ĐỀ HSG LỚP 11 – THPT QUẢNG XƯƠNG - NĂM 2018-2019 Tìm m để Parabol (P): y = x - x +1 đường thẳng (d): y = mx cắt hai điểm A, B phân Câu 1: biệt cho trung điểm AB thuộc đường thẳng ( D ) : x - y + = 2 Giải phương trình: x +3 x + = x( x + 4) Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) (1) có nghiệm phân biệt x - ( m +1) x +1 = Û D = m + 2m - > m ẻ ( - Ơ ; - 3) È ( 1; +¥ ) ( *) ỉm +1 m ( m +1) ữ ữ Iỗ ; ỗ ữ ữ ỗ x A , xB l nghim ca (1) thỡ trung im ca AB l ỗ ố ø ém = I Ỵ ( D ) Û - m2 + m + = Û ê ê ëm =- Đối chiếu với (*) m = ĐK: x³ Vì x = khơng phải nghiệm phương trình nên: (1) Û x2 +4 x2 + +3 = Û x x x2 +4 x2 +4 =1Ú =3 x x TH1: x2 +4 =1 Û x - x + = (VN ) x TH2: x2 + ± 65 =3 Û x - x + = Û x = x (thỏa mãn) ổ 3x pử 2sin ỗ - ữ ữ ỗ ữ+ cos x ỗ ố2 4ứ =1 1- 2sin x Giải phương trình Câu 2: ìï + x y + x + y = ïï í ïï x y +1 + y x +1 = Giải hệ phương trình ïỵ Lời giải Đk: x¹ ( 1) p 5p + k 2p; x ¹ + k 2p 6 ỉ 3x p 2sin ỗ - ữ ữ ỗ ữ+ cos x = 1- 2sin x ỗ ố 4ứ Phng trinh ổ 3x pử (2sin ỗ - ữ ữ ỗ ữ- 1) + cos x =- 2sin x ỗ ố2 4ứ p - cos(3 x - ) + cos x =- 2sin x Û sin x - cos x = 2sin x é p êx = + k p p ê Û sin(3 x - ) = sin x Û ê ê p kp êx = + ê ë So sánh với điều kiện ta nghiệm là: x= 7p p p + k 2p; x = + k p; x =- + k 2p 6 Điều kiện: x ³ Gọi hai phương trình (1) (2) 2 (2) Û x y +1 =- y x +1 (3) Þ x (4 y +1) = y ( x +1) Û x = ±2 y Với x = y thay vào (3) ta có: x = y = (khơng thỏa mãn (1)) Với x =- y thay vào (3) ta thấy thỏa mãn, thay vào (1) ta có ( - x3 = - x ) (4) Để (4) có nghiệm £ x £ Khi (4) Û ìï - x3 = a ï ( a ³ 0; b ³ 0) í ïï x = b ïỵ ta có hệ : - x3 + x = Đặt: ìï a + b = ïí ïïỵ a + b = Ta lại có Do : 8( a + b6 ) ³ 4( a3 + b 8( a + b6 ) ³ 16 Vậy hệ có nghiệm Câu 3: ) ỉa + b ÷ a +b ³ 2ỗ ữ ỗ ữ= ỗ ố ứ v 3 hay a + b ³ Dấu "=" xảy a = b = Þ x = 1; y =- æ 1ử ( x; y ) = ỗỗỗ1; - ữ ữ ÷ è 2ø Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ chữ số 0,1, 2, 3, 4,5, Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm cos x - ( 2m - 1) cos x - m +1 = Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm é 3p ù x Ỵ ê0; ú ë û Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abc ( a ¹ 0, a ¹ b ¹ c, a, b, c Ỵ { 0,1, 2,3, 4,5, 6} ) Số cách chọn chữ số a có cách (vì a ¹ ) Số cách chọn chữ số b có cách (vì b ¹ a ) Số cách chọn chữ số c có cách (vì c ¹ a, c ¹ b ) W= 180 Vậy S có 6.6.5 = 180 (số) Số phần tử không gian mẩu Gọi A biến cố “số chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đơi chữ số hàng trăm” Khi