01 chuong01 file2

CHỦ ĐỀ 03 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ r Trục tọa đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị i r Kí hiệu trục x ' Ox hay 0,i r r r - Tọa độ vectơ u ( a) trục : u = a.i uuuu r r - Tọa độ điểm M ( x) trục: OM = x.i uuu r r uuu r - Độ dài đại số vectơ AB trục Ox tọa độ vectơ đó: AB = AB.i uuu r uuu r uuur - Hệ thức Sa-lơ: Với A , B, C thuộc trục Ox thì: AB + BC = AC Û AB + BC = AC rr r r - Hệ trục Oxy hay 0, i , j với hai vectơ đơn vị i Ox j Oy r r r - Tọa độ vectơ a Oxy : a = ( x; y) hay a ( x; y) r r r a = x.i + y j r i = ( 1; 0) r j = ( 0;1) ( ) ( ) r r ïìï x = x ' - Hai vectơ nhau: a ( x; y) = b ( x '; y ') Û í ïïỵ y = y ' r r - Phép toán vectơ: Cho a = ( x; y) , b = ( x '; y ') r r r r a + b = ( x + x '; y + y ') ; a - b = ( x - x '; y - y ') ; r r r b phương với a ¹ có số k Ỵ Â : x ' = kx , y ' = ky uuuu r r r - Tọa độ điểm M : M ( x; y) hay M = ( x; y) : OM = x.i + y j uuuu r - Tọa độ vectơ MN = ( xN - x M ; y N - y M ) r ka = ( kx; ky) với k Ỵ ¡ x A + xB y + yB ; yI = A 2 x A + xB + xC y + y B + yC ; yG = A - Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC xG = 3 - Tọa độ trung điểm I đoạn AB : xI = VẤN ĐỀ 01 TRỤC TỌA ĐỘ r uuuu r r Trên trục O , i điểm M ( x) OM = x.i r r r r Trên trục O , i vectơ u ( x) u = x.i uuu r Độ dài đại số vectơ AB trục tọa độ vectơ AB = xB - x A Hai điểm trục trùng chúng có tọa độ x + xB Tọa độ trung điểm I đoạn AB : xI = A Chú ý để tính gọn, ta chọn gốc tọa độ cho toán ( ) ( ) 42 uu r uur Bài Trên trục x ' Ox cho hai điểm A , B có tọa độ a b Tìm tọa độ điểm I biết IB = IA Lời giải uu r uur Gọi tọa độ I x tọa độ IB b - x IA a - x uu r uur Ta có IB = IA nên b - x = ( a - x) Vậy x = a - b Bài Trên trục x ' Ox cho hai điểm A , B có tọa độ a b uuur uuur a) Tìm tọa độ x điểm M cho MA = kMB , k ¹ b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB uuur uuur c) Tìm tọa độ x điểm M cho MA = - MB Lời giải uuur uuur a) Gọi x tọa độ điểm M ta có: MA = kMB Û a - x = k ( b - x) a - kb (vì k ¹ ) 1- k a +b a +b = I trung điểm AB , nên công thức k = - nên x1 = +1 uuur uuur 5b + a MA = - MB Û ( a - x) =- ( b - x) Û x = 5b + a Û x = Û ( k - 1) x = kb - a Þ x = b) c) r uuu r uuu r uuur uuu r Bài Cho điểm A , B , C trục O , i có tọa độ 5; - 3; - Tính độ dài đại số AB, BA , AC , BC ( ) uuu r AB = xB - x A = - 8; uuur AC = xC - x A = - 9; uuu r BA = x A - xB = uuu r BC = xC - xB = - Lời giải uur uu r uur r Bài Trên trục x ' Ox cho ba điểm A , B , C có tọa độ a , b , c Tìm tọa độ điểm I cho IA + IB + IC = Lời giải uur uu r uur r Gọi tọa độ I x , ta có: IA + IB + IC = Û a - x + b - c + x = Û x = ( a + b + c ) Bài Trên trục tọa độ x ' Ox cho ba điểm A , B, C có tọa độ - 5; 2; Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện sau uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r a) MA + MB + MC = b) MA + MB + MC = a) b) Lời giải uuur uuur uuur r ỉư 1÷ ÷ MA + MB + MC = Û - - x + - x + = x = Vy M ỗ ç ÷ ÷ ç è3 ø ỉ uuur uuur uuur r 10 ữ 10 ữ ỗ Vy M ỗ MA + MB + MC = Û ( - - x) + ( - x) + ( - x) = x = ữ ỗ ố9 ữ ø 43 Bài Trên trục tọa độ x ' Ox cho ba điểm A , B, C có tọa độ 8, - 2, a) Tính tọa độ điểm C đối xứng với điểm M qua điểm B uuur MA b) Tính tỉ số uuur MB Lời giải xC + xM a) Vì B trung điểm đoạn CM nên xB = Þ xC = 2xB - x M =- - =- uuur MA uuur uuur uuur uuur b) Ta có MA = - = Þ MA = MB = ( - 2) - = - Þ MB = Vậy uuur = MB uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r Bài Trên trục tọa độ x ' Ox cho bốn điểm A , B, C , D tùy ý Chứng minh AB.CD + AC.DB + AD.BC = Lời giải a , b , c , d A , B , C Gọi tọa độ điểm D uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r Ta có: AB.CD + AC.DB + AD.BC = ( b - a) ( d - c) +( c - a) ( b - d) +( d - a) ( c - b) = ( bd - bc - ad - ac) +( bc - cd - ab + ad) +( dc - bd - ac + ab) =0 Bài Trên trục tọa độ x ' Ox cho bốn điểm A , B, C , D Gọi I , J , K , L trung điểm đoạn thẳng AC , BD , AB , CD Chứng minh uuu r uuu r uuur uur ur a) AB + CD = AD + CB = IJ uuur uuu r uuur uuu r uur b) AC + BD = AD + BC = 2KL c) Hai đoạn IJ KL có chung trung điểm Lời giải A , B , C , D a , b , c , d Gọi tọa độ điểm tọa độ I , J , K , L i , j , k , l ta có: a +c b +d a +b c +d i= ;j= ;k = ;l = 2 2 ỉ uuu r uuu r uuur uur ur b + d a +c ữ ữ : ỳng ỗ a) AB + CD = AD + CB = IJ Û ( b - a) +( d - c) = ( d - a) +( b - c ) = ỗ ữ ữ ỗ ứ ố ổ uuur uuu r uuur uuu r uur c +d a +b÷ ữ : ỳng ỗ b) AC + BD = AD + BC = 2KL Û ( c - a) +( d - b) = ( d - a) +( c - b) = ỗ ữ ỗ 2 ữ è ø 1ỉ b +d a +c 1ỉ a +b c +dử ữ ữ ỗ ữ ữ + + KL ỗ ỗ c) Trung im ca IJ cú ta ỗ v ca cú ta ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ 2è 2 ø 2è 2 ø Vậy hai trung điểm có tọa độ ( a + b + c + d) nên chúng trùng uuu r uuur CA DA Bài Bốn điểm phân biệt A , B, C , D trục x ' Ox gọi hàng điểm điều hịa khi: uur = , kí hiệu DB CB 1 = + ( ABCD) = - Chứng minh ( ABCD) = - Û AB AC AD Lời giải 44 Gọi a , b , c , d tọa độ A , B, C , D uuu r uuur CA DA Û ( c - a) ( b - d) = - ( b - c) ( a - d) Ta có: ( ABCD) = - Û uur = DB CB Û ac + bd + bc + bd = 2ab + 2cd Û ( a + b) ( c + d) = ( ab + cd) AB = AC + AD Û 1 = + b- a c- a d- a Û ( c - a) ( d - a) = ( b - a) ( d - a + c - a) Û ( a + b) ( c + d) = ( ab + cd) Từ suy đpcm Đặc biệt chọn A làm gốc a = nên có lời giải ngắn gọn ( ABCD) = - Û b ( c + d) = 2cd AB = AC + AD Û 2cd = b ( c + d) : Bài 10 Cho a , b , c , d theo thứ tự tọa độ điểm A , B, C , D trục Ox a) Chứng minh a + b ¹ c + d ln tìm điểm M cho: MA.MB = MC.MD b) Khi AB CD có trung điểm điểm M câu a) có xác định khơng ? Áp dụng: Xác định tọa độ điểm M biết: a = - 2, b = 15, c = 3, d = - Lời giải a) MA.MB = MC.MD ( )( ) ( )( ) Û OM ( OD + OC - OA - OB) = OC OD - OA.OB Û OA - OM OB - OM = OC - OM OD - OM Û OM ( d + c - a - b) = cd - ab Do a + b ¹ c + d nên OM = cd - ab d +c - a - b OA + OB OC + OD hay a + b = c + d = 2 Khi OM.0 = cd - ab Giả sử ab = cd a + b = c + d dễ dàng suy bốn điểm A , B, C , D khơng phân biệt: vơ lý, ab ¹ cd Vậy suy điểm M không xác định Áp dụng: với a = - 2, b = 15, c = 3, d = - , ta thấy a + b ¹ c + d b) Giả sử AB CD có trung điểm I Khi đó: OI = Theo câu a) điểm M xác định ta có: OM = Suy điểm M có tọa độ - VẤN ĐỀ 02 ( - 1) - ( - 2) 15 cd - ab 27 = =d +c - a - b - + + - 15 11 27 11 TỌA ĐỘ VECTƠ r r r r - Tọa độ u ( x; y) : u = x.i + y j - Sử dụng công thức tọa độ tổng, hiệu, tích vectơ với số điều kiện phương r r r - Biểu diễn vectơ theo vectơ khơng phương giải hệ phương trình để tìm hệ số k , m : c = ka + mb 45 Bài 11 Viết tọa độ vectơ sau r r r a = 2i - j r 1r r b = i +5j r r d =- 2j r r c = 3i Lời giải r r r r Theo định nghĩa u = xi + y j Û a = ( x; y) thì: r r ỉ1 r r ÷ a = ( 2; - 3) , b = ỗ ; 5ữ , c = 3; , d = ( 0; - 2) ( ) ç ÷ ÷ ç è3 ø r r r r r Bài 12 Viết vectơ u dạng u = xi + y j biết tọa độ u là: ( 2; - 3) , ( - 1; 8) , ( 2; 0) , ( 0; - 1) , ( 0; 0) , p; - sin 10 ( Lời giải r r r r u = ( 2; - 3) Þ u = 2i - j r r r u = ( 0; - 1) Þ u = - j r r r r u = ( - 1; 8) Þ u = - i + j r r r r r u = ( 0; 0) Þ u = 0i - j = r r r u = ( 2; 0) Þ u = 2i r r r r u = p; - sin 100 Þ u = pi - sin 100 j ( ) r r r r r r r r r r r Bài 13 Cho u = ( 3; - 2) , v = ( 7; 4) Tính tọa độ vectơ u + v , u - v , 8u, 3u - 4v , - 3u - 4v ( Lời giải Áp dụng công thức tọa độ tổng, hiệu, tích vectơ với số thì: r r r r r u + v = ( 10; 2) , u - v = ( - 4; 6) , 8u = ( 24; - 16) r r Ta có: 3u = ( 9; - 6) , v = ( 28;16) r r r r Nên 3u - v = ( - 19; - 22) - 3u - v = ( 19; 22) ( ) r r r Bài 14 Cho a = ( 2;1) , b = ( 3; 4) , c = ( 7; 2) r r r r a) Tìm tọa độ vectơ u = a - 3b + c r r r r r b) Tìm tọa độ vectơ v cho v + a = b - c r r r c) Tìm số k , m để c = ka + mb a) b) c) 46 r r r r u = a - 3b + c = ( 4; 2) - ( 9;12) +( 7; 2) = ( 2; - 8) r r r r r r r r v + a = b - c Û v =- a + b - c = ( - 6;1) ïìï ïì 22 ïï = k + m ïïï k = r r r ï ï c = ka + mb Û íï = k + m Û íï ïï ïï m = - ïïỵ ïïỵ Lời giải ) ) r 22 r r Vậy c = a - b 5 r r r r r r r r r Bài 15 Cho ba vectơ a = ( 3; - 1) , b = ( 1; - 2) , c = ( - 1; ) Hãy biểu diễn vectơ p = a + b + c qua vectơ a b r r r Đặt c = xa + yb Û ( - 1; ) = ( 3x; - x) +( y ; - y ) r r r Do đó: c = a - 4b r r r r r r r r r r Vậy: p = a + b + c = a + b + a - 4b = 2a - 3b Lời giải ìï 3x + y =- Û ïí Û ïï - x + y = ïỵ ìï 3x + y = - Û íï ïï - x - y = 21 ỵ ïì y = - íï ïïỵ x = Bài 16 Xét xem cặp vectơ sau có phương hay khơng? Trong trường hợp phương xét xem hay ngược hướng? r r r r a) a = ( 2; 3) , b = ( - 10; - 15) b) u = ( 0; 5) , v = ( 0; 8) ur r r r c) m = ( - 2;1) , n = ( - 6; 3) d) c = ( 3; 4) , d = ( 6; 9) Lời giải r r r r b = ( - 10; - 15) = - 5a nên a , b phương, ngược hướng r r r 8r v = ( 0; 8) = u nên u, v phương, hướng r ur ur r n = ( - 6; 3) = 3m nên m, n phương, hướng a) b) c) d) Vì r r ¹ nên c , d khơng phương Bài 17 Tìm tham số để cặp vectơ phương: r 1r r r r r a) u = i - j , v = ki - j a) Ta có: r ổ1 u =ỗ ;ỗ ỗ ố2 r ữ 5÷ , v = ( k ; - 4) ÷ ÷ ø b) ur r m = ( x; - 3) , n = ( - 2; x) Lời giải k - r r = phương với - hay k = suy k = v u 5 ur r x - = Û x2 = Û x = ± m, n phương Û - 2x b) VẤN ĐỀ 03 TỌA ĐỘ ĐIỂM, ĐỈNH uuuu r r r - Tọa độ điểm M ( x; y) : OM = xi + y j uuu r - Tọa độ vectơ AB = ( xB - x A ; y B - y A ) - Sử dụng tọa độ hai vectơ nhau, phép tính tổng, hiệu, tích vectơ với số, tọa độ trung điểm trọng tâm 47 Bài 18 Cho điểm M ( x; y) Tìm tọa độ điểm a) M1 đối xứng M qua trục Ox b) M2 đối xứng M qua trục Oy c) M3 đối xứng M qua gốc O Lời giải a) M1 ( x; - y) b) M ( - x; y ) c) M ( - x; - y ) Bài 19 Cho tam giác ABC có tọa độ A = ( x A ; y A ) , B = ( xB ; y B ) , C = ( xC ; yC ) Tìm tọa độ trung điểm I trọng tâm G Lời giải uur uu r r uur uuur uuu r æx A + xB y A + y B ÷ ÷ ; ỗ a) Ta cú IA + IB = OI = OA +OB nờn I ỗ ữ ỗ ữ ỗ 2 ố ứ uuu r uur uuu r r uuur uuur uuu r uuur æx A + xB + xC y A + y B + yC ữ ỗ ữ ; b) Ta cú GA + GB + GC = Û OG = OA + OB + OC nờn G ỗ ữ ỗ ữ ỗ 3 ố ứ ( ) ( ) Bài 20 Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A ( - 2; - 2) B ( 5; - 4) a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác OAB b) Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC có trọng tâm điểm G ( 2; 0) Lời giải yO + y A + y B = 1; y = = - Vậy G ( 1; - 2) a) Trọng tâm G : x = 3 x - +5 y - 2- = 2, C = suy xC = 3, yC = b) Gọi C ( xC ; yC ) tọa độ điểm C ta phải có C 3 xO + x A + xB Vậy C ( 3; 6) Bài 21 Cho ba điểm A ( a1 ; a2 ) , B ( b1 ; b2 ) , C ( c1 ; c2 ) Tính tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD tính tọa độ tâm hình bình hành Lời giải uuu r uuu r D x ; y ( ) ABCD Gọi , hình bình hành nên: BA = CD Hay ( x - c1 ; y - c2 ) = ( a1 - b1 ; a2 - b2 ) Do đó: x = c1 + a1 - b1 ; y = c2 + a2 + b2 Vậy D ( c1 + a1 - b1 ; c2 + a2 - b2 ) Bài 22 Cho tam giác ABC với A = ( 2; 3) , B = ( - 1; 4) , C = ( 1;1) Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành a) ABCD b) Lời giải Gọi tọa độ điểm D ( x; y ) Ta có: 48 ACBD a) b) ìï - x = - uuu r uuu r Û ABCD hình bình hành Û AB = CD Û ( - 2; - 4) = ( - x;1 - y) Û ïí ïï - y = ỵ Vậy D = ( 4; 0) ïìï x = í îïï y = ïì - - x = - uuur uuu r Û ACBD hình bình hành Û AC = DB Û ( - 2;1 - 3) = ( - - x; - y ) Û ïí ïï - y = - ỵ ïì x = íï ïïỵ y = Vậy D = ( 0; 6) Bài 23 Cho A ( - 4;1) B ( 2; 4) , C ( 2; - 2) a) Tìm điểm D cho C trọng tâm tam giác ABD b) Tìm điểm E cho ABCE hình bình hành Lời giải a) Giả sử D = ( x; y) Điểm C trọng tâm tam giác ABD = - +2 +x 1+4 + y - = 3 Suy x = 8, y = 11 nên D = ( 8; - 11) uuu r b) Gọi E ( x; y) Ta có EC = ( - x; - - y) ìï - x = ìï x =- uuu r uuu r ï Û ïí Tứ giác ABCE hình bình hành AB = EC Û í ïïỵ - - y = ïïỵ y = - Vậy E ( - 4; - 5) Bài 24 Cho tam giác ABC Các điểm M ( 1;1) , N ( 2; 3) , P ( 0; - 4) trung điểm cạnh BC , CA , AB Tính tọa độ đỉnh tam giác Lời giải uuu r uuuu r Ta có PANM hình bình hành nên: PA = MN ìï x = ïì x = ï A Û íï A Suy í ïï y A + = ïïỵ y A = - ỵ ìï xB = - ìï xC = ï ï Tương tự ta tính được: í í ïïỵ yB = - ïï yC = ỵ Vậy tọa độ đỉnh tam giác là: A ( 1; - 2) , B ( - 1; - 6) , C ( 3; 8) uuur uuur uuur Bài 25 Cho ba điểm A ( 1; 0) , B ( 0; 3) , C ( - 3; - 5) Tìm điểm M thuộc trục Ox mà T = MA - MB + MC bé Lời giải ïìï uur uu r uur r ï ( - x ) - ( - x) + ( - - x ) = Û Gọi I ( x; y) điểm thỏa mãn: IA - IB + IC = Û í ïï ( - y) - ( - y) + ( - - y) = ïïỵ uuur uuur uuur Ta có T = MA - MB + MC ïìï x = ï í ïï y = 19 ïïỵ uuu r uur uuu r uu r uuu r uur = MI + IA - MI + IB + MI + IC uuu r uur uu r uur uuu r = MI + IA - 3IB + IC = MI = MI ( ) ( ( ) ( ) ) 49 Vì I cố định M thuộc trục Ox nên T bé M hình chiếu I lên Ox Vậy M ( 4; 0) Bài 26 Cho ba điểm A ( 2; 5) , B ( 1;1) , C ( 3; 3) uuur uuu r uuur a) Tìm tọa độ điểm D cho AD = AB - AC b) Tìm tọa độ điểm E cho ABCE hình bình hành Tìm tọa độ tam hình bình hành Lời giải uuur uuu r uuur ìï x - = ( - 1) - 2.1 uuu r uuur ïì x = - ï Û ïí a) Gọi D = ( x; y) Khi đó: AB = ( - 1; - 4) , AC = ( 1; - 2) ; AD = AB - AC Û í ïï y - = ( - 4) - ( - 2) ỵïï y =- ïỵ Vậy D = ( - 3; - 3) b) Gọi E = ( x; y) ìï x - = uuu r uuu r ï Û Từ ABCE hình bình hành suy AE = BC , đó: í ïï y - = ỵ Vậy E = ( 4; ) ïì x = íï ïïỵ y = ỉ2 + + ỉ5 ữ ữ ữ ; =ỗ ; 4ữ ỗ ỗ Tõm I hình bình hành trung điểm AC nờn: I = ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ç2 ø ø è è Bài 27 Cho hai điểm phân biệt A ( x A ; y A ) B ( xB ; y B ) Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ìï ïï x = x A uuur uuur ï M 1MA = kMB ( k ¹ 1) Chứng minh ïí ïï yA ïï y M = 1ïỵ ìï x - x = k ( x - x ) uuur uuur M B M ï A Ta có: MA = kMB Û í ïï y A - y M = k ( y B - y M ) ïỵ kxB k ky B k Lời giải ìï ïï x = x A ï M 1Û ïí ïï yA ïï y M = 1ïỵ kxB k ky B k ( k ¹ 1) ìï ïï x = xA + xB ïï M Khi