Toán tử tích phân và cơ sở sóng nhỏ trên một số không gian hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI - Đào Văn Dƣơng TỐN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI Đào Văn Dƣơng TỐN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHƠNG GIAN HÀM Chun ngành: Phƣơng trình vi phân tích phân Mã số : 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Minh Chƣơng HÀ NỘI – 2013 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn khoa học Giáo sư Nguyễn Minh Chương Các kết viết chung với người hướng dẫn trí người hướng dẫn đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố cơng trình khoa học khác Tác giả Đào Văn Dương Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Giáo sư Nguyễn Minh Chương Thầy hướng dẫn truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học điều thật quý báu sống Sự động viên, tin tưởng Thầy động lực để tác giả hoàn thành luận án Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận án, tác giả nhận động viên, hướng dẫn Thầy Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt Bộ mơn Giải tích Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ Thầy Trong trình học tập hồn thành luận án, tác giả nhận giúp đỡ, góp ý GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, TS Trần Đình Kế, TS Cung Thế Anh Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô giáo anh chị em NCS, Cao học Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trường thực, p-adic" Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, Viện Tốn học, Xêmina Bộ mơn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, động viên, giúp đỡ tác giả nghiên cứu sống Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng đào tạo Sau đại học tồn thể cán bộ, cơng nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình thực luận án Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, Cơ khoa Tốn Trường Đại học Quy Nhơn Thầy Viện Toán học tham gia giảng dạy cao học, khóa 7, Đại học Quy Nhơn, truyền đạt cho tác giả kiến thức tốn học hữu ích Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Xây dựng Miền Trung, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi mặt để tác giả yên tâm hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gần xa, đặc biệt cha mẹ, vợ trai người thân gia đình, giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình thực luận án Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Đào Văn Dương MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT Ký hiệu Diễn giải N : Tập hợp số tự nhiên Z : Tập hợp số nguyên Q : Trường số hữu tỷ R : Trường số thực Rn : Không gian véctơ n chiều trường R Qp : Trường số p-adic, với p số nguyên tố Qnp : Không gian véctơ n chiều trường Qp Ip : Tập hợp phần phân thức số p-adic Zp : Hình cầu đơn vị Qp Z∗p : Tập hợp phần tử Zp khác khơng Ipn : Tích Descartes n tập Ip Bγ (a), Bγ : Hình cầu tâm a, tâm 0, bán kính pγ Sγ (a), Sγ : Mặt cầu tâm a, tâm 0, bán kính pγ |x|p : Chuẩn phần tử x Qnp Lq (Rn ), Lq (Qnp ) : Tập hàm khả tích bậc q Rn , Qnp Lqloc (Qnp ) : Tập hàm khả tích địa phương bậc q Qnp L1loc (Rn ) : Tập hàm khả tích địa phương Rn B`α,q (Rn ) : Khơng gian Besov Rn BM O(Rn ) : Không gian BMO Rn H ` (Rn ) : Không gian Hardy Rn V M O(Rn ) : Không gian VMO Rn α,q (Rn ) B`,k : Không gian Besov có trọng Rn BM Ok (Rn ) : Khơng gian BMO có trọng Rn α,β Fr,q (Qnp ) : Không gian Triebel-Lizorkin Qnp α K`,q (Qnp ) : Không gian Herz Qnp Mqλ (Qnp ) : Không gian Morrey Qnp α M K`,q (Qnp ) : Không gian Morrey-Herz Qnp D(Qnp ) : Tập hàm địa phương có giá compact Qnp D0 (Qnp ) : Tập phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Qnp ) Ff : Biến đổi Fourier hàm f trường số p-adic χ : Hàm đặc trưng cộng tính trường số p-adic Uψ : Tốn tử Hardy-Littlewood có trọng Vψ : Tốn tử Cesàro có trọng [b, Uψ ] , [b, Vψ ] : Giao hoán tử toán tử Uψ , Vψ với hàm b MRA : Xấp xỉ đa phân giải (Multiresolution Analysis) BMO : Bounded Mean Oscillation VMO : Vanishing Mean Oscillation Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng ký hiệu MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ 18 1.1 Không gian Lebesgue 18 1.2 Tích chập biến đổi Fourier trường thực 20 1.3 Trường số p-adic 22 1.4 Độ đo tích phân trường số p-adic 25 1.5 Biến đổi Fourier tích chập p-adic 27 1.6 Các định lý nội suy 31 Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN SĨNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 34 2.1 34 Giới thiệu 2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ khơng gian Besov, BMO Hardy 2.3 38 Tốn tử tích phân sóng nhỏ khơng gian Besov, BMO có trọng 48 Chương TOÁN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD CĨ TRỌNG TRÊN TRƯỜNG P-ADIC 56 3.1 Giới thiệu 57 3.2 Tốn tử Hardy-Littlewood có trọng khơng gian TriebelLizorkin trường p-adic 3.3 60 Tốn tử Hardy-Littlewood có trọng khơng gian MorreyHerz trường p-adic 3.4 69 Giao hoán tử toán tử Hardy-Littlewood có trọng khơng gian Morrey-Herz trường p-adic 78 Chương TỐN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ CƠ SỞ SĨNG NHỎ P-ADIC TRONG Lr (Qnp ) 4.1 Tốn tử tích phân Vladimirov sóng nhỏ p-adic 4.2 Cơ sở sóng nhỏ khơng điều kiện gồm hàm riêng tốn tử Dα khơng gian Lr (Qnp ) 4.3 87 88 96 Cơ sở Greedy không gian Lr (Qnp ) 110 Kết luận kiến nghị 116 Danh mục cơng trình cơng bố 118 Tài liệu tham khảo 119 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất phát triển mạnh Lý thuyết công cụ có hiệu lực để giải nhiều tốn quan trọng Vật lý tốn nói riêng Khoa học, Cơng nghệ nói chung (xem cơng trình [8], [21], [22], [36], [49], [50], [51], ) Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyết tốn tử (đặc biệt lý thuyết tốn tử tích phân kỳ dị CalderónZygmund