBC AK SC Ta có: AK SB Mà AH SC SC AHK S H 2a K A C 4a a B SB AHK K HK hình chiếu vng góc SB lên AHK Ta có: SH AHK SC AHK , AHK SB , HK SKH SB Ta có: SKH (vì SHK SCB SBC 90 ) Lại có SB 4a a a ; BC AC AB a 15 , tan SCB 30 Vậy SB, AHK SCB SB a BC a 15