Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 18 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
18
Dung lượng
371,62 KB
Nội dung
17 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC A CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 2 2 2 (a b) a 2ab b a 2ab b 4ab ( a b) 4ab 2 2 2 (a b) a 2ab b a 2ab b 4ab ( a b) 4ab 2 a b (a b)(a b) 3 2 3 3 3 (a b) a 3a b 3ab b a b 3ab(a b) a b (a b) 3ab (a b) 3 2 3 3 3 (a b) a 3a b 3ab b a b 3ab(a b) a b (a b) 3ab(a b) 3 2 a b (a b)(a ab b ) 3 2 a b (a b)(a ab b ) Bài 1: a) Tính A 1002 992 982 97 2 12 n b) Tính B 12 22 32 42 1 n Lời giải a) Ta có: 101.100 A 1002 99 982 97 22 12 (100 99)(100 99) (2 1)(2 1) 100 5050 b) Ta xét hai trường hợp - TH1: Nếu n chẵn B 22 12 42 32 n n 1 1 n 1 n n n 1 - TH1: Nếu n lẻ 2 B 22 12 42 32 n 1 n n 1 n 1 n Hai kết dùng cơng thức: 1 n n n 1 n n 1 2 Bài 2: So sánh A 19999.39999 B 29999 Lời giải 2 Ta có: 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 29999 10000 29999 A B Bài 3: Rút gọn biểu thức sau Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 64 a A (2 1)(2 1) (2 1) 64 b B (3 1)(3 1) (3 1) 2 c C (a b c) ( a b c) 2( a b) Lời giải 64 64 128 128 a A (2 1)(2 1) (2 1) (2 1)(2 1)(2 1) (2 1) 1 2 1 2 1 3128 1 B (3 1)(32 1) (364 1) (3 1)(3 1)(32 1) (364 1) (3128 1) 2 b c Ta có: C (a b c) ( a b c ) 2( a b) ( a b c) 2( a b c)(a b c) (a b c) 2(a b c)(a b c ) 2 2(a b) (a b c a b c) a b c -2 a b 4(a b) 2(a b) 2c 2(a b) 2c Bài 4: Chứng minh a (a b )( x y ) (bx ay ) ax by 2 b (a b c )( x y z ) ax by cz (bx ay ) (cy bz ) (az cx) Lời giải 2 2 2 2 2 2 2 2 a Ta có: VT = (a b )( x y ) a x a y b x b y (bx ) (ay ) (ax) (by ) (bx) 2bx.ay (ay ) 2bx.ay (ax) (by ) (bx ay ) ax by ( dpcm) 2 (a b )( x y ) (a b ) z c ( x y z ) ax by ax by cz cz b VT = 2 = ax by (bx ay ) (az ) (bz ) (cx) (cy ) (cz ) ax by (cz ) 2ax.cz 2by.cz (bx ay ) [(cy) 2by.cz (bz ) ]+(az) (cx) 2az.cx (bx ay ) (cy bz ) (az cx) Nhận xét: Đây bất đẳng thức Bunhicopski Bài 5: 2 2 Cho x y z Chứng minh rằng: (5 x y z )(5 x y z ) (3 x y ) Lời giải 2 2 VT = (5 x y ) 16 z 25 x 30 xy y 16 z 2 2 2 2 2 Mà: z x y VT 25 x 30 xy y 16( x y ) 9 x 30 xy 25 y (3 x y ) (dpcm) Bài 6: Cho (a b c d )(a b c d ) (a b c d )(a b c d ) Chứng minh rằng: ad = bc Lời giải a d b c a d b c = a d (b c ) a d 2ad b c 2bc VT = Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 2 2 2 2 VP = [(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d) (c b) ( a d ) (c b) a d 2ad c b 2bc VT = VP 2ad 2bc 2ad 2bc 4ad 4bc ad bc(dpcm) Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: 2 a a + b + c = a a c abc b c b 0 2 2 2 b ( y z ) ( z x) ( x y ) ( y z x) ( z x y ) ( y x z ) x = y = z Lời giải a Ta có : a b3 (a b)(a ab b ) a b3 c(a ab b ) a c abc b 2c a b3 a 2c abc b 2c 0 a b c a b c b Đặt : y z a; z x b; x y c a b c 0 y z x ( y x) ( z x) b c z x y c a x y z a b Từ giả thiết ta có : a b c (b c) (c a ) (a b )2 a b c b 2bc c c 2ac a a 2ab b a b c 2ab 2bc 2ca 0 2(a b c ) (a b c 2ab 2bc 2ca ) 0 x y a b c 0 a b c y z x y z z x 2(a b c ) (a b c ) 0 2 Bài 8: Chứng minh không tồn số thực x, y, z thỏa mãn: 2 a x 10 y xy x y 0 2 b x y z x z y 15 0 Lời giải 2 a VT ( x y ) (2 x 1) ( y 1) 1 ( dpcm) 2 b VT ( x 1) 4( y 1) ( z 3) 1 (dpcm) Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn 2 a x y 4 y ( x 3) 2 b x xy y 28 x 28 0 2 c x y z 2( xy yz z ) Lời giải 3 x y 4 y ( x 3) ( x y ) (2 y 3) 0 x 3; 2 a Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com b Ta có: x xy y 28 x 28 0 (7 x 28 x 28) (2 x xy y ) 0 x 2 7( x 2) 2( x y ) 0 y 1 c Ta có: x y z 2( xy yz z ) ( x y ) ( y z ) ( z 1) 0 x ; y 2; z 1 Bài 10: Chứng minh biểu thức sau viết dạng tổng bình phương hai biểu thức: x x 1 x x 3 Lời giải Ta có: 2 x x 1 x x 3 x x x 1 x x x x 2 10 x 40 x 50 x x dpcm Bài 11: Cho a x x Tính theo a giá trị biểu thức A x x x x Lời giải Ta có: A x x x x x x 1 x x x x x A x x 1 x x 1 A a 2a a 1 x x a x a x 2a a Bài 12: Chứng minh bình phương đa thức Lời giải Ta có: A x ax x ax 2a a Đặt t x ax A t t 2a a t 2ta a t a A x ax a dpcm Bài 13: 2010 2010 2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005a1005 Tính giá trị biểu a) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 20 thức sau 11 A a b b c c a 2010 2 2 b) Cho a, b, c, d Z thỏa mãn a b c d Chứng minh a b c d tổng ba số phương 2 c) Chứng minh rằng: Nếu p q hai số nguyên tố thỏa mãn p q p 3q p q số nguyên tố Lời giải a) Ta có: a 2010 b 2010 c 2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005 a1005 2a 2010 2b 2010 2c 2010 2a1005b1005 2b1005c1005 2c1005a1005 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 2 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 0 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 a b c 20 Vậy 11 A a a b b c c 2010 A 0 b) Ta có: 2 a b c d a c d b; a b c d c d b b c d c d c d b b b c d 2 2 c d 2bc 2bd b b c d c d b c b d c) Ta có: p q p 3q p 4q 4 p 12q p p 4q 12q p 1 2q mà p ( p nguyên tố ); 2q (q nguyên tố ) Do p 2q q p Ta có: q 3 p 2 q 2 lẻ, p chẵn p 2 q 3 p q 13 số nguyên tố Bài 14: [ HSG – năm 2015 ] 2 2 2 Cho a, b, c thỏa mãn: a b c 2; a b c 2.CMR : M (a 1)(b 1)(c 1) viết dạng bình phương biểu thức Lời giải: Cách 1: M (a 1)(b 1)(c 1) a 2b 2c a 2b a 2c b 2c a b c 1(*) 2 2 2 2 Có: a b c 2 a b c (a b c ) (a b c) Có: (a b c) a b c 2(ab bc ca) 4 ab bc ca 1 a 2b a 2c b 2c 2(acb a 2bc c ab) 1 a 2b a 2c b c 1 2(acb a 2bc abc ) M (abc )2 2abc(a b c) a b c M (abc) 2abc(a b c) (a b c) abc a b c (dpcm) Cách 2: Ta có: a a ab bc ca (a