hay lý thuyết tốn tử giả vi phân) lý thuyết không gian phiếm hàm, từ tìm đặc trưng cỏc khụng gian phim hm quan trng nh Hăolder, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy, BMO (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]) Ngược lại, sử dụng lý thuyết tốn tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm phương trình lọc (xem [18], [19], [20]) Ngày phát triển lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết toán tử giả vi phân lý thuyết khơng gian hàm làm cho tính khoa học tính ứng dụng chúng ngày cao Tốn tử tích phân sóng nhỏ phận quan trọng lý thuyết sóng nhỏ Sóng nhỏ, tốn tử tích phân sóng nhỏ Z f (z) − f (w) h q r ≤ sup dw dz × n+qα β Z∗p B⊂Qnp |tB| tB tB |z − w|p × Z α,β ≤ kf kFr,q α−n( 1r −β) |t|p ψ(t)dt α−n( 1r −β) |t|p ψ(t)dt (3.16) Z∗p α,β Do vậy, tốn tử Uψ bị chặn từ khơng gian Fr,q (Qnp ) vào ta có bất đẳng thức 63 Z α−n( 1r −β) |t|p α,β α,β ≤ kUψ kFr,q →Fr,q ψ(t)dt (3.17) Z∗p α,β (Qnp ) Chúng ta chọn (ii) Giả sử Uψ bị chặn không gian Fr,q α−n( 1r −β) hàm sau f0 (x) = |x|p Bây q ≤ r, 1 α,β (Qnp ) Cho B hình cầu r < q β > − , f0 ∈ Fr,q r q Qnp Trước hết, tính tích phân sau Z Z |f0 (x) − f0 (y)|q  rq dy dx |x − y|n+qα p B B Nếu B = Bk (a), a ∈ / Bk , k ∈ Z, với x ∈ B, tính chất tam giác mạnh chuẩn Qnp , ta có |x|p = max(|a|p , |x−a|p ) = |a|p Do vậy, ta f0 (x) = f0 (y) với x, y ∈ B Nếu B = Bk (a), với a ∈ Bk , B = Bk Đặt z = y − x, có Z Z Bk Bk |f0 (x) − f0 (y)|q  rq dy dx = |x − y|n+qα p Z Z Bk Bk |f0 (x) − f0 (x + z)|q  rq dz dx |z|n+qα p (3.18) Rõ ràng, |x|p > |z|p f0 (x + z) = f0 (x) Do đó, Z Bk |f0 (x) − f0 (x + z)|q dz = |z|pn+qα |f0 (x) − f0 (x + z)|q dz n+qα |z| p Bk ∩{|x|p ≤|z|p } Z (3.19) Trường hợp : q ≤ r Từ (3.18), (3.19) áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có nZ Bk Z Bk |f0 (x) − f0 (y)|q  rq o 1r dy dx |x − y|n+qα p 64  |f (x) − f (x + z)|q  rq i rq o 1q 0 ≤ dx dz n+qα |z| p Bk Bk Z Z n h i rq dz o 1q r = |f0 (x) − f0 (x + z)| dx |z|n+qα p Bk Bk nZ = nZ Bk hZ i rq |f0 (x) − f0 (x + z)| dx hZ r Bk ∩{|x|p ≤|z|p } dz o 1q |z|n+qα p (3.20) Bây giờ, đánh giá tích phân thứ hai (3.20) Với z ∈ Bk , giả sử |z|p = pl , có Z |f0 (x) − f0 (x + z)|r dx Bk ∩{|x|p ≤|z|p } Z hZ i r−1 r r ≤2 |f0 (x)| dx + |f0 (x + z)| dx |x|p ≤|z|p |x|p ≤|z|p Z hZ i r−1 r r ≤2 |f0 (x)| dx + |f0 (x + z)| dx |x|p ≤|z|p = 2r Z |x|p ≤|z|p |x+z|p ≤|z|p |x|αr+βnr−n dx = 2r p Z l X γ=−∞ pγ(αr+βnr−n) dx |x|p =pγ l   pr(α+nβ)  X γr(α+nβ) r |z|r(α+nβ) p = − n r(α+nβ) =2 1− n p γ=−∞ p p −1 p r  (3.21) Kết hợp (3.20) với (3.21), ta Z Z n |f0 (x) − f0 (y)|q  rq o 1r α,β = sup dy dx kf0 kFr,q β |x − y|n+qα k∈Z |Bk | p Bk Bk i 1q  hZ  1r pα+nβ −nkβ n(qβ−1) ≤2 1− n |z|p dz sup p p (pr(α+nβ) − 1) r k∈Z Bk k  h X  1r pα+nβ
i 1q −nkβ nγ(qβ−1) nγ =2 1− n p p 1− n sup p p p (pr(α+nβ) − 1) r k∈Z γ=−∞ 65   1r + 1q pα+2nβ =2 1− n p (pr(α+nβ) − 1) r (pnqβ − 1) q (3.22) α,β < ∞ Do vậy, ta có < kf0 kFr,q 1 − r q Theo chứng minh trường hợp 1, cần xét hình Trường hợp : q > r β > cầu B Qnp có tâm gốc, nghĩa B = Bk với k ∈ Z Khi s dng bt ng thc Hăolder, ta cú |f0 (x) − f0 (x + z)|q  rq dz dx n+qα |z| p Bk Bk h Z  Z |f (x) − f (x + z)|q  i rq r 0 ≤ dz dx |Bk |1− q n+qα |z|p Bk Bk hZ Z r dz i rq q = |f0 (x) − f0 (x + z)| dx n+qα |Bk |1− q |z|p Bk Bk Z Z (3.23) Trước hết, ta đánh giá tích phân thứ hai bên (3.23) Giả sử |z|p = pl Tương tự trường hợp 1, ta có Z |f0 (x) − f0 (x + z)|q dx = Z |f0 (x) − f0 (x + z)|q dx |x|p ≤|z|p Bk ≤2 q Z |x|p ≤|z|p [α−n( 1r −β)]q |x|p dx q =2 l X p [α−n( 1r −β)]qγ γ=−∞ Z dx |x|=pγ l  X [α−n( −β)]qγ nγ r p =2 1− n p p γ=−∞   pαq−nq( 1r −β)+n αq−nq( 1r −β)+n = 2q − n αq−nq( −β)+n |z|p p p r −1 q  Lưu ý tổng hội tụ giả thiết α > β > đó, ta có (3.24) 1 − Do r q 66 Z Z  dz |f0 (x) − f0 (x + z)| dx |z|n+qα p Bk Bk   pαq−nq( 1r −β)+n Z −nq( −β) ≤ 2q − n αq−nq( −β)+n |z|p r dz p p r − Bk q k X 2 pαq−nq( r −β)+n nγ[1−( 1r −β)q] =2 1− n p p pαq−nq( r −β)+n − γ=−∞ q  1 2 pαq−nq( r −β)+n p1−( r −β)q nk[1−( −β)q] r =2 1− n p 1 p pαq−nq( r −β)+n − p1−( r −β)q − q  (3.25) Từ (3.23), (3.24) (3.25), ta α,β kf0 kFr,q Z Z |f0 (x) − f0 (y)|q  rq o 1r n dy dx = sup β |x − y|n+qα k∈Z |Bk | p Bk Bk 1   2q h pαq−nq( r −β)+n p1−( r −β)q i 1q ≤2 1− n < ∞ (3.26) 1 p pαq−nq( r −β)+n − p1−( r −β)q − α,β < ∞ Vì vậy, ta có < kf0 kFr,q Mặt khác, có Z α−n( 1r −β) |t|p Uψ f0 (x) = f0 (x) ψ(t)dt Z∗p α,β Vì Uψ bị chặn không gian Fr,q (Qnp ) nên Z α−n( 1r −β) |t|p Z∗p α,β α,β < ∞ ψ(t)dt ≤ kUψ kFr,q →Fr,q Điều kết hợp với (3.16), ta Z α,β α,β = kUψ kFr,q →Fr,q α−n( 1r −β) |t|p Z∗p ψ(t)dt (3.27) 67 Vì vậy, Định lý 3.2.3 chứng minh hoàn toàn Định lý 3.2.4 Cho α, β số thực dương, r ∈ [1, ∞) q ∈ [1, ∞) (i) Nếu Z −α−n(1+β− 1r ) |t|p ψ(t)dt < ∞, (3.28) Z∗p α,β tốn tử Vψ bị chặn từ khơng gian Fr,q (Qnp ) vào α,β (ii) Ngược lại, giả sử Vψ bị chặn từ không gian Fr,q (Qnp ) vào 1 Khi đó, q ≤ r, r < q β > − , ta có r q Z −α−n(1+β− 1r ) |t|p ψ(t)dt < ∞ (3.29) Z∗p Hơn nữa, Z α,β α,β = kVψ kFr,q →Fr,q −α−n(1+β− 1r ) |t|p ψ(t)dt (3.30) Z∗p Chứng minh (i) Giả sử (3.28) Khi áp dụng bất đẳng thức x y Minkowski phép đổi biến z = , w = , có t t n Z  Z |V f (x) − V f (y)|q  rq o 1r ψ ψ dy dx n+qα |x − y|p B B R q r o1 n Z  Z Z∗ [f ( xt ) − f ( yt )]|t|−n p ψ(t)dt q r p = dy dx n+qα |x − y|p B B n Z h Z  Z |f ( x ) − f ( y )|q  1q ir o 1r −n t t ≤ |t|p ψ(t)dt dx n+qα dy B Z∗p B |x − y|p Z hZ Z |f ( xt ) − f ( yt )|q  rq i 1r −n ≤ dx |t|p ψ(t)dt n+qα dy Z∗p B B |x − y|p = Z hZ Z∗p Z tB tB |f (z) − f (w)|q  rq i 1r −α−n(1− 1r ) dw dz |t|p ψ(t)dt |z − w|n+qα p (3.31) 68 α,β (Qnp ), ta có Do với hàm f ∈ Fr,q α,β kVψ f kFr,q Z Z n  |Vψ f (x) − Vψ f (y)|q  rq o 1r = sup dy dx β |x − y|n+qα B⊂Qnp |B| p B B q  r i Z Z  Z f (z) − f (w)