Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng cơ sở logic trong dạy học Toán ở Tiểu họcSuy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có. Những mệnh đề đã có gọi là những tiền đề, mệnh đề mới rút ra gọi là kết luận của suy luận.Ví dụ 1: Từ hai tiền đề:Mọi số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9.Số 1980 có tổng các chữ số chia hết cho 9. Rút ra kết luận: 1980 chia hết cho 9.
MỤC LỤC CHƯƠNG LOGICTOÁN .2 1.1 Kháiniệm 1.1.1 Kháiniệm 1.1.2 Nội hàm ngoại diên khái niệm (cấu trúc củakháiniệm) 1.1.3 Định nghĩakháiniệm 1.1.4 Phân chiakháiniệm 1.2 Mệnh đề 1.2.1 Mệnh đề cácphéptoán 1.2.2 Công thức mệnh đề vàluậtlôgic .7 1.2.3 Quy tắcsuy luận .10 1.2.4 Hàm mệnh đề lượngtừ 13 1.3 Suy luận vàchứngminh 14 1.3.1 Suyluận 14 1.3.2 Chứngminh 16 1.4 Phương pháp tiên đề trongtoánhọc .19 CHƯƠNG CƠ SỞ LƠGIC TRONG MƠN TỐNTIỂUHỌC 20 2.1 Hình thành khái niệm mơn Toán ởtiểuhọc 20 2.1.1 Q trình hình thành khái niệm tốn học ởtiểuhọc .20 2.1.2 Hình thành khái niệm dạy học số vàphép tính .20 2.1.3 Hình thành khái niệm dạy học Hình học Đo lường ởTiểuhọc 24 2.1.4 Hình thành khái niệm dạy học yếu tố Thống kê Xác suất Tiểuhọc 252.2 Suy luận dạy học toán Tiểuhọc 25 2.2.1 Suydiễn 25 2.2.2 Suy luậnquynạp .26 2.2.3 Phéptươngtự 26 2.2.4 Mối quan hệ suy luận suy diễn vàquynạp 27 2.3 Tiền chứng minh dạy học toántiểuhọc 28 BÀI TẬPCHƯƠNG1 29 BÀI TẬPCHƯƠNG2 32 CHƯƠNG LOGIC TỐN 1.1 Kháiniệm 1.1.1 Kháiniệm Kháiniệmlàmộthìnhthứctưduycủaconngười.Nóphảnánhnhữngthuộctínhchung,chủ yếu, chất vật hiệntượng Ví dụ: Hình vng hình có cạnh góc “4 cạnh góc nhau” thuộc tính chung, chủ yếu, chất hình vng 1.1.2 Nội hàm ngoại diên khái niệm (cấu trúc kháiniệm) 1.1.2.1 Định nghĩa nội hàm ngoạidiên Mọi khái niệm có mặt gọi lànội hàmvàngoại diên Nội hàm cho biết: vật vật gì, nào? Ngoại diên cho biết: vật loại với vật khác nữa? Nộihàmcủakháiniệmlà“tồnthểnhữngthuộctínhbảnchất”đượcphảnánhtrong khái niệmấy Ví dụ: người động vật biết chế tạo công cụ lao động, có lực cải tạo giới, có ngơn ngữ… Ngoại diêncủa khái niệm “tồn thể cá thể có chứa thuộc tính chất” phản ánh khái niệm Ví dụ: người châu Á, châu Phi, châu Mỹ, người da đen, da trắng… “người” 1.1.2.2 Tương quan nội hàm ngoạidiên Nội hàm ngoại diên có tương quan mật thiết với theo tỉ lệ nghịch Nội hàm sâu ngoại diên hẹp, nội hàm cạn ngoại diên rộng Ví dụ: khái niệm “động vật” có ngoại diên rộng (người, chó, mèo, chim, cá, sâu, bọ…) có nội hàm hẹp thuộc tính: biết hoạt động, ăn uống, sinh sản (dùbằng cáchnào).Nếutathêmvàomộtthuộctínhnữa“cóvú”thìnộihàmsâuthêm(tănglên)nhưngngoạidiênthuhẹphơn(giảmxuống)vì chim,cá,sâu,bọ…khơngđượckểlàđộngvậtcóvúnữa 1.1.3 Định nghĩa kháiniệm 1.1.3.1 Định nghĩa khái niệm làgì? Định nghĩa tách vật cần định nghĩa khỏi vật tiếp cận với chỉrõ thuộc tính chất (tức nội hàm) Ví dụ: Muốn định nghĩa “hình vng” ta phải làm việc: - Phân biệtnó với hình mà ta lẫn lộn hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành (đều tứ giáclồi) - Chỉrathuộctínhbảnchấtcủanó:ởđâyhìnhvngkhơngnhữnglàmộttứgiáclồi hình bình hành (có cạnh đối song song đơi một), hình thoi (có cạnh nhau), hình chữ nhật (có góc nhau) mà hình vng cịn cótấtcảnhữngtínhchất củahìnhchữnhậtvàhìnhthoi Bây ta định nghĩa: “Hình vng hình bình hành có cạnh góc nhau” Hoặc: “Hình vng hình chữ nhật có cạnh nhau” “Hình vng hình thoi có góc nhau” 1.1.3.2 Cấu trúc địnhnghĩa Định nghĩa thường có cấu trúc sau: Ví dụ: Tam giác vng tam giác có góc vng Lưu ý: - Từ “là” định nghĩa có thay “khi chỉkhi” - Có khái niệm dùng để định nghĩa (B) nằm trước khái niệm định nghĩa(A) từ “là” thay “được gọilà” Ví dụ: Haiđườngthẳngsongsongkhivàchỉkhicùngnằmtrênmộtmặtphẳngvàkhơngcắtnhau 1.1.3.3 Các ngun tắc địnhnghĩa a Ngoại diên khái niệm định nghĩa ngoại diên khái niệm dùng để định nghĩa phải bằngnhau Ví dụ: “Hình thoi” (A) “một hình bình hành có tất cạnh nhau” (B) b Định nghĩa không luẩnquẩn Nghĩa khái niệm B (dùng để định nghĩa) không lặp lại khái niệm A (cần định nghĩa) Khái niệm dùng để định nghĩa (B) luôn phải khái niệm biết Nếu khái niệm dùng để định nghĩa chưa biết nội hàm khái niệm định nghĩa (A) chưa sáng tỏ Trong trường hợp ấy, khái niệm A coi chưa định nghĩa c Định nghĩa phải đầy đủ, nghĩa phải nêu hết thuộc tính chất khái niệm Ví dụ: Người vật có lýtrí Đólàmộtđịnhnghĩađúngnhưngkhơngđầyđủ.Vìngồithuộctính“cólýtrí”,con người cịn có thuộc tính chất khác “biết chế tạo công cụ”, “biết sử dụng côngcụ”… d Định nghĩa phủđịnh e Định nghĩa phải ngắngọn Nghĩa định nghĩa khơng chứa thuộc tính suy từ thuộc tính khác Ví dụ: Tam giác tam giác có cạnh góc Một tam giác có cạnh nhau, tất nhiên có góc ngược lại Vậy phần định nghĩa bỏ thuộc tính 1.1.3.4 Các hình thức địnhnghĩa a Định nghĩa thông qua loại vàhạng Khái niệm phải ghi rõ thuộc loại có đặc điểm riêng (thuộc tính chất) Ví dụ: Chất lỏng vật thể tích xác định (1) khơng có hình dạng xác định (2) (1): loại vật thể (2): hạng lỏng b Định nghĩa thơng qua việc vạch rõ nguồn gốc phát sinh Vídụ: “Đường trịn đường cong khép kín tạo điểm mặt phẳng, giữ khoảng cách cố định, chuyển động xung quanh điểm cho sẵn” Địnhnghĩanàychỉrõcáchthứcphátsinhriêngcủađốitượngcầnđịnhnghĩa,không giống với đối tượng Định nghĩa bao hàm quan hệ giữaloại(đường cong khép kín) vàhạng(với đặc điểm riêng: điểm có khoảng cách cố định, chuyển động xung quanh điểm cho sẵn) c Định nghĩatừ Là tìm từ ngữ khác tương đương, đồng nghĩa để thay cho Ví dụ: Nhân chứng người làm chứng Ngồi cịn hình thức định nghĩa khác như: miêu tả, miêu tả đặc trưng, so sánh 1.1.4 Phân chia khái niệm 1.1.4.1 Phân chia khái niệm làgì? Phân chia khái niệm tìm cáchạngnằm trongloạicủa khái niệm phânchia Đó đem đối tượng nằm ngoại diên chia thành nhómnhỏ Sau lại từ nhóm nhỏ chia thành nhóm nhỏ nữa… Muốn phân chia khái niệm phải cócơ sở phân chia(tức thuộc tính mà ta chọn dựa vào) vàthành phần phân chia(tức hạng chia từ loại nó) Ví dụ: Khái niệm “tam giác” phân chia thành tam giác thường, tam giác cân vàtamgiácđều.Cơsởphânchiamàtadựavàolàcạnh.Trêncơsởnày,tacóđược3thành phần phân chia (tức 3hạng) 1.1.4.2 Các hình thức phân chia kháiniệm a Phânloại Làphânmộtkháiniệmthànhnhữngkháiniệmnhỏhơnvàphânmãichođếnđơnvị cuối Khi phân loại phải lấythuộc tính chấtđể làm mà xếp vật có thuộc tính giống vào mộtnhóm Ví dụ: Đa giác lồi chia thành tam giác, tứ giác… b Phânđơi Khikhơngcócơsở(thuộctínhbảnchất)đểtiếnhànhviệcphânloại,ngườitathường dùng phương pháp phânđơi Phânđơilàđemchiamộtkháiniệmralàmhaikháiniệmmâuthuẫn.Haikháiniệm phủ địnhnhau Ví dụ: - Sinh viên phân sinh viên thuộc hệ quy hệ khơng quy Khái niệm tốn học:Là tri thức tốn học khái qt nhóm đối tượng tốn học có chung thuộc tính Khái niệm biểu “từ” Ví dụ: Khái niệm hình vng diễn tả cụm từ “hình vng” 1.2 Mệnh đề 1.2.1 Mệnh đề phép toán 1.2.1.1 Mệnhđề Định nghĩa:Mệnh đềlà câu phản ánh tính sai thực tế khách quan Mệnh đề kí hiệu chữ thường: p, q, r… Mệnh đề p ta viết p = 1, mệnh đề p sai ta viết p = {0, 1} gọi tập giá trị chân lí (hay chân trị) mệnh đề Ví dụ: 1) Các câu sau mệnhđề: Đồng Tháp tỉnh thuộc đồng sông CửuLong 15 số nguntố Hình vng có cạnh bằngnhau + =4 Trờinắng 2) Các câu sau mệnhđề: x + =4 137 có phải số ngun tốkhơng? Quyển sách hay tuyệt! Mệnh đề thỏa luật sauđây: 1) Luậtbàitrung:Mỗimệnhđềphảiđúnghoặcsai,khơngcómệnhđềnàokhơngđúng khơngsai 2) Luật mâu thuẫn:Khơng có mệnh đề vừa lại vừasai 1.2.1.2 Các phép toán logic mệnh đề a) Phép phủđịnh Phủ địnhcủamệnhđềplà mệnh đềp(đọc làkhôngp) khipsaivàsai khipđúng Bảng chân trị (bảng giá trị chân lí) phép phủ định: p p 0 Phép phủ định mệnh đề phù hợp với từ “khơng” (“khơng phải”) ngơn ngữ thơng thường Ví dụ: p: số nguyên tố p : số nguyên tố b) Phéphội Hội hai mệnh đề p q mệnh đềpq (đọc p hội q) p q đúng, sai trường hợp lại Bảng chân trị phép hội: pq p q 1 1 0 0 0 Phép hội hai mệnh đề phù hợp với liên từ “và” ngơn ngữ thơng thường Ví dụ: p: 36 sốchẵn; q: 36 chia hết cho5 pq: 36 số chẵn chia hết cho (hay 36 số chẵn chia hết cho 5) c) Phéptuyển Tuyển hai mệnh đề p q mệnh đềpq (đọc p q) sai p q sai, trường hợp lại Bảng chân trị phép tuyển: pq p q 1 1 1 0 Phép tuyển hai mệnh đề phù hợp với liên từ “hoặc” ngơn ngữ thơng thường Ví dụ: p: 36 số chẵn q: 36 chia hết cho pq: 36 số chẵn 36 chia hết cho d) Phép kéo theo Mệnh đề p kéo theo q mệnh đềpq trường hợp lại (đọc p kéo theo q) sai p q sai, Bảng chân trị phép hội: pq p q 1 1 0 1 0 Phépkéotheophùhợpvớicáccụmtừ“kéotheo”,“nếu…thì…”,“từ…suyra…”… ngơn ngữ thơngthường Ví dụ: p: 36 số chẵn q: 36 chia hết cho pq: Nếu 36 số chẵn 36 chia hết cho qp: Nếu 36 chia hết cho 36 số chẵn e) Phép tương đương Mệnh đề p tương đương q mệnh đềpq p q sai, sai trường hợp lại Bảng chân trị phép tương đương: pq p q 1 1 0 0 Phéptươngđươngphùhợpvớicáccụmtừ“nếuvàchỉnếu”,“khivàchỉkhi”củangơn ngữ thơngthường Ví dụ: p: 36 số chẵn q: 36 chia hết cho pq: 36 số chẵn 36 chia hết cho 5.= 1.2.2 Công thức mệnh đề luậtlôgic 1.2.2.1 Côngthức Các mệnh đề chưa xác định p, q, r… gọi chung biến mệnh đề Cho biến mệnh đề p, q, r… Khi dùng phép toán logic tác động vào nhậnđượccácbiếnmệnhđềngàycàngphứctạphơn.Mỗimệnhđềnhưthếvàcácmệnhđềxuấtpháttagọilàcông thức Hay nói cáchkhác: 1) Mỗi biến mệnh đề cơng thức, kí hiệu chữ in: P, Q,R… 2) Nếu P, Q cơng thức P, PQ,PQ,PQ,PQ cơng thức 3) Mọi dãy kí hiệu không xác định theo hai quy tắc khơng phải cơngthức Ví dụ: Từ biến mệnh đề p, q, r ta thiết lập công thức: P pq ) r pq )r pq)qp), Giá trị chân lý công thức xác định cách lập bảng chân trị Vídụ:Xácđịnhgiátrịchânlýcủacơngthức(pq)r và(pq)r Ta lập bảng chân trị: pq p q r 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 p 1 1 0 q 1 1 0 r 1 0 (pq)r 1 0 1 pq (pq)r 1 0 0 0 1 1 0 Công thức tương đương:Hai công thức P Q gọi làtương đương logicvới nhau, kí hiệuPQ, chúng nhận giá trị chân lý với hệ chân trị có biến mệnh đề có mặt trongchúng Hệ thứcPQcịn gọi đẳngt h ứ c Vídụ:Chứngminh(pq)r pr ) qr ) (*) Ta có bảng chân trị: pq p q r 1 1 pr qr (pq)r pr ) qr ) 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1