ta có số thỏa mãn biến cố A là: 1b2, 2b4, 3b6 b có cách chọn nên có 3.5 = 15 (số) Các kết có lợi W = 15 cho biến cố A A P ( A) = Vậy Ta có WA 15 = = W 180 12 cos x 2m 1 cos x m 0 cos x 2m 1 cos x m 0 cos x 2cos x 1 cos x m 0 cos x m Phương trình cos x xỴ có hai nghiệm thuộc é 3p ù 2p 4p ; ê0; ú ë ûlà 3 x 0; Để phương trình cho có ỳng nghim nghim trờn m ẻ (- Ơ ;1) È (1; +¥ ), m =- 1/ Câu 4: 3 cos x m vơ nghiệm có Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang với AD P BC M điểm di động tứ ( SBC ) ( SAD) lần giác ABCD Qua M vẽ đường thẳng song song với SA, SB cắt mặt lượt N , P Gọi E = AM Ç BC , F = BM Ç AD a) Chứng minh điểm S, N, E S, P, F thẳng hàng b) Tìm tập hợp điểm M cho MN MP lớn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng AB : x - y + = đường thẳng AC : y - = Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Tìm tọa độ đỉnh hình thang cân ABCD, biết IB = IA , hoành độ điểm I: xI >- M ( - 1;3) nằm đường thẳng BD Lời giải a) Gọi E = AM Ç BC , F = BM Ç AD Từ M kẻ đường thẳng song song với SA, SB cắt SE , SF N , P Thì N , P điểm cần dựng suy điều phải chứng minh S MN EM MP FM AM = = = EA , SB FB AE nên b) Ta có SA P MN MP EM AM + = + =1 SA SB EA EA N Theo BĐT CauChy ta có A MN MP SA SB SA.SB ỉ MN MP SA.SB SA.SB ữ ỗ Ê + = ữ max ( MN MP ) = ỗ ữ ỗ è SA SB ø Vậy D F MN MP = SA.SB M B C E MN MP = = SA SB hay M trung điểm AE BF , tập hợp điểm M đường trung bình hình thang ABCD Ta có A giao điểm AB AC nên Lấy điểm E ( 0; 2) Î AC Gọi A( 1; 2) F ( 2a - 3; a ) Ỵ AB cho EF // BD EF AE EF BI = Û = = Û EF = AE BI AI AE AI Khi éa = ê Û ( 2a - 3) +( a - 2) = Û ê 11 êa = ê ë Với a = uur EF = ( - 1; - 1) vtcp đường thẳng BD Nên chọn vtpt BD BD : x - y + = ị BD ầ AC = I ( - 2; 2) uu r IB uur IB uur IB =ID =ID =ID IA Ta có r n = ( 1; - 1) Pt BD Ç AB = B ( - 5; - 1) uur ỉ3 ID ị D ỗ - 2; + 2ữ ữ ỗ ữ ç è ø uu r IA uur IA uur uur IA =IC =IC =IC Þ C - - 2; IC IB ( Với a= ) uur ỉ 1ư 11 r EF = ỗ ; ữ ữ ỗ ữ ỗ n = ( 1; - 7) è ø 5 vtcp đường thẳng BD Nên chọn vtpt BD Do đó, BD : x - y + 22 = Þ I ( - 8; 2) (loại) A D E F M I B C Câu 5: Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= ( x + y + z )( xy + yz + zx) yz + xyz ( y + z )2 Lời giải P = 1+ ³ 1+ ( y + z ) 2( y + z ) yz y +z yz + + =1+ + yz ( y + z) ( y + z)2 yz yz t= Đặt Ta có ( y + z ) x( y + z ) ( y + z ) yz + + + yz yz x ( y + z )2 y+z ³ P ³ 1+t + yz t Ta có f (t ) = + t + t t t t = 1+ + + ³ 1+ 3 = t 2 t 2 t t = Û t =2 Dấu xảy t x=y=z