b)(a c ); b (a b)(b c); c (a c)(c b) M [(a+b)(b+c)(c+a)]2 HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA 3 2 3 3 3 (a b) a 3a b 3ab b a b 3ab(a b) a b (a b) 3ab (a b) (a b)3 a 3a 2b 3ab b a b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 2 Bài 1: Cho x x 10 Tính A x 3x x 3x x x Lời giải A x 3x x 3x x x ( x x x x ) ( x x x ) ( x x 1) ( x x)3 ( x x) ( x x) 1 1111 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com A Bài 2: Tính (23 1)(33 1) (1003 1) (23 1)(33 1) (1003 1) Lời giải (k 1)3 ( k 2)[(k+1) -(k+1)+1] k (k-1)(k k 1) k1 Ta có: k Cho k chạy từ đến 100, ta thu được: A (23 1) A 9 33 43 1003 1 101 9 3 2 1 1 99 100 1 98 99(100 100 1) 99.100.101 9.99.100.101 30300 1.2.3 10101 6.99.10101 20202 2 Bài 3: Cho x y 1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y A 2 x y x y Lời giải Ta có: 3 A 2 x y x y 2 x y x x y y x y 2 x x y y x y x x y y x y dpcm 3 2 Bài 4: Cho a 3ab 2; b 3a b 11 Tính a b Lời giải a 2 3ab b3 3a 2b 22 11 a 6a 4b 9a 2b b 6a 2b 9a 4b 4 121 Ta có: a 3a 4b 3a 2b b 125 a b 53 a b 5 3 Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a b c 3abc Lời giải A a b3 c 3abc (a b)3 3ab(a b) c 3abc 3 A a b c -3ab a b c = a b c 3(a b)c.(a b c) 3ab(a b c) A (a b c) a b c 3(a b)c 3ab (a b c)(a b c ab bc ca ) 3 Bài 6: Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a b c 3abc (a b )3 (b c )3 (c a )3 B (a b )3 (b c)3 (c a )3 Áp dụng tính Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Lời giải 3 3 3 Từ giả thiết c (a b) a b c a b (a b) 3ab(a b) 3abc +) a b b2 c c a 0 3( a b )(b c )(c a ) B (a b)(b c)(c a ) 3( a b)(b c)(c a) a b b c c a 0 1 3 3 abc Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: (a b c) a b c Chứng minh rằng: a b c 2 2 Lời giải Ta có: (a b c) a b c ab bc ca 0 1 1 1 1 0 3 a b c a b c a b c abc 1 bc ca ab 0 A a b c Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: a b c Tính Lời giải 1 1 1 x ; y ; z x y z 0 x y z 3xyz a b c a b c abc Đặt A abc abc abc 1 abc( ) abc 3 a b c a b c abc 2 2 3 3 Bài 9: Cho x y a b; x y a b Chứng minh x y a b Lời giải Ta có: 2 x y x y x xy y ; x y a b x y a b x xy y a 2ab b 2 2 Do x y a b xy 2ab xy ab Thay kết vào ta được: x y x y x xy y a b a ab b a b3 dpcm 3 Bài 10: Cho a b m; a b n Tính ab; a b theo m n Lời giải a b m; a b n b Cách 1: Từ m n mn m n m n m2 n2 ,a ab 2 2 3 3m n n m n m n m n m n a b3 Cách 2: Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 4ab a b a b m n ab liệu word toán zalo: m2 n TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com m2 n2 a b3 a b a ab b a b a b ab n m Lại có: n 3m n2 3m n n3 2 Bài 11: Cho a b c m Tính giá trị biểu thức sau theo m 2 A 2a 2b c 2b 2c a 2c 2a b Lời giải Ta có: A 2a 2b 2c 3c 2b 2c 2a 3a 2c 2a 2b 3b Đặt 2 x a b c A