Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội Nguyễn Thị Thảo Kì dị vô hạn ánh xạ đa thức thực bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mà số: 62.46.10.01 dự thảo luận án tiến sĩ toán học Ng-ời h-ớng dÉn khoa häc: PGS TSKH Hµ Huy Vui GS TSKH Pierrette Cassou - Nogs Hµ Néi - 2011 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Lêi cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, d-ới đồng h-ớng dẫn khoa häc cđa PGS TSKH Hµ Huy Vui vµ GS TSKH Pierrette Cassou - Noguès Các kết đ-ợc phát biểu luận án mới, trung thực ch-a đ-ợc công bố công trình tác giả khác Các kết viết chung với tác giả khác đà đ-ợc đồng ý tác giả đ-a vào luận án Tác giả Nguyễn Thị Thảo Lời cảm ơn Luận án đ-ợc hoàn thµnh d-íi sù h-íng dÉn khoa häc cđa PGS TSKH Hà Huy Vui Thầy ng-ời tận tâm, tận tình, dành nhiều công sức dẫn dắt tác giả thực b-ớc vào nghiên cứu khoa học, động viên, khích lệ tác giả v-ợt lên khó khăn học tập sống Tác giả xin đ-ợc bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ng-ời thầy thứ hai GS TSKH Pierrette Cassou - Nogs v× sù tËn t×nh cảm thông khó khăn tác giả Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án, tác giả nhận đ-ợc quan tâm, động viên, giúp đỡ thầy cô bạn đồng nghiệp môn Hình học, thầy cô bạn đồng nghiệp Khoa Toán - Tin, Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội, thành viên Phòng Hình học - Tôpô, Viện Toán học Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tr-ớc quan tâm Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội, Phòng Khoa học Công nghệ, Phòng Sau đại học Tr-ờng đà tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập, công tác hoàn thành luận án Cuối cùng, luận án hoàn thành thiếu cảm thông, giúp đỡ ng-ời thân gia đình Tác giả xin đ-ợc gửi tới toàn thể ng-ời thân gia đình lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số quy -ớc kí hiệu Mở đầu I Lý chọn đề tài II Đối t-ợng, phạm vi, mục đích nghiên cứu III Ph-ơng pháp nghiên cứu IV Những đóng góp luËn ¸n V ý nghÜa khoa học thực tiễn luận án 11 11 12 VI Bè cơc cđa ln ¸n 13 Ch-¬ng Tính riêng ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn 1.1 Hàm đa thức riêng Rn 1.2 Vi ph«i đa thức toàn cục Rn 15 16 22 Ch-ơng Các giá trị tới hạn kì dị vô hạn hàm đa thức hàm hữu tỉ mặt đại số Rn 2.1 2.2 Bài toán đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn Các giá trị tới hạn kì dị vô hạn hàm đa thức hàm hữu tỉ mặt đại số Rn 2.2.1 Ph¸t biểu kết 30 30 36 37 2.2.2 Chøng minh Định lí 2.2.12 2.2.3 Chứng minh Định lí 2.2.13 45 50 2.2.4 Chó ý 2.2.5 VÝ dô 52 54 Ch-ơng Nguyên lí biến phân Ekeland, bất đẳng thức Lojasiewicz, t-ợng kì dị vô hạn hàm đa thức 57 3.1 60 60 62 69 3.2 3.3 Nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm đa thức 3.1.1 §-êng cong tiÕp xóc 3.1.2 Nguyên lí Ekeland cho hàm ®a thøc trªn Rn 3.1.3 Nguyªn lÝ Ekeland cho hàm đa thức R2 Bất đẳng thức Lojasiewicz hàm đa thức miền không compact 3.2.1 Hình học nửa đại số 3.2.2 Các điều kiện tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ bất đẳng thức Lojasiewicz toµn cơc 3.2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng cạnh thớ bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng toàn cục Mèi quan hƯ gi÷a sù tån bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ với t-ợng kì dị vô hạn 3.3.1 Phát biểu kết 3.3.2 Chứng minh kết 3.3.3 Câu hỏi 