De so 56 hsg đề thi olympic 11 – bim son 2013

ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2013     2 cos  x   sin  x    (1  cot x) cos x 0 4  3  Câu 1: Giải phương trình Lời giải Điều kiện: sin x 0    2(cos x  sin x)sin  x    (1  cot x)(cos x  sin x) 0 3  PT     sin  x    (1  cot x)(cos x  sin x) 0 (1)       cos x  sin x 0  x   k (1)  sin x  cos x  cos x  sin x  cos x  cos x 0 sin x  (2  1)sin x cos x  cos x 0    cos x 0 x   k     tan x   6   1  x arctan 11  k   6   k  k  Z x   k x   k ; x arctan 11 Vậy ;  x  xy  y 0  x  xy  y  1( x  x y  2) 4 Câu 2: Giải hệ phương trình  Lời giải Điều kiện y  1; x y  2 Từ (1) ta suy x  xy  y; xy  x  y Thế vào (2) ta x( xy  y )  xy  2( x  y )  y  1x  y  x y  4  x y  x  y  y  1x  y  x y   0     x y 1   x y2  y 1   x y   0 (3)  0  x y   y  0  1 x x    (3)        1 x  (2 x  1)   1 0   x   1 0   x   y  x  x x      vào (1) ta  1 1  ( x; y )  ;  2   Thử trực tiếp vào hệ ban đầu ta thấy thỏa mãn Câu 3: n Tìm hệ số x khai triển thành đa thức P ( x) (5 x  3) , biết n số tự nhiên k n 1 20 thỏa mãn C2 n 1  2C2 n 1  3C2 n 1   kC2 n 1   (2n  1)C2n 1 21.2 n 1 n 1 n 1 2 n 1 Lời giải x   C22nn11 x n1x (1) n 1 k n 1 C  C x  C x   C Xét (1  x) Đạo hàm hai vế (1) ta có (2n  1)(1  x) n C21n 1  2C22n 1 x   kC22nn11 x k    (2n  1)C22nn11 x n (2) Chọn x 1 thay vào (2) ta có (2n  1)2 n C21n 1  2C22n 1   kC22nn11   (2n 1)C22nn11 (*)  (2n  1)22 n 21.2 20 (3) Nếu n  10 ta thấy vế trái (3)  vế phải (3) nên n  10 loại Tương tự  n  10 loại; n 10 thỏa mãn 10 10 Với n 10 , P(x) = (5x - 3) (   x) k 10  k k k P x Hệ số x khai triển thành đa thức   C10 ( 3) 7 P x Hệ số x khai triển thành đa thức   C10 ( 3)  253125000 Câu 4: Chọn ngẫu nhiên số 100 số tự nhiên từ đến 100 Tính xác suất để tổng ba số chia hết cho Lời giải Gọi A0 , A1 , A2 tập hợp số tự nhiên từ đến 100 chia hết cho , chia cho dư , chia cho dư Suy A0 , A1 , A2 có 33,34,33 phần tử  C100 Số phần tử khơng gian mẫu Ta có trường hợp sau Trường hợp 1: Ba số thuộc A0 suy có C33 cách chọn Trường hợp 2: Ba số thuộc A1 suy có C34 cách chọn Trường hợp 3: Ba số thuộc A2 suy có C33 cách chọn 1 Trường hợp 4: Một số thuộc A0 , số thuộc A1 , số thuộc A2 suy có C33 C34C33 cách chọn 1  C333  C343  C33  C33 C34 C33 Gọi A biến cố cho, A  817 P( A)  A   2450 Xác suất biến cố cho Câu 5:  P Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O , M điểm di động SC P mặt phẳng qua AM song song với BD Tìm giao điểm H K   với SB SD SB SD SC   Chứng minh SH SK SM số Lời giải Gọi J trung điểm MC ; I HK  AM Ta có HK // BD, OJ // AM SB SD SC SO SC SI  IO SM  MC IO MJ IO IO   2  2  2   1 1  2 1 SH SK SM SI SM SI SM SI SM SI SI Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác vng B, AB a, AC 2a, góc BCC B đường thẳng AB mặt phẳng  30 Gọi M , N trung điểm BC BB AMN  Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng  Lời giải BC  AC  AB a Ta có AB  BC , AB  BB  AB  ( BCC B ) BCC’B’  Nên góc AB  góc ABB  AB ' B 300  BB  AB cot 30 a Gọi I  AN  AB, O  AB  AB BI  BO  AB  AI 2 BI 3 Khi I trọng tâm tam giác ABB nên Do I  AB  ( AMN ) nên d ( A, ( AMN )) 2d ( B,( AMN )) 2h Do BAMN tứ diện vuông B nên 4 11 a 33 1 1      h  2  2 h AB BM BN a 3a 3a 3a 11 Vậy d ( A, ( AMN ))  33a 11 Cho ba cạnh a, b, c tam giác ABC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh Câu 7:  C A d  r  tan  tan   2  , r bán kính đường trịn nội tiếp tam cơng sai cấp số giác ABC Lời giải A C B A C  cos sin  tan tan  2 2 Ta có a  c 2b nên sin A  sin C 2sin B Mặt khác r ( p  a ) tan A C ( p  c) tan 2  C A  3r  r r  c a r  tan  tan      r  2   p  c p  a  ( p  c)( p  a ) d A C 3r 3 tan tan d ( p  c)( p  a ) 2  Vậy ta có điều phải chứng minh   2ax   3ax  f ( x )  x2  2a   Cho hàm số Câu 8: nÕu x 0 nÕu x 0 f x Tìm a  để   liên tục x 0 Lời giải    2ax   3ax lim   2ax  (ax  1)  ax    3ax  2 lim f ( x) lim x x x x   x2 Ta có x      2ax  (ax  1)  (ax  1)  (1  3ax) lim    x  2ax  ax  x  (ax  1)  (ax  1)  3ax   3ax   x          a2 a x  3a  lim  x    2ax  ax  (ax  1)  ( ax  1)  3ax   lim f ( x)  f (0)  Hàm số liên tục x 0 x   a 2  10 Do a  nên a 2  10 Câu 9:     a 2  3ax    a2 2 a   a  4a  0 Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn biểu thức T 4 cos A  5cos B  5cos C Lời giải A B C B C  A A B C T    sin  10 cos cos 4 – 8sin  10sin cos 2   2 2 A A B C  A B C   25 B C 25 B C 4 –  sin  sin cos cos  cos  4   sin  cos   2      25 4  A B C  sin 8 cos  B C    A B  C cos 1 sin 8     Dấu “=” xảy Vậy TMax   Câu 10: 25 57  8  B C   A sin 8  Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ ( a  b  c)3 (b  c  a) (c  a  b) Q   2c 2a 2b biểu thức Lời giải Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên a  b – c  , b  c – a  , c  a – b  Áp dụng BĐT Côsi cho số ta có ( a  b  c )3 c ( a  b  c )3 c   3  ( a  b  c) 2c 2 2c 2 Tương tự ta có: (b  c  a)3 a (c  a  b ) b    (b  c  a );    ( c  a  b) 2a 2 2b 2 a b c 3 Q   (a  b  c) 2 Cộng ba bất đẳng thức ta 3 3 Q     Q  2 2 Do a  b  c 3 nên Đẳng thức xảy a b c 1 Q Vậy nhỏ a b c 1