ĐỀ THI HSGTPDN - Toan11 - 2013 2 2 Giải phương trình (3 4sin x) sin x.cos x sin x 0 Lời giải + Ta có: (3 4sin x) (1 cos x) nên 2 PT [(1 cos x) cos x 1]sin x 0 Câu 1: (4 cos x cos 2 x cos x 1) sin x 0 (1 cos x)(1 cos 2 x) sin x 0 k x (với k nguyên) x y 8 x y y x 4 Câu 2: Giải hệ phương trình Lời giải x 2cos 2u u, v 0; 2 + Điều kiện: x; y [ 2; 2] Đặt y 2cos 2v với (1 cos 2u )(1 cos 2v) 2 + HPT cos 2u sin 2v cos 2v sin 2u 1 sin u cos v 2 sin u cos v u v sin 2( u v ) sin(u v ) sin(u v) u v sin(u v ) u v u u v u v v (thỏa) x 2 cos 0 y 2 cos 2 + Kết luận: nghiệm hệ phương trình Câu 3: Tính giới hạn sau lim x.sin x x Lời giải 1 x sin lim x 0 x lim x x x x * x, ta có: 1 lim | x sin |0 lim x sin 0 x x x * Vậy x x sin Câu 4: Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số nhân có tổng 26 Tìm số đó, biết rằng: cấp số cộng có a số hạng thứ nhất, b số hạng thứ ba c số hạng thứ chín Lời giải + Gọi u1 a, u2 b, u3 c ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q ; cộng có cơng sai d với v1 a, v3 b, v9 c Khi ta có: u1 v1 a u v b u3 v9 c u1 u2 u3 26 cấp số u1 v1 a (1) aq a 2d aq a 8d (2) 3a 10d 26 (3) Dễ thấy q 1 d , nên: 26 a b c q * * Nếu q 1 (ad 0) hệ trở thành 2d a q q 4q 0 3a 10d 26 q 3 a d 2 a 2, b 6, c 18 Câu 5: Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hồn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y sin sin x Lời giải y f ( x) sin sin x + Tập xác định hàm số D R (đối xứng qua ) x R, f ( x) f ( x) Vậy f chẵn ( f khơng lẻ khơng đồng ) + x R, f ( x 2 ) f ( x) Vậy, f tuần hoàn t sin x 0; + Tập giá trị hàm số nên f min sin t 0, max f max sin t 1 t t + Câu 6: Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy ra, có ba chữ số khác Lời giải 9 59.049 + Ta có: * Gọi A biến cố cần tìm xác suất, ta có: + Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác C9 Chọn chữ số lại từ chữ số đó, có trường hợp rời sau đây: + TH1 Cả chữ số lại chữ số a, b, c : có cách; hốn vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo số tự nhiên n ; 3! hốn vị vị trí mà a, a, a 5! 60 chiếm chỗ tạo số n , nên TH1 có thảy 3! số tự nhiên + TH2 chữ số lại chữ số a, b, c chữ số chữ số khác chữ số đó: có cách; hốn vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo số tự nhiên n ; 2! hốn vị vị trí mà a, a chiếm chỗ 2! hoán vị vị trí mà b, b 5! 3 90 chiếm chỗ tạo số n , nên TH2 có thảy 2!2! số tự nhiên 9! A (60 90)C39 150 150 7 4 3 12600 3!6! * Vậy: P A * Kết luận: Câu 7: A 12.600 1.400 0,213382106 59.049 6.561 ( 0, 21 ) 7 A , Cho tam giác ABC có 5 ; hai đường phân giác vẽ từ B C d1 : x y 0 d : x y 0 Viết phương trình cạnh BC Lời giải + Gọi A, A thứ tự điểm đối xứng A qua d1 , d ta có AA BC + Tính tọa độ A 4 A t ; 2t 5 Do AA d1 : x y 0 trung điểm I AA có tọa độ 4 A t; 5 t t 14 2t 0 t 3 t 5 A 2; 1 A 0; 1 + Tương tự ta có Vậy BC : y 0 Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SC Một mặt phẳng Chứng minh rằng: P chứa AM cắt cạnh SB, SD điểm B, D khác S SB SD 3 SB SD a) b) Lời giải S D' M I D P O A N C B' B SB SD SB SD Lấy I AM BDvà O AC BD , SAC SBD Ta có: S , O, I điểm chung mặt phẳng S , O, I thẳng hàng Và I trọng tâm mặt chéo SA SI SO SD SB x ; y P, N SO OP ON BP // B I DN // D I SD SB + Vẽ Đặt x y SB SD SP SN 2SO 2 3 x, y [1;2] (*) SB SD SI SI SI 2 1 3 xy + Suy ra: x y xy + Từ (*): x 2 x 3x 0 x(3 x) 2 xy 2 Câu 9: Giải hệ phương trình: x 91 y y y 91 x x 3 xy 1 xy xy x y (1) (2) Lời giải Điều kiện: x 2 y 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x 91 x2 y 2 x 91 y 91 y 91 y x y2 x2 y x ( y x)( y x) y 2 x xy ( x y) x y 0 x 91 y 91 x 2 y x y y (trong ngoặc dương x lớn ) 2 Vậy từ hệ ta có: x 91 x x x2 x ( x 3)( x 3) x 1 x 91 10 ( x 3) ( x 3) 1 x 91 10 Vậy nghiệm hệ x y 3 x 91 10 x x 0 x x 3