x 3c x 3a x 3b 12 x 12 x a b c a b c 12 x 12 x a b c 9m (a + b + c) HẰNG ĐẲNG THỨC: Ta có: (a b c )3 a b c (a b)3 3(a b)2 c 3(a b)c c 3(a 2b ab a 2c ac b 2c bc abc abc ) 3 (a 2b ab ) (a c ac ) (ac bc ) (b 2c abc ) =3 a b b c c a +a b c (a b c)3 a b3 c 3(a b)(b c )(c a) 3 3 Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 Tính: A (a b c) (b c a ) (c a b) (a b c) Lời giải Đặt x b c a y c a b z a b c x y 2c y z 2a ; x y z a b c z x 2c A ( x y z )3 x y z 3( x y )( y z )( z x ) 3.2c.2b.2a 24abc 24 Bài 2: Phân tích thành nhân tử 3 3 a A 8( a b c) (2a b c ) (2b c a ) (2c a b) 3 3 b B 27(a b c) (2a 3b 2c) (2b 3c 2a) (2c 3a 2b) Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 2a b c x 2b c a y 2c a b z x y a 3b y z b 3c x y z 2(a b c ) z x c 3a 3 3 a Đặt A ( x y z ) x y z 3( x y )( y z )( z x ) 3(a 3b)(b 3c )(c 3a ) b Ta có: B 27(a b c)3 (2a 3b 2c)3 (2b 3c 2a)3 (2c 3a 2b)3 3(5a b)(5b c)(5c a) Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = n n n Tính A a b c ( n số tự nhiên lẻ ) Lời giải a b 0 (a b c) 1 a b c 3(a b)(b c )(c a ) 0 b c 0 c a 0 Ta có: 3 3 n n n +) TH1: a b 0 a b c 1 a b c 1 +) Tương tự ta có: A = Bài 4: Giải phương trình sau 3 a 27 x ( x 5) 64 (4 x 1) 3 3 3 b (2 x x 1) (2 x 1) ( x x 1) ( x x 3) c ( x x 2) x ( x 1)( x 2) ( x x 3)3 ( x x 1)3 ( x x 1)3 1 d a b c Lời giải a Ta có: 27 x3 ( x 5)3 64 (4 x 1)3 (3 x)3 ( x 5)3 64 x x 3(3 x x 5)( x 4)(4 x) 0 5 4 x ;1; 3 4 3 3 b (2 x x 1) (2 x 1) ( x x 1) ( x x 3) (2 x x 1)3 (2 x 1) ( x x 1) ( x x 3)3 a b 2 x b c 3 x x 2 2 x x a; x b; x x c a b3 c (a b c )3 c a x x a b c x x Đặt a b 0 3( a b)(b c)(c a ) 0 b c 0 c a 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán a b 0 b c 0 c a 0 zalo: x 0 3x x 0 x 1;1; 2 x x 0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 3 3 c ( x x 2) x ( x 1)( x 2) ( x x 2)3 x x ( x 2)3 (2 x)3 3( x x x)( x x x)(2 x x ) 0 6( x x )( x 3x 2) 0 x 0;1; 2 Bài 5: Cho x y z 0; xyz 0 Tính A x2 y z yz xz xy Lời giải x y z x3 y z A yz xz xy xyz 3 Cách 1: Nếu x y z 0 x y z 3xyz A 3 Cách 2: ( x y z )3 x3 y z 3( x y )( y z )( z x ) x y z ( x y z ) 3( x y )( y z )( z x ) A 3 0 ( x x 3)3 ( x x 1)3 ( x x 1)3 1(*) Bài 6: Giải phương trình sau: a b c Lời giải a b 2 x x b c x x (*) 3( a b)(b c)(c a) 0 x 2; 2; 1 c a x x a b c 1 3 3 Bài 7: Rút gọn A ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) Lời giải Đặt x y z a x y z b a b c x y z A 24 xyz x y z c HẰNG ĐẲNG THỨC: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) Nhận xét a b c 0 a b3 c 3abc 0 a b c - Nếu a b c 0 3 a b c a b c 3abc 0 - Nếu Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Áp dụng: 3 Bài 1: Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn: a b c 3abc Tính giá trị biểu thức a b c M b c a Lời giải a b c 0 a b3 c3 3abc 0 a b c Vì: a b c 0 M +) Nếu a b b c c a c a b b c a b c a +) Nếu a b c M (1 1)(1 1)(1 1) 8 x3 y 6 xy Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 2 x y 1 Lời giải x y 0 x y 6 xy x y 23 3.x y.2 0 x y 2 Ta có: x y 0 x y 0 x y +) Nếu x 3 y +) Nếu x y 2 ( khơn thỏa mãn ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5) 3 Bài 3: Giải phương trình sau: 27( x 3) 8( x 2) ( x 5) Lời giải 27( x 3) 8( x 2) ( x 5)3 (3 x 9)3 (4 x)3 (5 x) 0 Ta có: (3 x 9) (4 x) (5 x) 0 Từ (1), (2) suy ra: (1) (2) x 3 3(3 x 9)(4 x)(5 x) 0 x 2 S 2;3;5 x 5 Bài 4: Cho số thực phân biệt a, b, c khác thỏa mãn: a b c 0 b c b c c a a b a P b c b c c a a b a Tính giá trị biểu thức: Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Ta đặt M b c c a a b a a c a a b a c ca ba b 2a 2a M 1 a b c b c b c b c b c bc bc bc M Tương tự ta có: P 3 b 2b3 c 2c 1 ;M 1 c a abc a b abc 2(a b3 c ) 2.abc 3 (do : a b c 0) 9 P 9 abc abc x2 y z a b c 3 ; ; * yz zx xy b c a c a b Bài : Giả sử ba số nghiệm phương trình a b c ; ; 2 Chứng minh ba số (b c ) (c a ) (a b) nghiệm phương trình Lời giải x2 y2 z 3 x3 y z xyz 0 Ta có: yz xz xy x y z x y z 0 Vì nghiệm phương trình ba số khác nên số a, b, c ba số khác khác +) Nếu: a b c k 0 a k (b c ); b k (c a ); c k (a b ) a b c 0 a b c b c c a a b Từ: a b a b (a b) a b 0 a b 0 a b c 0 (loai ) b c c a b a b a b a +) Nếu: a b c a b c b(b a ) c (a c ) a b ba ca c 0 (1) b c c a a b b c a c b a (c a )(a b ) (b c ) (a b )(b c )(c a ) b c cb ab a (2); (a b)(b c)(c a ) Tương tự ta có: (c a ) c a ac bc b (a b) (a b)(b c)(c a ) (3) a b c 0 2 ( b c ) ( c a ) ( a b ) Từ (1), (2), (3) suy ra: m Đặt a b c ;n ;p 2 (b c ) (c a ) (a b) m n p 0 m3 n3 p 3mnp Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán m2 n2 p2 3 np mp mn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a b c ; ; 2 Vậy ba số (b c) (c a ) (a b) nghiệm phương trình cho BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tính giá trị biểu thức a b c M a b c với a, b, c số thực thỏa mãn: a) a b3 c3 3abc 0 a b c 0 a b c N b c a với a, b, c số thực khác thỏa mãn: b) a 3b3 b3c c3 a 3a 2b 2c 1 0 Bài 2: Cho x y y z z x Tính giá trị biểu thức P y z z x x y z x y x y z 2 x y y z x z Bài 3: Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a b 3 b c c a a b c a b b c c a Chứng minh chia hết cho 81 Bài 4: Giải hệ phương trình sau 3 x 27 y 27 xy 27 x y 4 a) b) x y z 0 2 x y z 6 x y z 6 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG 2 2 (a b c) a b c 2ab 2bc 2ca 2 2 (a b c) a b c 2ab 2bc 2ca (a1 a a3 a n ) a12 a22 an2 2(a1a2 a2a3 an 1an ) Áp dụng: 2 2 2 Bài 1: Chứng minh rằng: (2a 2b c) (2b 2c a) (2c 2a b) 9( a b c ) Lời giải 2a 2b c 4a 4b c 8ab 4ac 4bc 2 2b 2c a 4b 4c a 8bc 4ab 4ac 2 