73 73 77 85 92 92 93 107 Kết luận 108 Các công trình liên quan đến luận án 110 Tài liệu tham khảo 111 Một số quy -ớc kí hiệu Trong toàn luận án, ta thèng nhÊt mét sè kÝ hiÖu nh- sau (1) N: tập số tự nhiên (2) R: tập số thực (3) R : tập thực khác không (4) C: tập số phức (5) max: giá trị lớn (6) min: giá trị nhỏ (7) inf : cận d-ới (8) sup: cận (9) lim: giíi h¹n (10) deg: bËc (11) dim: chiỊu (12) rank: hạng (13) det: định thức (14) grad: gradient (15) ]: lực l-ợng tập hợp (16) : đặc tr-ng Euler-Poincaré (17) |.|: giá trị tuyệt đối số thực (18) h, i: tích vô h-ớng thông th-ờng Rn (19) k.k: chuẩn Euclid thông th-ờng Rn (20) d(, ): khoảng cách Euclid thông th-ờng Rn (21) : bao đóng tập hợp với t«p« th«ng th-êng Rn (22) Bnr = {(x1 , , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n ≤ r } = {(x1, , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n = r } (23) Sn−1 r (24) Sn−1 = {(x1, , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n = 1} Më đầu I Lý chọn đề tài Các tập đại số đối t-ợng nghiên cứu Toán học Lớp tập đại số đ-ợc nghiên cứu nhiều tập phức tập thực Chúng đ-ợc chia thành bốn loại: ã Các tập đại số xạ ảnh phức; ã Các tập đại số xạ ảnh thực; ã Các tập đại số affine phức; ã Các tập đại số affine thực Các kÕt qu¶ mang tÝnh nỊn t¶ng cđa Lefschetz S., Zariski O., Milnor J., nhiều ng-ời khác đà đem đến hiểu biết sâu sắc tính chất tôpô, cấu trúc đại số, tập đại số xạ ảnh phức ([46], [43], [13], [9], ) So với tập đại số xạ ảnh phức, tập đại số xạ ảnh thực đối t-ợng khó nghiên cứu Chỉ khoảng 50 năm trở lại đây, với công trình Petrowsky, Arnold, Rokhlin, xếp oval đ-ờng cong phẳng xạ ảnh thực không kì dị, việc nghiên cứu tập xạ ảnh thực bắt đầu hòa vào dòng phát triển chung trở thành lĩnh vực sôi động với nhiều kết đặc sắc ([15], [33], [16], ) Các tập đại số affine, phức lẫn thực, đối t-ợng đặc biệt khó nghiên cứu Ng-ời ta hiểu tập affine phức, tập thu hút đ-ợc ý nhiều chuyên gia Hình học đại số Hình học tôpô nh- Dimca [10], Fary [44], Némethi [50], Malgrange [49], Phạm F [51], Lê Dũng Tráng [54], Những hiểu biết tập đại số affine thực lại đây, nhiều toán tự nhiên, với đ-ờng cong affine thực, ch-a có câu trả lời Trong luận án, muốn tìm hiểu tính chất tôpô số lớp tập đại số affine thực II Đối t-ợng, phạm vi, mục đích nghiên cứu Mỗi tập đại số affine thực (t-ơng ứng, phức) V tập không điểm hệ ph-ơng trình đa thức, tức có dạng V = f (0), f ánh xạ đa thức từ Rn ®Õn Rk (t-¬ng øng, tõ Cn ®Õn Ck ) Tõ kết tổng quát Thom R [53], ánh xạ đa thức f từ tập đại số không kì dị V1 sang tập đại số không kì dị V2 xác định phân thớ tầm th-ờng địa ph-ơng lớp C tập đại số B(f ) V2 Đó phân thớ Milnor toàn cục Tập B(f ) đ-ợc gọi tập giá trị rẽ nhánh f Có thể thấy tập B(f ) chứa tập giá trị tới hạn (f ) f Nếu V1 không compact, xuất t-ợng mới, mà ta không gặp nghiên cứu tr-ờng hợp xạ ảnh, t-ợng kì dị vô hạn Nói chung, B(f ) 6= (f ), điểm thuộc B (f ) := B(f )\(f ) đ-ợc gọi giá trị tới hạn kì dị vô hạn Nói cách vắn tắt, có hai nguyên nhân để f không xác định phân thớ tầm th-ờng quanh thớ f (t), t B(f ): ã Hoặc phân thớ không tầm th-ờng lân cận điểm kì dị, tức t (f ); ã Hoặc phân thớ không tầm th-ờng lân cận điểm vô hạn, tức với lân cận D t, r > 0, ánh xạ f : f (D)\Bnr D phân thớ tầm th-ờng Tổng kết lại, để hiểu tôpô tập đại số affine f (t), ta cần hiểu phân thớ Milnor toàn cục f : V1 \f (B(f )) → V2 \B(f ) 10 §Ĩ hiĨu phân thớ Milnor toàn cục, ta phải hiểu tập B(f ) Đến đây, xuất toán tự nhiên quan trọng: Đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn f , tức giá trị t V2 cho tr-íc thc vµo tËp B∞ (f ) = B(f )\Σ(f )? Bài toán đối t-ợng khảo sát luận án Mặc dù toán đặc tr-ng giá trị tới hạn kì dị vô hạn đ-ợc nghiên cứu tích cực 20-30 năm nay, toán mở Ng-ời ta biết câu trả lời cho số tr-ờng hợp riêng: ã f : C2 C (Suzuki [52], Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng [58], Hà Huy Vui - Nguyễn Lê Anh [57], Hà Huy Vui [56]) ã f : R2 → R (Coste - de la Puente [8]) ã f : V R hạn chế hàm đa thức mặt đại số trơn không compact V Rn (Tibar - Zaharia [31]) ã f : Cn → C, víi ®iỊu kiƯn f chØ có kì dị cô lập vô hạn (Parusinski [23]) • f : V → C, ®ã V ⊂ Cn mặt đại số không kì dị f ánh xạ thỏa mÃn điều kiện tồn "phép chiếu tốt" (Hà Huy Vui - Nguyễn Tất Thắng [39]) • f : Cn → Cn−1 , víi ®iỊu kiƯn tồn "phép chiếu tốt" f (Hà Huy Vui - Nguyễn Tất Thắng [40]) Mục đích nghiên cứu luận án đặc tr-ng tập giá trị tới hạn kì dị vô hạn, tìm hiểu sâu cho tình hình học sau Các ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn : Chúng tìm điều kiện để tập giá trị tới hạn kì dị vô hạn ánh xạ đa thức F : Rn → Rn lµ tËp trèng (cịng cã nghÜa lµ, F ánh xạ riêng) Chú ý rằng, vấn đề liên quan đến toán Jacobi tiếng Hạn chế hàm hữu tỉ thực lên mặt đại số không kì dị Rn : Chúng ®-a mét bÊt biÕn cho phÐp ®Ỉc tr-ng trän vẹn 86 Không tính tổng quát, giả sử degf = degx1 f = m > Đặt ∂ if Vi = {x ∈ R : i (x) = 0}, i = 1, , m − 1, ∂x1 V˜ = V ∪ V1 ∪ · · · ∪ Vm−1 n Bỉ ®Ị 3.2.28 Cho f : Rn R đa thức Giả sö r»ng degf = degx1 f = m > Cho xk lµ mét d·y Rn cho f (xk ) → Khi ®ã, d(xk , V˜ ) Chứng minh Giả sử ng-ợc lại tồn t¹i d·y bk cđa xk cho d(bk , V˜ ) > σ víi σ > Kh«ng mÊt tính tổng quát, ta giả sử bk = xk f (xk ) > với k Đặt M := {x Rn : f (x) 0} Khi đó, M không gian mêtric đầy đủ với tôpô cảm sinh từ tôpô thông th-êng cđa Rn Râ rµng, {xk } ⊂ M inf f = Đặt M k := f (xk ) > Theo HƯ qu¶ 3.2.27 (víi λk = √ ), tån t¹i d·y {y k } ⊂ M cho k k k (i) f (y ) ≤ f (x ), √ (ii) d(xk , y k ) ≤ k , √ (iii) f (x) ≥ f (y k ) − k d(x, y k ) víi mäi x ∈ M σ Tõ (ii), ta cã d(xk , y k ) → V× d(xk , V˜ ) > σ , nªn d(y k , V˜ ) > σ1 := ; k k n vµ vËy d(y , V ) > σ1 víi k ®đ lín Suy B(y , σ1 ) := {x ∈ R : kx − y k k ≤ } M\V với k đủ lớn Bây giờ, tõ (iii) ta cã √ f (x) ≥ f (y k ) − k d(x, y k ) víi mäi x B(y k , ) Với u Rn , kuk = 1, t (0, σ1 ), ta cã x = y k + tu ∈ B(y k , σ1 ) Do ®ã √ √ [f (y k + tu) − f (y k )] ≥ − k kuk = − k t V× vËy √ hf (y k ), ui ≥ − k 87 f (y k ) Đặt u = k , ta suy −kf (y k )k ≥ − k VËy kf (y k )k ≤ k , kf (y )k k kf (y )k Hệ f k (y ) → ∂x1 vµ d(y k , V˜ ) > Bởi lặp lại trình trên, sau hữu h¹n b-íc, ta suy r»ng tån t¹i d·y z k cho ∂ m−1 f k (z ) → ∂xm−1 vµ d(z k , V˜ ) > m1 = 2m1 > Ta lặp lại trình lần nữa, nhận đ-ợc dÃy w k tháa m·n ∂ mf k (w ) → xm mf Mặt khác, degf = degx1 f = m > 0, nên = c, c 6= lµ ∂xm ∂mf k k ˜ h»ng sè Do vËy m (w ) 6→ M©u thuÉn nµy chØ r»ng d(x , V ) → 0, x1 Mệnh đề đ-ợc chứng minh Định lí d-ới cho ta dạng suy rộng bất đẳng thức Lojasiewicz cổ điển lân cận thớ Định lí 3.2.29 (Bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng cạnh thớ) Cho ®a thøc f : Rn → R Khi ®ã, tån số thực d-ơng , c, cho |f (x)| ≥ cd(x, V˜ )α víi mäi x f (D ) Chứng minh Đặt (t) = sup d(x, V˜ ), nÕu |f |−1 (t) 6= ∅, x∈|f|−1(t) 0, nÕu |f |−1 (t) = Tr-ớc hết, ta chứng minh hai khẳng định sau Khẳng định 3.2.30 Tồn > đủ nhá cho ψ(t) < +∞ víi mäi t ∈ (0, ) 88 Chứng minh Giả sử ng-ợc lại, có dÃy tk cho tk ψ(tk ) = +∞ Khi ®ã, |f |−1(t) 6= ∅, với k , tồn dÃy {xk,l }l ⊂ |f |−1 (tk ) cho d(xk,l , V˜ ) → +∞ l → +∞ Do vËy, tån t¹i lk cho d(xk,l , V˜ ) > k với l lk Đặt X k := xk,lk , ta cã |f (X k )| = tk → Theo Bỉ ®Ị 3.2.28, ta cã d(X k , V ) Điều mâu thuẫn với d(X k , V ) > k Khẳng định 3.2.31 Ta có lim (t) = Nói riêng, điểm (0, 0) thuộc bao t0 đóng đồ thị hàm số |(0,) Chứng minh Giả sử ng-ợc lại, tồn d·y tk (0, δ) cho tk → (tk ) Không tính tổng quát, gi¶ sư ψ(tk ) > σ > víi mäi k Khi đó, tồn xk |f |1 (tk ) cho d(xk , V˜ ) > σ Do vËy, |f (xk )| = tk → 0; đó, d(xk , V ) (do Bổ đề 3.2.28) Mâu thuẫn cho ta chứng minh khẳng định Bây giờ, Khẳng định 3.2.30 Khẳng định 3.2.31, Bổ đề 3.2.17 tồn t¹i δ > 0, c > 0, α > cho |f (x)| ≥ cd(x, V˜ )α víi mäi x f (D ), Định lí đ-ợc chứng minh Một dạng suy rộng bất đẳng thức Lojasiewicz toàn Rn đ-ợc đ-a dựa bổ đề sau Bổ đề 3.2.32 Cho f : Rn R đa thức Giả sử degf = degx1 f = m > Cho d·y xk tháa m·n |f (xk )| < A Khi ®ã, tån t¹i B = B(A) > cho d(xk , V˜ ) ≤ B víi mäi k Chøng minh Giả sử ng-ợc lại, tồn dÃy bk cña xk cho d(bk , V˜ ) → ∞ Không tính tổng quát, ta giả sử bk = xk vµ < f (xk ) < A với k Đặt M = {x Rn : f (x) ≥ f ∗ := inf f } {f0} Khi đó, M không gian mêtric đầy đủ với tôpô cảm sinh từ tôpô thông th-ờng Rn Râ rµng, {xk } ⊂ M Ta chØ r»ng tån t¹i d·y ck cđa xk cho f (ck ) > f với k : 89 ã Nếu f = f −1 (f ∗ ) = ∅, ta chän ck := xk với k ã Nếu f > vµ f −1 (f ∗ ) 6= ∅, ta chứng minh f giá trị cực tiểu f Rn Thật vậy, rõ ràng {x ∈ Rn : < f (x) < f ∗ } = ∅ Do vËy, f −1 (t0 ) = ∅ víi mäi t0 ∈ (0, f ∗ ) B©y giờ, giả sử mâu thuẫn tồn x Rn cho f (x) < f ∗ , ®ã f (x) ≤ LÊy y ∈ f −1 (f ) Giả sử l đ-ờng cong liên tục nối x y Vì f |l liên tục f (x) t0 , f (y) > t0 víi t0 ∈ (0, f ∗ ), nªn tån t¹i z ∈ l cho f (z) = t0 V× vËy, f −1 (t0 ) 6= ∅ Mâu thuẫn f giá trị cực tiểu f Rn Suy ra, f −1 (f ∗ ) lµ mét tËp cđa V˜ Do vËy, v× d(xk , V˜ ) → ∞, ta cã thĨ gi¶ sư ck := xk 6∈ f (f ) với k Không tính tổng quát, giả sử ck = xk f ∗ < f (xk ) < A víi mäi k Đặt k := f (xk ) f ∗ > Khi ®ã, f (xk ) = f + k Theo Hệ 3.2.27, tồn d·y {y k } ⊂ M cho (i) f (y k ) ≤ f (xk ), (ii) d(xk , y k ) ≤ , λk (iii) f (x) > f (yk ) − k λk d(x, yk ), víi dk = d(xk , V˜ ) → Do k := dk dk dk = → ∞ d(y k , V˜ ) ≥ d(xk , V˜ ) − d(xk , y k ) = dk − 2 V× {x ∈ Rn : f (x) = f ∗ } ⊂ V˜ , nªn d(y k , f −1 (f ∗ )) → ∞ Do vậy, với k đủ lớn, có k cho B(y k , σk ) := {x ∈ Rn : kx −y k k ≤ σk } ⊂ M\f −1 (f ∗ ) B©y giê, tõ (iii) ta cã f (x) ≥ f (yk ) − k λk d(x, yk ) với x B(y k , k ) Với u Rn , kuk = 1, t (0, k ), ta có x = y k + tu ∈ B(y k , σk ) Do vËy [f (y k + tu) − f (y k )] ≥ −k λk kuk = −k λk t 90 V× thÕ hf (y k ), ui ≥ −k λk f (y k ) §Ỉt u = − k , ta cã −kf (y k )k ≥ −k λk VËy kf (y )k 2A kf (y k )k ≤ k k < dk Hệ f k (y ) → vµ d(y k , V˜ ) x1 Bây giờ, ta xét hai tr-ờng hợp Tr-ờng hợp 1: deg f = Vì deg f = degx1 f = 1, ta cã thÓ viÕt f (x) = ∂f k a1x1 + · · · + an xn + a0 , a1 6= Do vËy, (y ) = a1 6→ 0, m©u ∂x1 thn Tr-êng hỵp 2: deg f > B»ng viƯc lặp lại trình trên, sau hữu hạn b-ớc, ta suy tån t¹i d·y {z k } cho ∂ m−1 f k (z ) → ∂xm−1 d(z k , V ) Ta lặp lại trình lần nhận đ-ợc d·y w k cho ∂ mf k (w ) xm mf Mặt khác, degf = degx1 f = m > 0, ta cã = c, c 6= xm mf k k ˜ mét h»ng sè Do vËy, m (w ) Mâu thuẫn d(x , V ) x1 bị chặn, Bổ đề đ-ợc chứng minh Định lí 3.2.33 (Bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng toàn cục) Cho đa thức f : Rn R Khi đó, tồn số thực d-ơng c, α, β cho |f (x)|α + |f (x)|β ≥ cd(x, V˜ ) víi mäi x ∈ Rn Chứng minh Đặt (t) = sup x|f|1(t) d(x, V˜ ), nÕu |f |−1 (t) 6= ∅, 0, nÕu |f |−1 (t) = ∅ 91 Tr-íc hết, ta chứng minh khẳng định sau Khẳng định 3.2.34 Víi mäi t ∈ (0, +∞), ta cã ψ(t) < + Chứng minh Giả sử ng-ợc lại, tồn t0 ∈ (0, +∞) cho ψ(t0 ) = +∞ Khi đó, |f |1 (t0) 6= , có dÃy {xk } ⊂ |f |−1(t0 ) cho d(xk , V˜ ) → +∞ Do vËy, |f (xk )| = t0 , d(xk , V ) bị chặn (do Bổ đề 3.2.32), mâu thuẫn Khẳng định 3.2.35 Hàm hạn chế |[0,] bị chặn với > Chứng minh Giả sử ng-ợc lại tồn t¹i d·y tk [0, ∆] cho ψ(tk ) + Vì tập [0, ] compact, ta có thĨ gi¶ sư tk → t0 ∈ [0, ∆] Chó ý r»ng ψ(tk ) = sup d(x, V˜ ) vµ r»ng |f |−1 (tk ) 6= ∅ víi k x∈|f|−1(tk ) Do vËy, tån t¹i xk ∈ |f |−1(tk ) cho d(xk , V˜ ) > ψ(tk ) − Do ®ã k |f (xk )| = tk → t0 vµ d(xk , V˜ ) → + Vì |f |(xk ) t0 , nên theo Bổ đề 3.2.32, d(xk , V ) bị chặn, mâu thuẫn Khẳng định 3.2.36 Ta có lim (t) = t Chứng minh Giả sử ng-ợc lại lim (t) < Khi đó, tồn > t vµ N > cho ψ(t) < N víi t (, ) Điều Khẳng định 3.2.35 chØ r»ng d(x, V˜ ) < N víi x Rn , với N đủ lớn Mặt khác, V tập đại số, nên theo §Þnh lÝ 3.2.11, {x ∈ Rn : d(x, V˜ ) < N } lµ tËp thùc sù cđa Rn , mâu thuẫn Bây giờ, theo Định lí 3.2.29, tồn t¹i δ > 0, c1 > 0, α > cho |f (x)|α ≥ c1 d(x, V ) víi x f (D ) Do Khẳng định 3.2.34 3.2.36, Bổ đề 3.2.17 (ii) tån t¹i ∆ > 0, c2 > 0, β > cho ˜ ∆) |f (x)|β ≥ c2 d(x, V ) víi mäi x ∈ f −1 (D H¬n nữa, từ Khẳng định 3.2.35, có M > cho ϕ(t) < M víi mäi t ∈ [δ, ∆] Do vËy, víi mäi x ∈ |f |−1 ([δ, ∆]), ta cã δα + δβ δα + δβ ϕ(t) ≥ d(x, V ) |f (x)| + |f (x)| ≥ δ + δ ≥ M M α β α β 92 + }, ta nhận đ-ợc bất đẳng thức §Ỉt c = min{c1 , c2 , M |f (x)|α + |f (x)|β ≥ cd(x, V ) víi mäi x Rn Định lí đ-ợc chứng minh 3.3 Mối quan hệ tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ với t-ợng kì dị vô hạn Trong phần này, tồn (hay không tồn tại) bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ liên quan mật thiết đến t-ợng kì dị vô hạn hàm đa thức thực hai biến Cụ thể là, không tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ f (t0 ), phải có thành phần liên thông thớ f (t) biến vô hạn t dần đến t0 3.3.1 Phát biểu kết Nh- đà thấy mục 2.1, đa thức f : Rn R xác định phân thớ Milnor toàn cục f : Rn \ f −1 (B(f )) → R \ B(f ) Tập B(f ) giá trị rẽ nhánh f gồm tập (f ) giá trị tới hạn f tập B (f ) giá trị tới hạn kì dị vô hạn f Ta nhắc lại (đà trình bày mục 2.1) khái niệm giá trị tới hạn kì dị vô hạn khái niệm thành phần liên thông biến vô hạn Định nghĩa 3.3.1 Cho f : Rn R đa thức Giá trị R đ-ợc gọi giá trị qui vô hạn f tồn > r > cho ánh xạ hạn chế f : f (D ()) \ Bnr D () phân thớ tầm th-ờng lớp C , D () = {t ∈ R : |t − λ| < δ} Ng-ỵc lại, đ-ợc gọi giá trị tới hạn kì dị vô hạn f 93 §Þnh nghÜa 3.3.2 ([31]) Cho f : Rn → R đa thức Ta nói f có thành phần liên thông biến vô hạn t dần đến t0 với r > 0, tồn t¹i |t − t0 | cho Wt Bnr = , Wt thành phần liên thông f (t) Bây giờ, ta phát biểu kết phần Định lí 3.3.3 Cho f : R2 R đa thức Giả sử f có dÃy loại Khi đó, tồn thành phần liên thông f (t) biến vô hạn t dần đến HƯ qu¶ 3.3.4 Cho f : R2 → R đa thức Giả sử f có dÃy loại Khi đó, B (f ) Hệ 3.3.5 Cho f : R2 R đa thức Khi đó, không tồn bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ f (t0 ), tồn thành phần liên thông thớ f (t) biến vô hạn t dần đến t0 , nói riêng, t0 giá trị tới hạn kì dị vô hạn f Hệ 3.3.6 Cho f : R2 R ®a thøc, vµ t 6∈ B∞ (f ) Khi ®ã, tån t¹i δ > 0, c > 0, α > cho |f (x) − t| ≥ cd(x, f −1 (t))α víi mäi x ∈ Dδ (t) Nãi riªng, bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ tồn tại, trừ tập hữu hạn thớ 3.3.2 Chứng minh kết D-ới mệnh đề bản, mang tính kĩ thuật, cần cho chứng minh Định lí 3.3.3 Với > 0, đặt D = {t R : |t| < δ} MƯnh ®Ị 3.3.7 Cho f : R2 R đa thức Giả sử > đủ nhỏ, U thành phần liên thông f (D ) cho U f (0) 6= Khi đó, không tồn dÃy loại U Ta trình bày vài khái niệm số kết cần thiết cho chứng minh Mệnh đề 3.3.7 94 Cho f : R2 R đa thức Gi¶ sư r»ng degf = degy f = m > m−1 S ∂kf ˜ { k = 0} V× degf = degy f = m > 0, nên không nửa Ta đặt V = k=0 y nhánh V tiệm cận với đ-ờng thẳng đứng Do vậy, tọa độ đầu x dần đến + dọc nưa nh¸nh C cđa V˜ Nh- mơc 2.1, ta nói C nửa nhánh phải x + C nửa nhánh trái x → −∞ trªn C NÕu M > đủ lớn, tồn hàm Nash k1 < < kr : (M, +∞) → R vµ k˜1 < < k˜r˜ : (M, +∞) R cho nửa nhánh phải C1 , , Cr Ve mầm vô hạn đ-ờng cong (x = t, y = ki (t)) víi i = 1, , r , nửa nhánh trái D1, , Dr V mầm vô hạn đ-ờng cong (x = t, y = r˜j (t)) víi j = 1, , r Ta đồng nửa nhánh với đ-ờng cong Định nghĩa 3.3.8 Cho (xn , yn) dÃy C nửa nhánh vô hạn V Ta nói (xn , yn ) gÇn C nÕu lim d (xn , yn ), C = n→∞ e lµ hai nửa nhánh vô hạn V lần l-ợt đ-ợc tham sè Cho C vµ C hãa bëi x = t, y = g(t) vµ x = t, y = e g (t) Ta định nghĩa hàm e := g − e θ(C, C) g e e Chó ý r»ng hc θ(C, C)(x) > víi mäi x ∈ (M, +∞), hc θ(C, C)(x) < víi x (M, +) Định nghĩa 3.3.9 Cho C nửa nhánh phải vô hạn V M eM tập tập nửa nhánh phải vô hạn V Ta nói r»ng C e , ta cã gÇn nhÊt víi C với C M\{C, C} e |(C, C)(x)| < |θ(C, C )(x)| víi mäi x ∈ (M, +) Đối với nửa nhánh trái, ta định nghĩa khái niệm gần t-ơng tự Vì chứng minh Mệnh đề 3.3.7 dài, trình bày tóm tắt ý chứng minh nh- sau: (i) Chứng minh ổn định số thành phần liên thông f (D ) f (D )\KM với 0, > nhỏ KM = [M, M]ìR chứa tất thành phần liên thông compact V = f −1 (0) (Bỉ ®Ị 3.3.13, Bỉ ®Ị 3.3.16) 95 (ii) Giả sử U0 thành phần liên thông không bị chặn f (D0 ) cho Uδ0 ∩ f −1 (0) 6= ∅ Gi¶ sử U thành phần liên thông (không bị chặn) cña f −1 (Dδ0 ) chøa Uδ0 Khi đó, thành phần liên thông U,M U \KM chứa nửa nhánh vô hạn f (0) (Bổ đề 3.3.17) (iii) Giả sử ng-ợc lại U0 f (0) 6= Uδ0 chøa d·y lo¹i mét (xn , yn ) Khi đó, tồn thành phần liên thông U0 ,M Uδ0 \KM chøa d·y (xn , yn ) vµ chøa nửa nhánh vô hạn (y = g(x)) cđa f −1 (0) Theo Bỉ ®Ị 3.2.28, d·y (xn , yn ) "gần" nửa nhánh (y = h(x)) V Trong nửa nhánh vô hạn V có gần dÃy loại ®ã ˜ = (g + h) Chóng Uδ0 ,M , ta giả sử gần với Đặt h ta chứng minh rằng, nửa nhánh đ-ợc tham số hóa h gần với có dÃy loại gần Khi đó, ta suy mâu thuẫn Bổ đề 3.3.10 Cho C nửa nhánh phải vô hạn V đ-ợc tham số hóa x = t, y = g(t) , g : (M, +∞) → R Khi ®ã d (x, y), C ∼ |y − g(x)| |x| 1, A B có nghĩa A/B nằm hai d-ơng Chứng minh Ta bắt đầu việc chứng minh khẳng định sau Khẳng định 3.3.11 Kí hiƯu O(g) lµ bËc cđa g Ta cã O(g) ≤ ∂if ∂if Chøng minh V× degf = degy f = m > 0, ta cã deg i = degy i = m − i, ∂y ∂y víi i = 1, , m − Do vậy, không tính tổng quát, giả sử C nửa nhánh phải vô hạn V = f −1 (0) Ta viÕt f (x, y) = y m + y m−1 g1 (x) + · · · + gm (x), g(x) = axs + số hạng bậc thấp hơn, O(gi) i Giả sử ng-ợc lại s > Khi = f (x, g(x)) = (axs + · · · )m + (axs + · · · )m−1 g1 (x) + · · · + gm (x) = axms + c¸c số hạng bậc thấp x Mâu thuẫn chứng tỏ O(g) 96 B©y giê, lÊy (x0 , g(x0 )) thuéc C cho d (x, y), C = |x − x0 | + |y g(x0 )| Theo Khẳng định 3.3.11, O(g) ≤ Do vËy, dÔ thÊy r»ng tån t¹i c ≥ cho |g(x) − g(x0 )| ≤ c|x − x0 |, víi mäi |x| M V× thÕ 1 d (x, y), C ≥ |g(x) − g(x0 )| + |y − g(x0 )| ≥ |y g(x)| c c Mặt khác, ta có d (x, y), C ≤ |y − g(x)| VËy d (x, y), C |y g(x)| Nhắc lại r»ng degf = degy f = m > Ta có khẳng định sau Khẳng định 3.3.12 Cho > Khi đó, với P > 0, tồn Q > cho f (D )\K đ-ợc chứa {|x| > P }, K = [P, P ] ì [Q, Q] Nói riêng, thành phần liên thông f (D )\K đ-ợc chứa (P, +) ì R (, P ) ì R Chứng minh Giả sử ng-ợc lại, tồn d·y (xn , yn ) ∈ f −1 (Dδ )\([−P, P ] × [−n, n]) cho |xn | ≤ P víi n Suy yn > n Do vËy, f (xn , yn) → ∞, v× degf = degy f = m > V× thÕ, (xn , yn ) 6∈ f −1 (Dδ ) víi n đủ lớn Mâu thuẫn cho ta chứng minh Khẳng định Với M 0, đặt KM = [M, M] ì R (3.7) Theo Định lí 3.2.10, tồn δM ≥ cho f −1 (Dδ \{0})\KM gåm số cố định thành phần liên thông với (0, M ] Hơn nữa, với thành phần U f (D \{0})\KM , có thành phần liên thông 97 U f −1 (Dδ \{0})\KM chøa Uδ , ë ®©y δ < δ ∈ (0, δM ] Sư dụng kết này, ta chứng minh bổ đề sau Bỉ ®Ị 3.3.13 Víi mäi δ ∈ (0, δM ], tập f (D )\KM gồm số cố định thành phần liên thông Hơn nữa, với thành phần U f (D )\KM , tồn thành phần liên thông U f (D )\KM chứa U , δ < δ ∈ (0, δM ] Ta b¾t đầu việc chứng minh hai khẳng định sau Khẳng định 3.3.14 Cho U thành phần liên thông cđa f −1 (Dδ )\KM vµ C lµ mét thµnh phần liên thông f (0)\KM cho C ∩ Uδ 6= ∅ Khi ®ã, C chøa Uδ Chøng minh LÊy (x0 , y0) ∈ C ∩ U Với (x1 , y1 ) C , tồn đ-ờng cong l C nối (x0 , y0) vµ (x1 , y1) Râ rµng, f (x, y) = víi mäi (x, y) ∈ l Do vậy, đ-ờng cong l chứa thành phần liên thông W f (D )\KM Vì (x0 , y0 ) ∈ Uδ ∩ Wδ , nªn Wδ ≡ Uδ VËy, (x1 , y1 ) ∈ Uδ Do ®ã, C chøa Uδ Cho Uδ thành phần liên thông f (D )\KM , δ ∈ (0, δM ] Khi ®ã p Uδ \f −1 (0) = ∪ Uδi , i=1 ë ®©y Uδi , i = 1, , p, thành phần liên thông f (D \{0})\KM chứa U Bởi Khẳng định 3.3.14, ta cã thĨ gi¶ sư q Uδ ∩ f −1 (0) = Cj , j=1 Cj , j = 1, , q , lµ thành phần liên thông f (0)\KM chứa U Với (0, M ], < , đặt p q i=1 j=1 Uδ := ( ∪ Uδi0 ) ∪ ( Cj ), Ui0 thành phần liên th«ng cđa f −1 (Dδ \{0})\KM cho Uδi0 ⊂ Uδi víi i = 1, , p p q i=1 j=1 Khẳng định 3.3.15 Tập U := ( ∪ Uδi0 ) ∪ ( ∪ Cj ) liên thông không rỗng 98 Chứng minh Rõ ràng tập U không rỗng B©y giê, lÊy P, Q ∈ Uδ ⊂ Uδ Vì U tập nửa đại số, tồn ánh xạ nửa đại số liên tục : [0, 1] → Uδ cho ϕ(0) = P vµ ϕ(1) = Q Râ rµng, ϕ−1 [ϕ([0, 1]) ∩ f −1 (0)] tập đóng nửa đại số R; đó, hợp hữu hạn điểm khoảng đóng [t01 , t2 ], , [t0m , tm+1 ] (víi t1 := ≤ t01 ≤ t2 < t02 ≤ ≤ tm < t0m ≤ tm+1 ≤ t0m+1 := 1) Vì thế, tồn i1, , im+1 ∈ {1, , p} vµ j1 , , jm ∈ {1, , q} cho ϕ (tk , t0k ) ⊂ Uδik víi k = 1, , m + 1, vµ ϕ([t0k , tk+1 ]) ⊂ Cjk víi k = 1, , m Do vậy, với k {2, , m}, ta cã lim+ f (ϕ(t)) = f (ϕ(tk )) = vµ lim0− f (ϕ(t)) = f (ϕ(t0k )) = t→tk t→tk Suy f (ϕ(t)) ∈ Uδik0 nÕu t − tk > vµ t0k − t > đủ nhỏ, (tk ), ϕ(t0k ) ∈ ∂Uδik0 víi mäi k = 2, , m B»ng lËp luËn t-¬ng tù, ta còng cã ϕ(t1 ) ∈ ∂Uδ10 nÕu t1 < t01 , vµ ϕ(tm+1 ) ∈ ∂Uδm+1 nÕu tm+1 < t0m+1 Theo Bỉ ®Ị chän ®-êng cong [1], tån ánh xạ nửa đại số liên tục ϕk : [0, 1] → R2 cho ϕk (0) = ϕ(tk ), ϕk (1) = ϕ(t0k ) vµ ϕk (0, 1) ⊂ Uδik0 víi k = 1, , m + Đặt ek : [0, 1] → Cjk , t 7→ ϕ (1 − t)t0k−1 + ttk , víi k = 1, , m Râ rµng, ϕ ek (0) = ϕ(tk−10 ) ek (1) = (tk ) Bây giờ, ta xét ánh xạ : [0, 1] U , t 7→ φ(t), víi φ(t) = 2(k − 1) 2k − ϕk (2m + 1)t − 2(k − 1) nÕu t ∈ [ , ], k = 1, , m + 1, 2m + 2m + 2k 2k − ϕ ek (2m + 1)t − (2k − 1) nÕu t ∈ [ , ], k = 1, , m 2m + 2m + Rõ ràng, ánh xạ nửa đại số liên tục, với (0) = P (1) = Q Nhvậy, U liên thông 99 Chứng minh Bổ đề 3.3.13 Theo Khẳng định 3.3.15, với thành phần liên thông U f (D \{0})\KM , tồn thành phần liên thông U cña f −1 (Dδ \{0})\KM chøa Uδ , víi mäi δ < δ ∈ (0, δM ] Điều hoàn thành chứng minh Bổ đề 3.3.13 Chó ý r»ng, b»ng lËp ln t-¬ng tù nh- chứng minh Bổ đề 3.3.13, ta nhận đ-ợc kết sau Bổ đề 3.3.16 Tồn > cho tËp f −1 (Dδ ) gåm mét số cố định thành phần liên thông với (0, ] Hơn nữa, với thành phần liên thông U f (D ), tồn thành phần liên thông U f −1 (Dδ ) chøa Uδ , ë < (0, ] Không tính tổng quát, ta giả sử M (0, ] M đủ lớn cho f −1 (0)\((−M, M) × R) chØ gåm bao đóng nửa nhánh vô hạn f (0) Nói riêng, KM chứa tất thành phần compact f (0) Với giả thiết trên, ta chứng minh kết Bổ đề 3.3.17 Giả sử nh- Bổ đề 3.3.16, U0 thành phần liên thông f −1 (Dδ0 ) cho Uδ0 ∩ f −1 (0) 6= Giả sử M nh- Bổ đề 3.3.13, δ ∈ (0, δM ] vµ Uδ lµ thµnh phần liên thông f (D ) chứa U0 Khi đó, tồn nửa nhánh vô hạn f (0) nằm thành phần liên thông U \KM Tr-ớc hết, ta chứng minh khẳng định sau Khẳng định 3.3.18 Giả sử nh- Bổ đề 3.3.16, U0 thành phần liên thông không bị chặn f (D0 ) cho Uδ0 ∩ f −1 (0) 6= ∅ Cho δ ∈ (0, δ0 ] vµ Uδ lµ thµnh phần liên thông f (D ) chứa Uδ0 Khi ®ã, Uδ ∩ f −1 (0) 6= ∅ Chøng minh LÊy (x0 , y0 ) ∈ Uδ0 ∩ f −1 (0) Khi ®ã, f (x0 , y0) = Do ®ã, víi δ ∈ (0, δ0 ], có thành phần liên thông W f (D ) cho (x0 , y0) ∈ Wδ Bëi Bổ đề 3.3.16, tồn thành phần liên th«ng Wδ0 cđa f −1 (Dδ0 ) cho Wδ ⊂ Wδ0 Do vËy, (x0 , y0 ) ∈ Wδ0 ∩ Uδ0 Suy Wδ0 ≡ Uδ0 vµ W U ; (x0 , y0 ) ∈ Uδ ∩ f −1 (0) 100 Nh¾c l¹i r»ng degf = degy f = m > Ta có khẳng định sau Khẳng định 3.3.19 Cho > Khi với (P, P ), víi P, P > 0, tån t¹i Q > cho f −1 (Dδ ) ∩ P ≤ |x| ≤ P ⊂ P ≤ |x| ≤ P , |y| ≤ Q Chøng minh Bằng phản chứng, giả sử tồn (xn , yn) ∈ f −1 (Dδ ) ∩ P ≤ |x| ≤ P , cho (xn , yn ) 6∈ {P ≤ |x| ≤ P , |y| ≤ n víi n ∈ N, n Khi ®ã, P ≤ |xn| ≤ P vµ yn > n Suy f (xn , yn ) → ∞, v× degf = degy f = m > 0, m©u thuÉn Khẳng định 3.3.20 Giả sử nh- Bổ đề 3.3.16, U0 thành phần liên thông không bị chặn f (D0 ) cho U0 ∩ f −1 (0) 6= ∅ Gi¶ sư δM nh- Bổ đề 3.3.13, (0, M ] U thành phần liên thông f (D ) chứa U0 Giả sử U,M thành phần liên thông U \KM Khi đó, với P > M , ta có U,M |x| = P 6= Chứng minh Giả sử ng-ợc l¹i, tån t¹i P > M cho Uδ,M ∩ (x, y) ∈ R2 : |x| = P = Khi đó, ta xét hai tr-ờng hợp: Tr-ờng hỵp 1: Uδ,M ⊂ |x| > P Trong tr-êng hợp này, U,M = U thành phần liên thông f (D ) Từ Khẳng định 3.3.18, ta cã Uδ,M ∩ f −1 (0) 6= ∅ Theo Khẳng định 3.3.14, có nửa nhánh vô hạn cđa f −1 (0) Uδ,M , nghÜa lµ Γ chøa Uδ Suy P, g(P ) U , (x = t, y = g(t)) lµ tham sè hãa cđa Γ, víi g : (M, +) R, mâu thuẫn Tr-ờng hợp 2: Uδ,M ⊂ M < |x| < P B»ng ph¶n chứng nh- tr-ờng hợp 1, ta nhận đ-ợc Uδ,M ∩ f −1 (0) = ∅