Bài toán tô màu đồ thị và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ HỒNG LINH BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ HỒNG LINH BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Trần Vũ Thiệu Thái nguyên - 2015 MỞ ĐẦU Đồ thị cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh, mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Bài toán tô màu cho đỉnh (hay cạnh) đồ thị chủ đề quan trọng hấp dẫn lý thuyết đồ thị Bài tốn có ứng dụng thiết thực kinh tế, kỹ thuật đời sống Chẳng hạn, ta thường gặp toán tô màu đồ, tô màu cho dây dẫn điện Một số vấn đề không liên quan đến tô màu xử lý nhờ tốn tơ màu: bố trí kho chứa hóa chất, thiết kế bảng vi mạch điện tử, xếp lịch hỏi thi, bố trí trạm truyền tin, xác lập tuyến xe buýt thành phố, v.v Lý thuyết đồ thị đời phát triển gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng: Euler (Thụy sĩ), với tốn cầu thành phố Kưnigsberg, König Egeváry (Hungari), với phương pháp Hungari giải tốn phân việc Về vấn đề tơ màu đồ thị có nhiều kết lý thuyết đáng ý: Định lý Brooks, Minty tơ màu đỉnh; Định lý Kưnig, Vizing, Shannon tô màu cạnh, định lý màu Heawood (1890) Định lý màu Appel Haken (1976), giải giả thuyết màu tiếng Guthrie nêu lần đầu năm 1852 "Bài tốn tơ màu đồ thị ứng dụng" Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày khái niệm đồ thị dạng đồ thị thường gặp, tốn tơ màu đồ thị (tô đỉnh, tô cạnh tô diện - tô màu đồ) số ứng dụng tốn Trình bày kết lý thuyết, định lý tô màu loại đồ thị khác thuật toán tô màu đỉnh cạnh, dựa kết lý thuyết có Nội dung luận văn viết hai chương Chương "Khái niệm đồ thị" nhắc lại khái niệm đồ thị: đỉnh, cạnh, bậc đỉnh, đồ thị vơ hướng đồ thị có hướng, đường chu trình, đồ thị liên thơng, khơng liên thơng, phép toán đồ thị Miêu tả nhiều dạng đồ thị đặc biệt: rừng cây, đồ thị hình sao, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị (chính qui), đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng, Chương "Bài tốn tơ màu đồ thị" đề cập tới vấn đề tô màu đỉnh, cạnh diện đồ thị Trình bày kết tơ màu đỉnh: định lý Brooks (1941), định lý Minty (1962), định lý tô màu đồ thị phảng, đặc biệt định lý bốn màu (Appel Haken, 1976) Về tô màu đồ (tơ diện đồ thị phẳng) có định lý đồ màu, đồ lập phương màu định lý bốn màu cho đồ Về tơ màu cạnh đồ thị: trình bày định lý Vizing (1964) số màu tối thiểu cần tô, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, tơ cạnh đồ thị hai phần (Định lý Kưnig, 1916) quan hệ với định lý bốn màu Cuối chương đề cập tới đa thức màu, cho biết tơ đỉnh đị thị k màu khơng, có cách tơ Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS - TS Trần Vũ Thiệu, tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán hoc - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên 20 tháng 04 năm 2015 Tác giả Vũ Hoàng Linh Chương KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ Chương trình bày kiến thức sở lý thuyết đồ thị Mục 1.1 nêu định nghĩa, khái niệm dùng lý thuyết đồ thị phép toán đồ thị Mục 1.2 mô tả dạng đồ thị thường gặp Trong chương dẫn nhiều ví dụ minh họa Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [3], [4] [5] 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU 1.1.1 Khái niệm đồ thị Trong thực tế ta thường gặp sơ đồ giao thơng (Hình 1.1) hay sơ đồ mạch điện (Hình 1.2) Các sơ đồ khái quát thành sơ đồ vẽ Hình 1.3 Từ ta tới định nghĩa sau Hình 1.1 Sơ đồ khu phố Hình 1.2 Sơ đồ mạch điện Hình 1.3 Đồ thị đại diện Đồ thị (graph) tập hợp hữu hạn khác rỗng điểm, gọi đỉnh (vertex) hay nút (node), tập hợp đường (thẳng hay cong) nối liền số cặp điểm này, gọi cạnh (edge) đồ thị (Số cạnh 0) Mỗi đỉnh đồ thị thường ký hiệu chữ (a, b, c, hay A, B, C, ) chữ số (1, 2, 3, ) Cạnh nối liền đỉnh v với đỉnh w ký hiệu (v, w) hay đơn giản vw (v w chữ số) Một cạnh có dạng (a, a), nối đỉnh a với nó, gọi khun (loop) Nếu đồ thị G có tập đỉnh V tập cạnh E ⊆ V × V gọn, ta viết G = (V, E) Ta dùng ký hiệu V(G) để tập đỉnh E(G) để tập cạnh đồ thị G Ký hiệu n = |V(G)| số đỉnh m = |E(G)| số cạnh đồ thị G Để dễ hình dung, đồ thị thường biểu diễn hình vẽ mặt phẳng Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn đồ thị có đỉnh: P, Q, R, S, T cạnh (mỗi cạnh đoạn thẳng nối hai đỉnh) Chú ý điểm cắt hai cạnh PS QT hình vẽ khơng phải đỉnh đồ thị Đỉnh v gọi kề (adjacent) đỉnh w có cạnh đồ thị nối v với w Nếu ký hiệu cạnh e ta viết e = (v, w) nói cạnh e liên thuộc (incident) v, w hay v, w hai đầu mút e Cạnh e e' gọi kề e, e' có chung đỉnh Hai cạnh e e' nối cặp đỉnh gọi cạnh kép (multiple edge) Đồ thị khơng có cạnh kép gọi đơn đồ thị (simple graph) Trái lại, gọi đa đồ thị Hình 1.4 1.5 minh họa cạnh kép khuyên đa đồ thị Hình 1.4 Cạnh kép đa đồ thị Hình 1.5 Khuyên đa đồ thị Một cạnh đồ thị gọi cạnh có hướng (directed edge) có qui định rõ đầu mút cạnh đỉnh đầu, mút đỉnh cuối Cạnh có hướng gọi cung Một đồ thị gồm tồn cạnh gọi đồ thị vơ hướng (undirected graph), đồ thị gồm toàn cung gọi đồ thị có hướng (digraph) Một đồ thị vừa có cạnh vừa có cung gọi đồ thị hỗn hợp (mixed graph) Bằng cách thay cạnh hai cung có hướng ngược chiều nhau, ta qui đồ thị đồ thị có hướng Hình 1.6 mơ tả đồ thị có hướng Hình 1.6 Đồ thị có hướng Hình 1.7 Đồ thị khơng liên thơng Bậc (degree) đỉnh v đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc nó, ký hiệu (v) Đỉnh có bậc gọi đỉnh lập (isolated vertex), đỉnh có bậc gọi đỉnh treo (end-vertex), Tương tự, đồ thị có hướng ta gọi bậc (bậc vào) đỉnh v số cung khỏi v (số cung tới v), ký hiệu tương ứng + (v) - (v) Qui ước: khuyên đỉnh tính lần Ví dụ đồ thị vẽ Hình 1.7 ta có (P) = (S) = (U) = (V) = 2; (Q) = (R) = (T) = (có khuyên T) Dễ dàng chứng minh tính chất sau bậc đỉnh đồ thị: a) Trong đồ thị vô hướng, tổng số bậc đỉnh hai lần số cạnh đồ thị số đỉnh có bậc lẻ số chẵn b) Trong đồ thị có hướng, tổng bậc vào đỉnh tổng bậc đỉnh tổng số cung đồ thị Nhiều tính chất đồ thị có hướng khơng phụ thuộc vào hướng cung đồ thị Vì thế, bỏ qua hướng cung (đổi cung thành cạnh) ta nhận đồ thị vô hướng, gọi đồ thị đồ thị có hướng cho 1.1.2 Phép toán đồ thị Sau ta tập trung chủ yếu xét đồ thị vô hướng số phép tốn • Đồ thị (subgraph) đồ thị G đồ thị nhận từ G cách bỏ số đỉnh số cạnh Nói xác, H = (V(H), E(H)) đồ thị G V(H) V(G) E(H) E(G) Ta nói G chứa H H gọi đồ thị cảm sinh (induced subgraph) G H đồ thị G E(H) = {(x, y) ∈ E(G) : x, y ∈ V(H)} Ở H đồ thị G sinh V(H) Vì ta cịn viết H = G[V(H)] Đồ thị H G gọi đồ thị bao trùm V(H) = V(G), tức tập đỉnh H G trùng • Với v ∈ V(G), ký hiệu G - v đồ thị G cảm sinh V(G) \ {v}, tức đồ thị nhận từ G cách bỏ đỉnh v cạnh liên thuộc v • Với e ∈ E(G), ta định nghĩa G - e := (V(G), E(G) \ {e}), tức đồ thị nhận từ G cách xóa cạnh e (khơng xóa hai đầu mút e) Ta định nghĩa G \ e đồ thị nhận cách co cạnh e thành điểm Hình 1.8 minh họa đồ thị G, G - e G \ e Hình 1.8 Đồ thị G, cạnh e đồ thị G e G \ e tương ứng 1.1.3 Đồ thị đẳng cấu Hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu (isomorphic) chúng có số đỉnh số cạnh có phép tương ứng - tập đỉnh G1 G2 cho hai đỉnh nối với cạnh đồ thị hai đỉnh tương ứng đồ thị nối với cạnh ngược lại Hình 1.9 vẽ đồ thị đẳng cấu với đồ thị vẽ Hình 1.3 Các cạnh hai đồ thị Hình 1.9 gặp đinh Các đồ thị đẳng cấu xem tương đương (là một) Hình 1.9 Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị Hình 1.3 1.1.4 Đồ thị liên thơng Có thể ghép hai đồ thị để lập lên đồ thị lớn Cho G1 = (V(G1), E(G1)), G2 = (V(G2), E(G2)) với V(G1) ∩V(G2) = ∅ Khi đó, hợp (union) G1 ∪ G2 đồ thị có tập đỉnh V(G1) ∪ V(G2) tập cạnh E(G1) ∪ E(G2) (Hình 1.10) Hình 1.10 Đồ thị G1, G2 hợp G1 ∪ G2 Hình 1.11 Đồ thị không liên thông Hầu hết đồ thị thường gặp đồ thị ghép Một đồ thị gọi liên thơng (connected graph) khơng biểu diễn dạng hợp hai hay nhiều đồ thị Trái lại, đồ thị gọi không liên thông (disconnected graph) Rõ ràng đồ thị không liên thông G biểu diễn dạng hợp đồ thị liên thông, đồ thị liên thông gọi thành phần liên thông G Chẳng hạn, đồ thị gồm ba thành phần liên thơng vẽ Hình 1.11 Hình 1.12 Các kiểu đồ thị liên thông không đỉnh Khi cần chứng minh kết luận cho đồ thị nói chung, ta thường chứng minh kết tương ứng cho đồ thị liên thông, sau áp dụng kết thu cho thành phần liên thông riêng lẻ đồ thị Một bảng gồm tất đồ thị liên thông (không ghi tên đỉnh) có tối đa đỉnh vẽ Hình 1.12 1.1.5 Đường chu trình đồ thị vô hướng Đường (path) P từ đỉnh v tới đỉnh w dãy liên tiếp cạnh có dạng: (a0, a1), (a1, a2), , (ak-1, ak) với (ai-1, ai) E(G), a0 = v, ak = w k 1, đỉnh a0, a1, , ak khác Để đơn giản, ta viết P = {a0, a1, , ak} nói đường nối đỉnh v đỉnh w Đỉnh v gọi đỉnh đầu, đỉnh w gọi đỉnh cuối đường P Một đường nối đỉnh với (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) gọi chu trình (cycle) Độ dài (length) đường (chu trình) số cạnh đường (chu trình) Ví dụ với đồ thị vẽ Hình 1.9 đường nối đỉnh P đỉnh R (P, T), (T, Q), (Q, R) hay đơn giản P, T, Q, R Hai đường khác từ P tới R P, T, S, R P, Q, R hay P, S, R Đồ thị có chu trình sau: (P, Q), (Q, R), (R, S), (S, T), (T, P); (Q, S), (S, T), (T, Q), v.v 1.1.6 Biểu diễn đồ thị ma trận Mặc dù cách biểu diễn đồ thị hình vẽ gồm điểm nối với cạnh thuận tiện, song cách khơng cịn phù hợp ta muốn lưu giữ đồ thị cỡ lớn máy tính Có cách lưu giữ đơn đồ thị liệt kê đỉnh kề với đỉnh đồ thị Ví dụ cho cách biểu diễn Hình 1.13 v u w u : v, y v : u, w, y w: v, x, y x w, y y : u, v, w, x x y Hình 1.13 Liệt kê đỉnh kề ∙ ∙ ∙ ∙ Hình 1.14 Đồ thị rỗng N4 Một cách biểu diễn hữu ích khác dùng ma trận xếp quanh v theo chiều kim đồng hồ vẽ Hình 2.5 Nếu đỉnh v1, , v5 đôi kề G chứa đồ thị khơng phẳng K5 đồ thị con, vơ lý! Vậy phải có số đỉnh vi (chẳng hạn, v1 v3) không kề Bây ta co hai cạnh vv1 vv3 đỉnh v, nhận đồ thị phẳng có n - đỉnh Theo giả thiết qui nạp, ta tơ màu Sau tơ đồ thị này, ta khôi phục trở lại hai cạnh ban đầu tô cho v1 v3 màu tô cho v, cịn v tơ màu thứ cịn lại (ngồi màu tơ cho đỉnh kề v) Kết ta tô cho đỉnh G màu, nghĩa G ∎ sắc tính Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu làm mạnh định lý không Điều dẫn đến toán tiếng tốn học, tồn kỷ, toán bốn màu (Four-Colour Problem) Theo cách diễn đạt khác, toán đặt lần vào năm 1852, cuối K Appel W Haken giải năm 1976 Hình 2.5 Minh họa Định lý 2.4 Hình 2.6 Tìm nơi để hóa chất a - e Định lý 2.5 (Appel Haken, 1976) Mọi đơn đồ thị phẳng - sắc tính Chúng minh định lý thực số năm tiêu tốn nhiều thời gian chạy máy tính, suy cho dựa việc mở rộng phức tạp ý tưởng chứng minh định lý - màu Ứng dụng thực tế Ta nêu ứng dụng đơn giản việc tô màu đỉnh Giả sử nhà hóa học muốn cất giữ loại hóa chất a, b, c, d e kho Một số hóa chất có tương tác mạnh tiếp xúc, thể chúng cần để cách xa 19 kho Dấu * bảng sau cho biết cặp hóa chất khơng để gần Cần nơi kho để cất giữ hóa chất? Để trả lời câu hỏi này, ta vẽ đồ thị đỉnh, đỉnh đại diện cho loại hóa chất, hai đỉnh kề hóa chất tương ứng cần để xa (xem Hình 2.6) Tơ màu cho đỉnh chữ Hy Lạp ( , , , ) Khi số màu tương ứng với số nơi cần để hóa chất Với ví dụ cần màu để tô, nên cần nơi khác để hóa chất kho Chẳng hạn, hóa chất a e để nơi có màu α, hóa chất b, c d để nơi có màu tương ứng β, γ δ Ta kết thúc vấn đề tô màu đỉnh Định lý Minty nêu tính chất đặc trưng đồ thị k - sắc tính Trong đồ thị G cho trước, ta chọn hướng tùy ý cạnh Nếu chu trình ta gọi t1( ) số cạnh hướng theo chiều , t2( ) số cạnh hướng theo chiều ngược lại, giả thiêt t1( ) ≥ t2( ) Định lý 2.6 (G J Minty, 1962) Một đồ thị k - sắc tính chọn hướng cạnh cho chu trình sơ cấp (chu trình khơng qua đỉnh hai lần trở lên) có t1( ) ≤ (k - 1)×t2( ) ∎ Chứng minh Xem [2], tr 44 - 46 2.2 TÔ MẦU BẢN ĐỒ Về lịch sử, toán bốn màu liên quan tới vấn đề tô màu đồ Cho trước đồ địa lý gồm số nước, câu hỏi đặt là: cần dùng màu để tô cho nước màu, cho hai nước có đường biên giới chung phải có màu khác Dạng gần gũi với định lý bốn màu mệnh đề nói tơ đồ địa lý bốn màu Chẳng hạn, Hình 2.7 vẽ đồ tô bốn màu 20 Hình 2.7 Bản đồ tơ màu Hình 2.8 Cầu đồ Hình 2.9 Đỉnh bậc Để xác hóa mệnh đề này, ta cần giải thích rõ đồ Do hai màu phía cạnh phải khác nhau, nên ta cần loại trừ đồ có chứa cầu nối (xem Hình 2.8) Ta cần loại trừ đỉnh bậc 2, chúng dễ dàng bị loại bỏ (xem Hình 2.9) Để bao quát trường hợp trường hợp tương tự, ta quan niệm đồ đồ thị phẳng - liên thơng, nghĩa phải bỏ đỉnh làm đồ thị liên thơng Như đồ khơng có "tập cắt" (tập cạnh bó đồ thị liên thơng) gồm cạnh, nói riêng khơng có đỉnh bậc Vì ta thấy, việc loại bỏ cầu nối tương ứng với việc loại bỏ khuyên (cạnh nối đỉnh với nó) Ta nói đồ k - sắc tính diện tơ nước (diện) k màu cho hai nước có đường biên giới (cạnh) chung tô hai màu khác Để tránh nhầm lẫn, ta dùng k - sắc tính đỉnh để k - sắc tính theo nghĩa tơ đỉnh Chẳng hạn, đồ Hình 2.10 - sắc tính diện - sắc tính đỉnh Hình 2.10 Tơ đỉnh tơ diện Hình 2.11 Minh họa Định lý 2.7 Định lý bốn màu đồ nói đồ - sắc tính diện Hệ 2.1 cho thấy hai dạng định lý bốn màu tương đương Trước hết, ta tìm điều kiện để tơ đồ màu Các điều kiện đơn giản Định lý 2.7 Bản đồ G - sắc tính diện đỉnh G có bậc chẵn 21 Chứng minh ⇒ Với đỉnh v G, số diện xung quanh v phải số chẵn, chúng tơ màu Từ suy đỉnh G có bậc chẵn ⇐ Nếu đỉnh G có bậc chẵn ta tơ diện G màu sau: Chọn diện F tơ màu đỏ Vẽ đường cong từ điểm x F tới điểm y diện khác F' không qua đỉnh G Nếu đường cong qua số chẵn cạnh tơ màu đỏ cho diện chứa y Nếu trái lại, tơ màu xanh (xem Hình 2.11) Việc tơ màu hồn tồn xác định, lấy chu trình gồm hai đường chứng minh chu trình qua số chẵn cạnh G, nhờ dựa kiện đỉnh có số chẵn cạnh liên thuộc ∎ Một chứng minh đơn giản Định lý 2.7 dựa việc chuyển tốn tơ màu đỉnh đồ thị đối ngẫu Cho đồ thị phẳng G, đồ thị đối ngẫu (dual graph) G* G xây dựng sau: diện f G, chọn điểm v*, điểm đỉnh G*; với cạnh e G, ta vẽ cạnh e*, cắt e (không cắt cạnh khác G) nối hai đỉnh thuộc hai diện có chung cạnh e, cạnh tạo nên tập cạnh G* (xem Hình 2.12), Định lý 2.8 Cho G đồ thị phẳng, khuyên G* đồ thị đối ngẫu G Khi đó, G k - sắc tính đỉnh G* k - sắc tính diện Chứng minh ⇒ Ta giả thiết G đơn đồ thị liên thơng, G* đồ Nếu G k - sắc tính đỉnh ta dùng k màu để tô diện G* cho diện thừa hưởng màu đỉnh nằm diện (xem Hình 2.12) Hai diện kề G* có màu khác nhau, đỉnh G nằm hai diện kề G, nên chúng có màu khác Vì G* k- sắc tính diện Hình 2.12 Đồ thị đối ngẫu G*: tô đỉnh G tương đương tô diện G* 22 ⇐ Bây giả sử G* k - sắc tính diện Khi dùng k màu ta tơ đỉnh G cho đỉnh thừa hưởng màu diện chứa Bằng lập luận tương tự thấy khơng có hai đỉnh kề G lại có màu Vì G k - sắc tính đỉnh ∎ Từ suy phát biểu dạng đối ngẫu cho định lý tô đỉnh đồ thị phẳng để đưa định lý tô diện đồ ngược lại Để làm ví dụ, ta trở lại Định lý 2.7 xét cách chứng minh khác định lý Ta nhắc lại Định lý 2.7 Bản đồ G - sắc tính đỉnh G có bậc chẵn Chứng minh thứ hai Có thể đối ngẫu đồ thị phẳng mà đỉnh có bậc chẵn đồ thị phẳng hai phần ngược lại Vì ta cần để ý đồ thị phẳng, liên thơng khơng có khun - sắc tính đỉnh ∎ đồ thị hai phần Tương tự, ta chứng minh hai dạng định lý bốn màu tương đương Hệ 2.1 Định lý bốn màu đồ tương đương với định lý bốn màu đồ thị phẳng Chứng minh ⇒ Ta giả thiêt G đơn đồ thị phẳng liên thơng Khi đó, đồ thị đối ngẫu G* đồ Theo Định lý 2.8, G* 4-sắc tính diện G - sắc tính đỉnh ⇐ Ngược lại, giả sử G đồ G* đồ thị đối ngẫu G Khi đó, G* đơn đồ thị phẳng theo định lý 2.8, G* - sắc tính đỉnh G - sắc tính diện ∎ Cũng sử dụng tính đối ngẫu để chứng minh định lý sau Định lý 2.9 Giả sử G đồ lập phương Khi đó, G - sắc tính diện diện giới hạn số chẵn cạnh Chứng minh ⇒ Cho diện F G, diện G xung quanh F phải luân phiên đổi màu Như phải có số chẵn diện quanh F, diện giới hạn số chẵn cạnh (xem Hình 2.13) 23 ⇐ Bây ta chứng minh kết đối ngẫu khẳng định G đơn đồ thị phẳng liên thơng, diện tam giác đỉnh có bậc chẵn Khi đó, G - sắc tính đỉnh Ta ký hiệu màu , Hình 2.13 Mọi đỉnh bậc Hình 2.14 Mọi diện có cạnh Do đỉnh G có bậc chẵn nên theo Định lý 2.7, diện G tô màu: đỏ xanh Khi đó, dùng màu để tơ đỉnh G sau: tô cho đỉnh diện màu đỏ màu , cho chúng xuất theo chiều kim đồng hồ tô đỉnh diện màu xanh cho màu xuất ngược chiều kim đồng hồ (xem Hình 2.14) Cách tơ đỉnh mở rơng cho tồn đồ thị định lý chứng minh ∎ Trong định lý trên, ta giả thiêt đồ lập phương Định lý sau cho thấy khơng phải giả thiết q khắt khe Định lý 2.10 Để chứng minh định lý bốn màu cần chứng minh đồ lập phương - sắc tính diện Chứng minh Theo Hệ 2.1, cần chứng minh đồ lập phương - sắc tính diện đồ - sắc tính diện Giả sử G đồ bất kỳ, Nếu G có đỉnh bậc ta loại bỏ đỉnh mà khơng ảnh hưởng tới việc tơ màu Chỉ cịn phải xử lý đỉnh bậc từ trở lên Nếu v đỉnh bậc ≥ 4, ta sửa v thành diện vẽ Hình 2.15 Làm đỉnh bậc từ trở lên Kết ta nhận đồ lập phương mà theo giả thiêt đồ - sắc tính diện Cuối cùng, ta nhận cách tô diện G màu nhờ co diện vừa thêm vào thành đỉnh khôi phục trở lại đỉnh bậc ban đầu 24 ∎ Hình 2.15 Minh họa Định lý 2.10: Xử lý đỉnh bậc ≥ 3.3 TÔ MẦU CÁC CẠNH CỦA ĐỒ THỊ Mục đề cập tới tốn tơ màu cho cạnh đồ thị Như thấy, định lý bốn màu đồ thị phẳng tương đương với định lý có liên quan đến việc tơ màu cạnh đồ lập phương Một đồ thị G gọi k - sắc tính cạnh cạnh G tơ k màu cho hai cạnh kề có màu khác Nếu G k - sắc tính cạnh khơng (k - 1) - sắc tính cạnh, ta nói số màu G k viết χ’(G) = k Chẳng hạn, đồ thị G vẽ Hình 2.16 có số màu ’(G) = Hình 2.16 Chỉ số màu Hình 2.17 Tơ cạnh Kn, n lẻ Hình 2.18 Tơ cạnh Kn, n chẵn Chú ý Δ bậc lớn đỉnh G χ’(G) ≥ Δ Kết sau đây, biết với tên gọi Định lý Vizing, cho cận sát số màu đơn đồ thị G (Có thể tìm chứng minh [7], Bondy Murty, [28], Fiovini Wilson, dẫn tài liệu tham khảo [5] luận văn) Định lý 2.11 (Vizing, 1964) Nếu G đơn đồ thị với bậc lớn đỉnh Δ Δ ≤ χ’(G) ≤ Δ + Không biết đồ thị có số màu Δ đồ thị có số màu Δ + Tuy nhiên, dễ dàng tìm số màu số loại đồ thị đặc biệt Chẳng hạn, χ’(Cn) = phụ thuộc số đỉnh n chẵn hay lẻ, χ’(Wn) = n - n ≥ 25 Bây ta xác định số màu đồ thị đầy đủ Định lý 2.12 '(Kn) = n n lẻ ≥ '(Kn) = n - n chẵn Chứng minh Định lý với n = Vì thế, ta giả sử n ≥ Với n lẻ, ta dùng n màu để tô cho cạnh Kn cách đặt đỉnh Kn thành đa giác n cạnh, tô n cạnh biên đa giác n màu khác Sau đó, tơ cạnh bên đa giác màu tô cho cạnh biên song song với (xem Hình 2.17) Ta nhận xét số cạnh màu tối đa (n - 1)/2, Kn có nhiều (n - 1)/2×χ’(Kn) cạnh, số phải lớn số cạnh n(n - 1)/2 Kn Từ suy '(Kn) ≥ n Kn khơng thể (n - 1) - sắc tính cạnh Với n chẵn, ta vẽ Kn cách nối đỉnh đồ thị đầy đủ Kn - với đỉnh thứ n Nếu ta tô cạnh Kn - mô tả trường hợp trên, đỉnh Kn - cịn thừa màu tất màu thừa khác Sau ta tơ nốt cạnh cịn lại màu thừa (xem Hình 2.18) ∎ Bây ta mối liên hệ giũa định lý bốn màu việc tô màu cạnh đồ thị Mối liên hệ giải thích ta quan tâm nhiều tới tơ màu cạnh Định lý 2.13 Định lý bốn màu tương đương với mệnh đề nói χ'(G) = đồ lập phương G Chứng minh ⇒ Giả sử ta tơ diện G màu, ký hiệu = (1, 0), = (0, 1), = (1, 1) = (0, 0) Khi đó, ta thực cách tơ màu cho cạnh G sau: tô cạnh e màu nhận từ phép cộng (modulo 2) màu hai diện tiếp giáp e Chẳng hạn, e tiếp giáp hai diện có màu e tơ màu , Hình 2.19 Tô diện màu, tô cạnh màu 26 + = (1, 0) + (1, 1) = (0, 1) = Hình 2.20 Tơ cạnh đồ thị hai phần Chú ý màu không xuất cách tô cạnh này, hai diện tiếp giáp cạnh phải khác biệt, tức khác màu Hơn nữa, hai cạnh kề phải có màu khác Như vậy, ta có cách tơ màu cạnh địi hỏi (xem Hình 2.19) ⇐ Bây giả sử ta có cách tơ màu cho cạnh G, cạnh liên thuộc đỉnh có màu khác Khi đó, đồ thị xác định cạnh có màu đồ thị bậc Cũng vậy, cách mở rộng Định lý 2.7 cho đồ thị khơng liên thơng, ta tơ màu cho diện đồ thị màu Tương tự, ta tơ cho diện đồ thị xác định cạnh có màu hai màu Như vậy, ta gán cho diện G cặp tọa độ (x, y) với x y hay Do tọa độ gán cho hai diện kề G phải khác nhau, vị trí, nên tọa độ (1, 0), (0, 1), (1, 1), (0, 0) cho cách tơ diện địi hỏi (tơ diện G màu) ∎ Ta kết thúc mục định lý D König số màu đồ thị hai phần Định lý 2.14 (König, 1916) Nếu G đồ thị hai phần với bậc lớn đỉnh '(G) = Chứng minh Ta dùng quy nạp theo số cạnh G chứng minh cạnh G, trừ cạnh, tơ tối đa màu có cách tơ cạnh G màu Vì giả sử cạnh G tô màu, trừ cạnh vw Khi đó, có màu thiếu đỉnh v màu thiếu đỉnh w Nếu màu thiếu v w thi ta tô màu thiếu cho cạnh vw Nếu khơng phải giả sử màu thiếu v màu thiếu w, giả sử H đồ thị liên thông G bao gồm đỉnh v cạnh đỉnh G tới từ v đường gồm toàn cạnh có màu hay (xem Hình 2.20) Do G đồ thị hai phần nên đồ thị H chứa đỉnh w ta tráo đổi màu cho đồ thị mà không ảnh hưởng đến w hay màu cạnh khác Cạnh vw tơ màu , hồn thành việc tơ màu cho cạnh G ∎ Hệ 2.2 '(Kr,s) = max (r, s) 27 2.4 ĐA THỨC MẦU Trong mục ta trở lại tốn tơ màu đỉnh đồ thị Ta gắn đồ thị với hàm số cho biết đồ thị có - sắc tính khơng Khi nghiên cứu hàm ta hy vọng thu thông tin hữu ích định lý bốn màu Không giảm tổng quát, ta giới hạn đơn đồ thị Giả sử G đơn đồ thị giả sử PG(k) số cách tô đỉnh G k màu cho hai đỉnh kề có màu khác PG gọi hàm màu (chromatic function) G Chẳng hạn, G vẽ Hình 2,21 PG(k) = k(k - 1)², tơ đỉnh k cách tô đỉnh hai đầu k cách Mở rộng kết cho thấy T n đỉnh PG(k) = k(k - 1)n-1 Tương tự, G đồ thị đầy đủ ba đỉnh K3 (Hình 2.22) PG(k) = k(k - 1)(k - 2) G đồ thị Kn PG(k) = k(k - 1)(k - 2) … (k - n + 1) Hình 2.21 Số cách tơ màu đỉnh Hình 2.22 Số cách tơ màu đỉnh K3 Rõ ràng k < χ(G) ⇒ PG(k) = k ≥ χ(G) ⇒ PG(k) > Chú ý định lý bốn màu tương đương với mệnh đề: G đơn đồ thị phẳng PG(4) > Nếu cho đơn đồ thị tùy ý kiểm tra thường khó biết hàm màu đồ thị Định lý hệ sau cho ta phương pháp có hệ thống để xây dựng hàm màu đơn đồ thị theo hàm màu đồ thị không Định lý 2.15 Giả sử G đơn đồ thị, G e G / e đồ thị nhận từ G cách bỏ cạnh e co cạnh e Khi đó, PG(k) = PG - e(k) PG / e(k) Chẳng hạn, giả sử G đồ thị vẽ Hình 2.23 Khi đó, đồ thị G tương ứng vẽ Hình 2.24 Định lý khẳng định 28 e G / e k(k - 1)(k - 2)(k - 3) = {k(k - 1)(k - 2)2} - {k(k - 1)(k - 2)} Hình 2.23 Đồ thị G cạnh e = vw Hình 2.24 Đồ thị G - e G \ e tương ứng Chứng minh Giả sử e = vw Khi đó, số cách tơ đỉnh G e k màu cho v w có màu khác không thay đổi cạnh e vẽ nối v với w, nghĩa số PG(k) Tương tự, số cách tô đỉnh G e k màu cho v w có màu không thay đổi v w trùng (tức co cạnh e), nghĩa số PG / e(k) Như vậy, số cách tô đỉnh G e k màu tổng PG(k) + PG / e(k) điều cần chứng minh ∎ Hệ 2.3 Hàm màu đơn đồ thị hàm đa thức Chứng minh, Ta tiếp tục thao tác cách chọn cạnh G e cạnh G / e, xóa co chúng Sau đó, lặp lại thao tác đồ thị nhận được, v.v Quá trình chấm dứt đồ thị hết cạnh hay nói cách khác, đồ thị cịn lại đồ thị khơng (đồ thị có đỉnh khơng có cạnh) Do hàm màu đồ thị khơng đa thức (= kr, r số đỉnh) Bằng cách áp dụng nhiều lần Định lý 2.15, ta thấy hàm màu đồ thị G tổng đa thức thân hàm màu phải đa thức ∎ Ví dụ minh họa cho thao tác nêu cuối mục Trong thực tiễn, ta không cần biến đổi đồ thị đồ thị không, mà cần biến đổi đồ thị đồ thị biết hàm màu chúng, chẳng hạn đồ thị dạng Với Hệ 2.3, ta gọi PG(k) đa thức màu (chromatic polynomial) G Từ chứng minh cho thấy G có n đỉnh PG(k) đa thức bậc n, khơng có đỉnh đưa vào giai đoạn Do việc 29 xây dựng tạo đồ thị không n đỉnh nên hệ số số hạng kn Cũng hệ số luân phiên đổi dấu hệ số số hạng kn-1 - m, m số cạnh G Để ý ta tô màu cho đồ thị k = (khơng có màu nào), số hạng số đa thức màu phải Hình 2.25 Tính đa thức PG Hình 2.26 Tính truy hồi giai đoạn Bây ta đưa ví dụ minh họa cho ý tưởng nêu Ta sử dụng Định lý 2.15 để tìm đa thức màu đồ thị G vẽ Hình 2.25 sau kiểm tra lại đa thức có dạng k5 - 7k4 + a.k3 - b.k2 + c.k với a, b, c số dương nói Để thuận tiện, giai đoạn ta vẽ đồ thị viết đa thức màu Chẳng hạn, thay viết PG(k) = PG - e(k) - PG \ e(k) với G, G - e G / e đồ thị Hình 2.23 2.24, ta viết "phương trình đồ thị" vẽ Hình 2.26 Với quy ước bỏ qua cạnh kép, ta có Vì PG(k) = k(k - 1)4 - 3k(k - 1)3 + 2k(k - 1)2 + k(k - 1)(k - 2) = k5 - 7k4 + 18k3 - 20k2 + 8k Chú ý kết có dạng địi hỏi k5 - 7k4 + a.k3 - b.k2 + c.k với a, b c số dương Cuối chương ta nêu ví dụ áp dụng tốn tơ màu đỉnh đồ thị vào việc xếp thời khóa biểu Giả sử ta muốn xếp lịch giảng dạy số chuyên 30 đề định trước Một số cặp chuyên đề diễn thời điểm, có sinh viên muốn học hai chuyên đề Để xếp thời khóa biểu, ta lập đồ thị, đỉnh biểu thị chuyên đề cạnh nối cặp chuyên đề tiến hành đồng thời Khi đó, cách tơ màu cho đỉnh đồ thị tương ứng với lịch giảng dạy chuyên đề Sắc số (số màu tối thiểu cần dùng) đồ thị cho biết số đơn vị thời gian cần thiết cho việc giảng dạy chuyên đề, đa thức màu cho biết có cách xếp lịch giảng dạy chuyên đề Tóm lại, chương đề cập tới vấn đề tô màu đỉnh, cạnh diện đồ thi Trình bày kết tơ màu đỉnh: Định lý Brooks (1941), Định lý Minty (1962), định lý tô màu đồ thị phẳng, đặc biệt định lý bốn màu (Appel Haken, 1976) Về tô màu đồ (tơ diện đồ thị phẳng) có định lý đồ màu, đồ lập phương màu định lý bốn màu cho đồ Về tơ màu cạnh đồ thị, trình bày Định lý Vizing số màu tối thiểu cần tô, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, tô cạnh đồ thị hai phần (Định lý König, 1916) quan hệ với định lý bốn màu Cuối chương đề cập tới đa thức màu, cho biết tơ đỉnh đồ thị k màu không, có cách tơ 31 KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới tốn tơ màu đồ thị (tô đỉnh, cạnh diện - tô màu đồ) Đây chủ đề hay hấp dẫn, nhiều người quan tâm nghiên cứu ứng dụng Luận văn trình nội dung sau Các khái niệm kiến thức lý thuyết đồ thị, phép toán đồ thị, cách biểu diễn đồ thị (danh sách kề, ma trận kề, ma trận liên thuộc) Nêu dạng đồ thị đặc biệt, hay sử dụng (đồ thị dạng cây, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị đều, đồ thị Petersen, đồ thị Platon, đồ thị phẳng, đồ) Các kết qủa lý thuyết tô màu đồ thị Tô màu đỉnh: Định lý Brooks, Định lý Minty, định lý tô đỉnh đồ thị phẳng Tô màu diện: định lý bốn màu tô đồ Tô màu cạnh: Định lý Vizing, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, Định lý Kưnig tơ cạnh đồ thị hai phần Cuối đề cập tới đa thức màu, cho biết số cách tô dùng k màu Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu tốn tơ màu đồ thị Tác giả luận văn hy vọng tương lai có dịp tìm hiểu sâu thêm nhiều toán hay hấp dẫn khác lý thuyết đồ thị 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu (1963), “Về lớp đồ thị phẳng“, Tập san Toán Lý, (2) 4, tr 64 - 65 [2] Hoàng Tụỵ (1964), Đồ thị hữu hạn ứng dụng vận trù học, Nhà xuất Khoa học, Hà Nội Tiếng Anh [3] Aldous J M., Wilson R J (2004), Graphs and Applications: An Introductory Approach, Springer [4] Korte B., Vygen J (2006), Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms, 3rd edi., Springer [5] Wilson R J (1998), Introduction to Graph Theory Fourth edition, Addison Wesley Longman Limited [6] Wilson R A (2002), Graphs, Colourings and the Four-Colour Theorem, Oxford University Press 33