ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2015 Câu 1: Giải phương trình sin x cos x sin x cos x 2 Lời giải sin x cos x sin x cos x 2 ( sin x cos x sin x cos x ) 4 2(sin x cos x) cos x sin x 4 cos x 1 sin x 0 x k Vậy phương trình có nghiệm x k k Z x y 3x y xy y 8 y x y y 3 y2 Câu 2: Giải hệ phương trình Lời giải Nhận thấy y 0 khơng thỏa mãn hệ phương trình x3 3x x Xét y 0 , chia hai vế (1) cho y ta y3 y 2 2 ( x 1) 3( x 1) y y (3) 3 2 ( x 1)3 x 1 y y (3) có VT > VP nên (3) vô nghiệm +) Nếu 2 ( x 1)3 x 1 y y (3) có VT < VP nên (3) vô nghiệm +) Nếu 2 x 1 (3) x y x, y thỏa mãn (3), y +) Nếu x3 3 y y Chia hai vế (2) cho y ta x Thế y vào phương trình ta x 2( x 1) 3( x 1) x x 3( x 1) 3( x 1) (4) 3 Lập luận tương tự ta suy x 3( x 1) x x 3 (5) x x3 3x x x 3 x 2 (5) khơng có nghiệm x ( 2; 2) nên ta đặt +) Nếu x t 1 t 3 t (5) trở thành: t 3 (t ) 3t 0 t1 3 ; t2 Do: t1.t2 1 , nên (5) có nghiệm 3 x 3 3 3 3 a 2 3 3 ( x; y ) a; a 3 2 a với Từ ta suy hệ có nghiệm n Câu 3: 1 n x a0 a1 x a2 x an x ( n N ) Cho khai triển , biết 12a0 17 a1 a2 Tìm số lớn số a0 , a1 , a2 , an k n Lời giải , theo giả thiết 12C 17Cn1 2 n.3 Cn2 24 n3 2k n k n n Ta có ak C 12 68n 8n(n 1) n n 2n 53n 27 0 n 27, n n 3.2 9.2 (loại) +) Xét tỉ số a C k 1 22 k 2 n3 k 27! (27 k )!.k ! 4(27 k ) T k 1 27 k k n k ak C27 (k 1)!(26 k )! 27! 3( k 1) 4(27 k ) T 1 108 4k 3k k 15 k 14 3(k 1) Tương tự: T 1 k 15; T k 16 Từ suy a0 a1 a2 a15 a16 a17 a27 15 15 Do hệ số lớn a15 a16 C27 Câu 4: Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập số có chữ số đơi khác Tính tổng tất số Lời giải Gọi n a1a2 a3 a4 a5 số cần tìm +) Có cách chọn a1 , ứng với cách chọn ta có A5 cách chọn chữ số cịn lại Do có A54 600 số thỏa mãn đề +) Ta có n 10 a1 10 a2 10 a3 10.a4 a5 Do tổng 600 số S 104.S1 103.S 102.S3 10.S S5 S1 , S , S3 , S , S5 tổng tất chữ số vị trí a1 , a2 , a3 , a4 , a5 +) Có 600 chữ số xuất vị trí a1 chia cho chữ số 1, 2,3, 4,5 nên số lần xuất chữ 600 120 số lần Do S1 120(1 5) 1800 Trong 600 số có 4.4! 96 số khơng có chữ số , suy có 600 – 96 504 số có mặt chữ số Do 504 120 96 a , a , a , a số lần xuất chữ số vị trí Tương tự số lần xuất chữ số 2, 3, 4,5 vị trí a2 , a3 , a4 , a5 96 Do S S3 S4 S5 96(1 5) 1440 Vậy S 10 1800 1440(10 10 10 1) 19.599.840 Câu 5: phẳng Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA a , SA vng góc với mặt ABCD SCD a) Tính góc đường thẳng SB với mặt phẳng b) Gọi M điểm khơng gian, tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2 MB MC MD MS Lời giải S H A B E F I O D C a) Gọi O tâm hình vng, E trung điểm SD suy OE // SB CD SAD Ta có CD AD , CD SA suy Kẻ AH SD , H SD AH CD Gọi F trung điểm HC suy OF // AH OF ( SCD) nên EF hình chiếu vng góc OE lên mp SCD AH ( SCD) SCD Gọi góc SB , (OE , EF ) OEF a SB SA2 AB a OE SB 2 Ta có 1 a 42 a 42 2 AH OF AH 2 AH SA AD 6a 14 sin OF 6 arcsin OE 7 2 2 2 I ta ln có MA MB MC MD MS b) Với điểm ( MI IA) ( MI IB ) ( MI IC ) ( MI ID )2 ( MI IS ) 5MI IA2 IB IC ID IS 2MI ( IA IB IC ID IS ) Chọn I thỏa mãn IA IB IC ID IS 0 IO IS 0 IS IO Suy I điểm thuộc đoạn SO cho IS 4 IO 2 2 2 2 2 Khi 5MI IA IB IC ID IS IA IB IC ID IS Suy nhỏ M I 13a SO SA2 OA2 Ta có IA2 IB IC ID IS 2 IO Suy 4 IO AC BD AC 16 IO SO 2 25 16 16 36a SO SO AC SO SO AC 25 25 25 5 36a Vậy nhỏ M I Câu 6: Tính giới hạn lim x x cos x x2 Lời giải lim x x 1 cos x x cos x lim 2 x x2 x x x x 2sin sin 2x2 1 lim 1 lim 2 x x x 2 x2 1 x x ( x 1) Câu 7: Cho đồ thị C : y 2x x Tìm tọa độ điểm M thuộc C cho tiếp tuyến C M cắt trục Ox, Oy hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OB 3OA Lời giải 2a M a; , a C M ( C ) a d M Gọi tiếp tuyến , nên 3 k y(a ) ( x 1) (a 1) d có hệ số góc Ta có 2a 3x 2a a y ( x a) y (a 1) a 1 (a 1) (a 1) d có phương trình y 2a 2a A ;0 A d Ox Do nên 2a 2a B 0; (a 1) Do B d Oy nên OB 3OA 2a 2a 2a 2a ( a 1) Theo ta có 2a 2a 0 (lo¹i A B O) a 0 (a 1) 1 a Vậy có hai điểm cần tìm M (0; 1) M ( 2;5) Câu 8: M (0; 1) M ( 2;5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn có bán kính R 2 Tìm giá trị lớn chu vi tam giác Lời giải Chu vi tam giác P a b c 2 R (sin A sin B sin C ) A B A B C 60 C 60 8sin cos 8sin cos 2 4(sin A sin B) 4(sin C sin 60 ) 2 2 AB C 60 8sin 8sin 2 2 A B C 60 A B C 60 cos 16sin 60 6 4 A B C 60 A B C 60 cos cos cos 1 A B C 60 2 Dấu “ = ”xảy 16sin Vậy chu vi tam giác lớn ABC tam giác Câu 9: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh với số ngun dương n ta ln có a n b n c n a n 1 bn 1 c n 1 b n c n a n b n 1 c n 1 a n 1 Lời giải a b c a2 b2 c2 2 2 a Khi n 1 (*) trở thành b c a b c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: 2 a2 b2 c2 b c a2 b2 c 2 a b c a b2 c2 a2 c a b2 c a b c a b 2 2 a b c a b c a b c a b c a b c 3 3 b c a b c a b c a b c a b c a Do nên a b c a b2 c b c a b2 c2 a Đẳng thức xảy a b c Do (*) n 1 a k b k c k a k 1 b k 1 c k 1 k k k 1 k 1 k 1 k c a b c a - Giả sử (*) đến n k , k 1 , tức b - Ta chúng minh (*) với n k Thật Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có: a k 1 b k 1 c k 1 a k 2 a k b k 2 b k c k 2 c k k 1 k 1 k 1 k 2 k k 2 k k 2 k c a b b c c a a b a k 2 b k c k a k b k c k k 2 k 2 k 2 k k k c a b c a b a k 2 b k 2 c k 2 a k 1 b k 1 c k 1 k 2 k 2 k 2 k 1 k 1 k 1 c a b c a b a k 1 b k 1 c k 1 a k 2 b k 2 c k 2 b k 1 c k 1 a k 1 b k 2 c k 2 a k 2 Dấu xảy a b c Do (*) với n k Vậy (*) với số nguyên dương n