ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2012 Giải phương trình sin x cos x 3sin x cos x 0 Lời giải (1) 2sin x cos x cos x 2sin x 3sin x 0 cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 1) 0 (2sin x 1)(cos x sin x 1) 0 Câu 1: 5 sin x x k 2 , x k 2 2sin x 0 cos x sin x 0 cos x x k 2 , x k 2 4 5 x k 2 , x k 2 , x k 2 , x k 2 , k 6 Vậy (1) có nghiệm: 6 x ( x x) y ( y 12) x x ( x 1) y 11x Câu 2: Giải hệ phương trình (I) Lời giải Ta thấy x 0 không thỏa mãn hệ (I) nên chia hai vế hai phương trình cho x ta hệ 1 1 1 6 x x y y 12 x x y y 0 x x x x 2 1 1 5 x x y 11 5 x x x x y 0 x x2 y2 y 0 u u 2 6u uy y 0 5 y 0 u x 2 u2 x ta có hệ 5u u y 0 +) Đặt (Vì u 0 khơng thỏa mãn) t u ta có hệ +) Đặt y 2t yt 6 2 y t 5 yt ( y t ) 6 ( y t ) yt 5 S2 P SP 6 2 S P S ( S 5) 12 +) Đặt S y t , P yt ta có hệ S P 5 S 5S 12 0 S 3 P 2 ( y; t ) (1; 2), (2;1) 1 1 17 ( x; y ) 17 ;1 y; t 1; u x x x +) Với 1 ( x; y ) ; y; t 2;1 u 1 x x 1 x +) Với 17 ( x; y ) ;1 ; Vậy hệ có nghiệm , Câu 3: n Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển (1 x x ) biết n số tự nhiên thỏa mãn 20Cn An n 12 Lời giải Ta có 20Cn An n 12 10n( n 1) n( n 1)(n 2) n 12 n 12 n 13n 11n 12 0 (n 12)(n n 1) 0 n 1 (lo¹i ) 2 12 +) Ta khai triển (1 x x ) , số hạng tổng quát k k i 0 i 0 C12k ( x 3x ) k C12k Cki ( x) k i (3x )i C12k Cki ( 2) k i 3i x k i k i 4 Số hạng chứa x ứng với k , i thỏa mãn 0 i k 12 (k ; i ) (4;0), (3;1), (2; 2) 4 2 2 Do hệ số x a4 C12C4 ( 2) C12C3 ( 2) C12C2 ( 2) 16434 Vậy a4 16434 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số mà chữ số đứng cạnh khác nhau? Lời giải Câu 4: n Số số có n chữ số khác mà chữ số đứng cạnh khác số +) Với n 1 ta có chữ số chẵn chữ số lẻ (khơng tính số ) Suy số lẻ nhiều số chẵn số 9k +) Giả sử với n k số lẻ nhiều chữ số chẵn số, suy số số lẻ , số số chẵn 9k Bây ta xét số có k chữ số mà chữ số đứng cạnh khác 9k 9k 9k 1 9k 9k 9k 1 2 2 Khi có số chẵn số lẻ Như số số chẵn lại nhiều số số lẻ số +) Giả sử với n k số chẵn nhiều chữ số lẻ số, lập luận ta suy số có k chữ số số lẻ nhiều số chẵn số Do ta có quy luật: với n số lẻ số số lẻ nhiều số số chẵn số, với với n số chẵn số chẵn nhiều số lẻ số 96 265721 Vậy số số chẵn thỏa mãn đề số Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O , cạnh a SO vng góc với mặt Câu 5: phẳng ABCD ABCD Gọi M , N trung điểm SA BC Biết góc đường thẳng MN mặt phẳng 60 Tính độ dài đoạn thẳng SO MN theo a SBD Tính cosin góc đường thẳng MN với mặt phẳng Lời giải ABCD Gọi I trung điểm OA MI // SO MI ( ABCD) Do góc MN góc MNI MNI 600 2a a 2a a 5a 2 2 2 IN IC NC IC NC cos 45 +) NI +) a 10 NI a 10 MN , cos 60 MI NI tan 60 a 30 a 30 SO 2 MI AC BD AC ( SBD) AC SO H,K Ta có Gọi MH // KN // AC MH ( SBD), KN ( SBD) trung điểm SO OB SBD SBD Do HK hình chiếu MN lên Gọi E MN HK suy góc MN góc MEH 1 a MH OA OC KN 2 , nên MHNK hình bình hành +) Do a 10 ME MN E trung điểm MN Do tam giác MHE vuông H nên cos sin sin MH a a 10 : ME 4 u1 2012 n 4n u un , n 1 n 1 2n 4n Câu 6: Cho dãy số (un ) xác định Hãy lập công thức tính un theo n tính lim un Lời giải Ta có Đặt un 1 un 1 (n 1)2 2( n 1) u un n 2 n 2n (n 1) 2(n 1) n 2n un 1 n 2n cấp số nhân có cơng bội q u 2012 v1 số hạng đầu 3 2012 4024 n 2n un n 3 2n +) Ta có 2n (1 1) n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn2 Cn3 n 2n un 8048 n( n 1)( n 2) n(n 1)(n 2) n 2n n n lim 8048 0 8048lim 2 n ( n 1)( n 2) 1 1 lim un 0 n n Câu 7: (1 x) n 3nx * x2 , nN Lời giải L lim x Tính giới hạn sau: (1 x) n (1 nx) nx 3nx L lim 2 x x x +) Xét n 2 (1 x) n (1 nx) (1 nx)3 (1 3nx) lim x (1 x) n nx x (1 nx) (1 nx) 3nx (1 3nx) x 2 C x Cn3 23 x Cnn 2n x n n x 3n x n3 x3 lim n x x (1 x) n nx x (1 nx) (1 nx) 3nx (1 3nx) C 22 n C 23 x C n n x n 3n n3 x n n lim n x (1 x) n nx (1 nx) (1 nx) 3nx (1 3nx) Cn2 22 n 3n 3n 2n 3.12 2.1 L 2 +) Khi n 1 tương tự ta 3n 2n L Vậy Câu 8: điểm Cho đồ thị I 1; C : y x 1 x Viết phương trình tiếp tuyến C cho khoảng cách từ đến lớn Lời giải y Ta có 3 2a M a; (C ), a 1 ( x 1) Gọi tiếp điểm a y có phương trình: d ( I , ) 3 2a ( x a) x (a 1) y 2a 2a 0 (a 1) a 2( a 1) 2a 2a 32 (a 1) a 32 ( a 1) a 2 (a 1) 4 Đẳng thức xảy (a 1) a 1 +) Với a 1 có phương trình 3x y 0 y x +) Với a 1 có phương trình 3x y 0 y x Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y x y x x y z xyz 2 2 0;1 (1 x )(1 y )(1 z ) Câu 9: Cho số thực x, y, z thuộc khoảng x y z x y z 2 x 1 y 1 z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức S = Lời giải , , 0, x tan ; y tan ; z tan 2 2 với Do x, y, z nên đặt 2y 2x 2z tan tan tan 2 1 y ; 1 x ; z đẳng thức giả thiết Khi 2x 2y 2z xyz 2 2 (1 x )(1 y )(1 z ) tan tan tan tan tan tan 1 x 1 y 1 z tan tan tan t an tan tan ( tan tan ) tan tan tan( ) tan( ) , , 0, nên Khi ta có: Do tan tan tan tan tan tan 1 xy yz zx 1 x Ta có x 1 x x xy yz zx x ( x y )( x z ) x ( x y )( x z ( x y)( x z ) x ( x y) ( x z) x x 2( x y )( x z ) x y x z (1) y 1 y y z 1 z z (2) (3) 2 y 1 y z y x z x z y z Tương tự: ; x y z x2 1 y 1 z 1 Cộng theo vế (1), (2) ,(3) ta Vậy max S= x y z