Nghiên cứu thuật toán giảm bậc mô hình ứng dụng cho bài toán điều khiển

` ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CƠNG NGHIỆP PHÙNG THỊ CHÍNH NGHIÊN CỨU THUẬT TỐN GIẢM BẬC MƠ HÌNH ỨNG DỤNG CHO BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển Tự động hóa THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP PHÙNG THỊ CHÍNH NGHIÊN CỨU THUẬT TỐN GIẢM BẬC MƠ HÌNH ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển Tự động hóa Mã số: 60520216 LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Cơng THÁI NGUN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Phùng Thị Chính Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii TS , Khoa Sau Đại học Phùng Thị Chính Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục bảng v Danh hình ảnh (Hình vẽ, ảnh chụp, đồ thị) vi MỞ ĐẦU .1 Tính cấp thiết đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài CHƢƠNG GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢM BẬC MƠ HÌNH 1.1 Giới thiệu 1.2 Phát biểu toán giảm bậc mơ hình .4 1.3 Các phương pháp giảm bậc 1.3.1 Phương pháp ghép hợp 1.3.2 Phương pháp sở trùng khớp thời điểm 1.3.3 Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị .12 1.3.4 Phương pháp cân nội 13 1.3.5 Các phương pháp sử dụng phép gần tối ưu .14 1.3.6 Phương pháp tối ưu theo trạng thái 15 1.4 Kết luận 17 CHƢƠNG NGHIÊN CỨU THUẬT TỐN GIẢM BẬC MƠ HÌNH .19 2.1 Cơ sở tốn học .19 2.1.1 Phép phân tích giá trị suy biến (SVD - Singular Value Decomposition) 19 2.1.2 Gramian điều khiển quan sát hệ tuyến tính .20 2.1.3 Giá trị Hankel suy biến 21 2.1.4 Chuẩn H hệ tuyến tính 22 2.2 Thuật toán giảm bậc theo chuẩn Hankel 22 2.3 Một số ví dụ áp dụng 24 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv 2.3.1 Ví dụ 24 2.3.2 Ví dụ 28 2.3.3 Ví dụ 32 2.4 Kết luận chương 35 CHƢƠNG ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MƠ HÌNH TRONG LĨNH VỰC ĐIỀU KHIỂN THIẾT KẾ - MƠ PHỎNG - THÍ NGHIỆM THỰC 37 3.1 Giới thiệu mơ hình xe hai bánh tự cân 37 3.1.1 Mơ hình khí 37 3.1.2 Mơ hình tốn học 38 3.2 Hệ thống điều khiển cân robot theo phương pháp điều khiển bền vững định dạng vòng H∞ .43 3.2.1 Điều khiển định dạng vòng H∞ 43 3.2.2 Thiết kế điều khiển định dạng vòng H∞ đủ bậc .46 3.2.2.1 Lựa chọn hàm định dạng 46 3.2.2.2 Kết mô 46 3.3 Ứng dụng giảm bậc mô hình giảm bậc điều khiển bền vững định dạng vòng H∞ .49 3.3.1 Giảm bậc điều khiển bền vững định dạng vòng H∞ điều khiển cân robot 49 3.3.2 Ứng dụng điều khiển giảm bậc để điều khiển cân robot 54 3.4 Kết thực nghiệm điều khiển mơ hình robot hai bánh tự cân 57 3.5 Kết luận chương 59 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ v DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 2.1 Kết giảm bậc mơ hình hệ bậc 25 Bảng 2.2 Kết giảm bậc mơ hình hệ bậc 28 Bảng 2.3 Kết giảm bậc mơ hình hệ bậc 33 Bảng 3.1 Các thông số robot 41 Bảng 3.2 Kết giảm bậc điều khiển bền vững 50 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ vi DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình 2.1 Đáp ứng bước nhảy hệ gốc hệ giảm bậc .26 Hình 2.2 Đặc tính tần số hệ gốc hệ giảm bậc .26 Hình 2.3 Giá trị Hankel suy biến hệ gốc bậc .27 Hình 2.4 Đặc tính tần số hệ gốc hệ giảm bậc 7, 5, 3, 31 Hình 2.5 Đặc tính tần số hệ gốc hệ giảm bậc 6, 4, 31 Hình 2.6 Giá trị Hankel suy biến hệ gốc bậc .32 Hình 2.7 Đáp ứng bước nhảy hệ gốc hệ giảm bậc .34 Hình 2.8 Đặc tính tần số hệ gốc hệ giảm bậc .34 Hình 2.9 Giá trị Hankel suy biến hệ gốc bậc .35 Hình 3.1 Kích thước robot hai bánh tự cân 37 Hình 3.2 Sơ đồ đơn giản robot 38 Hình 3.3 Đáp ứng xung mơ hình hệ thống cân robot 42 Hình 3.4 Mơ hình điều khiển bền vững với thông số biến đổi 44 Hinh 3.5 Đáp ứng bước nhảy h(t) điều khiển gốc điều khiển giảm bậc 52 Hình 3.6 Đáp ứng tần số điều khiển gốc điều khiển giảm bậc 53 Hình 3.7 Sơ đồ hệ thống điều khiển cân robot sử dụng điểu khiển giảm bậc Matllab – Simulink .54 Hình 3.8 Đáp ứng bước nhảy hệ thống điều khiển cân robot sử dụng điều khiển giảm bậc 55 Hình 3.9 Sơ đồ mô hệ thống điều khiển cân robot sử dụng điều khiển gốc điều khiển giảm bậc Matlab-Simulink 55 Hình 3.10 Đáp ứng bước nhảy hệ thống điều khiển cân robot sử dụng sử dụng điều khiển gốc điều khiển giảm bậc Matlab-Simulink .56 Hình 3.11 Đáp ứng hệ thống xe hai bánh tự cân sử dụng điều khiển giảm bậc 57 Hình 3.12 Đáp ứng hệ thống xe hai bánh tự cân sử dụng điều khiển giảm bậc có nhiễu 58 Hình 3.13 Đáp ứng hệ thống xe hai bánh tự cân sử dụng điều khiển giảm bậc thay đổi tải lệch tâm .58 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Tăng tốc độ xử lý tính tốn hướng ưu tiên nghiên cứu lĩnh vực kỹ thuật Để tăng tính tốn, có số hướng tiếp cận sau: Sử dụng tối ưu thông lượng nhớ cho vi xử lý song song Phân rã tốn lập trình song song theo nghĩa tính toán hiệu cao Quay dùng chip tương tự mạng nơ ron tế bào (CNN) Tìm cách giảm độ phức tạp thuật tốn mà đảm bảo sai số theo yêu cầu Giảm độ phức tạp thuật tốn giảm bậc mơ hình mà đề tài tập trung nghiên cứu Như đề tài có tính thời cấp thiết Nghiên cứu robot tự động (Autonomous robot) lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh năm gần Một khó khăn vấn đề nghiên cứu robot tự động khả trì cân ổn định địa hình khác Để giải vấn đề này, robot hầu hết có bánh xe rộng tối thiểu ba điểm tiếp xúc so với mặt đất để trì cân Tuy nhiên tăng kích thước số lượng bánh xe làm giảm hiệu hệ thống điều khiển tăng trọng lượng xe, tăng ma sát tăng lực kéo tăng tổn hao lượng Robot hai bánh tự cân hướng nghiên cứu giải nhược điểm Bởi robot hai bánh tự cân sử dụng hai bánh xe nên giảm trọng lượng chiều rộng khơng gian Tuy nhiên vấn đề khó khăn cho robot làm cách để robot tự cân điều kiện làm việc khác nhau, đồng thời tải trọng mang theo thay đổi Với yêu cầu robot hệ thống điều khiển bền vững thích hợp để điều khiển cân robot Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Lý thuyết điều khiển H2/H∞ lý thuyết điều khiển đại cho việc thiết kế điều khiển tối ưu bền vững cho đối tượng điều khiển có thơng số thay đổi chịu tác động nhiễu bên Tuy nhiên, phương pháp thiết kế H2/H∞ mà McFarlane Glover lần đưa vào năm 1992 kể nghiên cứu sau lý thuyết điều khiển H2/H∞, điều khiển thu thường có bậc cao (bậc điều khiển xác định bậc đa thức mẫu) Bậc điều khiển cao có nhiều bất lợi đem thực điều khiển robot, mã chương trình phức tạp Vì vậy, việc giảm bậc điều khiển mà đảm bảo chất lượng có ý nghĩa thực tiễn Có nhiều phương pháp khác tìm mơ hình giảm bậc điều khiển phức tạp, bậc cao, phương pháp có ưu điểm, hạn chế riêng sử dụng theo nhu cầu cách thích hợp Trong luận văn tác giả tập trung nghiên cứu phương pháp giảm bậc theo chuẩn Hankel áp dụng thuật toán để giảm bậc điều khiển bền vững cho mơ hình robot hai bánh tự cân Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Giảm bậc mơ hình áp dụng theo phương pháp cân nội giúp giảm độ phức tạp thuật tốn điều khiển, giảm thơng tin thừa, tăng tốc độ xử lý Mơ hình giảm bậc sử dụng giúp xử lý tín hiệu cách đơn giản, tăng tốc độ tính tốn, thiết kế hệ thống điều khiển đơn giản đồng thời đảm bảo độ xác u cầu Robot hai bánh sử dụng thay người thăm dò, … Từ nghiên cứu robot hai bánh tự cân phát triển mơ hình robot hai bánh tự cân thành xe hai bánh tự cân sử dụng giao thông vận tải Xe hai bánh tự cân có khả tự cân đứng yên, chuyển động xảy va chạm Xe hai bánh tự cân Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 52 Để đánh giá chất lượng điều khiển gốc điều khiển giảm bậc, tác giả thực so sánh đáp ứng bước nhảy đáp ứng tần số điều khiển gốc điều khiển giảm bậc Hinh 3.5 Đáp ứng bước nhảy h(t) điều khiển gốc điều khiển giảm bậc Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 53 Bode Diagram 40 Magnitude (dB) 20 -20 -40 -60 90 Bo dieu khien goc Bo dieu khien giam bac Bo dieu khien giam bac Bo dieu khien giam bac Bo dieu khien giam bac Bo dieu khien giam bac Phase (deg) 45 -45 -90 -135 -2 10 10 -1 10 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Hình 3.6 Đáp ứng tần số điều khiển gốc điều khiển giảm bậc Nhận xét: Từ kết mô đáp ứng h(t) cho thấy: - Đáp ứng h(t) điều khiển giảm bậc giảm bậc hoàn toàn trùng khít với đáp ứng h(t) điều khiển gốc bậc - Đáp ứng h(t) điều khiển giảm bậc có sai khác so với đáp ứng h(t) điều khiển gốc bậc giá trị sai khác nhỏ - Đáp ứng h(t) điều khiển giảm bậc 2, có sai khác nhiều so với đáp ứng h(t) điều khiển gốc bậc Từ kết mô đáp ứng tần số ta thấy: - Đáp ứng tần số điều khiển giảm bậc 5, trùng khớp hoàn toàn với đáp ứng tần số điều khiển gốc bậc - Đáp ứng tần số điều khiển giảm bậc sai lệch nhỏ so với đáp ứng tần số điều khiển đủ bậc Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 54 - Đáp ứng tần số điều khiển giảm bậc 2, sai khác nhiều so với đáp ứng tần số điều khiển đủ bậc Như ta dùng điều khiển giảm bậc: 5,4, thay điều khiển đủ bậc Tất nhiên, ta chọn điều khiển bậc thay cho điều khiển gốc bậc 3.3.2 Ứng dụng điều khiển giảm bậc để điều khiển cân robot Với kết giảm bậc mục 3.3.1 tác giả sử dụng điều khiển giảm bậc thu từ bảng 3.1 để điều khiển cân robot hai bánh, sơ đồ mô hệ thống Matlap – Simulink hình sau: Hình 3.7 Sơ đồ hệ thống điều khiển cân robot sử dụng điểu khiển giảm bậc Matllab – Simulink Kết đáp ứng hệ thống là: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 55 Hình 3.8 Đáp ứng bước nhảy hệ thống điều khiển cân robot sử dụng điều khiển giảm bậc Để thấy rõ chất lượng hệ thống điều khiển sử dụng điều khiển giảm bậc 3, tác giả thực mô so sánh hệ thống điều khiển sử dụng điều khiển gốc điều khiển giảm bậc Matlab Simulink sau: Hình 3.9 Sơ đồ mơ hệ thống điều khiển cân robot sử dụng điều khiển gốc điều khiển giảm bậc Matlab-Simulink Kết đáp ứng hệ thống là: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 56 Hình 3.10 Đáp ứng bước nhảy hệ thống điều khiển cân robot sử dụng sử dụng điều khiển gốc điều khiển giảm bậc MatlabSimulink Nhận xét: - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển gốc bậc sai lệch tĩnh (S t% =0%), khơng có q điều chỉnh, thời gian độ (s), thời gian đáp ứng (s), hệ không dao động - Chất lượng đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển điều khiển giảm bậc gần trùng khít đáp ứng h(t) hệ thống điều khiển cân robot dùng điều khiển điều khiển gốc bậc Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 57 Do ta có dùng điều khiển giảm bậc thay điều khiển gốc bậc 3.4 Kết thực nghiệm điều khiển mô hình robot hai bánh tự cân Áp dụng điều khiển giảm bậc mơ hình robot hai bánh tự cân bằng, tác giả thu kết sau: Hình 3.11 Đáp ứng hệ thống xe hai bánh tự cân sử dụng điều khiển giảm bậc Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 58 Hình 3.12 Đáp ứng hệ thống xe hai bánh tự cân sử dụng điều khiển giảm bậc có nhiễu Hình 3.13 Đáp ứng hệ thống xe hai bánh tự cân sử dụng điều khiển giảm bậc thay đổi tải lệch tâm Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 59 Nhận xét: Hệ thống điều khiển robot hai bánh tự cân sử dụng điều khiển giảm bậc có khả cân khơng mang tải, có nhiễu tác động mang tải lệch tâm Kết chứng minh tính đắn việc thiết kế hệ thống điều khiển theo thuật toán điều khiển bền vững thuật toán giảm bậc điều khiển bền vững bậc cao 3.5 Kết luận chƣơng - Thiết kế điều khiển bền vững theo định dạng vòng H cho hệ thống điều khiển cân robot hai bánh thu điều khiển bậc cao (bậc 6) - Sử dụng thuật toán giảm bậc theo chuẩn Hankel để giảm bậc điều khiển gốc bậc cho kết : thay điều khiển gốc bậc điều khiển giảm bậc 5, 4, - Chất lượng đáp ứng h(t) dùng điều khiển giảm bậc so với dùng điều khiển gốc bậc để điều khiển hệ thống cân robot Matllab – Simulink tương đương - Để đơn giản cho việc thiết kế hệ thống điều khiển cân robot ta dùng điều khiển giảm bậc thay cho điều khiển gốc bậc mà chất lượng điều khiển đảm bảo - Kết thực nghiệm cho thấy chất hệ thống điều khiển cân robot sử dụng điều khiển giảm bậc đảm bảo cân bền vững khơng có tải, có nhiễu mang tải lệch tâm Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 60 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ A Kết luận Luận văn nghiên cứu giải nội dung sau: Bài toán điều khiển cân robot toán điều khiển quan trọng hệ thống điều khiển robot Để thiết kế hệ thống điều khiển cân robot có nhiều phương pháp, luận văn tác giả lựa chọn phương pháp điều khiển cân robot sử dụng bánh đà dựa cở sở định luật bảo toàn động lượng: Nếu khơng có mơ men xoắn (mơ men lực) bên tác động lên đối tượng hay hệ thống (hoặc tổng mô men xoắn mô men lực) tác động vào đối tượng khơng) tổng mơmen động lượng đối tượng bảo tồn Robot hai bánh tự cân trang bị bánh đà sử dụng bánh đà để trì cân robot Một động tạo mô men xoắn cho bánh đà gây mô men xoắn tương ứng tác động lên robot theo chiều ngược lại mô men dùng để cân với mômen trọng lực robot tạo Để điều khiển gia tốc bành đà, ta sử dụng động chiều DC với điện áp đặt lên động U, ta đưa toán điều khiển cân robot toán điều khiển góc nghiêng robot (đầu ra) cách điều khiển điện áp U (đầu vào) đặt lên động DC Nhiệm vụ đặt phải thiết kế điều khiển để giữ cho robot cân tức giữ cho góc (đầu ra) khơng Xây dựng hệ thống điều khiển cân robot theo thuật toán điều khiển định dạng H∞ thu điều khiển gốc bậc Bộ điều khiển có kích thước lớn gây khó khăn cho việc ứng dụng điều khiển thực tế điều khiển, cân phải giảm bậc điều khiển gốc bậc Phương pháp giảm bậc theo chuẩn Hankel dựa vào giá trị Hankel suy biến định nghĩa “năng lượng” trạng thái hệ thống Thuật toán giảm bậc theo chuẩn Hankel giữ trạng thái ứng với giá trị Hankel Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 61 lớn trình giảm bậc hệ giảm bậc bảo lưu đặc điểm quan trọng hệ gốc bảo toàn ổn định, đáp ứng tần số đáp ứng bước nhảy trùng khớp Luận văn đưa thuật tốn giảm bậc mơ hình theo chuẩn Hankel áp dụng cho đối tương bậc cao Áp dụng phương pháp theo chuẩn Hankel giảm bậc điều khiển cân robot theo định dạng H : Kết mô cho thấy điều khiển giảm bậc 5,4,3 thay điều khiển gốc bậc Sau giảm bậc điều khiển gốc bậc 6, luận văn tiến hành thiết kế hệ thống điều khiển theo định dạng H dùng điều khiển giảm bậc Trong đó, tiến hành thiết kế dùng điều khiển gốc điều khiển giảm bậc để điều khiển cân robot Kết mô Matlab – Simukinl cho thấy sử dụng điều khiển giảm bậc thay cho điều khiển gốc bậc mà chất lượng hệ thống điều khiển cân robot đảm bảo yêu cầu Điều có ý nghĩa thực tiễn giải pháp thiết kế giảm kích thước điều khiển làm việc thiết kế thực điều khiển trở nên dễ dàng Các kết mơ thực thể tính đắn thuật toán điều khiển cân robot theo thuật toán định dạng H thuật toán giảm bậc theo chuẩn Hankel B Kiến nghị Cần nghiên cứu số phương pháp khác việc giảm bậc điều khiển, có so sánh với phương pháp giảm bậc theo chuẩn Hankel Cần nghiên cứu thiết kế hệ thống điều khiển cân robot theo phương pháp điều khiển khác để so sánh với phương pháp thiết kế theo định dạng H Cần tiến hành nhiều thí nghiệm thực nhiều trường hợp để khẳng định tính đắn thuật tốn điều khiển theo định dạng H Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 62 thuật toán giảm bậc mơ hình theo phương pháp giảm bậc theo chuẩn Hankel đưa vào ứng dụng thực tiễn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anderson J H., Geometrical approach to the reduction of dynamically systems, Proc IEE., 114, 1014-1018, 1967 [2] Aoki M., Control of large scale dynamic system by aggregation, IEEE Trans Auto Contr., AC-13, 246-235, 1968 [3] Bandler J W., Markettons N D and Sinha N K., Optimum system modeling using recent gradient methods, Int J System Sciences, 4, 257262, 1973 [4] Bistritz Y and Lanholz G., Model reduction by Chebyshev polynomial techniques, IEEE Trans Auto Contr., AC-24, 741-747, 1979 [5] Bùi Trung Thành, Balacing Control of Bicycle Robot by Particle Swarm Optimization – Based Structure – Specified H2/H Control, Doctoral thesis, 2008 [6] Ballois, S.L & Duc, G (1996) H∞ control of a satellite axis: Loop shaping, controller reduction, and µ-analysis Control Engineering Practice, Vol 4(7), pp 1001-1007 [7] Chen C F and Shieh L S., A novel approach to linear model simplification, Int J Contr., 14 (5), 561-570, 1968 [8] Davison E J., A method for simplifying linear dynamic systems, IEEE Trans Auto Contr., AC-11, 93-101, 1966 [9] Commault C., Optimal choice of model for aggregation, Automatica, 17, 397-399, 1981 [10] Davison E J., A method for simplifying linear dynamic systems, IEEE Trans Auto Contr., AC-11, 93-101, 1966 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 63 [11] Elliott H and Wolovich W A., A frequency domain model reduction procedure, Automatica, 16, 167-177, 1980 [12] Fernando K V and Nicholson H., Singular perturbational model reduction of balanced system, IEEE Trans Auto Contr., AC-27, 466-468, 1982 [13] Gibarillo G and Lees F P., The reduction of complex transfer function models to simple models using the method of moments, Cher Eng Science, 24, 85-93, 1966 [14] Glover K., All optimal Hankel norm approximation of linear multivariable system and their L2 error bounds, IEEE Trans, Auto Contr., AC-29, 1105-1113, 1984 [15] Hickin J D and Sinha N K., Model reduction for linear multivariable systems, IEEE Trans Auto Contr., AC-25, 1121-1127, 1980 [16] Hutton M F and Friedland B., Routh approximation for reducing order of linear time invariant systems, IEEE Trans Auto Contr., AC-20, 329337, 1975 [17] Hyland D C and Berstein D S., The optimal projection equations for model reduction and the relationship among the methods of Wilson, Skelton and Moore, IEEE Trans Auto Contr., AC-30 (12), 1201-1211, 1985 [18] Kabamba P.T., Balanced gains and their significance for L2 model reduction IEEE Trans Auto Contr., AC-30 (6), 690-693, 1985 [19] Jonckheere E.A and Silverman L.M., A new set of invariant for linear systems – Application to reduced order compensator design, IEEE Trans Auto Contr., AC-28 (10), 953-964,1993 [20] Lanholz G J and Bistritz Y., Model reduction of dynamic systems over a frequency interval, Proc 16th Annual Allerton Conf Communications, Control and Computing (Monticello IL), 903-912, 1978 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 64 [21] Lastman G J and Sinha N K., A comparision of the blanced matrix and the aggregation methods of model reduction, IEEE Trans Auto Contr., AC-30 (4), 301-304, 1985 [22] Lastman G J and Sinha N K., Worst-case error analysis of the balanced matrix method of model reduction, Can I Elect And Comp Engg., 14, 18-23, 1989 [23] Lucas T N., Linear system reduction by impulse energy approximation, IEEE Trans Auto Contr., AC-30 (8), 784-786, 1985 [24] Marshall S ., An approximate method for reducing the order of large systems, Contr Engineering, 10, 642-648, 1966 [25] McFarlane, D & Glover, K (1992) A loop shaping design procedure using H∞ synthesis IEEE Transaction on Automatic Control Vol 37(6), pp 759-769 [26] Mitra D., On the reduction of the complexity of linear dynamic models, Rep AEEW-R520, U K Atomic Energy Authority, 1967 [27] Moore B C., Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and model reduction , IEEE Trans Auto Contr., AC-26, 17-32, 1981 [28] Mustafa D and Glover K., Controller reduction by H -balanced truncation, IEEE Trans Auto Contr., 36 (6), 668-682,1991 [29] Nath N G and San N N., An apptoach to linear model reduction, Contr Cyber., 20 (2), 69-89, 1991 [30] Perenbo I, and Silverman L M., Model reduction via balanced state space repre-sentation, IEEE Trans Auto, contr., AC-27, 328-387, 1982 [31] Prakash R and Rao S V., Model reduction by low-frequency approximation of internally balanced representation, Proc IEEE Conf Decision, Contr., Tampa, Florida, USA, 143-150, 1989 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 65 [32] Rozsa P Sinha N K and Lastman G., On estimating state variable partition for model reduction, Proc 13th Annual Conf Model & Simulation, Pittsburgh, PA, USA, 251-260, 1982 [33] Sannuti P and Kokotovic S., Near Optimum design of liear systems using singular perturbation method, IEEE Trans Auto Contr., AC-14, 15-21, 1969 [34] Sanash Y., Stable reduced-order models using Pade-type approximations, IEEE Trans Auto Contr., AC-14, 27-32, 1969 [35] San N N., State-optimization method for order reduction of linear models and of state estimators, Optimization, 34 (4), 324-357, 1995 [36] San N N and N G Nath, On optimal projection equations for model reduction: Input error approach, Optimization, 31 (3), 263-282, 1994 [37] Sinha N K., El-Nahas I and Alden R T H., Routh approximation of multivariable systems, Prob of Contr and Inf theory, 11 (3), 420-425, 1982 [38] Skelton R E., Cost decomposition of linear systems with application to model reducation, Int J Contr., 32, 1031-1055, 1980 [39] Skelton R E and Yousuff R., Compoment cost analysis of large systems, Int J Contr., 35, 285-297, 1983 [40] Tang, K.S.; Man, K.F & Gu, D.W (1996) Structured genetic algorithm for robust H∞ control systems design IEEE Transaction on Industrial Electronics, Vol 43(5), pp 575-582 [41] Vũ Ngọc Kiên, Thiết kế hệ thống điều khiển theo phương pháp khơng gian trạng thái có dụng giảm bậc mơ hình, Ln văn thạc sỹ, 2010 [42] Wilson D A., Optimum solution of model-reduction problem, Proc IEE, 117 (6), 1161-1165, 1970 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 66 [43] Yubai, K.; Okuhara , K & Hirai, J (2008) Gain-scheduling control of a rotary inverted pendulum by weight optimization and H∞ loop shaping procedure Electrical Engineering in Japan, Vol 163(2), pp 130-140 [44] Zhao G and Sinha N K., Model selection in aggregated models, Large Scale Systems, 4, 209-216, 1983 [45] Y Liu and B D O Anderson, “Singular perturbation approximation of balanced systems,” in 28th IEEE Conference on Decision and Control, 1989, pp 1355–1360 [46] A.C Antoulas, Approximation of Large – Scale Dynamical Systems, SIAM, 2005 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/