TRUONG DAI HOC NONG LAM TP HCM KHOA KHOA HOC BO MON TOAN Giao trinh XAC SUAT THONG KE Biên soạn: Ngô Thiện ĐặngThành Danh Ha Thi Thao Tram Bui Dai Nghia Tủ sách Đại hoc Nông Lâm TP.HCM Lưu hành nội 2021 Chuong LY THUYET TO HOP 1.1 KHAI NIEM TAP HOP 1.1.1 Tap hop: Một nhóm đối tượng thỏa mãn số tính chất cho ta khái niệm tập hợp Ví du — Tập hợp nam sinh viên lớp học — Tập hợp sô nguyên k thỏa mãn tính chât: k?-4k+3=0 1.1.2 Biểu diễn tập hợp biểu diễn hai hình thức liệt kê phần tử nêu đặc trưng — Liệtkê: A= {ai,a2, ,đi, , ax } la mot phan tir cla A, ki hiéu aie A b không phần tử A , kí hiệu b £ A — Nêu đặc trưng: A = { xeB | x thỏa tính chất P } Ví dụ Gọi A tập hợp số nguyên k thỏa mãn tính chất: k?-4k + =0 thì: A={keZ | k?-4k+3= 0} 1.1.3 Số phần tử tập hợp A ta kí hiệu | A | Nếu |A|=0 A gọi tâp hợp rong, kí hiệu: A=@J Ví dụ: A = { keZ|k?-4k+1=0}—>A=Ø 1.1.4 Tâp hợp Nếu phần tử A phần tử X A gọi tập hợp X Ki hiéu: Ac X Dac biét: OC KX va XcxX 1.1.5 Cac phép toan ChoA,BcX e Hai tap hop bang nhau: A=B @ ACB vaBcA e_ Phần bù A X:X\A = ƒxeX| xe A } Có thê ký hiệu CẬ A e Hop cua A voi B: AUB= {xeX | xeA hay xeB} e Giao cua A vàB: A¬B={xeX| xeA xeB} e HiéuctaA vaB:A\B={xeX| xeA va x¢B} 1.1.6 Tinh chat e Tinh két hop :(AUB)UC = AU(BUC) e (AnB}^C = An(Bn¬C) Tinh giao hoan: AUB=BUA, ANB=BNA e Tinh phan phéi : AU(BAC) = (AUB)A(AUC) e Tinh déingau: AN (BUC) = (ANB)U (ANC) AUB=ANB ANMB=AUB 1.2 QUI TAC DEM Đê đêm sô phân tử tập hợp, người ta thường sử dụng hai qui tắc sau: 1.2.1Qui tắc cộng Xét tập hợp có hữu hạn phần tử A:, (i=1 k) Dat | Aj] 1a sé phan tir tap hop Ai Néu X = AlUA2 UU UAK va AiNAj =D Vi¥j _ thi |X] =| Ail + | Aa] + + | Ax Y nghia: Ta nén chia tập hợp thành tập không giao đề đêm Ví dụ Một đồn vận động viên thị đấu hai môn bắn súng bơi lội có 10 vận động viên nam Số vận động viên bắn súng nam nữ 14 Số nữ vận động viên bơi lội bang số nam vận động viên bắn súng Hỏi đồn có người? vận động viên thi đấu môn Giải Đặt Biết A: tập hợp vận động viên nam bắn súng A¿ tập hợp vận động viên nam bơi lội Aa tập hợp vận động viên nữ bắn súng A4 tập hợp vận động viên nữ bơi lội => X= AIUA2U A3UAg 1a tap hop đoàn vận động viên Vi AiNAj =O Vij, taco: JA; UA,|=10 JA; VA3|=14 |A;|+|A2|=10 = |Ay|+|A3|=14 |Ai| =|A4l |Ail =|A4| Đen > Aa|+|Aa|=14 Suy : |x | = | A1UA2UA3U Ag | A4 Ì=10 + 14=24 = |Ail +lAa|+|As|+| Ví du Một lớp học gồm: 42 học sinh giỏi Toán, 30 học sinh giỏi Lý, 28 học sinh giỏi Hóa có: l5 học sinh giỏi mơn Tốn Lý, học sinh giỏi Tốn Hóa, 10 học sinh giỏi Lý Hóa, học sinh giỏi Tốn, Lý Hóa Hỏi lớp học có bao Giải nhiêu học sinh? T: L: H: TL: TH: LH: TLH: Ta có: tập tap tập tap tập tập tập hợp hop hợp hop hợp hợp hợp các các các học học học học học học học sinh sinh sinh sinh sinh sinh sinh giỏi l mơn Tốn giỏi l mơn Lý giỏi mơn Hóa giỏi mơn Tốn, Lý giỏi mơn Tốn , Hóa giỏi mơn Lý , Hóa giỏi mơn Tốn, Lý, Hóa |T|+| TL|+| THỊ+| TUH|=42 > |T|=42-15-8-5=14 IL|+|TL|+|LH|+|TUH|=30=> |L|=30-5~10-5=0 IH|+~|TH|+|LH|+| TLH |=28 > | H|=28-8-10-5= Do do, số lượng học sinh là: IT| +[LI+|H|+|TL|+|TH|+|LH|+| TLH| =14+0 +S5S+l§S 1.2.2 Qui tắc nhân +8 +10 +5 =57 a) Tập hợp tích Descartes Cho A = {a1 , a2, , an} B= {bi,ba, , Dm} Ta dinh nghia tich Descartes cua hai tap A va B 1a: AxB = {(a,b)/ aeA vàbeB } Đề đếm số phần tử AxB, ta liệt kê phần tử AxB Sau: (ai,bi) (ai,ba) (a,bm) có m phần tử (an,b1) có (a2,b1) (aa,ba) (an,b2) Theo qui tắc cộng: b) Qui tắc nhân (a2,bm) setae (an,bm) | AxB| có m phần tử m phần tử = m†+m+ +m = n.m = l|AxB|=|A|.|B| e Nếu A B có hữu hạn phần tử | AxB|=| A | | B| ® Suy rộng : |Aix Azx x A | = IAil.|A¿ | eee | Ax | Y nghĩa: Một cơng việc cân có k giai đoạn thực hiện: A,, Az, , Ak Mỗi giai đoạn A¡ có nị cách thực (¡=I K) Số cách hồn thành cơng việc : H1.H2 Hạ Ví du Một quan có nhân viên nam nhân viên nữ Hỏi có cách chọn ngẫu nhiên khác để có I nam l nữ cơng tác Giải Ta có giai đoạn + Giai doan 1: chon l nam cơng tác có cách + GIai đoạn 2: chọn l nữổđi cơng tác có cách Vậy, sơ cách chọn nam nữ công tác là: 5x3= 15 Ví dụ Từ Hà Nội vào Huế có cách đi: máy bay, ơtơ, tàu hỏa Từ Huế vào Tp Hồ Chí Minh có cách đi: máy bay, ơtơ, tàu hỏa, tàu thủy Hỏi có cách đề từ Hà Nội vào Tp Hồ Chí Minh phải qua Huế Giải Đề thực cơng việc, ta có giai đoạn + Giai doan : chon | cach từ H Nội vào Hué, có cách + Giai đoạn 2: chọn cách từ Huế vào Tp.HCM, có cách Vậy, ta có số cách là: 3x4= l2 Ví du Có số gồm chữ số ? Giải Để tạo số gồm chữ số, ta có giai đoạn: + Giai đoạn : chọn chữ số thứ I có khả # + Giai đoạn : chọn chữ số thứ có 10 khả + Giai đoạn : chọn chữ số thứ có 10 khả + Giai doan : chọn chữ số thứ có 10 khả => 9.10.10 10= 9000 số gồm4 chữ số Ví dụ Biển số xe mô tô gồm phần: phần chữ gồm chữ phần số gồm chữ số Hỏi với cách đánh số này, gắn biển số cho xe mô tô ? Giải Đề tạo l biển số xe mô tô, ta có giai đoạn : * chọn chữ thứ từ A đến Z có 26 cách * chọn chữ thứ * chọn chữ số thứ ” có 26 cách * chọn chữ số thứ Itừ0 đến có 10 cách * chọn chữ số thứ « có 10 cách * chọn chữ số thứ « có 10 cách « có 10 cách Vay ta có: 26.26 10 10 10.10= 6.760.000 biển số, xe moto Ví du Trong sé gồm chữ số có số mà tất chữ số số lẻ? Giải Để tạo số có chữ số lẻ, ta có giai đoạn: * Chọn chữ số thứ I có cách có số lẻ 1,3,5,7,9 * Chọn chữ số thứ có cách trùng số chọn * Chọn chữ số thứ có * Chọn chữ số thứ có * Chọn chữ số thứ có Do đó, ta có tất cả: 5.5.5.5.5 cách cách cách = 3125 số Ví du Hỏi có cách xếp hộp phân biệt? Giải Mỗi cách xếp ứng với việc chọn * Quả bóng có cách xếp vào * Quả bóng có cách xếp vào * Quả bóng có Do đó, ta có: B= = Ví dụ Tính số dãy Giải Một dãy nhị bóng bàn khác vào hộp cho bóng hộp ( có hộp) hộp ( có hộp) cách xếp vào hộp ( có hộp) 243 cách xếp nhị phân (dãy chữ số 1) có độ dài N phân có độ dài N I1 nhóm N phần tử * Phần tử I có cách chọn * Phần tử có cách chọn * Phần tử N có cách chọn Do có, tat 2N dãy Vi dụ Thang máy khách sạn 10 tầng xuất phát từ tầng với người khách Mỗi khách khỏi thang máy cách ngẫu nhiên Hỏi có trường hợp xảy ra? Giải * Khách thứ I có 10 cách đề khỏi thang máy (vì tầng 1, 2, , 10) * Khách thứ có 10 cách đề khỏi thang máy * Khách thứ có 10 cách đề khỏi thang máy Vậy, ta có 10 =100.000 trường hợp xảy 1.3 GIẢI TÍCH TƠ HỢP Bài tốn Giả sử tập hợp X có n phân tử Chọn từ X nhóm gơm k phân tử Hỏi có thê tạo nhóm khác nhau? Nhóm k phần tử có đặc trưng: phần tử nhóm chọn có thứ tự hay khơng? có lặp lại phần tử hay không? Dựa vào hai đặc trưng nay, ta chia thành loại nhóm thường gặp sau đây: 1.3.1 Chỉnh hợp e _ Đinh nghĩa: Một chỉnh hợp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho trước (0 v ` thành lập chỉnh hợp lặp On _ ok n=n'] Ví dụ Có thể tạo = {1,2,7,8,9} số gồm chữ số từ tập Giải: Mỗi số gồm chữ số tạo thành từ tập X chỉnh hợp lặp chập từ nên có A? =5* =125 sé 1.3.3 Hoan vi e Dinh nghia: Mot hoan vi cua n phan tử chỉnh hợp chap n n phân tử cho ° e© Đặc trưng: Mỗi hoán vị khác hoán đổi vị trí phân tử nhóm Số hốn vị n phần tử là: |Pạ =An =n! Vídu X={a,b,c } Các hoán vị X : abc, acb, bac, bca, cab , cba Ví du Có người xếp thành hàng ngang đề chụp ảnh Hỏi có thé bố trí kiểu ảnh khác nhau? Giải Mỗi kiểu ảnh ứng với cách xếp vị trí người, nên hốn vị phần tử Do đó, ta bồ tri: Ps = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 kiểu Ví dụ Có người phân cơng trực nhật ngày tuần Hỏi có cách phân cơng để người trực l ngày khác nhau? Giải Mỗi cách phân cơng hốn vị phan tử Nên ta có P¡= 7!= 5040 cách 1.3.4 Tổ hợp e e_ Định nghĩa: Một tô hợp chập k n phần tử nhóm khơng thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Mỗi tổ hợp chập k xem tập hợp có k phần tử tập hợp gomn phân tử Đặc trưng: Tơ hợp nhóm có tính khơng thứ tự tính khơng lặp (0 +œ nghĩa > Xj n ) LEX YX, |= < isl n n E(X¡) é{=1 ca ~ ft, DEX) (hội tụ theo xác suât) n | Ap dung bat đẳng thức Chebyshev cho : y- 2%, n E(x) = LE) n =1>P(|X-E()|1 — D(X)= n4+ PDK) +0 P( —A —p +œ X-a Le 1)=— [ e > dx=—2 b—»+e lim [e de=—-=0,152 1 4e? Gọi Y số chip hoạt động tốt mạng Ta có Y~B(90;0,152) Vì n lớn p khơng q bé không lớn nên Y~N(13,68;11,6) 111 90 — 13,68 )= Xác suất mạng hoạt động P(30< Y 2100)=0,52100—2000 %( 36000 )=0,5-® (0,53)=0,5-0,20194=0,298 112 b)Néu ta coi kiểm tra lô hàng phép thử biến cô ta quan tâm phép thử là: A= “lô hàng đạt tiêu chuan” kiểm tra 100 lơ hàng tương ứng với I dãy phép thử Bernoulli gồm 100 phép thử p = P(A) = 0,298 Gọi Y số lô hàng đạt tiêu chuẩn 100 lô hàng kiểm tra Khi Y~B(100, 0,298) Vì n=100 lớn p = 0,298 không lớn không bé nên Y~N(29,8;20,9196) 100-29,8 ®(T——“=Š 20,9196 } Vậy P(70< Y 5, ng=225 > nén X — N(75;56,25) =P60< # 1) 6.3 Có hai lơ hàng lơ có 10 sản phẩm Lơ có sản phẩm loại II; cịn lơ có sản phẩm loại II Lay lô san pham Goi X số sản phẩm loại II sản phẩm lay a) Lap bang phan phối xác suất X b) Tính xác suất dé số sản phẩm loại II lấy lô 6.4 Tại thành phó, tỉ lệ người thích xem bóng đá 60% Chọn ngẫu nhiên người Tính xác st đê người có người thích xem bóng đá 6.5 Trong lớp học có bóng đèn mắc độc lập nhau, xác suất hỏng mơi bóng đèn 0,25 Lớp học đủ ánh sáng có bóng đèn lớp mở sáng Tính xác suất để lớp học không đủ ánh sáng 6.6 Một thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi độc lập nhau, câu có câu trả lời có câu trả lời Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh làm cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho câu hỏi Tính xác suất để : a) Học sinh thi đạt 13 điểm b) Học sinh bị điêm âm 6.7 Một người say rượu bước § bước Mỗi bước tiến lên trước mét lùi lại phía sau mét với xác suất Tính xác suất để sau bước : a) Anh ta trở lại điểm xuất phát b) Anh ta cách điểm xuất phát mét 115 6.8 Một người bắn viên đạn độc lập với vào | tam bia có vịng trịn đồng tâm Mỗi viên đạn bắn trúng vịng Ì, vịng 2, vòng số điểm 10; Xác suất để viên trúng vong | la 0,008; xác suất để viên trúng vòng 0,15 xác suất để viên trúng vịng 0,4 Tính xác suất để đạt 28 điểm 6.9 Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối [0,1] Tính xác suất cho 100 lần quan sát X có 60 lần X nhận giá trị khoảng (0,2; 0,7) 6.10 Cho biết trọng lượng viên thuốc sản xuất xí nghiệp độc lập có phân phối chuẩn với kỳ vọng 250 mg, phương sai 8,1 mg’ Thuốc đóng thành vĩ, vĩ 10 viên Mỗi vĩ gọi tiêu chuẩn trọng lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì) Lay ngau nhién 100 vi dé kiém tra Tinh xac suat dé có từ §0 vĩ đạt tiêu chuẩn 6.11 Trọng lượng X loại sản phẩm có phân phối chuẩn với kỳ vọng 500g phương sal bang a) Tính xác suất để sản phâm có X thỏa 494g504g, loại B nêu B,C 496