2 2c 2a b 4c 4a b 8ac 4bc 4ab Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Cộng theo vế đẳng thức ta được: (2a 2b c) (2b 2c a) (2c 2a b) 9(a b c ) Bài toán chứng minh Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = Tính giá trị biểu thức A (a b c d ) (a b c d ) ( a b c d ) (a b c d ) Lời giải 2 2 Ta có ( x y ) ( x y) 2( x y ) Áp dụng ta được: 2 A a b c d a b c d a b c d a b c d 2 2 A 2 a b (c d ) a b (c d ) 2 a b a b (c d ) (c d ) A 4 a b 4(c d ) 4 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 a a 4b 5c 4ab 12bc 6ac 4 2 2 2 b a b c a b b c c a 2abc (a b c ) 2 c a 3b 4c 4ab 8bc 4ac Lời giải 2 2 a a 4b 5c 4ab 12bc 6ac (a 2b 3c ) (2c) ( a 2b c )(a 2b 5c) 4 2 2 2 b a b c a b b c c a 2abc (a b c ) (a b c )2 (ab bc ca )2 (a b c ab bc ca )(a b c ab bc ac ) 2 2 c a 3b 4c 4ab 8bc 4ac (a 2b 2c) b (a b 2c )(a 3b 2c) Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn 2 a x y z xy yz zx x y 0 2 b x y z xy yz zx x y 0 2 c x y z xy yz zx z 0 2 d x 11y 28 z 14 xy 16 yz zx 20 z 0 2 e 3x y 23 z xy 22 yz 12 zx 12 z 0 Lời giải 2 a x y z xy yz zx x y 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com ( x 1) ( y 1) (2 x y z ) 0 ( x; y; z ) ( 1;1; 0) 2 b x y z xy yz zx x y 0 x y z xy yz zx x y 0 ( x 1) ( y 1) ( x y z ) 0 ( 1; 1;1) 2 c x y z xy yz zx z 0 (4 z z 1) x y z xy yz zx 0 (2 z 1) ( x y) ( x y z ) 0 2 d x 11y 28 z 14 xy 16 yz zx 20 z 0 5(4 z z 1) x 11 y z 14 xy 16 yz zx 0 5(2 z 1) 3( x y ) 2( x y z ) 0 (1;1;1) 2 e 3x y 23 z xy 22 yz 12 zx 12 z 0 3( x y z )2 5( y z ) 6( z 1) 0 ( x; y; z ) (1;1;1) Bài 5: Chứng minh không tồn số thực x, y, z thỏa mãn: 2 a x 26 y 10 xy 14 x 76 y 59 0 2 b x y x xy 10 y 14 0 Lời giải 2 2 2 a Ta có: VT ( x 10 xy 25 y ) y 14 x 76 y 59 ( x y) 2.7.( x y ) y y 10 ( x y ) 2.7.( x y ) ( y 3) ( x y 7) ( y 3) 1 (dpcm) 2 b VT ( x y 1) ( y 3) 4(dpcm) Bài 6: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = Tính a4 + b4 + c4 Lời giải Ta có: (a b c) 0 a b c 2(ab bc ca) 0 2(ab bc ca ) 0 ab bc ca (1) 2 2 4 2 2 2 Có: (a b c ) 2 a b c 2(a b b c c a ) 4 (2) 2 2 2 2 2 2 2 Từ (1) suy ra: a b b c c a 2a bc 2ab c 2abc 1 a b b c c a 1 4 Thay vào (2) ta được: a b c 4 2 1 1 2 a b c a b c abc Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: (1) (2) 1 2 a b c Lời giải Từ (1) suy ra: 1 1 1 1 1 a b c 4 4 4 a b c a b c a b c ab bc ca abc 1 1 1 4 2 a b c a b c Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp ) 3 2 a b (a b)( a ab b ) 5 2 a b (a b)(a a b a b ab b ) n n n n n n n a b (a b)(a a b a b ab b ) 5 2 4 a b (a b)(a a b a b ab b ) n n n n n n n a b (a b)(a a b a b ab b ) ( với n lẻ ) Áp dụng: Bài 1: Giải hệ phương trình sau x y ( y 1) x y xy ( x xy y ) 31 a c x y 2 2 4 b x x y y x( x x y y ) x y 2 x 2 2 x x y y xy ( x y ) Lời