01 chuong01 file1

CHƯƠNG I : VECTƠ CHỦ ĐỀ 01 VECTƠ VÀ TỔNG, HIỆU CỦA HAI VEC TƠ Các định nghĩa uuu r  Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB  Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ uuu r  Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB r  Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu  Hai vectơ đgl phương giá chúng song song trùng  Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Hai vectơ đgl chúng hướng có độ dài r r Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a , b , để biểu diễn vectơ r + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ r Mọi vectơ Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ uuu r uuu r uuur  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC = AC uuu r uuur uuur  Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB + AD = AC r r r r r r r r r r r r r  Tính chất: a + b = b + a ; ( a + b ) + c = a +( b + c ) ; a +0 = a b) Hiệu hai vectơ r r r r r r r  Vectơ đối a vectơ b cho a + b = Kí hiệu vectơ đối a - a r r  Vectơ đối r r r r  a - b = a +( - b ) uuu r uuur uuu r  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB - OA = AB VẤN ĐỀ 01 XÁC ĐỊNH VECTƠ Một vec tơ xác định biết điểm đầu điểm cuối Xác định tổng vec tơ: Dùng định nghĩa, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành tính chất Xác định hiệu hai vec tơ: Dùng quy tắc hiệu hai vec tơ đưa tổng vec tơ với vec tơ đối Vec tơ - khơng: có hai mút trùng nhau, có hai giá khác tổng hai vec tơ đối uuu r uuu r Chú ý: Dùng tính chất giao hốn để gộp vec tơ, dùng vec tơ đối:  AB BA , vẽ đỉnh thứ tư hình bình hành r Bài Hãy tính số vectơ (khác ) mà điểm đầu điểm cuối lấy từ điểm phân biệt cho trường hợp sau a) Hai điểm b) Ba điểm c) Bốn điểm Lời giải uuu r uuu r A , B a) Với hai điểm có hai vectơ AB , BA uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uur b) Với ba điểm A , B , C có vectơ: AB , BA , AC , CA , BC , CB c) Với bốn điểm A , B , C , D có cách chọn điểm đầu có cách chọn điểm cuối khác điểm đầu nên có 4.3 = 12 vectơ r Tổng quát với n điểm phân biệt có n ( n- 1) vectơ khác r r Bài Vec tơ đối vec tơ vec tơ nào? Vec tơ đối vec tơ - a vec tơ ? r r Vec tơ đối r r Vec tơ đối - a a Lời giải r r r r r Bài Cho hai vec tơ a b cho a + b = uuur r uuu r r a) Dựng OA = a , OB = b Chứng minh O trung điểm AB uuur r uuu r r b) Dựng OA = a , AB = b Chứng minh O º B Lời giải uuur uuu r r uuu r uuur a) OA + OB = Þ OB = - OA Þ OB = OA , ba điểm A , O , B thẳng hàng điểm O A B Suy O trung điểm AB uuur uuu r r r r uuu r r b) OA + AB = a + b = Þ OB = Þ B º O Bài Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Xác định tổng hai uuur uuur uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuur vec tơ NC MC ; AM CD ; AD NC ; AM AN Lời giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vì MC = AN nên: NC + MC = NC + AN = AN + NC = AC B M C E uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuur Vì CD = BA nên: AM + CD = AM + BA = BA + AM = BM uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuu r Vì NC = AM nên AD + NC = AD + AM = AE , với E đỉnh hình bình hành DAME uuuu r uuur uuur A Vì tứ giác AMCN hình bình hành nên AM + AN = AC N D Bài Cho tam giác ABC Các điểm M , N P trung điểm AB, AC BC Xác định hiệu uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uur uur AM - AN ; MN - NC ; MN - PN ; BP - CP uuuu r uuur uuuu r Ta có: AM - AN = NM Lời giải uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuur Vì NC = MP nên: MN - NC = MN - MP = PN A uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur Vì - PN = NP nên: MN - PN = MN + NP = MP M N uur uuu r uur uur uur uuu r uuu r Vì - CP = PC nên: BP - CP = BP + PC = BC B C P Bài Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA , AB uuuu r a) Xác định vectơ khác vectơ - khơng phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho uuu r b) Xác định vectơ khác vectơ - không hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho uuu r c) Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A , B Lời giải uuuu r a) Các vectơ khác vectơ không phương với MN uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur uur NM , AB, BA , AP , PA , BP , PB uuu r uur uuuu r uuu r b) Các vectơ khác vectơ - không hướng với AB AP , PB, NM c) Trên tia CB lấy điểm B ' cho BB ' = NP uuu r uuur Khi ta có BB ' vectơ có điểm đầu B vectơ NP Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP uuuu r Trên đường thẳng lấy điểm A ' cho AA ' hướng với uuu r NP AA' = NP uuu r uuuu r Khi ta có AA ' vectơ có điểm đầu A vectơ NP VAÁN ÑEÀ 02 A' A N P B' B M C CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Để chứng minh đẳng thức ta thường biến đổi từ vế thành vế kia, biến đổi tương đương Có thể lập hiệu so sánh với nhóm vec tơ thứ ba Vec tơ - khơng có hai mút trùng nhau, tổng hai vec tơ đối có hai giá khác Phối hợp quy tắc tổng, hiệu vec tơ tính chất, kỹ thuật tách gộp, chọn gốc: uuu r uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuur AB  BC  AC , MN MX  XN MX  XY  YN uuur uuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r OA  OB BC , MN  AN  AM uur uu r Bài Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA =- IB Lời giải uur uu r uur uu r Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB IA = IB hai vec tơ IA , IB ngược hướng Vậy IA = - IB uur uu r uur uu r Ngược lại, IA = - IB IA = IB hai vec tơ IA , IB ngược hướng Do A , I , B thẳng hàng Vậy I trung điểm đoạn thẳng AB Bài Cho tam giác ABC Các điểm M , N P trung điểm cạnh AB, AC BC chứng minh với uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r điểm O ta có: OA + OB + OC = OM + ON + OP Lời giải uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r uur uuur uuur Ta có: OA +OB + OC = OM + MA +OP + PB +ON + NC uuuu r uuur uuu r uuur uur uuur = OM + ON + OP + MA + PB + NC uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur = OM + ON + OP + MA + NM + AN uuuu r uuur uuu r uuuu r uuuu r = OM + ON + OP + MN + NM uuuu r uuur uuu r r uuuu r uuur uuu r = OM + ON + OP + = OM + ON + OP A M N B uuur uuu r uuur r Bài Gọi O tâm tam giác ABC Chứng minh OA + OB + OC = A Lời giải Vẽ lục giác AMBNCP nội tiếp đường tròn ( O) C P P M uuu r uuur uuur Vì BOCN hình bình hành nên: OB + OC = ON O uuur uuu r uuur uuur uuur r Do đó: OA + OB + OC = OA + ON = C B N uuur uuur Bài 10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B ' cho B ' B = AG uu r uur a) Chứng minh BI = IC uu r uur b) Gọi J trung điểm BB ' Chứng minh BJ = IG Lời giải uur uu r a) Vì I trung điểm BC nên BI = CI BI hướng với IC uu r uur uu r uur hai vectơ BI , IC hay BI = IC uuur uuur b) Ta có B ' B = AG suy B ' B = AG BB ' P AG uu r uur Do BJ , IG hướng (1) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên IG = AG , J trung điểm BB ' suy BJ = BB ' Vì BJ = IG (2) uu r uur Từ (1) (2) ta có BJ = IG A B' G J B I C Bài 11 Cho tam giác ABC có H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B ' điểm đối xứng B qua uuur uuur uuur uuur O Chứng minh AH = B ' C , AB ' = HC Lời giải A Vì BB ' đường kính đường trịn ngoại tiếp · · tam giác ABC nên BAB ' = BCB ' = 90 B' Do CH P B ' A AH P B ' C O H Suy tứ giác AB ' CH hình bình hành uuur uuur uuur uuur Vậy AH = B ' C , AB ' = HC C B Bài 12 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy hai điểm E F cho AE = EF = FC ; BE cắt uuur uuuu r AM N Chứng minh NA NM hai vec tơ đối A Lời giải Ta có: FM P BE FM đường trung bình tam giác CEB E N Mà EA = EF nên EN đường trung bình tam giác AFM F Suy N trung điểm AM uuur uuuu r Vậy NA = - NM B C M Bài 13 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm BC , CA , AB Chứng minh uuur uuur uuu r r a) BM + CN + AP = uuu r uuur uuur uuur r b) AP + AN - AC + BM = uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r c) OA + OB + OC = OM + ON + OP với O điểm Lời giải a) Vì PN , MN đường trung bình tam giác ABC nên PN P BM , MN P BP suy tứ giác BMNP hình bình hành uuur uuur Þ BM = PN uuur uuur Vì N trung điểm AC Þ CN = NA Do theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r r BM + CN + AP = PN + NA + AP = PA + AP = ( ) A N P B M C b) Vì tứ giác APMN hình bình hành nên theo quy tắc uuu r uuur uuuu r hình bình hành ta có AP + AN = AM , kết hợp với quy tắc trừ c) uuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur Þ AP + AN - AC + BM = AM - AC + BM = CM + BM uuur uuur r uuu r uuur uuur uuur r Mà CM + BM = M trung điểm BC Vậy AP + AN - AC + BM = Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuuu r uuur uuur uuur OA + OB + OC = OP + PA + OM + MB + ON + NC uuuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur = OM + ON + OP + PA + MB + NC uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r = OM + ON + OP - BM + CN + AP uuur uuur uuu r r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r Theo câu a) ta có BM + CN + AP = suy OA + OB + OC = OM + ON + OP ( ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) uuuu r uuu r Bài 14 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh MQ = NP Lời giải Do M, Q trung điểm AB AD nên MQ đường trung bình tam giác ABD suy MQ P BD MQ = BD (1) Tương tự NP đường trung bình tam giác CBD suy NP P BD NP = BD (2) Từ (1) (2) suy MQ P NP NP = MQ tứ giác MNPQ hình bình hành uuuu r uuu r Vậy ta có MQ = NP A Q D P M B C N Bài 15 Cho hình bình hành ABCD Trên đoạn thẳng DC , AB theo thứ tự lấy điểm M , N cho DM = BN uuu r uuu r uuuu r uuur Gọi P giao điểm AM , DB Q giao điểm CN , DB Chứng minh AM = NC DB = QB Lời giải AN DM = BN Þ AN = MC Ta có , mặt khác song song với MC tứ giác ANCM hình bình hành uuuu r uuur Suy AM = NC N A Xét tam giác D DMP D BNQ ta có · · DM = NB (giả thiết), PDM (so le trong) = QBN · · · · Mặt khác DMP (đối đỉnh) APQ (hai góc đồng vị) = NQB = APB · · suy DMP = BNQ Do D DMP = D BNQ (c.g.c) suy DB = QB uuu r uuu r uuu r uuu r Dễ thấy DB , QB hướng DB = QB Q P D M Bài 16 Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm mặt phẳng Chứng minh uuu r uuur uuur r uuur uuu r uuur uuur r a) BA + DA + AC = b) OA + OB + OC + OD = uuur uuur uuur uuuu r c) MA + MC = MB + MD Lời giải uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur a) Ta có BA + DA + AC = - AB - AD + AC = - AB + AD + AC uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur r Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC suy BA + DA + AC = - AC + AC = uuur uuu r uuur uuur uuur uuur r b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có: OA = CO Þ OA +OC = OA + AO = ( 10 ) C B c) uuu r uuur r uuur uuu r uuur uuur r Tương tự: OB + OD = Þ OA + OB + OC +OD = uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r r Vì ABCD hình bình hành nên AB = DC Þ BA + DC = BA + AB = uuur uuur uuur uuu r uuuu r uuur Þ MA + MC = MB + BA + MD + DC uuur uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r = MB + MD + BA + DC = MB + MD Bài 17 Cho hình bình hành ABCD Gọi E F trung điểm hai cạnh AB CD Nối AF CE , hai uuuu r uuuu r uuu r đường cắt đường chéo BD M N Chứng minh DM = MN = NB Lời giải F D C Ta có AECF hình bình hành nên: EN P AM Vì E trung điểm AB nên N trung điểm BM , MN = NB Tương tự, M trung điểm DN , DM = MN uuuu r uuuu r uuu r Hơn nữa, vec tơ hướng nên: DM = MN = NB E A B uuu r uuur Bài 18 Cho hình bình hành ABCD ABEF với A , D , F không thẳng hàng Dựng vec tơ EH FG vec tơ uuur AD Chứng minh tứ giác CDGH hình bình hành Lời giải C D uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r Ta có EH = AD , FG = AD Þ EH = FG uuur uur Þ Tứ giác FEHG hình bình hành Þ GH = FE ( 1) B A uuur uuu r uuu r uur uuur uur Ta có: DC = AB , AB = FE Û DC = FE uuur uuur Từ ( 1) ( 2) ta có GH = DC ( 2) H G Vậy tứ giác GHCD hình bình hành F E Bài 19 Cho hình bình hành ABCD Gọi O điểm đường chéo AC Qua O kẻ đường thẳng song song với cạnh hình bình hành Các đường thẳng cắt AB DC M N , cắt AD BC E F Chứng minh uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r a) OA + OC = OB + OD b) BD = ME + FN Lời giải uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur a) Ta có AB = OB - OA , DC = OC - OD uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur Vì AB = DC nên: OB - OA = OC - OD uuur uuur uuu r uuur Vậy OA + OC = OB + OD b) Tứ giác AMOE tứ giác OFCN hình bình hành nên uuur uuu r uuur uuuu r uuu r uur ME + FN = MA + MO + FO + FC uuur uuu r uuuu r uur uuur uuur uur uur uuu r uuu r uuu r = MA + FO + MO + FC = MA + BM + BF + FC = BA + BC = BD ( ) ( ) ( ) ( ) 11 Bài 20 Cho năm điểm A , B , C , D , E Chứng minh uuu r uuu r uuu r uur uuu r a) AB + CD + EA = CB + ED uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uur AC + CD - EC = AE - DB + CB b) Lời giải a) Biến đổi vế trái ta có uuur uur uuu r uuu r uuur VT = AC + CB + CD + ED + DA uur uuu r uuur uuu r uuur = CB + ED + AC + CD + DA uur uuu r uuur uuur = CB + ED + AD + DA uur uuu r = CB + ED = VP ĐPCM ( ) ( ( b) Đẳng thức tương đương với uuur ( ) ) ( ) ) uuu r uuu r uur uuu r uuu r r AE + CD - CB - EC + DB = uuu r uuu r uuu r uuu r r Û EC + BD - EC + DB = uuu r uuu r r Û BD + DB = (đúng) ĐPCM ( AC - ) ( ) uuur uuu r uuur uuur uuu r r Bài 21 Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh: OA + OB + OC + OD +OE = Lời giải r uuur uuu r uuur uuur uuu r Ta chứng minh v = OA + OB + OC + OD + OE có hai giá khác Gọi d đường thẳng chứa OD d trục đối xứng ngũ giác uuur uuu r uuuu r Ta có: OA + OB = OM , M đỉnh hình thoi OAMB thuộc d uuur uuu r uuur Tương tự OC + OE = ON , N thuộc d r uuur uuu r uuur uuu r uuur Do v = OA + OB + OC +OE + OD uuuu r uuur uuur = OM + ON + OD có giá d r uuu r uuur uuur uuur uuu r r Ta ghép v = OB + OC + OD + OA + OE v có giá đường thẳng OE r r r uur uu r Vì v có IA = - IB giá khác nên v = ( ) ( ( M A B ) ) ( O E C N ) d uuur uur uur uuu r uur uuu r Bài 22 Cho điểm A , B , C , D , E , F Chứng minh AD + BE + CF = AE + BF + CD Lời giải uuur uuu r uur uur uur uuu r r Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với AD - AE + BE - BF + CF - CD = uuu r uur uuu r r uur uur r Û ED + FE + DF = Û EF + FE = (đúng) uuur uur uur uuu r uuu r uur uur uuu r uuu r Cách 2: VT = AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r = AE + BF + CD + ED + FE + DF uuu r uur uuu r = AE + BF + CD = VP ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) Bài 23 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O , M điểm Chứng minh uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r r a) OA + OC + OB + OD + OE + OF = 12 D b) uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur MA + MC + ME = MB + MD + MF Lời giải a) Tâm O lục giác tâm đối xứng lục giác nên: uuur uuur r uuu r uuu r r uuur uuu r r OA + OD = 0, OB +OE = 0, OC + OF = uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r r Do OA + OC + OB + OD + OE + OF = OA + OD + OB + OE + OC + OF = uuur uuur uuur uuur uuu r uuuu r uuur uuur uur b) MA + MC + ME = MB + BA + MD + DC + MF + FE uuur uuuu r uuur uuu r uuur uur = MB + MD + MF + BA + DC + FE uuur uuuu r uuur uuu r uuu r uuur = MB + MD + MF + BA + OB + AO uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuu r = MB + MD + MF + BA + AO + OB uuur uuuu r uuur r = MB + MD + MF + uuur uuuu r uuur = MB + MD + MF ( ( ) ( ) ( ( ( ( VẤN ĐỀ 03 ) ( ) ) ) ) ) ( ) TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uuu r Độ dài vec tơ AB  đoạn AB Với điểm A , B , C bất kì: AB  BC  AC Dấu " " xảy A , B , C thẳng hàng theo thứ tự Với điểm A , B , C bất kì: AB  AC BC Dấu " " xảy A , B , C thẳng hàng B , C phía điểm A uuu r uuur uuu r uuur Bài 24 Cho tam giác ABC cạnh a Tính AB + AC AB - AC A Lời giải Từ tam giác ABC cạnh a , vẽ hình thoi BACD thì: uuu r uuur uuur AB + AC = AD nên: uuu r uuur a AB + AC = AD = AH = =a uuu r uuur uur uuu r uuur uur Ta có AB - AC = CB nên AB - AC = CB = CB = a B H C D Bài 25 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC = b lấy hai điểm E F cho AE = EF = FC , BE r uuu r uuu r uuur uuuu r cắt trung tuyến AM N Tính độ dài vec tơ u = AE + AF + AN + MN uuur uur Ta có AC = FC A Lời giải E N F C 13 M B Vì MF P BE nên N trung điểm AM uuur uuuu r r Suy AN + MN = r r uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uur uuur Do u = AE + AF + AN + MN = AF + FC = AC nên u = AC = b uuu r uuu r uuur uuu r · Bài 26 Cho tam giác ABC vng A có ABC = 300 BC = a Tính độ dài vectơ AB + BC , AC - BC uuu r uuur AB + AC Lời giải uuu r uuu r uuur Theo quy tắc ba điểm ta có AB + BC = AC AC a · · Mà sin ABC = Þ AC = BC.sin ABC = a 5.sin 30 = BC uuu r uuu r uuur u u u r u u u r u u u r u u r uuu r a Do AB + BC = AC = AC = , AC - BC = AC + CB = AB B D Ta có AC + AB2 = BC Þ AB = BC - AC = 5a - 5a = a 15 uuur uuu r uuu r A a 15 Vì AC - BC = AB = AB = Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành uuu r uuur uuur Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AC = AD Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD = BC = a uuu r uuur uuur Vậy AB + AC = AD = AD = a C uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur Bài 27 Cho hình vng ABCD cạnh b Tính DA - AB , DA + DC DB + DC Lời giải uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r Ta có: DA - AB = DA - DC = CA nên DA - AB = CA = CA = b uuur uuur uuur uuur uuu r Ta có DA + DC = DB nên DA + DC = DB = b A Vẽ hình bình hành CDBM DM cắt BC trung điểm I đường uuu r uuur uuu r uuur uuuu r Ta có DB + DC = DM nên DB + DC = DM = DI uuu r uuur ỉư b÷ DB + DC = b M DI = b +ỗ nờn ữ = b ỗ ữ ữ ỗ ố2 ứ 14 B I D C M