k = - í M trung điểm AB ïï y A + yB ïï y M = ïỵ VẤN ĐỀ 04 TỔNG HP TỌA ÑOÄ Bài 28 Cho ba điểm A ( - 1;1) , B ( 1; 3) , C ( - 2; 0) a) Chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC , điểm B chia đoạn AC , điểm C chia đoạn AB Lời giải 50 uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r AB = ( 2; 2) , AC = ( - 1; - 1) nên AB = - AC Vậy hai vectơ AB AC phương, A , B, C thằng hàng uuu r uuur b) Vì AB = - AC nên A chia đoạn thẳng BC theo tỉ số - uuu r uuu r uuu r uuu r Vì BA = ( - 2; - 2) , BC = ( - 3; - 3) nên BA = BC Vậy B chia đoạn AC theo tỉ số uuu r uur uuu r uur Vì CA = ( 1;1) , CB = ( 3; 3) nên CA = CB Vậy C chia đoạn AB theo tỉ số a) Bài 29 Trên mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A ( 0; 2) , B ( 1;1) C ( - 1; - 2) Các điểm C ', A ', B ' chia đoạn thẳng AB , BC , CA theo tỉ số - 1, , - 2 a) Tìm tọa độ A ', B ', C ' b) Chứng minh A ', B ', C ' thẳng hàng Lời giải +1 +1 = ; yC ' = = a) Tọa độ C ' : xC ' = 2 2 1 - ( - 1) - ( - 2) 2 = 3; y A ' = =4 Tọa độ A ' : x A ' = 1 112 - + 2.0 - + 2.2 = - ; yB ' = = Tọa độ B ' : xB ' = 1+2 1+2 uuuur ỉ 1 ỉ 5 ỗ ữ ữ - - ; - ữ - ;- ữ ỗ ỗ b) Ta cú: C ' B ' = ỗ ữ= ố ữ ữ ữ ç ç 6ø è 3 2ø uuuuu r ổ 3ử ổ 5ử ữ= ỗ ữ 3- ; 4- ữ ; ữ ỗ ỗ v C ' A ' = ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ø è2 ø è uuuuu r uuuur Vậy C ' A ' = - 3C ' B ' nên C ', A ', B ' thẳng hang Bài 30 a) Cho A ( 1;1) , B ( 3; 2) n C ( m + 4; m + 1) Tìm m để ba điểm A , B , C thẳng hang b) Cho A ( 3; 4) , B ( 2; 5) Tìm x để điểm C ( - 7; x) thuộc đường thẳng AB a) uuu r uuur AB = ( 2;1) , AC = ( m + 3; m) Lời giải m + 2m = Û m =1 uuur uuu r b) Điểm C thuộc đường thẳng AB khi: ba điểm A , B , C thẳng hàng Û AC = k AB uuu r uuur Ta có: AB = ( - 1;1) , AC = ( - 10; x - 4) uuur uuu r - 10 x - AC = kAB Û = Û x - = 10 Û x = 14 - 1 Ba điểm A , B , C thẳng hàng Û 51 Bài 31 Cho A ( - 3; 4) , B ( 1;1) , C ( 5; 5) a) Chứng minh ba điểm A , B , C khơng thẳng hang b) Tìm điểm D cho A trung điểm BD c) Tìm điểm E trục Ox cho A , B , E thẳng hàng Lời giải uuu r uuur uuu r uuu r a) AB = ( 4; - 3) , AC = ( 4; 4) Suy AB ¹ k AB Vậy ba điểm A , B, C không thẳng hàng b) Gọi D = ( x; y) Điểm A trung điểm BD - = Vậy D = ( - 7; ) c) 1+x nên x = - uuu r uuu r Vì E nằm Ox nên E = ( x; 0) Khi AE = ( x + 3; - 4) Ba điểm A , B , E thẳng hàng AE uuu r ỉ x +3 - ữ ; 0ữ = ỗ phương với AB ( 4; - 3) hay suy x = Vy E = ỗ ữ ữ ỗ3 ø è - 3 Bài 32 Cho A ( - 1; 3) , B ( 4; 2) , C ( 3; 5) a) Chứng minh ba điểm A , B , C không thẳng hang uuur uuu r b) Tìm điểm D cho AD = - 3BC c) Tìm điểm E cho O trọng tâm tam giác ABE Lời giải uuu r uuu r a) Ta có AB = ( 5; - 1) , BC = ( - 1; 3) uuu r uuu r - ¹ nên hai vectơ AB BC không phương, tức ba điểm A , B, C không thẳng hàng - uuur uuu r b) Gọi D = ( x; y) ta có AD = ( x + 1; y - 3) - BC = ( 3; - 9) uuur uuu r Vì AD = - 3BC nên x = = y - = - x = 2, y =- Vì Suy D = ( 2; - 6) c) Gọi E = ( x; y) O trọng tâm tam giác ABE Ta có: - 1+4 +x +2 + y = = , nên x = - 3, y = - 3 Suy E = ( - 3; - 5) Bài 33 Cho tam giác ABC có A ( - 1; - 1) , B ( 5; - 3) , đỉnh C nằm trục Oy trọng tâm G nằm trục Ox Tìm tọa độ đỉnh C Lời giải ìï ïï x = - + + ìï ïï x = ïï G Û í G Ta có G ( xG ; 0) Î Ox , C ( 0; yC ) Î Oy Þ í ïï ïï - + yC ïï = ïïỵ yC = ïỵ ỉ4 ữ, C = ( 0; 2) ; 0ữ ỗ Vy G = ỗ ữ ữ ỗ ố3 ứ Bi 34 Cho bốn điểm A ( - 2; - 3) , B ( 3; ) , C ( 0; 3) , D ( - 4; - 5) Chứng minh hai đường thẳng AB CD song song với 52 Lời giải uuu r uuu r Ta có AB = ( 5;10) , CD = ( - 4; - 8) uuu r uuu r Lại có CD = AB nên hai đường thẳng AB CD song song trùng uuur uuu r 10 Ta có AC = ( 2; 6) AB khơng phương ¹ Vậy AB CD song song rr r r uuu r Bài 35 Cho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = Chọn hệ tọa độ O; i ; j cho i j hướng với OB uuur OC a) Tính tọa độ đỉnh hình thoi b) Tìm tọa độ trung điểm I BC trọng tâm G tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm đối xứng I ' I qua tâm O Chứng minh A , I ', D thẳng hang uuur uuu r uuu r d) Tìm tọa độ vectơ AC , BD , BC ( ) Lời giải A 4; , C 4; ) ( 0) , B ( 0; 3) , D ( 0; - 3) a) Ta có OA = OC = 4, OB = OD = nên ( ỉxB + xC y B + yC æx A + xB + xC y A + y B + yC ữ ữ ữ ữ Iỗ ; Gỗ ; I ( 2; 3) , G ( 0;1) ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷nên ç ç 3 è ø è ø uuur ổ 3ữ uuur ổ ữ ỗ ữ - 2; ữ , AI ' = 2; , ỗ ç c) I ' ç ÷ ÷ AD = ( 4; - 3) ữ ỗ ỗ 2ứ ố 2ữ ứ è uuur uuur Vậy AD = AI ' Suy ba điểm A , I ', D thẳng hang uuur uuu r uuu r d) AC = ( 8; 0) , BD = ( 0; - 6) , BC = ( 4; - 3) b) rr r r Bài 36 Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ tọa độ O; i ; j O tâm lục giác đều, hai vectơ i j uuur uuu r hướng OD EC Tính tọa độ đỉnh lục giác biết độ dài cạnh lục giác ( ) Lời giải Tam giác OCD cạnh bên nên OH = CH = =3 ( ) ( ) ( ) ( ) Dựa vào tính chất đối xứng có đỉnh A ( - 6; 0) , D ( 6; 0) , B - 3; 3 , C 3; 3 , F - 3; - 3 , E 3; - 3 Bài 37 Cho bốn điểm A , B , C , D Gọi I J trung điểm AB CD uuur uuu r uuur uuu r ur a) Chứng minh AC + BD = AD + BC = IJ uuu r uur uuu r uuur r b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh GA + GB + GC + GD = c) Gọi P , Q trung điểm đoạn thẳng AC BD , M N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ , PQ MN có chung trung điểm Lời giải Ta dùng phương pháp tọa độ: đặt tọa độ A , B, C , D là: ( a1 ; a2 ) , ( b1 ; b2 ) , ( c1 ; c2 ) , ( d1 ; d2 ) thì: ỉa1 + b1 a2 + b2 ỉ c1 + d1 c2 + d2 ữ ữ ỗ ữ ữ Iỗ ; , J ; ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç 2 2 è ø è ø 53 a) Ta có uuur uuu r AC + BD = ( c1 - a1 + d1 - b1 ; c2 - a2 + d2 - b2 ) ; uuur uuu r AD + BC = ( d1 - a1 + c1 - b1 ; d2 - a2 + c - b2 ) ur æ c1 + d1 a1 + b1 c2 + d2 a2 + b2 ÷ ữ IJ = ỗ ; ỗ ữ ỗ ữ ỗ 2 ứ ố = ( c1 + d1 - a1 - b1 ; c2 + d2 - a2 - b2 ) So sánh tọa độ có đpcm uuu r uur uuu r uuur r b) Chứng minh tương tự GA +GB + GC + GD = ( 0; 0) = c) æa1 + b1 + c1 + d1 a2 + b2 + c2 + d2 ÷ ữ ; ỗ Ba trung im ca c ba on thẳng IJ , MN , PQ có tọa độ ç ÷ ç ÷ nên chúng có ç 4 è ø trung điểm Bài 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(6; 3), B(- 3; 6), C(1; - 2) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác; b) Xác định điểm D trục hoành cho ba điểm A, B, D thẳng hàng; c) Xác định điểm E cạnh BC cho BE = EC ; d) Xác định giao điểm hai đường thẳng DE AC Lời giải uuu r uuur uuur uuu r - ¹ a) Ta có AB ( - 9; 3) , AC ( - 5; - 5) Vì suy AB AC không phương - - Hay A, B, C ba đỉnh tam giác b) D trục hồnh Þ D ( x; 0) uuu r uuur Ba điểm A, B, D thẳng hàng suy AB AD không phương uuur x- - = Þ x = 15 Mặt khác AD ( x - 6; - 3) - Vậy D ( 15; 0) c) uur uuu r Vì E thuộc đoạn BC BE = EC suy BE = EC uur uuu r Gọi E ( x; y) BE ( x + 3; y - 6) , EC ( - x; - - y) ìï ïï x = - ìï x + = ( - x) ï ï Û ïí Do í ïï y - = ( - - y) ïï ïỵ ïï y = ïỵ ổ 2ử ữ - ; ữ ỗ Vy E ç ÷ ÷ ç è 3ø d) Gọi I ( x; y) giao điểm DE AC uur uuu r ỉ 46 ( x - 15) y ữ ; ữ ỗ Do ú DI ( x - 15; y) , DE ỗ ữ ÷cùng phương suy - 46 = Þ x + 23 y - 15 = (1) ỗ 3ø è uur uuur x- y- AI ( x - 6; y - 3) , AC ( - 5; - 5) phương suy = Þ x - y - = (2) - - Từ (1) (2) suy x = y = 2 54 ỉ 1ư ữ ; ữ ỗ Vy giao im hai ng thng DE v AC l I ỗ ữ ữ ỗ ố2 ø Bài 39 Cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2;1), C(- 1; - 2) Tìm điểm M đường thẳng BC cho SABC = 3SABM uuu r uuur Ta có SABC = 3SABM Û BC = 3BM Þ BC = ±3BM uuur uuu r Gọi M ( x; y) Þ BM ( x - 2; y - 1) ; BC ( - 3; - 3) Lời giải ìï - = ( x - 2) ìï - = - ( x - 2) ìï x = ìï x = ï ï Û ïí Û ïí Suy í í ïï - = ( y - 1) ïïỵ y = ïï - = - ( y - 1) ïïỵ y = ïỵ ïỵ Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 ( 1; 0) , M2 ( 3; 2) Bài 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3; - 1) , B ( - 1; 2) I ( 1; - 1) Xác định tọa độ điểm C, D cho tứ giác ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD Lời giải Vì I trọng tâm tam giác ABC nên x + xB + xC xI = A Þ xC = 3xI - xA - xB = y + y B + yC yI = A Þ yC = y I - y A - y B = - suy C ( 1; - 4) uuu r uuur ìï - - = - x ïì x = D ï Û ïí D Þ D(5; - 7) Tứ giác ABCD hình bình hành suy AB = DC Û í ïï + = - - y D ïï y D = - ỵ ỵ Điểm O hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC ỉ 5ư x + xC y + yC ÷ xO = A = 2, yO = A = - ị Oỗ 2; - ữ ỗ ữ ữ ç 2 2ø è 55