giải a Ta có: x y y x y y ( x y )( x y x y x y xy ) 31y x y 31y x 32 y (2 y )5 y 0 x 2 y y y y y 1 y x 0 (loai ) y 1 x 2 y x b Ta có: x x y y x x3 y xy x x y x y xy y x ( x y )( x x y x y xy y ) 2x x y 2 x5 x y x y x y 1 2 5 c Ta có: x x y x y xy y 1 x x y x y 1 99 Bài 2: Chứng minh : 100 4.25 Lời giải Ta có: 29 299 29 (1 290 ) 29 [(210 ) 1] 29 (10249 1) 2 (1024 1) (10248 1024 10246 1) A100 4 25 n n n * Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có: A 20 16 1323n N , n chẵn Lời giải Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com A (202 k 32 k ) (16 k 1) (20 3)(20 k 20 k 2.3 32 k ) (16 1)[(16 ) k 1] A17(1) 17 17 A (202 k 1) (16 k 32 k ) (20 1).(20 k 1) (16 32 )[(16 ) k (32 ) k ] A 19(2) 19 19 Từ (1) (2) A323 100 Bài 4: Tìm n thuộc N* để A n n số nguyên tố Lời giải 100 99 33 Ta có A (n n) (n n 1) n(n 1) (n n 1) n[(n ) 1] (n n 1) n(n 1)[(n )32 (n3 )31 1] (n n 1) (n n 1) n(n 1).[ ]+1 n n +) Nếu n > A > n2 + n + suy A hợp số +) Nếu n = A = ( thỏa mãn ) Vậy n = Bài 5: Chứng minh số A 1000.09 100 a b B 10000000099 hợp số hợp số Lời giải a Ta có: 101 101 2 33 A 1000 09 10 10 (10 10 ) (10 10 1) 10 [(10 ) 1] (10 10 1) 100 102 (103 1)[(103 )32 (103 )31 1] (10 10 1) 10 (10 1)(10 10 1).[ ]-(102 10 1) A102 10 1 91 7.13 A7, A13 Là hợp sô 10 5 b B 10000000099 10 99 100 99 100 100 100 (100 1) (100 100 1) B 1002 100 B > B 1002 100 nên B hợp số n 2 n 1 * Bài 6: Chứng minh A 10 11 111n N Lời giải Ta có 111 = 37 = 10 + 10 + A (112 n 1 1002 n1 ) (104 n 2 10 n 2 ) (112 n1 1002 n 1 ) 10 n2 (103n 1) A ( ) 10n2.(103 1) (103 ) n (103 ) n 1 A (11 100) 112n 112 n 1.100 1002 n -10n+2 (103 1).[ ]=111 [ ]-10n+2 [ ] 111 Bài 7: n n n n * Chứng minh A 2903 803 464 261 1897n N Lời giải Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com n n n n (2903 803 ) (2903 803) 2100 7.300 2903 464 2439 271.9 A 7; A271 n n n n (464 261 ) : (464 261) 203 7.29 803 261 542 2.271 Vậy A chia hết cho 271 = 1897 n 2 n 1 * Bài 8: Chứng minh A (11 12 ) 133n N Lời giải Ta có 133 = 112 + 11 +1 A (122 n 1 1212 n 1 ) 11n 2 (113n 1) (12 121)(12 n 12 n 1.121 1212 n ) 11n 2 (113 1)[11n-1 11n 1] 133 Vậy A133 ( dpcm) Bài 9: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tính giá trị biểu thức A (a b c) ( a b c) (a b c) (a b c ) Lời giải 2 Khai triển rút gọn ta được: A 4( a b c ) 4 2 Bài 10: Phân tích đa thức sau thành tích đa thức A a 3b 4c 4ab 8bc 4ca Lời giải 2 2 Ta có: A a 3b 4c 4ab 8bc 4ca (a 2b 2c) b ( a b 2c)(a 3b 2c) Bài 11: Tìm x, y, z thỏa mãn 2 a x y z xy yz zx x y 0 2 b x y 23z xy 22 yz 12 xz 12 z 0 Lời giải 2 2 2 a x y z xy yz zx x y 0 (2 x y z ) ( x 1) ( y 1) 0 2 2 2 b x y 23 z xy 22 yz 12 xz 12 z 0 3( x y z ) 5( y z ) 6( z 1) 0 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC