(Luận văn) sự hội tụ yếu của độ đo monge ampere phức kết hợp với lớp các hàm delta đa điều hóa dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MALAYTHONG CHOUMPHAYLOUANG lu an n va p ie gh tn to SỰ HỘI TỤ YẾU* CỦA ĐỘ ĐO MONGE-AMPERE PHỨC KẾT HỢP VỚI LỚP CÁC HÀM DELTA-ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI d oa nl w Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả lu an Malaythong Choumphaylouang n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Việt Nam hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lu lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học an n va Xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng sư phạm Pakse-CHDCND Lào học tập hoàn thành luận văn gh tn to đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình p ie Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết w mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên oa nl để luận văn hoàn chỉnh d Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ lu va an thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn ll u nf Tháng 04 năm 2016 oi m Tác giả z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn lu an Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ va n 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị tn to 1.2 Hàm điều hòa ie gh 1.3 Hàm đa điều hoà p 1.4 Hàm cực trị tương đối nl w 1.5 Toán tử Monge- Ampère phức 11 d oa 1.6 Các lớp Cegrell £ n 20 an lu Chương 2: SỰ HỘI TỤ YẾU* CỦ A ĐỘ ĐO MONGE-AMPERE u nf va PHỨC KẾT HỢP VỚI LỚP CÁC HÀ M d - ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 22 2.1 Sự hội tụ theo dung lượng 22 ll oi m 2.2 Sự hội tụ yếu* độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp hàm z at nh delta-đa điều hoà 28 KẾT LUẬN 41 z m co l gm @ TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự hô ̣i tu ̣ yế u* của daỹ đô ̣ đo Monge-Ampère phức của hàm đa điề u hòa dưới hô ̣i tu ̣ theo dung lươ ̣ng đã đươ ̣c nghiên cứu bởi nhiề u tác giả Năm 1996, Y.Xing thiế t lâ ̣p sự hô ̣i tu ̣ yế u* của đô ̣ đo Monge-Ampère phức các hàm đa điề u hòa dưới bị chặn điạ phương hội tụ theo C n - - dung lượng hoă ̣c C n - dung lượng ([14]) Sau đó, năm 2000, Xing [15] mở rô ̣ng kế t hàm đa điề u hòa dưới với giá tri ̣ bi ̣ chă ̣n gần biên Gần lu an Cegrell tở ng quát hố kết cho mơ ̣t vài lớp hàm đa điề u hòa n va dưới mà ̣ đo Monge-Ampère phức đươ ̣c xác đinh ̣ Trong [6] Cegrell tn to đã chứng minh nế u u j , u Î E(W) , u j , u bi ̣ chă ̣n bởi hàm thuộc p ie gh lớp F (W) và nế u u j ® u theo dung lươ ̣ng, (dd cu j )n hơ ̣i tu ̣ yế u* đế n w (dd cu )n Năm 2010, L.M Hải, N.V Khiêm T.V Long [13] chứng minh d oa nl kế t của Cegrell cách thay lớp E bởi lớp dEloc (W) Đồng thời là an lu nghiên cứu sự hô ̣i tu ̣ yế u* của dòng gồm dạng (dd cu j )p ÙT , u nf va dòng dương đóng song chiề u ( p, p ) và u j là hàm delta-đa điề u hòa dưới hô ̣i tu ̣ ll theo C T - dung lượng Trong luận văn chúng tơi trình bày lại kết m oi L.M Hải, N.V Khiêm T.V Long Do chúng tơi chọn đề tài: z at nh “Sự hội tụ yếu* độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp hàm delta- l gm 2.1 Mục đích nghiên cứu @ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu z đa điều hoà dưới” m co Mục đích luận văn nghiên cứu hội tụ yếu* độ đo n va lượng và C T - dung lượng dòng dương đóng an Lu Monge - Ampere phức các hàm delta-đa điề u hòa dưới tu ̣ theo C n - dung ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Trình bày tổng quan hệ thống kết Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, lớp lượng Cegrell + Nghiên cứu hội tụ yếu* độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp hàm delta-đa điều hồ dưới, thay lớp E Cegrell [6] bởi lớp dEloc (W) Phương pháp nghiên cứu lu an Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị n va Bố cục luận văn tn to Nội dung luận văn gồm 43 trang, có phần mở đầu, hai chương ie gh nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo p Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất nl w hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, oa lớp lượng Cegrell d Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên an lu va cứu gần Các kết nghiên cứu hội tụ yếu* độ đo Monge- u nf Ampere phức kết hợp với lớp hàm delta-đa điều hoà ll Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị Giả sử ¡ không gian vector n chiều với sở tắc n e j = (0, , 0,1, 0, , 0) , ở vị trí thứ j Giả sử với £ j £ n kí hiệu u j hàm tọa độ thứ j : u j (x ) = x j Một ánh xạ n f : ¡14444 ´ 42 4444 ´ ¡ 4n3 ® £ gọi p p - tuyến tính tuyến tính theo biến biến khác cố định lu an Một ánh xạ p - tuyến tính cho f (v1, , v p ) = v j = v j + 1,1 £ j < n va n gọi ánh xạ p - tuyến tính thay dấu Tập ánh xạ p - tuyến tính thay dấu gh tn to n từ ¡14444 ´ 42 4444 ´ ¡ 4n3 tới £ kí hiệu Ùp ( ¡ n ,£) p ie p Định nghĩa 1.1.1 Giả sử WÌ ¡ w a :U ® oa nl ánh xạ Ùp ( ¡ n tập mở Một p - dạng vi phân W n ,£ ) d Nếu đặt dx k (x ) = u k ,1 £ k £ n , x Ỵ W ta viết p - dạng vi phân u nf va an lu a W dạng: a (x ) = å ' a I (x )dx I ll I m oi I = (i1, , i p ),1 £ i1 < < i p £ n , dx I = dx i Ù Ù dx i , a I (x ) z at nh hàm W ' a I dx I p - dạng b = å J p ' bJ (x )dx J q - dạng, gm I @ å z Giả sử a = ( p + q) - dạng cho công thức a Ù b = å g Ldx L , g Ldx L = an Lu L m co l £ i1 < < i p £ n £ j1 < < jq £ n tích a Ù b ik = jl với £ k £ p,1 £ l £ q g Ldx L = (- 1)s a I bJ dx l Ù Ù dx l , p+ q n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si £ l1 < < lp+ q £ n với s hoán vị dãy i1 < i2 < < i p tập hợp j1 < j < < jq để tạo thành dãy tăng {1, , n } £ l1 < < lp+ q £ n Nếu f hàm f Ù a = f a ( f a ) Ù b = f ( a Ù b ) Mọi p - dạng a với p > n Các dạng có bậc cực đại dạng bậc n Cho a p - dạng lớp C Vi phân (đạo hàm ngoài) a ( p + 1) - dạng cho bởi: å lu da = 'd a I Ù dx I an I n va Nếu da = ta nói a dạng đóng Mọi dạng có bậc cực đại đóng gh tn to Giả sử a = j dx Ù Ù dx n , j Ỵ L1(W) Khi p ie ị a = ị j dx W Ù Ù dx n = W ò j dV , W nl w dV độ đo Lebesgue W n d oa Định nghĩa 1.1.2 Một dịng bậc p hay có chiều (n - p ) tập mở WÌ ¡ lu va an dạng tuyến tính liên tục T : D (n - p ) ( W) ® £ Nếu a dạng ll u nf D (n - p ) ( W) , giá trị T a , kí hiệu T ( a ) hay T , a oi m Bây giả sử p, q = 0,1, , n Ta kí hiệu £ ( p,q ) tập dạng phức song å ' wJK dzJ Ù dz K z w= z at nh bậc ( p, q ) hệ số £ n Khi w Ỵ £ ( p,q ) w biểu diễn: gm @ J = p, K = q p q m co l wJK Ỵ £ , dzJ = dz j Ù Ù dz j , dz K = dz k Ù Ù dz k tổng lấy theo đa số J = ( j1, , j p ), K = (k1, , kq ) với £ j1 < < j p £ n , an Lu £ k1 < < kq £ n n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si &hler tắc £ n cho bởi: Dạng K a& i i n b = ¶ ¶ z = å dz j Ù dz j 2 j=1 Khi dạng thể tích £ n @ ¡ dV = 2n cho bởi: n i i i b = b14442 Ù 4443 Ù b = dz Ù dz1 Ù dz Ù dz Ù Ù dz n Ù dz n n! n! 2 n i = ( )n dz1 Ù dz1 Ù Ù dz n Ù dz n lu Nếu w Ỵ £ ( p, p ) biểu diễn w = an i i i w1 Ù w1 Ù w2 Ù w2 Ù Ù w p Ù w p 2 va n với w j Ỵ £ (1,0) w gọi dạng dương sơ cấp gh tn to Mệnh đề 1.1.3 Không gian dạng song bậc ( p, p ) sinh p ie dạng dương sơ cấp nl w Chứng minh Giả sử w Î £ ( p, p ) Khi viết: i w J ,K ( )p dz j Ù dz k Ù Ù dz j Ù dz k 1 p p J = p, K = p d oa w= å an lu cấp Thật vậy, ll u nf va Vậy cần biểu diễn dz j Ù dz k tổ hợp tuyến tính dạng dương sơ m oi s dz j Ù dz k = å i (dz j + i sdz k ) Ù (dz j + i sdz k ) s= W z at nh Giả sử WÌ £ n tập mở Tập dạng vi phân song bậc ( p, q ) với hệ số z m co l D0( p,q) (W) ) gm @ thuộc C 0¥ (W£ , ) (tương ứng C ( W, £ ) ) kí hiệu D ( p,q ) (W) (tương ứng Định nghĩa 1.1.4 Mỗi phần tử T Ỵ ( D (n - p,n - p ) (W))¢ gọi dịng song an Lu bậc ( p, q ) hay ( p, q) - dòng (tương ứng song chiều (n - p, n - q) ) Những n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si phần tử ( D0(n - p,n - q)(W))¢ gọi dịng cấp , song bậc ( p, q ) (hay ( p, q) - dòng cấp ) Định nghĩa 1.1.5 Giả sử T ( p, p) - dịng tập mở WÌ £ n T gọi dương với dạng sơ cấp a = i i i a Ù a Ù a Ù a Ù Ù a n - p Ù a n - p Î C (n - p,n - p ) 2 ta có T Ù a phân bố dương, nghĩa độ đo Borel W 1.2 Hàm điều hòa lu Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X khơng gian tơpơ Hàm u : X ® éêë- ¥ , + ¥ ) gọi an nửa liên tục trên X với a Ỵ ¡ tập va n X a = {x Ỵ X : u (x ) < a } gh tn to mở X Hàm v : X ® (- ¥ , + ¥ ù ú û gọi nửa liên tục X p ie - v nửa liên tục X w Định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: d oa nl Giả sử u : X ® éêë- ¥ , + ¥ ) Ta nói hàm u nửa liên tục x Ỵ X lu " e > tồn lân cận U x x X cho " e Ỵ U x ta có: an ll u nf va u (x ) < u (x ) + e u (x ) ¹ - ¥ u (x ) = - ¥ e oi m u (x ) < - z at nh Giả sử E Ì X u : E đ ộờở- Ơ , + Ơ E Ta z định nghĩa ) hàm E Giả sử x Ỵ @ gm lim sup u (x ) = inf {sup{u(y ) : y Ỵ V }} x đ x0 x ẻ E l u : X đ ộởờ- Ơ , + Ơ ) l na tục x0 Ỵ X n va lim sup u(x ) £ u(x ) Ta có kết sau x ® x0 liên an Lu hàm m co inf lấy V chạy qua lân cận x Khi thấy ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 29 lim ò y dd cu j T = jđ Ơ W ũ y dd u T vi mo i y ẻ C 0Ơ (W) c (2.1) W Gia s y ẻ C 0Ơ (W) cho Khi ta có ị y dd u c j ÙT - W = ò y dd u ÙT c W ò (u - u )dd c y ÙT = j j - u ) ÙT W W lu = ò y dd (u = c ò (u j - u )dd c y ÙT K an ò (u j - u )dd c y ÙT + K Ç{u j - u > e} ị (u j - u )dd c y ÙT K Ç{u j - u £ e} n va to ò gh tn £ { ò u j - u dd c y ÙT + } { K Ç uj - u £ e p ie K Ç uj - u > e u j - u dd c y ÙT , (2.2) ký hiệu là biến phân toàn phần nl w e > , K = supp y và dd c y ÙT } d oa độ đo Borel qui suy rộng dd c y ÙT u nf va cho an lu Theo Mê ̣nh đề 3.2.7 [11] suy tồ n ta ̣i mô ̣t hằ ng số dương C = C (n ,1) ll w = C dd c y b + dd c y oi m i n å dz Ù dz j dạng K hler chính j=1 j z at nh (1,1) - dạng thực không âm, ở b = z tắ c £ n Từ đó @ Khi đó m co l gm dd c y ÙT = T Ù w - C dd c y T Ù b dd c y ÙT £ T Ù w + C dd c y T Ù b an Lu Bổ đề 1.3.8 [3] suy (2.3) n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 30 T Ù w + C dd c y T Ù b £ DT Ù b , D là hằ ng số chỉ phu ̣ thuô ̣c vào y Do đó vế phải của (2.2) không vươ ̣t quá é ê (2.2) £ D êê ò u j - u T Ù b + êëK Ç{u j - u > e} ù ú ú u u T Ù b ị j ú K Ç{u j - u £ e} ú û Trước tiên, chú ý rằ ng: lu ò uj - u T Ù b £ e an { K Ç uj - u £ e } ò T Ù b £ eò T Ù b K K Ç{u j - u > e} va n đồng thời ta có to { (u ị £ uj - u T Ù b { } K Ç uj - u > e K Ç uj - u > e p ie gh tn ò j ) + u T Ùb } ị T Ùb K Ç{u j - u > e} oa nl w £ M (K , u ) ( { } ) d £ M 1(K , u )C T K Ç u j - u > e , W ® an lu u nf va j đ Ơ , ú M (K , u ) M 1(K , u ) là các hằ ng số chỉ phu ̣ thuô ̣c vào ll K và u Do đó (2.1) chứng minh oi m Bây giờ giả sử đinh ̣ lý xảy p = s,1 £ s £ n - Ta u jT Ù dd cu j s ) ( ® uT Ù dd cu z ( z at nh rằng cho s + Điều đủ để s ) @ l gm tôpô yế u* Thật vâ ̣y, theo giả thiết ta có thể viế t u = v - w , m co v, w Ỵ PSH (W) I L¥ (W) Đinh ̣ lý 2.5 [9] suy rằ ng với e > tồ n ta ̣i n va v1, w1 liên tục W và y = = y W\ G an Lu mô ̣t tâ ̣p mở G Ì W, C T (G , W) < e cho v = v1 + y 1, w = w1 + y , ở ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 31 Chú ý u jT Ù (dd cu j )s - uT Ù (dd cu )s = (u j - u )T Ù (dd cu j )s ( ) ( ) + (v1 - w1 ) T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s + ( y - y ) T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s Theo giả thiế t quy na ̣p, ta lưu ý rằ ng số hạng thứ hai ( ) (v1 - w1 ) T Ù (dd cu j )s - T (dd cu )s đ j đ Ơ Bây ta chứng minh rằ ng (u j - u )T Ù (dd cu j )s ® tơpơ ́ u* lu an Giả sử j Ỵ D p - s , p - s (W), supp j Ð W Cho ̣n W1 Ð W cho supp j Ì W1 va n m UU t với U t W cho U t ta có t=1 gh tn to Theo giả thiế t ii ) , có thể phủ W1 Ì { }{ } bi ̣ chă ̣n p ie thể viế t u j = v tj - w tj , v tj , w tj Ỵ PSH (U t ) và hai daỹ v tj , w tj nl w U t với mo ̣i j ³ và mo ̣i £ t £ m Khi đó trờn mụi U t ta cú ổs r ỗ ữ ỗỗ ữ ( 1) T dd cv tj ữ ồr = ữ ỗốr ứ ữ oa s d T Ù (dd cu j )s Ù j = ( r s- r ) ( ) Ù dd cw tj Ùj an lu - u )T Ù (dd cu j )s Ù j £ ll j m ò (u u nf va Từ đó ò - u T Ù (dd cu j )s Ù j j W z at nh = oi W òu m u j - u T Ù (dd cu j )s Ù j £ å òu j - u T Ù (dd cu j )s Ù j t=1 U t z W1 @ s m co l gm ỉs ÷ £ å å ũ ỗỗỗ ữ u j - u T (dd cv tj )r Ù (dd c wtj )s - r j ữ ữ ữ t=1 r= U ỗ èr ø t m p ỉs ưư ỉ ổ ữ ỗ c t t ữữ Ê ồ B t ỗỗ ữ u j - u T ççdd ççv j + w j + z ÷ ÷ ữ ũ ữ ữ ố ứứ ố r ỗ ữ t=1 r= è øU t m s an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 32 ổs ửữổ ỗỗ ỗỗ ũ = ồ B t ỗỗỗ ữ ữ ữ r ỗ ữ t=1 r= ố ứỗỗố{u j - u > d}ÇU t m s ị + {u j - u Ê d}ầU t ữ ữ ữ , ÷ ÷ ÷ ÷ ø (2.4) B t là hằ ng số phu ̣ thuô ̣c vào j và bấ t đẳ ng thức (3.4) xảy từ Bổ đề 1.3.8 [3] điều suy ( T Ù dd v c t j r s- r ) Ù (dd w ) c t j ( j £ B tT Ù dd v c t j r s- r ) Ù (dd w ) c t j p- s 2ử ổ ỗỗdd c z ữ ÷ è ø £ B tT Ù dd c (v tj + w tj + z )p lu an m va Giả sử W2 Ð W cho W1 Ì UU t Ì W2 Ð W Khi đó t=1 n to p ưư ỉ ỉ ÷ u j - u T ỗỗdd c ỗỗv tj + w tj + z ÷ ÷ ÷ø ÷ £ dM t T ø è è gh tn ò {u j - u £ d}ÇUt W2 , p ie W2 là biế n phân tồn nl w M t là mô ̣t hằ ng số không phụ thuộc vào j và T d oa phần của T W2 Ước lượng này nhận từ Bổ đề 1.3.8 [3] bằ ng an lu cách sử du ̣ng lập luâ ̣n tương tự chứng minh Định lý 2.1.4 [3] u nf va Từ đó, ta có p ỉs ÷ ưư ỉ ỉ ç c t t åt = år = B t ỗỗỗr ữữữữ ũ u j - u T ỗỗốdd ỗỗốv j + w j + z ứữữữữữứ è ø{u j - u £ d}ÇU t s ll m oi m z at nh ổs ữ ỗ ữ ỗ Ê dồ B t ỗ ữM t T ỗốr ữ ữ t=1 r= ứ m s z W2 £ dM T W2 l gm @ Mă ̣t khác s m co p ỉs ÷ ửử ổ cổt ỗ t ữ ữ ỗ ữ ỗ ồt = ồr = B t ççr ÷÷÷ ị u j - u T Ù çèdd ççèv j + w j + z ø÷÷÷ø è ø{u j - u > d}ÇU t m an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 33 p ỉs ÷ ửử ổ cổt ỗ t ữ ữ ỗ ữ Ê ồ B t ỗỗ ữAt T ỗdd ỗỗv j + w j + z ÷÷ ÷ ø÷ è ố ứ ỗốr ứ ữ u - uũ> d ầU t=1 r= {j } t m s m å £ ({{u N tC T t=1 j } ) } - u > d ầU t ,U t đ Khi j đ Ơ , ú At , N t không phu ̣ thuô ̣c vào j Như vâ ̣y ta có (u j - u )T Ù (dd cu j )s ® tơpơ ́ u* Định lý 2.2.3 chứng minh ta ( ) lu ( y - y ) T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s ® tơpơ ́ u* an ( ) y T Ù (dd cu j )s - T Ù (dd cu )s ® tơpơ ́ u* n va Chú ý điều đủ để chứng minh tn to ie gh Giả sử q Ỵ D p - s , p - s (W) với supp q Ð W Vì y = bên ngoài G , nên p ta giả thiế t supp q Ð G Cho ̣n supp q Ð W3 Ð G Khi đó Ù (dd cu j )s Ù q = oa nl w ò yT W ò W3 y 1T Ù (dd cu )s Ù q d ò ò y T Ù (dd cu j )s Ù q £ an lu £ W3 u nf va l ổs ữ ỗỗ ữ T (dd cv t )r Ù (dd cw t )s - r q ũUt ồr = ỗỗốr ữữữứ j j s z at nh t=1 T Ù (dd cu j )s Ù q oi l £ D1 å Ut m t=1 ò ll £ D1 å W3 T Ù (dd cu j )s Ù q t=1 t=1 £ D1 å H tC T (G , W) £ eD1 å H t (2.5), an Lu l m co l l gm @ s z p ỉs ÷ ưư ổ ổ ỗ c t t ữ Ê D1 ồ ỗỗ ữ M t ũ T ỗỗdd ỗỗv j + w j + z ÷ ÷ ÷ ÷ø ữ ữ ố ứ ố r ỗ ữ t=1 r= è ø Ut l n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 34 l supp q Ì U t Ì W3 Ð G và mỡi U t ta có biể u diễn t=1 u j = v tj - w tj , v tj , w tj Ỵ PSH (U t ) ầ LƠ (U t ), D và H t là hằ ng số không phụ thuộc vào j Bấ t đẳ ng thức (2.5) suy cách sử dụng lập luận tương tự cách sử dụng chứng minh bấ t đẳ ng thức (2.4) Tương tự, ta chứng minh òyT W Ù (dd cu )s Ù q £ eD1C và đó, Định lý 2.2.3 đươ ̣c chứng mimh lu an Bây giờ chúng ta thiết lâ ̣p sự hô ̣i tu ̣ yế u* của (dd cu j )n đế n (dd cu )n va n trường hợp u j , u Ỵ dEloc (W) tn to gh Bổ đề 2.2.4 Giả sử WÌ £ n miền siêu lồi E Ì W tập Borel p ie Giả sử j 1, , j n- Ỵ PSH - (W) , g Ỵ F (W) cho j j ³ g, i = 1, 2, , n - n- £ j ( n - 1)/ n 1/ n éC (E )ù é (dd cg)n ù ú ¥ ên ú êëòW û L ( W) ë û (2.6), an lu E dd cj Ù dd cj Ù Ù dd cj d ị oa nl w Khi với j Ỵ E0 (W) ta có u nf va PSH - (W) tập hợp tất hàm đa điều hoà âm W ll Chứng minh Trước tiên, giả sử E tập mở compact tương đối W hE* ,W m oi qui nửa liên tục hàm cực trị tương đối hE ,W E Khi z at nh hE* ,W Ỵ E0 (W) Hơn nữa, hE* ,W = - E - £ hE* ,W £ W Suy ò - j dd h c W * E ,W Ù dd cj Ù Ù dd cj n- an Lu = n- m co W dd cj Ù dd cj Ù Ù dd cj * E ,W l ò-h n- gm £ Ù dd cj Ù Ù dd cj @ c E z ò dd j n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 35 1 n- é n n £ éêò - j (dd chE* ,W)n ù (dd cj j )n ù Õ ú ê ú ò j = ë W û ë W û £ j L¥ ( W) é (dd ch * )n ùn n - é (dd cj )n ùn êëòW ú E , W ú Õ j = êòW j û ë û (2.7), bấ t đẳ ng thức dòng thứ tư suy từ Đinh ̣ lý 5.5 [5] Mă ̣t khác, j j ³ g, j = 1, , n - , nên j j Ỵ F (W) và bằ ng cách sử du ̣ng ý sau Đinh ̣ nghiã 4.6 cùng với Định lý 3.2 [5], ta nhận ò (dd j c j W )n £ ò (dd cg)n (2.8) W lu Hơn nữa, Mênh ̣ đề 4.6.1 [11] kéo theo an ò (dd h va c n W * n E ,W (2.9) ) = C n (E ) tn to Kế t hơ ̣p (2.7), (2.8) (2.9) ta nhận bấ t đẳ ng thức (2.6) trường hợp ie gh E tâ ̣p mở compact tương đố i W p ¥ w Bây giờ giả sử E là tâ ̣p compact của W Lấ y dãy giảm {Dk } k= d oa nl tâ ̣p mở compact tương đố i của W cho Dk ] E k đ Ơ Khi o n- = ò dd j c E Ù dd cj Ù Ù dd cj n- u nf va an Dk lu lim ò dd cj Ù dd cj dd cj kđ Ơ ll lim C n (Dk ) = C n (E ) oi m kđ Ơ z at nh Ap du ̣ng bấ t đẳ ng thức (2.6) cho Dk và cho k đ Ơ , ta c iu phi chng minh z @ Ć i cùng, giả sử E Ì W tập Borel Lấy {K m } m³ dãy gm C n (E ) = lim C n (K m ) kđ Ơ an Lu và m co l tăng tập compact cho K m Ì E K m Z E Khi ta có n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 36 lim mđ Ơ ũ dd cj dd cj Ù Ù dd cj Km n- = ò dd j Ù dd cj Ù Ù dd cj c E n- theo kết trường hợp thứ hai ta nhận bất đẳng thức (2.6) Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.5 Giả sử W tập mở £ n u j , u Ỵ dEloc (W) Giả sử i) u j ® u theo C n - dung lượng E Ð W ii ) Với z Ỵ W tồn lân cận U z z W cho U z ta viết u j = v j - wj , u = v - w , v j , wj , v, w Ỵ E(U z ) v j £ g , wj £ g , lu an v £ g , w £ g U z , g Ỵ E(W) n va Chứng minh Vì tốn địa phương, nên ta giả sử với gh tn to Khi (dd cu j )n hội tụ yếu* đến (dd cu )n W p ie z Ỵ W tồn mô ̣t lân cận U z z W phát biểu định nl w lý và nó đủ để chứng minh (dd cu j )n hội tụ yếu* đến (dd cu )n U z Vì d oa lớp E có tính chất địa phương (xem Định lý 1.1 [4]), nên ta giả sử an lu g Ỵ E(U z ) Như chứng minh định lý ta giả sử U = U z u nf va miền siêu lồi £ n , u j = v j - wj , v j , wj Ỵ E(U ) ta phải chứng minh ll (dd cu j )n ® (dd cu )n tôpô yếu* U oi m c n j U - ò j (dd u ) c n U = ò j ((dd u ) U c n j z ò j (dd u ) z at nh Ly j ẻ C 0Ơ (U ) Cú th giả sử - £ j £ Ta có - j (dd cu )n ) @ ỉn - c ỗỗ (dd cu )k (dd cu )n - 1- k ÷ ÷ j dd ( u u ) ữ ũU j j ỗốồ ữ ø k= m co l gm = an Lu ỉn - ÷ = ị (u j - u )dd j ỗỗồ (dd cu j )k Ù (dd cu )n - 1- k ÷ (2.10) ữ U ữ ỗốk = ứ c n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 37 Bằng cách thay u j = v j - wj , u = v - w (2.10) ta nhận ước lượng sau ò j (dd u ) c U å ò (u j ò j (dd u ) - n j c £ n U - u )dd cj Ù dd c y j Ù Ù dd c y j fini te U , n- y jk = vk , wk y jk = v, w Hơn nữa, theo giả thiết điều suy y jk ³ g U với mo ̣i k = 2, , n - Từ đó, vấn đề lại lu an va ũ (u lim n jđ Ơ U j - u )dd cj Ù dd c y j Ù Ù dd c y j = n- gh tn to với y jk ³ g U với k = 2, , n - Lấy tập mở D Ð U cho p ie supp j = K Ð D Khi U oa nl w ò (u - u )dd cj Ù dd c y j Ù Ù dd c y j ò (u d = j j n- - u )dd cj Ù dd c y j Ù Ù dd c y j (2.11) n- an lu D Bây giờ, theo [5], tồn g%Ỵ F (U ) cho g%= g va Đặt u nf y%jk = max( y jk , g%) Ỵ F (U ) , y%jk = y jk Giả sử e > cho Khi ll ò{ } u j - u £ e ÇD z at nh (2.11) = oi m ta viết (2.11) sau: (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j + n- z } u j - u > e ÇD n- (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j + n- an Lu } u j - u £ e ÇD m co ò{ (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j l ò{ gm £ @ + n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 38 ò{ + } u j - u > e ÇD (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j n- Đặt Aj = ò{ Bj = ò{ } u j - u £ e ÇD (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j n- } u j - u > e ÇD (u j - u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j n- lu Từ đó, Định lý chứng minh ta chứng minh an lim A j = lim B j = n va jđ Ơ jđ Ơ tn to Theo B 3.1 [5], ta có thể viế t j = j - j , j 1, j Ỵ E0 Do ta ie gh giả sử j Ỵ E0 Vì y%jk Î F (U ) , g%Î F (U ) y%jk ³ g% U , nên p theo ý sau định nghĩa 4.6 [5] ta có đánh giá ị{ } u j - u £ e ÇD u j - u dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j n- d oa nl w Aj £ lu £ e ò dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j D an n- D z at nh Xj } - u > e Ç D Khi oi ị j m Bj £ {u ll Giả sử X j = u nf va £ e ò dd cj Ù (dd cg%)n - ( u j + u )dd cj Ù dd c y%j Ù Ù dd c y%j £ ò (- g%)dd cj ÙT% , 2 n- gm @ z T% = dd c y%j Ù Ù dd c y%j Xj n- , đặt g%R = max(g%, - R ) Khi ta có ước lượng m co l Bây với B j £ ò (- g%+ g%2n R )dd cj ÙT% + ò (- g%2n R )dd cj ÙT% 2 Xj Xj an Lu , £ ò (- g%+ g%2n R )dd cj ÙT% + 2n + R ò dd cj ÙT% 2 Xj n va Xj ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 39 - g%2n R £ 2n R Bổ đề 2.2.4 suy n- 1 n é (dd cg%)n ù n êëòU ú û dd j ÙT% £ éêC n ( u j - u > e ,U )ù ú ë û ò { c Xj } và, đó, theo giả thiết, ta nhận lim ũ dd cj T% = jđ Ơ Xj Suy limsup B j £ sup ò (- g%+ g%2n R )dd cj ÙT% j® ¥ (2.12) U j³ lu Bây ta ước lượng vế phải (2.12) sau an va ò (- g%+ g% 2n R n U to ie gh tn = p = ò{ } g%£ - R g%£ - R w n g%£ - R U - y%j dd cj Ù dd cg%ÙT% ò{ - y%j dd cj Ù dd cg%ÙT% £ ò{ } n g%£ - R oa nl ò{ Ù dd c (g%- g%2n R ) ÙT% c j2 } n £ ò - y%dd j - y%j dd cj Ù dd c (g%- g%2n R ) ÙT% n ò{ )dd cj ÙT% = 2 n - y%j dd cj Ù dd cg%2n R ÙT% } g%£ - R % cj Ù dd cg%ÙT% - gdd d } lu £ 2ò g%£ - 2n R £ 2ò g%£ - 2n - R an } u nf (- g%+ g%2n - R )dd cj Ù dd cg%ÙT% , oi m } ll { va { (- g%+ g%2n - R )dd cj Ù dd cg%ÙT% { } {g%£ - R }Ì {g%£ - n n- z at nh - g%£ 2(- g%+ g%2n - R ) tập g%£ - 2n R , đồng thời R } T% = dd y% Ù Ùdd y% c c j3 z jn - @ % cj Ù (dd cg%)n - - gdd {g%£ - R } % cj Ù (dd cg%)n - £ - gdd c U Ù (dd cg%)n - n va g%£ - R } % j ò - gdd an Lu Tuy nhiờn ũ{ (2.13) m co jđ Ơ l lim sup B j £ 2n ò gm Bằng cách lặp lại lập luận tương tự n lần, ta ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 40 ò - j (dd g%) £ c n £ U ò (dd g%) c n < ¥ U Từ - g%Ỵ L1(dd cj Ù (dd cg%)n - ) Mặt khác, j Î E0 (U ) nên theo Định lý 2.1 [5] Bổ đề 2.2.4 suy dd cj Ù (dd cg%)n - liên tục tuyệt đối C n - dung lượng Theo định lý % cj Ù (dd cg%)n - liên tục tuyệt đối Radon-Nikodym, - gdd C n - dung lượng Nhưng theo Mệnh đề 3.1 [8] suy lu Cn ({g%£ - R },U ) £ M n ò (dd cg%)n U an Rn ® n va R đ Ơ , ú M n l mt hng s Nu R đ Ơ v phi ca tn to (2.13), ta suy lim sup B j = Do đó, chứng minh Định lý 2.2.5 l jđ Ơ gh p ie y d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 41 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm điều hồ dưới, hàm đa điều hồ dưới, hàm cực trị tương đối, tốn tử Monge-Ampère, lớp lượng Cegrell + Các kết L.M Hải, N.V Khiêm T.V Long hội tụ yếu* độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp hàm delta-đa điều hồ dưới, thay lớp E Cegrell [6] bởi lớp dEloc (W) Các kết lu an trình bày nội dung Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.5 n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH E Bedford and B A Taylor (1982), “A new capacity for plurisubharmonic funtions”, Acta Math 149, No.1-2, – 40 Blocki Z (1998), “The complex Monge–Amp`ere Operator in lu Pluripotential Theory”, Lectures notes, (unpublished) Webside: an www://gamma.im.uj.edu.pl/~Blocki va n Blocki Z (2006), “The domain of definition of the complex Monge- to gh tn Ampere operator”, Amer J Math 128, 519-530 p ie Cegrell U (2004), “The general definition of the complex Monge – Ampère”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159 – 179 oa nl w Cegrell U (2001), “ Convergence in capacity”, Isaac Newton Institute d for Math Science P, Series NI01046-NPD, also available at arxiv.org: lu an math CV/0505218 ll u nf va ∗ Cegrell U (2006), “Weak -convergence of Monge–Amp`ere measures”, Math Z., 254, 505–508 m Cegrell U, Kolodziej S, and Zeriahi A (2005), “Subextention of oi z at nh plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math Z 250, – 22 z gm @ Dabbek K., Elkhadhra F (2006), “Capacite´ associe´e a un courant H H., Nguyen Q D (2008), “A class m co 10 Dau l positif ferme´”, Documenta Math., 11, 469–486 of delta- an Lu plurisubharmonic functions and the complex Monge–Amp`ere operator”, Acta Math Vietnamica, 33 (2), 123–132 n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si 43 11 Klimek M (1991), Pluripotential Theory, Oxford Univ Press, New York 12 Le M H, Pham H H (2006), “The topology on the space of δ-psh functions in the Cegrell classes”, Results in Math., 49, 127–140 Le M H, Nguyen.V.K, Tang.V.L (2010), Weak-* convergence of the 13 complex Monge-Ampere measures associated with certain classes of delta-plurisubharmonic functions”, Acta Math Fasc XLVIII, 73-88 14 Xing Y (1996), “Continuity of the complex Monge–Amp`ere operator”, Proc Am Math Soc., 124, 457–467 lu an 15 Xing Y “Complex (2000), Monge–Amp`ere measures of n va plurisubharmonic functions with bounded values near the boundary”, p ie gh tn to Can J Math., 52(5), 1085–1100 d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn si