Sự hội tụ yếu của độ đo monge ampere phức kết hợp với lớp các hàm delta đa điều hóa dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MALAYTHONG CHOUMPHAYLOUANG SỰ HỘI TỤ YẾU* CỦA ĐỘ ĐO MONGE-AMPERE PHỨC KẾT HỢP VỚI LỚP CÁC HÀM DELTA-ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Malaythong Choumphaylouang Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Việt Nam hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng sư phạm Pakse-CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2016 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị 1.2 Hàm điều hòa 1.3 Hàm đa điều hoà 1.4 Hàm cực trị tương đối 1.5 Toán tử Monge- Ampère phức 11 1.6 Các lớp Cegrell £ n 20 Chương 2: SỰ HỘI TỤ YẾU* CỦ A ĐỘ ĐO MONGE-AMPERE PHỨC KẾT HỢP VỚI LỚP CÁC HÀ M d - ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 22 2.1 Sự hội tụ theo dung lượng 22 2.2 Sự hội tụ yếu* độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp hàm delta-đa điều hoà 28 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự hô ̣i tu ̣ yế u* của daỹ đô ̣ đo Monge-Ampère phức của hàm đa điề u hòa dưới hô ̣i tu ̣ theo dung lươ ̣ng đã đươ ̣c nghiên cứu bởi nhiề u tác giả Năm 1996, Y.Xing thiế t lâ ̣p sự hô ̣i tu ̣ yế u* của đô ̣ đo Monge-Ampère phức các hàm đa điề u hòa dưới bị chặn điạ phương hội tụ theo C n - - dung lượng hoă ̣c C n - dung lượng ([14]) Sau đó, năm 2000, Xing [15] mở rô ̣ng kế t hàm đa điề u hòa dưới với giá tri ̣ bi ̣ chă ̣n gần biên Gần Cegrell tở ng quát hố kết cho mô ̣t vài lớp hàm đa điề u hòa dưới mà ̣ đo Monge-Ampère phức đươ ̣c xác đinh ̣ Trong [6] Cegrell đã chứng minh nế u u j , u Ỵ E(W) , u j , u bi ̣ chă ̣n bởi hàm thuộc lớp F (W) và nế u u j ® u theo dung lươ ̣ng, (dd cu j )n hô ̣i tu ̣ yế u* đế n (dd cu )n Năm 2010, L.M Hải, N.V Khiêm T.V Long [13] chứng minh kế t của Cegrell cách thay lớp E bởi lớp dEloc (W) Đồng thời nghiên cứu sự hô ̣i tu ̣ yế u* của dòng gồm dạng (dd cu j )p ÙT , là dòng dương đóng song chiề u ( p, p ) và u j là hàm delta-đa điề u hòa dưới hô ̣i tu ̣ theo C T - dung lượng Trong luận văn chúng tơi trình bày lại kết L.M Hải, N.V Khiêm T.V Long Do chúng tơi chọn đề tài: “Sự hội tụ yếu* độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp hàm deltađa điều hồ dưới” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu hội tụ yếu* độ đo Monge - Ampere phức các hàm delta-đa điề u hòa dưới tu ̣ theo C n - dung lượng và C T - dung lượng dòng dương đóng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày tổng quan hệ thống kết Dạng vi phân dịng lý thuyết đa vị, tính chất hàm điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, lớp lượng Cegrell + Nghiên cứu hội tụ yếu* độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp hàm delta-đa điều hồ dưới, thay lớp E Cegrell [6] bởi lớp dEloc (W) Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, lớp lượng Cegrell Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu gần Các kết nghiên cứu hội tụ yếu* độ đo MongeAmpere phức kết hợp với lớp hàm delta-đa điều hoà Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị Giả sử ¡ n không gian vector n chiều với sở tắc e j = (0, , 0,1, 0, , 0) , ở vị trí thứ j Giả sử với £ j £ n kí hiệu u j hàm tọa độ thứ j : u j (x ) = x j Một ánh xạ n f : ¡14444 ´ 42 4444 ´ ¡ 4n3 ® £ gọi p p - tuyến tính tuyến tính theo biến biến khác cố định Một ánh xạ p - tuyến tính cho f (v1, , v p ) = v j = v j + 1,1 £ j < n gọi ánh xạ p - tuyến tính thay dấu Tập ánh xạ p - tuyến tính thay dấu n từ ¡14444 ´ 42 4444 ´ ¡ 4n3 tới £ kí hiệu Ùp ( ¡ n ,£) p Định nghĩa 1.1.1 Giả sử WÌ ¡ ánh xạ a :U ® Ùp ( ¡ n tập mở Một p - dạng vi phân W n ,£ ) Nếu đặt dx k (x ) = u k ,1 £ k £ n , x Ỵ W ta viết p - dạng vi phân a W dạng: a (x ) = å ' a I (x )dx I I I = (i1, , i p ),1 £ i1 < < i p £ n , dx I = dx i Ù Ù dx i , a I (x ) p hàm W Giả sử a = å ' a I dx I p - dạng b = I å ' bJ (x )dx J q - dạng, J £ i1 < < i p £ n £ j1 < < jq £ n tích ngồi a Ù b ( p + q) - dạng cho công thức a Ù b = å g Ldx L , g Ldx L = L ik = jl với £ k £ p,1 £ l £ q g Ldx L = (- 1)s a I bJ dx l Ù Ù dx l Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN p+ q http://www.lrc.tnu.edu.vn , £ l1 < < lp+ q £ n với s hoán vị dãy i1 < i2 < < i p tập hợp j1 < j < < jq để tạo thành dãy tăng {1, , n } £ l1 < < lp+ q £ n Nếu f hàm f Ù a = f a ( f a ) Ù b = f ( a Ù b ) Mọi p - dạng a với p > n Các dạng có bậc cực đại dạng bậc n Cho a p - dạng lớp C Vi phân (đạo hàm ngoài) a ( p + 1) - dạng cho bởi: da = å 'd a I Ù dx I I Nếu da = ta nói a dạng đóng Mọi dạng có bậc cực đại đóng Giả sử a = j dx Ù Ù dx n , j Ỵ L1(W) Khi ị a = ị j dx W Ù Ù dx n = W ò j dV , W dV độ đo Lebesgue W Định nghĩa 1.1.2 Một dịng bậc p hay có chiều (n - p ) tập mở WÌ ¡ n dạng tuyến tính liên tục T : D (n - p ) ( W) ® £ Nếu a dạng D (n - p ) ( W) , giá trị T a , kí hiệu T ( a ) hay T , a Bây giả sử p, q = 0,1, , n Ta kí hiệu £ ( p,q ) tập dạng phức song bậc ( p, q ) hệ số £ n Khi w Ỵ £ ( p,q ) w biểu diễn: w= å ' wJK dzJ Ù dz K J = p, K = q wJK Ỵ £ , dzJ = dz j Ù Ù dz j , dz K = dz k Ù Ù dz k tổng lấy theo p q đa số J = ( j1, , j p ), K = (k1, , kq ) với £ j1 < < j p £ n , £ k1 < < kq £ n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn &hler tắc £ n cho bởi: Dạng K a& i i n b = ¶ ¶ z = å dz j Ù dz j 2 j=1 Khi dạng thể tích £ n @ ¡ dV = 2n cho bởi: n i i i b = b14442 Ù 4443 Ù b = dz Ù dz1 Ù dz Ù dz Ù Ù dz n Ù dz n n! n! 2 n i = ( )n dz1 Ù dz1 Ù Ù dz n Ù dz n Nếu w Ỵ £ ( p, p ) biểu diễn w = i i i w1 Ù w1 Ù w2 Ù w2 Ù Ù w p Ù w p 2 với w j Ỵ £ (1,0) w gọi dạng dương sơ cấp Mệnh đề 1.1.3 Không gian dạng song bậc ( p, p ) sinh dạng dương sơ cấp Chứng minh Giả sử w Ỵ £ ( p, p ) Khi viết: w= i w J ,K ( )p dz j Ù dz k Ù Ù dz j Ù dz k 1 p p J = p, K = p å Vậy cần biểu diễn dz j Ù dz k tổ hợp tuyến tính dạng dương sơ cấp Thật vậy, s dz j Ù dz k = å i (dz j + i sdz k ) Ù (dz j + i sdz k ) s= W Giả sử WÌ £ n tập mở Tập dạng vi phân song bậc ( p, q ) với hệ số thuộc C 0¥ (W£ , ) (tương ứng C ( W, £ ) ) kí hiệu D ( p,q ) (W) (tương ứng D0( p,q) (W) ) Định nghĩa 1.1.4 Mỗi phần tử T Ỵ ( D (n - p,n - p ) (W))¢ gọi dòng song bậc ( p, q ) hay ( p, q) - dòng (tương ứng song chiều (n - p, n - q) ) Những Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn phần tử ( D0(n - p,n - q)(W))¢ gọi dịng cấp , song bậc ( p, q ) (hay ( p, q) - dòng cấp ) Định nghĩa 1.1.5 Giả sử T ( p, p) - dòng tập mở WÌ £ n T gọi dương với dạng sơ cấp a = i i i a Ù a Ù a Ù a Ù Ù a n - p Ù a n - p Ỵ C (n - p,n - p ) 2 ta có T Ù a phân bố dương, nghĩa độ đo Borel W 1.2 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X đ ộờở- Ơ , + Ơ ) gọi nửa liên tục trên X với a Ỵ ¡ tập X a = {x Ỵ X : u (x ) < a } mở X Hm v : X đ (- Ơ , + ¥ ù ú û gọi nửa liên tục X - v nửa liên tục X Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X đ ộờở- Ơ , + Ơ ) Ta nói hàm u nửa liên tục x Î X " e > tồn lân cận U x x X cho " e Ỵ U x ta có: 0 u (x ) < u (x ) + e u (x ) - Ơ u (x ) < - u (x ) = - ¥ e Giả sử E Ì X u : E đ ộờở- Ơ , + Ơ ) l hàm E Giả sử x Ỵ E Ta định nghĩa lim sup u (x ) = inf {sup{u(y ) : y ẻ V }} x đ x0 x Ỵ E inf lấy V chạy qua lân cận x Khi thấy hàm u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ) nửa liên tục x0 Ỵ X lim sup u(x ) £ u(x ) Ta có kết sau x ® x0 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 lim ò y dd cu j T = jđ Ơ W ũ y dd u T vi mo i y ẻ C 0Ơ (W) c (2.1) W Gia s y ẻ C 0Ơ (W) ó c cho Khi ta có ị y dd u c j ÙT - W = ò y dd u ÙT ò (u - u )dd c y ÙT = j { ò (u j - u ) ÙT - u )dd c y ÙT K (u j - u )dd c y ÙT + K Ç{u j - u > e} K Ç uj - u > e j W ò ò £ c W W = ò y dd (u = c (u j - u )dd c y ÙT K Ç{u j - u £ e} ị u j - u dd c y ÙT + } ò u j - u dd c y ÙT , (2.2) { K Ç uj - u £ e e > , K = supp y và dd c y ÙT } ký hiệu là biến phân toàn phần độ đo Borel qui suy rộng dd c y ÙT Theo Mê ̣nh đề 3.2.7 [11] suy tồ n ta ̣i mô ̣t hằ ng số dương C = C (n ,1) cho w = C dd c y b + dd c y (1,1) - dạng thực không âm, ở b = i n å dz Ù dz j dạng K hler chính j=1 j tắ c £ n Từ đó dd c y ÙT = T Ù w - C dd c y T Ù b Khi đó dd c y ÙT £ T Ù w + C dd c y T Ù b (2.3) Bở đề 1.3.8 [3] suy Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 T Ù w + C dd c y T Ù b £ DT Ù b , D là hằ ng số chỉ phu ̣ thuô ̣c vào y Do đó vế phải của (2.2) không vươ ̣t quá é ê (2.2) £ D êê ò u j - u T Ù b + êëK Ç{u j - u > e} ù ú ú u u T Ù b ò j ú K Ç{u j - u £ e} ú û Trước tiên, chú ý rằ ng: ò { K Ç uj - u £ e uj - u T Ù b £ e } ò T Ù b £ T Ù b K K Ç{u j - u > e} đồng thời ta có ị { uj - u T Ù b (u ò £ { } K Ç uj - u > e K Ç uj - u > e £ M (K , u ) j ) + u T Ùb } ò T Ùb K Ç{u j - u > e} ( { } ) £ M 1(K , u )C T K Ç u j - u > e , W ® j đ Ơ , ú M (K , u ) M 1(K , u ) là các hằ ng số chỉ phu ̣ thuô ̣c vào K và u Do đó (2.1) chứng minh Bây giờ giả sử đinh ̣ lý xảy p = s,1 £ s £ n - Ta rằng cho s + Điều đủ để ( u jT Ù dd cu j s ) ( ® uT Ù dd cu s ) tơpơ yế u* Thật vâ ̣y, theo giả thiết ta có thể viế t u = v - w , ú v, w ẻ PSH (W) I LƠ (W) Đinh ̣ lý 2.5 [9] suy rằ ng với e > tồ n ta ̣i mô ̣t tâ ̣p mở G Ì W, C T (G , W) < e cho v = v1 + y 1, w = w1 + y , ở v1, w1 liên tục W và y = = y W\ G Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Chú ý u jT Ù (dd cu j )s - uT Ù (dd cu )s = (u j - u )T Ù (dd cu j )s ( ) ( ) + (v1 - w1 ) T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s + ( y - y ) T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s Theo giả thiế t quy na ̣p, ta lưu ý rằ ng số hạng thứ hai ( ) (v1 - w1 ) T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s đ j đ Ơ Bây ta chứng minh rằ ng (u j - u )T Ù (dd cu j )s ® tơpơ ́ u* Giả sử j Ỵ D p - s , p - s (W), supp j Ð W Cho ̣n W1 Ð W cho supp j Ì W1 m Theo giả thiế t ii ) , có thể phủ W1 Ì UU t với U t W cho U t ta có t=1 { }{ } thể viế t u j = v tj - w tj , v tj , w tj Ỵ PSH (U t ) và hai daỹ v tj , w tj bi ̣ chă ̣n U t với mo ̣i j ³ và mo ̣i £ t £ m Khi đó mỗi U t ta cú ổs r ỗ ữ ỗỗ ữ ( 1) T Ù dd cv tj ÷ år = ữ ỗốr ứ ữ s T (dd cu j )s Ù j = ( r ) ( Ù dd cw tj s- r ) Ùj Từ đó ò (u j - u )T Ù (dd cu j )s Ù j £ W = òu j - u T Ù (dd cu j )s Ù j W ò m u j - u T Ù (dd cu j )s Ù j £ å òu j - u T Ù (dd cu j )s Ù j t=1 U t W1 ổs ữ Ê ồ ũ ỗỗỗ ữ u j - u T Ù (dd cv tj )r Ù (dd c wtj )s - r Ù j ÷ ÷ ữ t=1 r= U ỗ ốr ứ t m s p ổs ửử ổ ổ ữ ỗ c t t ữữ Ê ồ B t ỗỗ ữ u j - u T ỗỗdd ỗỗv j + w j + z ÷ ÷ ÷ ị ÷ ữ ố ứứ ố r ỗ ữ t=1 r= è øU t m s Số hóa Trung tâm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 ổs ửữổ ỗỗ ỗỗ ũ = ồ B t ỗỗỗ ữ ữ ữ r ỗ ữ t=1 r= ố ứỗỗố{u j - u > d}ÇU t m s ị + {u j - u Ê d}ầU t ữ ữ ữ , ÷ ÷ ÷ ÷ ø (2.4) B t là hằ ng số phu ̣ thuô ̣c vào j và bấ t đẳ ng thức (3.4) xảy từ Bổ đề 1.3.8 [3] điều suy ( T Ù dd v c t j r s- r ) Ù (dd w ) c t j ( j £ B tT Ù dd v c t j r s- r ) Ù (dd w ) c t j p- s 2ử ổ ỗỗdd c z ữ ÷ è ø £ B tT Ù dd c (v tj + w tj + z )p m Giả sử W2 Ð W cho W1 Ì UU t Ì W2 Ð W Khi đó t=1 p ị {u j - u £ d}ÇUt ưư ỉ ỉ ữ u j - u T ỗỗdd c ỗỗv tj + w tj + z ÷ ÷ ÷ø ÷ £ dM t T ø è è M t là mô ̣t hằ ng số không phụ thuộc vào j và T W2 W2 , là biế n phân toàn phần của T W2 Ước lượng này nhận từ Bổ đề 1.3.8 [3] bằ ng cách sử du ̣ng lập luâ ̣n tương tự chứng minh Định lý 2.1.4 [3] Từ đó, ta có p ỉs ÷ ưư ỉ ổ ỗ c t t ồt = ồr = B t ỗỗỗr ữữữữ ũ u j - u T ỗỗốdd ỗỗốv j + w j + z ứữữữữữứ ố ứ{u j - u Ê d}ầU t m s ổs ữ ỗ ữ ỗ Ê dồ B t ỗ ữM t T ỗốr ữ ữ t=1 r= ø m s W2 £ dM T W2 Mă ̣t khác p ỉs ÷ ưư ổ cổt ỗ t ữ ữ ỗ ữ ỗ ồt = ồr = B t ỗỗr ữữữ ũ u j - u T ỗốdd ỗỗốv j + w j + z ø÷÷÷ø è ø{u j - u > d}ÇU t m s Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 p ỉs ÷ ửử ổ cổt ỗ t ữ ữ ỗ ữ Ê ồ B t ỗỗ ữAt T ỗdd ççv j + w j + z ÷÷ ÷ ø÷ ố ố ứ ỗốr ứ ữ u - uũ> d ÇU t=1 r= {j } t m s m å £ ({{u N tC T t=1 j } ) } - u > d ầU t ,U t đ Khi j đ Ơ , ú At , N t không phu ̣ thuô ̣c vào j Như vâ ̣y ta có (u j - u )T Ù (dd cu j )s ® tơpơ ́ u* Định lý 2.2.3 chứng minh ta ( ) ( y - y ) T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s ® tơpơ ́ u* Chú ý điều đủ để chứng minh ( ) y T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s ® tơpơ ́ u* Giả sử q Ỵ D p - s , p - s (W) với supp q Ð W Vì y = bên ngoài G , nên ta giả thiế t supp q Ð G Cho ̣n supp q Ð W3 Ð G Khi đó ò yT W £ Ù (dd cu j )s Ù q = ò W3 ò W3 y 1T Ù (dd cu )s Ù q ò y T Ù (dd cu j )s Ù q £ l £ D1 å t=1 ò l £ D1 å t=1 Ut W3 T Ù (dd cu j )s Ù q T Ù (dd cu j )s q ổs ữ ỗỗ ữ T (dd cv t )r Ù (dd cw t )s - r q ũUt ồr = ỗỗốr ữữữứ j j s p ổs ữ ửử ổ ổ ỗ c t t ữ Ê D1 ồ ỗỗ ữ M t ũ T ỗỗdd ỗỗv j + w j + z ÷ ÷ ÷ ÷ø ÷ ÷ è ứ ố r ỗ ữ t=1 r= ố ứ Ut l s l l t=1 t=1 £ D1 å H tC T (G , W) £ eD1 å H t Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN (2.5), http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 l supp q Ì U t Ì W3 Ð G và mỡi U t ta có biể u diễn t=1 u j = v tj - w tj , v tj , w tj ẻ PSH (U t ) ầ LƠ (U t ), D và H t là hằ ng số không phụ thuộc vào j Bấ t đẳ ng thức (2.5) suy cách sử dụng lập luận tương tự cách sử dụng chứng minh bấ t đẳ ng thức (2.4) Tương tự, ta chứng minh òyT W Ù (dd cu )s Ù q £ eD1C và đó, Định lý 2.2.3 đươ ̣c chứng mimh Bây giờ chúng ta thiết lâ ̣p sự hô ̣i tu ̣ yế u* của (dd cu j )n đế n (dd cu )n trường hợp u j , u Ỵ dEloc (W) Bổ đề 2.2.4 Giả sử WÌ £ n miền siêu lồi E Ì W tập Borel Giả sử j 1, , j n- Ỵ PSH - (W) , g Ỵ F (W) cho j j ³ g, i = 1, 2, , n - Khi với j Ỵ E0 (W) ta có ị E dd cj Ù dd cj Ù Ù dd cj n- £ j ( n - 1)/ n 1/ n éC (E )ù é (dd cg)n ù ú ¥ ên ú êëịW û L ( W) ë û (2.6), PSH - (W) tập hợp tất hàm đa điều hoà âm W Chứng minh Trước tiên, giả sử E tập mở compact tương đối W hE* ,W qui nửa liên tục hàm cực trị tương đối hE ,W E Khi hE* ,W Ỵ E0 (W) Hơn nữa, hE* ,W = - E - £ hE* ,W £ W Suy ò dd j c E £ ò-h W = Ù dd cj Ù Ù dd cj dd cj Ù dd cj Ù Ù dd cj * E ,W ò - j dd h c W n- * E ,W Ù dd cj Ù Ù dd cj Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN n- n- http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 1 n- é n n £ éêò - j (dd chE* ,W)n ù (dd cj j )n ù Õ ú ê ú ò j = ë W û ë W û £ j L¥ ( W) é (dd ch * )n ùn n - é (dd cj )n ùn êëòW ú E , W ú Õ j = êịW j û ë û (2.7), bấ t đẳ ng thức dòng thứ tư suy từ Đinh ̣ lý 5.5 [5] Mă ̣t khác, j j ³ g, j = 1, , n - , nên j j Ỵ F (W) và bằ ng cách sử du ̣ng ý sau Đinh ̣ nghiã 4.6 cùng với Định lý 3.2 [5], ta nhận ò (dd j c j W )n £ ò (dd cg)n (2.8) W Hơn nữa, Mênh ̣ đề 4.6.1 [11] kéo theo ò (dd h c W * n E ,W (2.9) ) = C n (E ) Kế t hơ ̣p (2.7), (2.8) (2.9) ta nhận bấ t đẳ ng thức (2.6) trường hợp E tâ ̣p mở compact tương đớ i W ¥ Bây giờ giả sử E là tâ ̣p compact của W Lấ y dãy giảm {Dk } k= tâ ̣p mở compact tương đố i của W cho Dk ] E k đ Ơ Khi o lim ũ dd cj Ù dd cj Ù Ù dd cj kđ Ơ Dk n- = ũ dd j c E Ù dd cj Ù Ù dd cj n- lim C n (Dk ) = C n (E ) kđ Ơ Ap du ng bõ t đẳ ng thức (2.6) cho Dk và cho k ® ¥ , ta điều phải chứng minh Ć i cùng, giả sử E Ì W tập Borel Lấy {K m } m³ dãy tăng tập compact cho K m Ì E K m Z E Khi ta có C n (E ) = lim C n (K m ) kđ Ơ va S húa bi Trung tõm Hc liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 lim mđ Ơ ò Km dd cj Ù dd cj Ù Ù dd cj n- = ò dd j Ù dd cj Ù Ù dd cj c E n- theo kết trường hợp thứ hai ta nhận bất đẳng thức (2.6) Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.5 Giả sử W tập mở £ n u j , u Î dEloc (W) Giả sử i) u j ® u theo C n - dung lượng E Ð W ii ) Với z Ỵ W tồn lân cận U z z W cho U z ta viết u j = v j - wj , u = v - w , v j , wj , v, w Ỵ E(U z ) v j £ g , wj £ g , v £ g , w £ g U z , g Ỵ E(W) Khi (dd cu j )n hội tụ yếu* đến (dd cu )n W Chứng minh Vì tốn địa phương, nên ta giả sử với z Ỵ W tồn mơ ̣t lân cận U z z W phát biểu định lý và nó đủ để chứng minh (dd cu j )n hội tụ yếu* đến (dd cu )n U z Vì lớp E có tính chất địa phương (xem Định lý 1.1 [4]), nên ta giả sử g Ỵ E(U z ) Như chứng minh định lý ta giả sử U = U z miền siêu lồi £ n , u j = v j - wj , v j , wj Ỵ E(U ) ta phải chứng minh (dd cu j )n ® (dd cu )n tơpơ yếu* U Ly j ẻ C 0Ơ (U ) Cú th giả sử - £ j £ Ta có ị j (dd u ) c n j U = - ò j (dd u ) c n U = ò j ((dd u ) c U n j - j (dd cu )n ) æn - c ỗỗ (dd cu )k (dd cu )n - 1- k ÷ ÷ j dd ( u u ) ữ ũU j j ỗốồ ữ ứ k= ỉn - ÷ = ị (u j - u )dd j ỗỗồ (dd cu j )k Ù (dd cu )n - 1- k ÷ (2.10) ữ U ữ ỗốk = ứ c S húa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 Bằng cách thay u j = v j - wj , u = v - w (2.10) ta nhận ước lượng sau ò j (dd u ) c U å ò (u j ò j (dd u ) - n j c £ n U - u )dd cj Ù dd c y j Ù Ù dd c y j fini te U , n- y jk = vk , wk y jk = v, w Hơn nữa, theo giả thiết điều suy y jk ³ g U với mo ̣i k = 2, , n - Từ đó, vấn đề cịn lại ch ũ (u lim jđ Ơ U j - u )dd cj Ù dd c y j Ù Ù dd c y j = n- với y jk ³ g U với k = 2, , n - Lấy tập mở D Ð U cho supp j = K Ð D Khi ị (u U j - u )dd cj Ù dd c y j Ù Ù dd c y j ò (u = D j n- - u )dd cj Ù dd c y j Ù Ù dd c y j (2.11) n- Bây giờ, theo [5], tồn g%Ỵ F (U ) cho g%= g y%jk = max( y jk , g%) Ỵ F (U ) , y%jk = y jk Đặt Giả sử e > cho Khi ta viết (2.11) sau: (2.11) = ò{ } u j - u £ e ÇD + £ ị{ (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j + } u j - u > e ÇD ị{ } n- (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j u j - u £ e ÇD n- (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN + n- http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 ò{ + } u j - u > e ÇD (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j n- Đặt Aj = ò{ Bj = ò{ } u j - u £ e ÇD (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j n- } u j - u > e ÇD (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j n- Từ đó, Định lý chứng minh ta chứng minh lim A j = lim B j = jđ Ơ jđ Ơ Theo B 3.1 [5], ta có thể viế t j = j - j , j 1, j Ỵ E0 Do ta giả sử j Ỵ E0 Vì y%jk Ỵ F (U ) , g%Ỵ F (U ) y%jk ³ g% U , nên theo ý sau định nghĩa 4.6 [5] ta có đánh giá Aj £ ò{ } u j - u £ e ÇD u j - u dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j n- £ e ò dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j D n- £ e ò dd cj Ù (dd cg%)n - D Giả sử X j = Bj £ ò Xj {u j } - u > e Ç D Khi ( u j + u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j £ ò (- g%)dd cj ÙT% , 2 Xj n- T% = dd c y%j Ù Ù dd c y%j 2 Bây với n- , đặt g%R = max(g%, - R ) Khi ta có ước lượng B j £ ò (- g%+ g%2n R )dd cj ÙT% + ò (- g%2n R )dd cj ÙT% 2 Xj Xj , £ ò (- g%+ g%2n R )dd cj ÙT% + 2n + R ò dd cj ÙT% 2 Xj Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Xj http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 - g%2n R £ 2n R Bổ đề 2.2.4 suy n- 1 n é (dd cg%)n ù n êëòU ú û dd j ÙT% £ éêC n ( u j - u > e ,U )ù ú ë û ò { c Xj } và, đó, theo giả thiết, ta nhận lim ị dd cj T% = jđ Ơ Xj Suy limsup B j £ sup ò (- g%+ g%2n R )dd cj T% jđ Ơ (2.12) U j³ Bây ta ước lượng vế phải (2.12) sau ò (- g%+ g% 2n R U = = £ ò{ n g%£ - R ò{ n g%£ - R ò{ n g%£ - R ò - y%dd j Ù dd c (g%- g%2n R ) ÙT% c j2 U - y%j dd cj Ù dd c (g%- g%2n R ) ÙT% } - y%j dd cj Ù dd cg%ÙT% ò{ - y%j dd cj Ù dd cg%ÙT% £ ò{ } } g%£ - 2n R £ 2ò g%£ - 2n - R n g%£ - R £ 2ò { )dd cj ÙT% = n - y%j dd cj Ù dd cg%2n R ÙT% } g%£ - R % cj Ù dd cg%ÙT% - gdd } (- g%+ g%2n - R )dd cj Ù dd cg%ÙT% } { (- g%+ g%2n - R )dd cj Ù dd cg%ÙT% , } { } - g%£ 2(- g%+ g%2n - R ) tập g%£ - 2n R , đồng thời {g%£ - R }Ì {g%£ - n n- R } T% = dd y% Ù Ùdd y% c c j3 jn - Bằng cách lặp lại lập luận tương tự n lần, ta lim sup B j Ê 2n ũ jđ Ơ % cj Ù (dd cg%)n - - gdd {g%£ - R } (2.13) Tuy nhiên ò{ % cj Ù (dd cg%)n - £ - gdd g%£ - R } Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN % j ò - gdd c Ù (dd cg%)n - U http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 £ ò - j (dd g%) c n £ U ị (dd g%) c n < ¥ U Từ - g%Ỵ L1(dd cj Ù (dd cg%)n - ) Mặt khác, j Ỵ E0 (U ) nên theo Định lý 2.1 [5] Bổ đề 2.2.4 suy dd cj Ù (dd cg%)n - liên tục tuyệt đối C n - dung lượng Theo định lý % cj Ù (dd cg%)n - liên tục tuyệt đối Radon-Nikodym, - gdd C n - dung lượng Nhưng theo Mệnh đề 3.1 [8] suy Cn ({g%£ - R },U ) £ M n ò (dd cg%)n U Rn đ R đ Ơ , ú M n l mt hng s Nu R đ Ơ vế phải (2.13), ta suy lim sup B j = Do đó, chứng minh ca nh lý 2.2.5 l jđ Ơ y S hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết Dạng vi phân dịng lý thuyết đa vị, tính chất hàm điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, lớp lượng Cegrell + Các kết L.M Hải, N.V Khiêm T.V Long hội tụ yếu* độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp hàm delta-đa điều hồ dưới, thay lớp E Cegrell [6] bởi lớp dEloc (W) Các kết trình bày nội dung Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.5 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity for plurisubharmonic funtions”, Acta Math 149, No.1-2, – 40 Blocki Z (1998), “The complex Monge–Amp`ere Operator in Pluripotential Theory”, Lectures notes, (unpublished) Webside: www://gamma.im.uj.edu.pl/~Blocki Blocki Z (2006), “The domain of definition of the complex MongeAmpere operator”, Amer J Math 128, 519-530 Cegrell U (2004), “The general definition of the complex Monge – Ampère”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159 – 179 Cegrell U (2001), “ Convergence in capacity”, Isaac Newton Institute for Math Science P, Series NI01046-NPD, also available at arxiv.org: math CV/0505218 ∗ Cegrell U (2006), “Weak -convergence of Monge–Amp`ere measures”, Math Z., 254, 505–508 Cegrell U, Kolodziej S, and Zeriahi A (2005), “Subextention of plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math Z 250, – 22 Dabbek K., Elkhadhra F (2006), “Capacite´ associe´e a un courant positif ferme´”, Documenta Math., 11, 469–486 10 Dau H H., Nguyen Q D (2008), “A class of delta- plurisubharmonic functions and the complex Monge–Amp`ere operator”, Acta Math Vietnamica, 33 (2), 123–132 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 43 11 Klimek M (1991), Pluripotential Theory, Oxford Univ Press, New York 12 Le M H, Pham H H (2006), “The topology on the space of δ-psh functions in the Cegrell classes”, Results in Math., 49, 127–140 13 Le M H, Nguyen.V.K, Tang.V.L (2010), Weak-* convergence of the complex Monge-Ampere measures associated with certain classes of delta-plurisubharmonic functions”, Acta Math Fasc XLVIII, 73-88 14 Xing Y (1996), “Continuity of the complex Monge–Amp`ere operator”, Proc Am Math Soc., 124, 457–467 15 Xing Y (2000), “Complex Monge–Amp`ere measures of plurisubharmonic functions with bounded values near the boundary”, Can J Math., 52(5), 1085–1100 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn