Nâng cao chất lượng điều khiển chuyển động và ổn định của robot di động hai bánh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN -   - GIA THỊ ĐỊNH NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA ROBOT DI ĐỘNG HAI BÁNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT THÁI NGUYÊN 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN    - GIA THỊ ĐỊNH NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐIỀU KHIỂN CHUYỂN ĐỘNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA ROBOT DI ĐỘNG HAI BÁNH Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển tự động hoá Mã số: 62 52 02 16 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT Cán hướng dẫn Cán hướng dẫn GS.TS Đỗ Khắc Đức PGS TS Nguyễn Duy Cương THÁI NGUYÊN 2017 iii Lời cam đoan Luận án tác giả thực dựa hướng dẫn tập thể hướng dẫn khoa học Trường Đại học kỹ thuật công nghiệp Thái Nguyên tài liệu tham khảo trích dẫn Kết nghiên cứu chưa bảo vệ trường đại học khác công bố để nhận Tiến sĩ Nghiên cứu sinh Gia Thị Định iv Mục lục Lời cam đoan iii Mục lục vi Danh mục ký hiệu vii Danh mục chữ viết tắt ix Danh mục hình vẽ đồ thị xi Lời cảm ơn xii Mở đầu Khái quát chung Tính cấp thiết luận án Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung phạm vi vấn đề sâu nghiên cứu, giải triển vọng kết đạt Ý nghĩa lý luận thực tiễn đề tài Bố cục luận án Chương Tổng quan robot di động hai bánh 1.1 Tổng quan robot di động hai bánh 1.2 Luận giải, định hướng nghiên cứu đề tài 1.2.1 Phân tích tính khó điều khiển đối tượng 1.2.2 Tình hình nghiên cứu nước 1.3 Kết luận Chương Một số cơng cụ tốn học sử dụng luận án 2.1 Lý thuyết ổn định Lyapunov 2.2 Các phương pháp điều khiển 2.2.1 Hàm điều khiển Lyaponov (clf) 2.2.2 Kỹ thuật thiết kế điều khiển Backstepping 2.2.3 Kỹ thuật thiết kế điều khiển Adaptive Backstepping 1 3 4 6 11 15 17 17 20 21 22 24 v 2.3 2.4 2.5 Một số cơng cụ tốn học 2.3.1 Hàm bão hòa trơn hàm khả vi p-lần (smooth saturation function and p-times function) 2.3.2 Công cụ chuyển đổi hệ tọa độ Bộ quan sát hệ số khuếch đại cao - HGOs 2.4.1 Khả quan sát vi phân hệ bậc m 2.4.2 Thiết kế quan sát HGOs cho hệ nhiều biến 2.4.3 Nguyên lý tách bán toàn cục Kết luận 25 25 26 26 26 29 34 36 Chương Xây dựng điều khiển ổn định chuyển động ổn định robot di động hai bánh Mơ hình tốn học Mục tiêu điều khiển Thiết kế điều khiển Backstepping cho TWMR 3.3.1 Hệ con-ψ 3.3.2 Hệ con-(xφ) 3.3.3 Mô Thiết kế điều khiển Adaptive Backstepping cho TWMR 3.4.1 Hệ con-ψ 3.4.2 Hệ con-(xφ) 3.4.3 Mô Thiết kế điều khiển phản hồi đầu BHGOs cho TWMR 3.5.1 Hệ con-ψ 3.5.2 Hệ con-(x, φ) 3.5.3 Mô Thiết kế điều khiển phản hồi đầu ABHGOs cho TWMR 3.6.1 Mục tiêu điều khiển 3.6.2 Thiết kế điều khiển 3.6.3 Hệ - ψ : 3.6.4 Hệ con-(x, φ): 3.6.5 Mô Kết luận chương 37 37 39 42 42 43 47 50 51 52 54 61 61 63 64 68 68 68 69 69 71 73 Chương Thí Nghiệm 4.1 Xây dựng hệ thống thí nghiệm 4.2 Kết thí nghiệm 4.3 Kết luận chương 75 75 79 82 Kết luận định hướng nghiên cứu Kết luận Kiến nghị 83 83 83 Phụ lục A 86 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Chứng minh Hệ vi A.1 Chứng A.1.1 A.1.2 A.2 Chứng A.2.1 A.2.2 A.3 Chứng A.3.1 A.3.2 A.4 Chứng A.4.1 A.4.2 minh Bổ đề 3.1 Chứng minh hệ kín (A.1) tồn nghiệm Chứng minh trạng thái (A.1) bị giới hạn hội minh Bổ đề 3.2 Chứng minh hệ kín (A.28) tồn nghiệm Chứng minh trạng thái (A.28) hội tụ minh Bổ đề 3.3 Chứng minh hệ kín (A.63) tồn nghiệm Chứng minh trạng thái (A.63) hội tụ minh Bổ đề 3.4 Chứng minh hệ kín (A.90) tồn nghiệm Chứng minh trạng thái (A.90) hội tụ tụ 86 86 89 92 94 96 100 102 104 108 109 111 Các bước mơ hình hóa, trích đoạn chương trình thí nghiệm sơ đồ cấu trúc điều khiển B.1 Các bước tính phần mơ hình hóa B.2 Trích đoạn chương trình thí nghiệm B.3 Sơ đồ cấu trúc điều khiển 116 116 122 123 Phụ lục B Tài liệu tham khảo 128 Các cơng trình khoa học công bố 133 vii Danh mục ký hiệu Ký hiệu Ý nghĩa FL , FR Lực tương tác bánh trái, bánh phải bệ HL , HR Lực ma sát bánh trái, bánh phải với bề mặt chuyển động TL , TR Mô men cung cấp động gắn bánh trái bánh phải fdL , fdR Lực tác động (nhiễu) đặt vào bánh trái bánh phải θL , θR Góc quay bánh trái bánh phải xL , xR Khoảng dịch chuyển bánh trái, bánh phải φ Góc nghiêng lắc φ˙ Vận tốc góc nghiêng lc ă Gia tc gúc nghiờng ca lc Góc quay robot ψ˙ Vận tốc góc quay robot ă Gia tc gúc quay ca robot x Khong dch chuyn ca robot x Vn tc ca robot xă Gia tốc robot Mw Khối lượng bánh xe Jw Momen quán tính bánh xe theo phương y R Bán kính bánh xe m Khối lượng lắc g Gia tốc trọng trường l Khoảng cách từ gốc O đến trọng tâm CG lắc D Khoảng cách bánh trái bánh phải M Khối lượng bệ Jc Momen quán tính bệ quanh trục y Jv Momen quán tính bệ lắc quanh trục z viii Ký hiệu Ý nghĩa Jp Momen quán tính lắc theo trục y m2 Khối lượng tải động đặt lắc l2 khoảng cách từ trọng tâm lắc tới tâm tải tăng thêm VA2 Vận tốc trọng tâm tải động A2 JA2 Mơ men qn tính tải tăng thêm theo trục y K Tổng động hệ Q Lực suy rộng δ Bán kính hội tụ thực d Nhiễu tác động lên hệ dˆ Nhiễu quan sát d˜ Sai lệch nhiễu quan sát nhiễu thực uψ Tín hiệu điều khiển hệ ψ u( x, φ) α Tín hiệu điều khiển hệ (x, φ) Tín hiệu điều khiển ảo sat Hàm bão hòa V Hàm Lyapunov clf ix Danh mục chữ viết tắt Viết tắt Biểu diễn Ghi tiếng Anh TWMR Robot hai bánh di động Two-wheeled mobile robot HGOs Bộ quan sát hệ số khuếch đại cao High gain observers LQR Điều chỉnh tuyến tính bậc hai Linear quadratic regulator LQG Điều chỉnh tuyến tính theo Gaussian Linear quadratic gaussian MRAS Điều khiển thích nghi theo mơ hình mẫu Model Reference Adaptive Systems PID Bộ điều khiển PID Proportional integral derivative controller AB Bộ điều khiển thích nghi lặp lùi Adaptive Backstepping controller BHGOs Bộ điều khiển phản hồi kết hợp Backstepping with high gain obkỹ thuật lặp lùi quan sát sever controller hệ số cao ABHGOs Bộ điều khiển thích nghi lặp lùi kết hợp quan sát hệ số cao Adaptive Backstepping with high gain obsever controller MPU Cảm biến xử lý chuyển động Motion Processing Unit GPS Hệ thống định vị tồn cầu Global Positioning System I2C Chuẩn truyền thơng I2C Inter-Integrated Circuit TCP/IP Giao thức liên mạng Internet protocol suite or IP suite P2P Giao thức truyền thông điểm tới Point to point điểm x Danh mục hình vẽ đồ thị Một số hình ảnh ứng dụng lắc ngược 1.1 1.2 1.3 Một số hình ảnh Robot di động Robot di động hai bánh dọc ngang Hình ảnh mơ hình vật lý tham số điều khiển TWMR 2.1 Sai lệch hệ thống tạo công thức (2.63) (2.64) 31 3.1 3.2 3.3 Sơ đồ phân bố lực mô men TWMR Nguyên lý điều khiển TWMR Nhiễu tín hiệu điều khiển - Trường hợp 1: a) Nhiễu, b) Tín hiệu điều khiển Các đáp ứng TWMR - Trường hợp 1: a) Góc quay ψ góc nghiêng φ, b) Khoảng dịch chuyển x lượng đặt xd Các sai lệch trạng thái hệ kín - Trường hợp Nhiễu tín hiệu điều khiển TWMR - Trường hợp 2: a) Nhiễu, b) Tín hiệu điều khiển Các đáp ứng TWMR - Trường hợp 2: a) Góc quay ψ góc nghiêng φ, b) Khoảng dịch chuyển x lượng đặt xd Các sai lệch trạng thái hệ kín - Trường hợp Nhiễu tín hiệu điều khiển TWMR - Trường hợp 1: a) Nhiễu, b) Tín hiệu điều khiển Các đáp ứng TWMR -Trường hợp 1: a) Góc quay ψ góc nghiêng φ, b) Khoảng dịch chuyển x lượng đặt xd Nhiễu ước lượng nhiễu - Trường hợp 1: a) Hệ ψ, b) c) Hệ (x, φ) Các sai lệch trạng thái hệ kín - Trường hợp Nhiễu tín hiệu điều khiển TWMR - Trường hợp 2: a) Nhiễu, b) Tín hiệu điều khiển Các đáp ứng TWMR - Trường hợp 2: a) Góc quay ψ góc nghiêng φ, b) Khoảng dịch chuyển x lượng đặt xd Nhiễu ước lượng nhiễu - Trường hợp 2: a) Hệ ψ, b) c) Hệ (x, φ) Các sai lệch trạng thái hệ kín - Trường hợp 38 40 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 48 48 49 49 50 50 54 55 55 56 56 57 57 58 A= ∂q q=0 −k1 0 0    −1 −k2 0 0    0 −c1 0 =   0 −c1 −c1    0 −c1 −c1 −c1  0 0 −c2               (A.3) Từ (A.2) (A.3) cho thấy, f (q) liên tục q ma trận A khơng suy biến, (A.1) thỏa mãn Lipschitz địa phương tồn nghiệm địa phương xung quanh điểm cân Để xác định tồn nghiệm (A.1) tồn khơng gian trạng thái, xét hàm Lyapunov sau: V =  ψ1e + ψ2e  2 + ξ2e + y1 + y2 + y3 (A.4) Đạo hàm bậc (A.4), thay giá trị đạo hàm thành phần từ (A.1), kết biểu diễn sau: V˙ 2 ≤ −k1 ψ1e − k2 ψ2e − c2 ξ2e − (y1 σ3 (·) + y2 σ3 (·) + y3 σ3 (·)) +c1 y1 y2 + c1 y1 y3 + y1 f1 + y1 ω1 +c1 y2 y3 + y2 f2 + y2 ω2 +y3 ω3 (A.5) 88 Từ định nghĩa σ3 (·) (3.29) cho thấy σ3 (χ3 ) bị giới hạn với χ3 ∈ R Khi |α| bị giới hạn với y1 , y2 , y3 ∈ R Tương tự, |f1 |, |f2 | bị giới hạn với y1 , y2 , y3 ∈ R Sử dụng Bất đẳng thức Young ab ≤ (a2 + b2 ) cho 4 a, b ∈ R  > 0, tồn số dương ij cho: −y1 σ3 (.) − y2 σ3 (.) − y3 σ3 (.) ≤ 01 (y12 + y22 + y32 ) + 00 , y1 (c1 y2 + c1 y3 + f1 + ω1 ) ≤ 11 y12 + 12 y22 + 13 y32 + 14 ξ2e + 10 , y2 (c1 y3 + f2 + ω2 ) ≤ 21 y22 + 22 y32 + 23 ξ2e + 20 , (A.6) + 30 y3 ω3 ≤ 31 y32 + 32 ξ2e 3L23 01 = , 00 = , !    42   c1 b c1 b 14 = + 8 + + 2 + , 4 a a 2 1 13 = , 12 = , 11 = (c1 + 1) , 4  24  2  c1 b c1 b 1 c1 b 1 10 = + L3 + L3 +  + , 4 a 4 4 4 4 a 4 4 a 4 !  2     c1 b c1 b 1 + 8 + + 2 + , 23 = 4 a a 2 c1 22 = , 21 = (c1 + 2) , 4  2   2  2  c1 b c1 b 1 c1 b 1 2c1 b 20 = + L + L +  + + α , 4 a 4 4  4 4 a 4 4 a 4 a 1 32 = , 31 = , 30 = 4 4 (A.7) Thay (A.6) vào (A.5), có bất phương trình sau: V˙ ≤ cV + c0 , (A.8) đó: c0 c số dương Bất đẳng thức (A.8) với định nghĩa V (A.4) cho thấy tồn nghiệm địa phương hệ kín (A.1) mở rộng với khoảng thời gian giá trị khởi tạo ban đầu bất kỳ, kết luận hệ kín (A.1) tồn nghiệm tồn khơng gian trạng thái 89 A.1.2 Chứng minh trạng thái (A.1) bị giới hạn hội tụ Hệ kín (A.1) chia thành hai hệ kín (ψ1e , ψ2e , ξ2e ) hệ kín (y1 , y2 , y3 ) A.1.2.1 Hệ kín (ψ1e , ψ2e , ξ2e ) Chứng minh trạng thái hệ kín (ψ1e , ψ2e , ξ2e ) bị giới hạn hội tụ, xét hàm Lyapunov sau: 2 + ψ2e + ξ2e V1 = ψ1e 2 (A.9) Đạo hàm bậc V1 có: V˙ = ψ1e (−k1 ψ1e + ψ2e ) + ψ2e (−k2 ψ2e − ψ1e ) + ξ2e (−c2 ξ2e ) , 2 , − c2 ξ2e − k2 ψ2e ≤ −k1 ψ1e (A.10) ≤ Khi đó: k(ψ1e (t) , ψ2e (t) , ξ2e (t))k ≤ Φ0 e−c(t−t0 ) , (A.11) đó: Φ0 = k(ψ1e (t0 ) , ψ2e (t0 ) , ξ2e (t0 ))k , (A.12) c = (k1 , k2 , c2 ) Từ phương trình (A.9) bất đẳng thức (A.10), kết luận, trạng thái hệ kín (ψ1e , ψ2e , ξ2e ) bị giới hạn hội tụ hàm mũ tồn khơng gian trạng thái tới gốc tọa độ A.1.2.2 Hệ kín (y1 , y2 , y3 ) Hệ kín (y1 , y2 , y3 ) có cấu trúc đệ quy, phân tích ổn định thực từ vào bắt đầu với k = 3, cụ thể phân tích ổn định cho y3 sau đến y2 cuối y1 Khi đó, hệ y3 với tín hiệu điều khiển ảo α viết lại sau: y˙ = −σ3 (c1 y3 + σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 ))) + ξ2e , (A.13) 90 Xét hàm Lyapunov W3 = 12 y32 với đạo hàm bậc sau: ˙ = y3 (−σ3 (c1 y3 + σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 ))) + ξ2e ) W (A.14) Hệ kín (ψ1e , ψ2e , ξ2e ) hội tụ tiệm cận tồn khơng gian trạng thái gốc tọa độ với kξ2e (t)k ≤ Φ0 e−c(t−t0 ) |σ3 (χ3 )| ≤ L3 Nếu t |χ3 | thỏa mãn: t > t0 + 1c log  L3 Φ0  := Tˆ3 (A.15) |χ3 | ≥ L3 , thì: ˙ < 0, ∀t ≥ Tˆ3 χ3 ≥ L3 W (A.16) Tồn khoảng thời gian hữu hạn T˜3 > Tˆ3 cho sau thời điểm Tˆ3 , trạng thái y3 vào miền Q3 = {|χ3 | ≤ L3 } hay |y3 | ≤ (L3 + L2 )/c1 Xét hệ y2 với điều khiển α, thay giá trị A3 , χ3 (3.29), sau khoảng thời gian t > T˜3 y3 vào miền Q3 , đạo hàm bậc y˙ viết sau: y˙ = −σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 )) + f2 + ω2 (A.17) Xét hàm Lyapunov W2 = 21 y22 với đạo hàm bậc nó: ˙ = y2 (−σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 )) + f2 + ω2 ) W (A.18) Từ (3.27), giá trị f2 ω2 biểu diễn sau: bc1 L, a  2bc1 bc1 |ω2 | ≤ L3 + Φ0 + Φ0 e−c(t−t0 ) , a a |f2 | ≤ (A.19) Nếu t |χ2 | thỏa mãn:   bc1 L2 − L   a   := Tˆ2  t > t0 + 1c log   2bc1  bc1  L3 + Φ0 +1Φ0 a a |χ2 | ≥ L2 (A.20) 91 thì: ˙ < 0, ∀t ≥ Tˆ2 χ2 ≥ L2 W (A.21) Điều nghĩa tồn khoảng thời gian hữu hạn T˜2 > Tˆ2 cho sau thời điểm Tˆ2 , trạng thái y2 vào miền Q2 = {|χ2 | ≤ L2 } hay |y2 | ≤ (L2 + L1 )/c1 Tương tự với hệ y1 , sau thời điểm y3 y2 vào miền Q3 Q2 tương ứng, đạo hàm bậc y˙ biểu diễn sau: y˙ = −σ1 (c1 y1 ) + f1 + ω1 (A.22) Xét hàm Lyapunov W1 = 21 y12 đạo hàm bậc nó: ˙ = y1 (−σ1 (c1 y1 ) + f1 + ω1 ) W (A.23) Từ (3.27), giá trị f1 ω1 biểu diễn sau: 2bc1 L,  a 4bc1 2bc1 L3 + Φ0 + Φ0 e−c(t−t0 ) |ω1 | ≤ a a |f1 | ≤ (A.24) Nếu t |χ1 | thỏa mãn biểu thức sau:   2bc1 L1 − L   a   := Tˆ1  t > t0 + 1c log   4bc1  2bc1  L3 + Φ0 +1Φ0 a a (A.25) |χ1 | ≥ L1 , thì: ˙ < 0, ∀t ≥ Tˆ1 χ1 ≥ L1 W (A.26) Từ kết (A.26) cho thấy, tồn khoảng thời gian hữu hạn T˜1 > Tˆ1 cho sau thời điểm Tˆ1 , trạng thái y1 vào miền Q1 = {|χ1 | ≤ L1 } hay |y1 | ≤ L1 /c1 Từ bất đẳng thức (A.16), (A.21) (A.26), kết luận trạng thái y1 , y2 y3 bị giới hạn Để giảm ảnh hưởng f1 , f2 đến hội tụ trạng thái y1 y2 , chọn: 92 L3 ≤ 1, bc1 L2 > L, a 2bc1 L1 > L a (A.27) Hệ (ψ1e , ψ2e , ξ2e ) hội tụ hàm mũ tồn khơng gian trạng thái thỏa mãn (A.10) Hệ y1 , y2 , y3 hội tụ gốc tọa độ sau khoảng thời gian hữu hạn Điều phân tích sau: Khi giá trị y1 , y2 y3 vào miền Q1 , Q2 Q3 tương ứng với giá trị L1 , L2 , L3 chọn (A.27), từ (A.25), thấy ˙ < |χ1 | ≥ |y1 | Điều |χ1 | = c1 |y1 | ≥ |y1 | Nghĩa trạng W thái y1 hội tụ gốc tọa độ sau khoảng thời gian hữu hạn Điều ˙ < W ˙ < Khi trạng thái cho |χ2 | ≥ |y2 | |χ3 | ≥ |y3 | tương ứng với W y2 y3 hội tụ gốc tọa độ sau khoảng thời gian hữu hạn Từ kết bất đẳng thức (A.10), (A.16), (A.21) (A.26), theo LaSalle-Yoshizawa, kết luận hệ kín (A.1) hội tụ tiệm cận gốc tọa độ Các sai lệch trạng thái ψ1e , ψ2e , y1 , y2 , y3 , ξ2e đồng bị giới hạn lim (ψ1e , ψ2e , y1 , y2 , y3 , ξ2e ) = Các tín hiệu điều khiển (3.13), (3.28) t→∞ (3.31) bị giới hạn Điều dẫn tới giới hạn ψ1e , ψ2e , x1e , x2e , φ1e φ2e sai lệch trạng thái thỏa mãn lim (ψ1e , ψ2e , x1e , x2e , φ1e , φ2e ) = hay mục t→∞ tiêu điều khiển đặt (3.7) thỏa mãn Kết thúc phần chứng minh Bổ đề 3.1 A.2 Chứng minh Bổ đề 3.2 Hệ kín - ψ (3.37) hệ kín - (x, φ) (3.45) viết lại sau: ψ˙ 1e = −k1 ψ1e + ψ2e , ψ˙ 2e = −k2 ψ2e − ψ1e + d˜ψ , d˜˙ψ = d˙ψ − (γψ ψ2e − ρdˆψ ), p + ξ12 ξ2e − ρdˆx ), d˜˙x = d˙x − (γx b y˙ = −σ3 (c1 y3 + σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 ))) + c1 y2 + c1 y3 + f1 + ω1 , y˙ = −σ3 (c1 y3 + σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 ))) + c1 y3 + f2 + ω2 , y˙ = −σ3 (c1 y3 + σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 ))) + ω3 , p + ξ12 ˜ ξ˙2 e = −c2 ξ2e − dx , b (A.28) 93 với: 2c1 b y3 α2 , a (1 + y32 )3/2 y3 c1 b α2 , f2 = a (1 + y32 )3/2 2c1 b y3 ω1 = (ξ + 2ξ2e α) + ξ2e , a (1 + y32 )3/2 2e c1 b y3 ω2 = (ξ + 2ξ2e α) + ξ2e , 3/2 2e a (1 + y3 ) f1 = (A.29) ω3 = ξ2e , và: σk (x) = x.pk (x, Lk ), 3L2k − x2 pk (x, Lk ) = , 2L3k (A.30) χk = c1 yk + σk−1 (χk−1 ), χ0 = 0, k = 1, 2, Các hệ số k1 , k2 , , ρ, c1 , c2 số dương Từ giả thiết mục tiêu điều khiển đề ra, giá trị nhiễu bị giới hạn thỏa mãn quan hệ sau: |dψ | ≤ cψ1 , |d˙ψ | ≤ cψ2 , |dx | ≤ cx1 , |d˙x | ≤ cx2 , (A.31) với cψ1 , cψ2 , cx1 cx2 số dương Các bước chứng minh tồn nghiệm hội tụ hệ kín (A.28) tương tự với phần chứng minh Bổ đề A.1 Để người đọc dễ dàng theo dõi, bước chứng minh trình bày 94 A.2.1 Chứng minh hệ kín (A.28) tồn nghiệm Vế phải (A.28) biểu diễn sau:   −k1 ψ1e + ψ2e   −k2 ψ2e − ψ1e + d˜ψ   ˙  dψ − (γψ ψ2e − ρd˜ψ + ρdψ ),  p  + ξ12  ˙ ξ2e − ρd˜x + ρdx  dx − γx b f (q) =    −σ3 (c1 y3 + σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 ))) + c1 y2 + c1 y3 + f1 + ω1 ,    −σ3 (c1 y3 + σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 ))) + c1 y3 + f2 + ω2 ,    −σ3 (c1 y3 + σ2 (c1 y2 + σ1 (c1 y1 ))) + ω3 ,  p  + ξ12 ˜ dx −c2 ξ2e − b h iT q = ψ1e , ψ2e , d˜ψ , d˜x , y1 , y2 , y3 , ξ2e            ,           (A.32) Khi đó, ma trận Jacobi điểm cân bằng:  ∂f (q)