Đồ án tốt nghiệp đại học xây dựng ứng dụng xử lý âm thanh số

1.2.1 Các phần tử cơ bản của hệ thống xử lý tín hiệu số Hầu hết các tín hiệu đợc sử dụng trong việc nghiên cứu và mang ứngdụng kỹ thuật đều là tín hiệu tơng tự theo nguồn gốc phát sinh c

Mục lục

Mở đầu 1

Chơng I … 6 6

Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc theo thời gian 6

1.1 Tín hiệu 6

1.1.1 Khái niệm 6

1.1.2 Phân loại tín hiệu 6

1.2 Hệ thống xử lý tín hiệu 7

1.2.1 Các phần tử cơ bản của hệ thống xử lý tín hiệu số 7

1.2.2 Ưu điểm của xử lý tín hiệu số 9

1.3 Khái niệm về tần số trong tín hiệu rời rạc về biên độ và liên tục theo thời gian 10

1.3.1 Tín hiệu hình sin liên tục theo thời gian 11

1.3.2 Tín hiệu hình sin rời rạc theo thời gian 11

1.4 Chuyển đổi từ tín hiệu tơng tự sang tín hiệu số và ngợc lại 12

1.4.1 Lấy mẫu tín hiệu tơng tự 13

1.4.2 Định lý lấy mẫu 14

1.5 Các tín hiệu rời rạc theo thời gian 16

1.5.1 Các phơng pháp biểu diễn tín hiệu rời rạc 16

1.5.2 Một vài tín hiệu rời rạc cơ bản 17

1.5.3 Phân loại tín hiệu 17

1.6 Các hệ thống tín hiệu rời rạc 18

1.6.1 Phânloại các hệ thống rời rạc theo thời gian 18

1.6.2 Quan hệ liên kết của các hệ thống rời rạc theo thời gian 20

1.7 Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian .21 1.7.1 Kỹ thuật phân tích hệ thống tuyến tính 21

1.7.2 Các tính chất của tổng chập 21

1.7.2 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 21

1.7.3 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định 21

1.7.4 Hệ thống với đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn và vô hạn 22

1

Chơng II 23

Phân tích tín hiệu và hệ thống trong miền tần số 23

2.1 Phân tích tín hiệu rời rạc trong miền tần số 23

2.1.1 Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn rời rạc 23

2.1.2 Phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn 26

2.1.3 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 26

2.1.4 Sự hội tụ của biến đổi Fourier 26

2.1.5 Phổ mật độ năng lợng của tín hiệu không hoàn toàn 27

2.1.6 Phân loại tín hiệu theo tần số: khái niệm về bề rộng phổ 28

2.2 Đặc tính của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian 28

Đáp ứng đối với tín hiệu mũ phức và tín hiệu hình sin: Hàm đáp ứng tần số 28

Chơng III 30

Biến đổi Fourier rời rạc và các thuật toán biến đổi nhanh Fourier 30

3.1 Lấy mẫu trong miền tần số – biến đổi Fourier rời rạc biến đổi Fourier rời rạc 30

3.1.1 Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gian 30

3.1.2 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 34

3.1.3 Quan hệ của DFT và các biến đổi khác 34

3.2 Các tính chất của DFT 35

3.2.1 Tính tuyến tính 35

3.2.2 Tính dịch vòng 35

3.2.3 Tích chập vòng 36

3.2.4 Tính đối ngẫu 36

3.2.5 Các phơng pháp lọc tuyến tính dựa trên DFT 36

3.3 Phân tích tín hiệu trong miền tần số bằng DFT 36

3.4 Tính toán có hiệu quả của DFT: Các thuật toán FFT 37

3.4.1 Phơng pháp tính trực tiếp của DFT 37

3.4.2 Phơng pháp chia nhỏ để tính DFT 38

3.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 44

Chơng IV 54

Bài toán phân tích và xây dựng ứng dụng hiển thị phổ của tín hiệu 54

4.1 Phơng pháp xây dựng và phân tích quá trình hiển thị phổ 54

4.1.1 Phân tích phổ của các tín hiệu hình Sin, vuông, xung 54

4.1.1.1 Hàm cửa sổ Hamming và Hanning 56

4.1.1.2 Cách chọn N theo thời gian 58

4.1.2 Phân tích tín hiệu File Wave 58

4.1.2.1 Quá trình số hoá âm thanh 58

4.1.2.2 Cấu trúc File*.Wave 60

4.1.3 Công cụ hỗ trợ của DirectX8.0 của Windows 62

4.2 Giới thiệu chơng trình 66

4.2.1 Giao diện chính của phần mềm 66

4.2.2 Thiết kế chơng trình 66

Kết luận 74

Tài liệu tham khảo 79

Mở đầu

Hiện nay, sự bùng nổ phát triển của khoa học công nghệ nhất là công nghệ thông tin ngày càng đợc con ngời nghiên cứu và phát triển chúng để

đ-a nó vào phục vụ nhu cầu củđ-a cuộc sống Nhiều lĩnh vực công nghệ thông tin ngày càng phát triển mở rộng Trong đó cùng với sự phát triển không thể không kể đến công nghệ xử lý tín hiệu số Xử lý tín hiệu số bao hàm mọi phép xử lý các dãy số để có đợc các thông tin cần thiết nh: phân tích, thay

đổi, tổng hợp, mã hoá… đặc biệt là loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu, đặc biệt là loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu, nhận đợc phổ tín hiệu, biến đổi tín hiệu sang dạng mới phù hợp hơn

Thời đại ngày nay đã chứng minh tầm quan trọng của xử lý tín hiệu

số (DSP: Digital Signal Processing) trong rất nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác nhau nh Điện tử, Tin học, Viễn thông, Đo lờng, Điều khiển, Vật

lý, Quân sự… đặc biệt là loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu,

Một số ứng dụng điển hình của xử lý tín hiệu số:

- Xử lí tiếng nói, âm thanh: dùng để nhận dạng tiếng nói, ngời nói,

tổng hợp tiếng nói, văn bản thành tiếng nói,… đặc biệt là loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu,

- Xử lí ảnh: dùng để nhận dạng, hoạt hình, mắt ngời máy.

- Thiết bị đo lờng, điểu khiển: dùng để phân tích phổ, điều khiển vị

trí và tốc độ, giảm ồn, nhiễu, nén dữ liệu, đo lờng địa chất

3

- Sinh học và điện tử y tế: dùng để quét ảnh, hình ảnh não đồ, chụp

tia X, điện tim… đặc biệt là loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu,

- Quân sự: dùng để truyền thông bảo mật, xử lí tín hiệu ra da, dẫn

đ-ờng tên lửa… đặc biệt là loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu,

- Viễn thông: dùng để khử xuyên kênh, hội nghị video, truyền dữ

liệu,… đặc biệt là loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu,

Chính vì vậy mà em đã chọn đề tài: “Xây dựng ứng dụng xử lý tín hiệu âm thanh số” làm đồ án tốt nghiệp cho mình.

Nhiệm vụ và mục tiêu của đồ án là:

- Tìm hiểu và nghiên cứu về xử lý tín hiệu số

- Hiểu đợc phép biến đổi Fourier và các thuật toán biến đổi Fouriernhanh

- Hiểu đợc cấu trúc của file*.wave

- Phân tích và hiển thị phổ của các tín hiệu nh: file*.wave, Sin, Cos,Square, Impulse thông qua các loại cửa sổ: Cửa sổ Hamming, cửa sổHanning

- Xây dựng đợc chơng trình mô phỏng việc hiển thị phổ của các tínhiệu trên thông qua các cửa sổ

Cấu trúc của chơng trình nghiên cứu gồm 4 chơng

Chơng I: Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc theo thời gian Chơng II: Phân tích tín hiệu và hệ thống trong miền tần số.

Chơng III: Biến đổi Fourier rời rạc và các thuật toán biến đổi nhanh Fourier.

Chơng IV: Bài toán phân tích và xây dựng ứng dụng hiển thị phổ của tín hiệu.

Qua thời gian nghiên cứu, tìm hiểu và xây dựng ứng dụng em đãnhận đợc rất nhiều sự giúp đỡ và chỉ bảo, đặc biệt là đợc sự giúp đỡ tận tình

của Thầy giáo Tiến sỹ, em đã hoàn thành đồ án tốt nghiệp Tuy vậy, đồ án

này còn có những thiếu sót vì đây là một vấn đề khó Em rất mong nhận

đ-ợc sự đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn Cảm ơn bạn bè đã tạo mọi

điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đồ án tốt nghiệp đúng thời gian quy

định

Chơng I

Tín hiệu và hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc theo

thời gian 1.1 Tín hiệu

1.1.1 Khái niệm

Tín hiệu là một thực thể vật lý phụ thuộc vào thời gian, khoảng cáchhoặc một số biến độc lập khác Về mặt toán học, tín hiệu đợc mô tả nh mộthàm của một hoặc nhiều biến độc lập

Các phơng pháp đợc sử dụng trong việc xử lý tín hiệu hoặc phân tích

đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu phụ thuộc rất nhiều vào các thuộc tính

đặc trng của từng loại tín hiệu

Có nhiều cách phân loại tín hiệu:

- Phân loại theo tính chất của biến độc lập thời gian (liên tục và rờirạc)

+ Tín hiệu liên tục theo thời gian là tín hiệu có biến độc lập(thời gian) liên tục

+ Tín hiệu rời rạc: là tín hiệu có biến độc lập rời rạc, nghĩa làtín hiệu có thể biểu diễn bằng một dãy số hàm tín hiệu chỉ có giá trị xác

định ở những thời điểm nhất định Có thể thu nhận tín hiệu rời rạc bằng

cách lấy mẫu tín hiệu liên tục, vì vậy tín hiệu rời rạc còn đợc gọi là tín hiệu

đợc lấy mẫu

- Phân loại theo biên độ tín hiệu (liên tục hay rời rạc)

+ Tín hiệu tơng tự: là tín hiệu liên tục cả về biên độ lẫn thời

ngày 6 tiếng một lần nhân viên khí tợng đo nhiệt độ tại một địa điểm nào

đó, đó chính là quá trình lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu 6h

1.2 Hệ thống xử lý tín hiệu

Hệ thống có thể đợc định nghĩa nh một thiết bị vật lý dùng để thực

hiện các thao tác đối với tín hiệu Chẳng hạn bộ lọc dùng để giảm tiếng ồn

và tránh sự giao thoa của tín hiệu là một ví dụ về hệ thống Hệ thốngkhuếch đại âm thanh là một thiết bị dùng để tăng âm lợng của tín hiệu Khi

đợc truyền qua hệ thống, rõ ràng tín hiệu đã đợc xử lý và công việc củatừng hệ thống là hoàn toàn khác nhau và phụ thuộc vào các loại thao tác cần

xử lý đối với tín hiệu Nh vậy có thể nói, mỗi hệ thống sẽ đợc đặc trng bởithao tác mà nó sẽ thực hiện trên tín hiệu Nếu các thao tác này là tuyến tínhthì hệ thống đợc gọi là hệ thống tuyến tính và nếu các thao tác là phi tuyếnthì hệ thống đợc gọi là hệ thống phi tuyến Các thao tác này thông thờng đ-

ợc gọi là xử lý tín hiệu.

1.2.1 Các phần tử cơ bản của hệ thống xử lý tín hiệu số

Hầu hết các tín hiệu đợc sử dụng trong việc nghiên cứu và mang ứngdụng kỹ thuật đều là tín hiệu tơng tự theo nguồn gốc phát sinh của chúng.Các tín hiệu này đợc mô tả thông qua các hàm của các biến liên tục nh thờigian và khoảng cách và có thể nhận các giá trị trong một khoảng liên tụcnào đó Các tín hiệu này đợc xử lý trực tiếp thông qua các hệ thống tơng tựthích hợp nhằm thay đổi các đặc tính của tín hiệu (lọc tần số, nhân tần số )hoặc nhận các thông tin cần thiết từ tín hiệu Trong các trờng hợp nh thế, tínhiệu sẽ đợc xử lý trực tiếp từ dạng tơng tự của nó Cả hai tín hiệu đa ra vàvào trong trờng hợp này đều là tín hiệu tơng tự Quá trình này đợc mô tả nhsau:

Xử lý tín hiệu số cũng là một phơng pháp đợc lựa chọn để xử lý cáctín hiệu tơng tự Quá trình này đợc mô tả trên hình 1.4 Để thực hiện quátrình xử lý số thì đòi hỏi phải có các thiết bị giao diện giữa tín hiệu tơng tự

và bộ xử lý số Giao diện này đợc gọi là bộ chuyển đổi tín hiệu tơng tự – biến đổi Fourier rời rạc

số (A/D Converter) Sau khi tín hiệu tơng tự đợc đa đến đầu vào của ADC, ở

đầu ra của ADC sẽ nhận đợc tín hiệu số và đến lợt mình, tín hiệu này đợc sửdụng nh đầu vào của bộ xử lý số

Bộ xử lý có thể là máy tính số lớn với khả năng lập trình hoặc một hệ

vi xử lý lập trình đợc có khả năng thực hiện các thao tác cần thiết trên tínhiệu đầu vào Việc kết hợp phần cứng và phần mềm vào một hệ thống xử lý

số là một giải pháp mang tính kỹ thuật và kinh tế cao Trong khi phần cứngcủa bộ xử lý số có nhiệm vụ thực hiện một số công việc cụ thể đối với tínhiệu đầu vào thì khả năng lập trình của bộ xử lý số (phần mềm) sẽ cho phép

bổ sung và dễ dàng thay đổi các thao tác xử lý tín hiệu thông qua các thay

đổi đợc thực hiện trong chơng trình phần mềm ngay cả đối với các thao tác

mà phần cứng đã đợc thiết kế cha đáp ứng đợc Chính vì lý do này mà bộ xử

lý tín hiệu lập trình thờng đợc sử dụng rất rộng rãi Mặt khác, nếu các thaotác cần xử lý trên tín hiệu đã đợc xác định trớc thì phần cứng của bộ xử lý

số lập trình đợc này lại có thể đợc tối u hoá Điều này cho phép giảm giáthành của các hệ thống xử lý tín hiệu trong khi tốc độ xử lý của nó lại cóthể đợc cải thiện rất đáng kể so với các hệ thống tơng ứng cha đợc tối u.Trong các ứng dụng mà tín hiệu đầu ra của bộ xử lý số lại cần đợc sử dụng

ở dạng tơng tự (ví dụ nh truyền tiếng nói hoặc âm thanh ) thì sau bộ xử lýtín hiệu số cần phải có một bộ chuyển đổi số – biến đổi Fourier rời rạc tơng tự (DA Convert) Điềunày đợc mô tả trên hình 1.4 Tín hiệu nhận đợc sau bộ chuyển đổi này sẽ lại

có dạng tơng tự Tuy vậy, trên thực tế cũng có các ứng dụng mà thông tinnhận đợc ở dạng số có thể đợc sử dụng trực tiếp (chẳng hạn trong việc xử lý

số của tín hiệu rada, thông tin trích ra từ tín hiệu rada nh vị trí và tốc độ củamục tiêu có thể đợc in ngay ra giấy để sử dụng) vì vậy thiết bị chuyển đổiD/A là không cần thiết

7

Chuyển đổi A/D

Bộ xử lý tín hiệu số

Chuyển đổi D/A

Tín hiệu

vào t ơng tự

Tín hiệu vào dạng số

Tín hiệu

ra dạng số

Hình 1.4 Sơ đồ của hệ thống xử lý tín hiệu số

1.2.2 Ưu điểm của xử lý tín hiệu số.

Mặc dù bản chất tự nhiên của hầu hết các tín hiệu trên thực tế đều códạng tơng tự nhng xử lý tín hiệu số lại là một phơng pháp hay đợc sử dụngtrong việc xử lý tín hiệu Điều này phát sinh do nhiều nguyên nhân

1 Các hệ thống số lập trình đợc tỏ ra rất mềm dẻo khi cần thực hiệnmột số thay đổi trong việc xử lý tín hiệu thông qua việc sửa đổi chơng trình

đang đợc áp dụng Đối với các hệ thống xử lý tín hiệu tơng tự thì điều này

sẽ dẫn đến việc thay đổi cấu hình của thiết bị và do vậy hệ thống cần đợcthiết kế và thử nghiệm lại để có thể đáp ứng đợc yêu cầu mới

2 Khi xử lý tín hiệu thì độ chính xác cũng đóng một vai trò rất quantrọng trong việc xác định cấu hình của bộ xử lý tín hiệu Đối với các mạchtơng tự thì sự dao động giá trị của các phần tử do các điều kiện khách quan

là một trở ngại rất lớn đối với việc kiểm soát độ chính xác của các hệ thống

xử lý tín hiệu ở dạng này Tuy vậy độ chính xác này lại có thể đợc kiểmsoát với sai số tơng đối nhỏ ở các hệ thống xử lý tín hiệu số Đối với các hệthống này thì độ chính xác phần lớn chỉ phụ thuộc vào độ chính xác của bộchuyển đổi A/D và của bộ xử lý tín hiệu số

3 Việc sử dụng hệ thống xử lý tín hiệu số đó là do các tín hiệu ởdạng này có thể dễ dàng đợc lu trữ trên các phơng tiện nh băng, đĩa từ màkhông dẫn đến sự mất mát hoặc sai lệch về thông tin (ngoài các sai lệch đợcsinh ra bởi độ chính xác của bộ chuyển đổi A/D và của bộ xử lý số) Điềunày cho phép các tín hiệu số có thể dễ dàng đợc mang đi nhiều nơi khácnhau và do vậy có thể đợc xử lý thông qua phơng pháp mô phỏng trong cácphòng thí nghiệm trớc khi chế tạo các hệ thống này Thêm vào đó, việc xử

lý tín hiệu số ở dạng phức tạp vẫn có thể đợc thực hiện thông qua các thuậttoán thích hợp

4 Do có thể thay đổi một cách mềm dẻo đối với các thao tác xử lýkhác nhau do vậy so với hệ thống tơng tự thì hệ thống xử lý tín hiệu có giáthành rẻ hơn

1.3 Khái niệm về tần số trong tín hiệu rời rạc về biên độ và liên tục theo thời gian.

Tần số là một khái niệm rất quen thuộc trong các môn học về vật lý.

Đây là một khái niệm đợc sử dụng thờng xuyên khi thiết kế các thiết bị vôtuyến, các hệ thống có độ chính xác cao hoặc bộ lọc phổ đối với ảnhmàu Từ vật lý ta thấy tần số luôn gắn liền với các chuyển động tuần hoàn

đợc gọi là dao động điều hoà với hàm biểu diễn hình sin Khái niệm về tần

số cũng luôn gắn liền với khái niệm về thời gian và có đơn vị đo là nghịch

đảo của thời gian

1.3.1 Tín hiệu hình sin liên tục theo thời gian

Tín hiệu hình sin liên tục theo thời gian là dao động điều hoàn đơn giản

biểu diễn qua công thức toán học :

x a (t) Acos(  t  ) với - < t < 

Chỉ số a đợc sử dụng cùng x(t) dùng để chỉ tín hiệu tơng tự Tín hiệu này

đợc đặc trng bởi ba tham số:

A: Biên độ của tín hiệu hình sin

: Tần số góc (đơn vị rad/s – biến đổi Fourier rời rạc radian trên giây)

 : Độ lệch pha (radian)

Thông thờng trên thực tế thay cho tần số góc ngời ta thờng sử dụngtần số F Đây chính là số chu kỳ trong một giây và đo đợc bằng đơn vịHerzt (Hz) với:

= 2 F

Khi đó

x a (t) Acos( = 2  Ft  ) với - < t < 

Tín hiệu hình sin đợc đặc trng bởi các thuộc tính sau:

- Đối với giá trị của tần số F, x a (t) là tín hiệu tuần hoàn Điều này dễdàng nhận thấy nếu ta sử dụng công thức lợng giác cơ bản Nh vậy tacó:

x a(t T P) = x a (t)

trong đó T P= 1/F là chu kỳ của tín hiệu

9

- Các tín hiệu hình sin với các tần số khác nhau là các tín hiệu khácnhau.

- Kết quả của sự tăng tần số sẽ là sự tăng tốc độ của dao động Điều đó

có nghĩa là sẽ có càng nhiều chu kỳ trong một khoảng thời gian chotrớc

1.3.2 Tín hiệu hình sin rời rạc theo thời gian

Tín hiệu hình sin rời rạc theo thời gian có thể đợc biểu diễn dới dạng:

-n : Số mẫu và là biến số nguyên

- Tín hiệu là tuần hoàn chỉ khi tần số của nó là một số hữu tỷ

Theo định nghĩa, tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N (N>0) khi và chỉ khi:

x(n+N)=x(n) với mọi n (1.3.4)

Giá trị nhỏ nhất của N để (1.3.4) là đúng đợc gọi là chu kỳ cơ bản.

- Các tín hiệu rời rạc theo thời gian hình sin với tần số góc cách nhau

bởi một bội số nguyên của 2 sẽ là các tín hiệu giống nhau.

- Tốc độ cao nhất của dao động thuộc các tín hiệu rời rạc theo thời

gian hình sin đạt đợc khi  =  (hoặc  = -  ) hay khi f = 1/2 ( hoặc f

=-1/2).

Nh ta đã biết, tốc độ dao động của các tín hiệu tơng tự đợc phản ánhthông qua số chu kỳ trong một thời gian nhất định Số chu kỳ này càng lớn(thời gian của một chu kỳ càng nhỏ) thì tốc độ dao động cũng càng tăng

Đối với tín hiệu rời rạc, tốc độ dao động của tín hiệu sẽ đợc phản ánh thông

qua số chu kỳ trong một số lần lấy mẫu nhất định (hay nói cách khác thì sốlần lấy mẫu trong một chu kỳ càng nhỏ thì tốc độ dao động càng lớn)

1.4 Chuyển đổi từ tín hiệu tơng tự sang tín hiệu số và ngợc lại

Hầu hết các tín hiệu quan trọng trên thực tế nh tín hiệu tiếng nói, tínhiệu sinh học, tín hiệu rađa, tín hiệu truyền thông (audio, video)… đặc biệt là loại bỏ giao thoa tín hiệu, loại bỏ nhiễu, đều làcác tín hiệu tơng tự Để có thể xử lý các tín hiệu này bằng số thì việc cầnthiết đầu tiên là phải chuyển đổi chúng thành dãy các số với độ chính xác

hữu hạn Quá trình này đợc gọi là chuyển đổi tơng tự – biến đổi Fourier rời rạc số (Analog to

Digital – biến đổi Fourier rời rạc A/D) và thiết bị tơng ứng thực hiện công việc này đợc gọi là bộchuyển đổi A/D (ADC)

Về mặt khái niệm có thể chia quá trình chuyển đổi A/D thành ba giai

đoạn Các giai đoạn này đợc mô tả nh sau:

1 Quá trình lấy mẫu: Đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu liên tục

theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian Điều này đợc thực hiệnbằng cách “lấy mẫu” tín hiệu liên tục ở những thời điểm khác nhau của thờigian Nh vậy nếu x a (t) là tín hiệu cần lấy mẫu (đầu vào) thì tín hiệu sau khilấy mẫu (đầu ra) là x a (nT) x(n) ở đây T đợc gọi là khoảng cách lấy mẫu.

11

Bộ lấy mẫu Thiết bị l ợng tử hóa Bộ mã hóa

Tín hiệu đã l ợng tử hoá

xq(t)

01011Tín hiệu số

Các thành phần cơ bản của bộ chuyển đổi t ơng tự số

Chuyển đổi A/D

2 Quá trình lợng tử hoá: Đây là quá trình chuyển đổi tín hiệu đã

đ-ợc rời rạc hoá theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian và biên độ.Thực chất đây là quá trình làm tròn giá trị các biên độ ở các thời điểm lấymẫu bằng các giá trị đã đợc chọn trong tập hợp hữu hạn các giá trị cho

phép Giá trị sai lệch giữa mẫu cha đợc lợng tử hoá x(n) và đầu ra đã đợc ợng tử hoá x q (n) đợc gọi là sai số lợng tử hoá.

l-3 Mã hoá: Trong quá trình mã hoá, mỗi giá trị rời rạc x q (n) đợc biểu

diễn bằng một dãy nhị phân gồm n bit.

Theo hình trên thì quá trình chuyển đổi A/D là ba quá trình liên tiếpnhau: lấy mẫu, lợng tử hoá và mã hoá nhng trên thực tế cả ba quá trình này

đều đợc thực hiện bởi một thiết bị duy nhất với đầu vào là x a (t) và đầu ra là

số nhị phân đã đợc mã hoá Quá trình lẫy mẫu và lợng tử hoá có thể đợcthực hiện theo một thứ tự bất kỳ nhng trên thực tế quá trình lấy mẫu thờng

đợc tiến hành trớc quá trình lợng tử hoá

Tín hiệu đã đợc số hoá trong rất nhiều trờng hợp lại cần đợc chuyển

đổi thành tín hiệu tơng tự Quá trình chuyển đổi tín hiệu dạng số sang dạngtơng tự đợc gọi là chuyển đổi D/A (Digital to Analog) Tất cả các bộchuyển đổi D/A đều sử dụng các phơng pháp nội suy để “chắp nối” các

điểm trong tín hiệu số thành tín hiệu tơng tự

Nếu dải tần số là hữu hạn thì quá trình lấy mẫu không làm mất cũng

nh không làm lệch lạc thông tin Về nguyên tắc, tín hiệu tơng tự có thể

đợc khôi phục lại từ các mẫu nếu tốc độ lẫy mẫu là đủ lớn Nếu tốc độnày không đủ cao thì có thể nhận đợc tín hiệu khác – biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu nhầm lẫn.

1.4.1 Lấy mẫu tín hiệu tơng tự

Lấy mẫu tuần hoàn :

x(n) =x a (nT), -  < n <  (1.4.1) trong đó x(n) là tín hiệu rời rạc theo thời gian nhận đợc bằng cách lấy mẫu tín hiệu tơng tự x a (t) sau khoảng thời gian T giây Khoảng thời gian T

giữa hai lần lấy mẫu liên tiếp đợc gọi là chu kỳ lấy mẫu hoặc bớc lấy mẫu

và đại lợng nghịch đảo của nó đợc gọi là tốc độ lấy mẫu (số mẫu trên giây)

hay là tần số lấy mẫu (Hz)

Quá trình lấy mẫu tuần hoàn sẽ cho phép thiết lập quan hệ giữa biến

thời gian t của tín hiệu liên tục theo thời gian và biến n của tín hiệu rời rạc

tơng ứng Có thể thấy rằng quan hệ giữa các biến này là quan hệ tuyến tính

qua chu kỳ lấy mẫu T hoặc cũng vậy qua tần số lấy mẫu F s =1/T:

T nT

x

1

) 2

cos(

)

trong đó N là số các thành phần của phổ tín hiệu

Mặc dù các thành phần của phổ tín hiệu đều có biên độ, tần số và phakhác nhau nhng có thể giả sử rằng tần số của chúng không thể vợt quá một

giới hạn F max nào đó Chẳng hạn đối với tín hiệu tiếng nói F max = 3000Hz,

đối với tín hiệu truyền hình giá trị của F max là 5MHz Với từng tín hiệu khácnhau thì giá trị tần số cao nhất của chúng có thể khác nhau nhng đối với

cùng một loại tín hiệu thì các giá trị này không thể vợt quá F max (ví dụ phổcủa tín hiệu tiếng nói của từng ngời sẽ có các tần số khác nhau nhng tần số

cao nhất trong giọng nói thờng không vợt quá F max = 3000Hz) Khi phổ tín

hiệu có các thành phần với tần số vợt qua F max thì các thành phần này cũng

có thể bị loại bỏ bằng cách cho tín hiệu tơng tự đi qua một bộ lọc để làm

suy giảm một cách triệt để các thành phần có tần số vợt quá F max Nh vậy ta

có thể chắc chắn rằng không có một tín hiệu nào của một lớp nào đó có

chứa các thành phần của phổ có tần số vợt quá giá trị đã đợc xác định F max.Trên thực tế những bộ lọc suy giảm nh vậy thờng đợc sử dụng trớc khi lấymẫu tín hiệu Nh ta đã biết để một tín hiệu tơng tự có thể đợc khôi phục một

cách duy nhất khi đợc lấy mẫu với tần số F s thì tần số của tín hiệu này

không đợc vợt quá F s /2 hoặc nhỏ hơn - F s /2, tần số của giá trị lấy mẫu tơng

ứng sẽ thuộc khoảng

2 2

F s > 2F max

13

Trong đó F max là tần số cao nhất trong các thành phần của tín hiệu Với giá

trị đã đợc chọn của F s thì các thành phần của phổ với tần số F i Fmax, và

fi thuộc khoảng

2

1 2

F

F

f hoặc tơng đơng    i  2 f i   Vì vậy có thể thấy rằng f  1 / 2 hoặc  =  là tần số cao nhất trong

tín hiệu rời rạc theo thời gian nhận đợc nếu việc lấy mẫu đợc thực hiện vớitần số thoả mãn để tránh việc nhầm lẫn tín hiệu Nói cách khác, điều kiện

F s > 2F max đảm bảo rằng tất cả các thành phần hình sin trong tín hiệu tơng

tự sẽ có sự tơng quan tơng ứng với các thành phần rời rạc theo thời gian vớitần số thuộc khoảng tần số cơ sở

Định lý lấy mẫu : Nếu tần số cao nhất của các thành phần chứa trong

phổ của tín hiệu tơng tự xa(t) là F max = B và tín hiệu đợc lấy mẫu với tần số

F s >2F max = 2B thì tín hiệu xa(t) có thể đợc khôi phục một cách chính xác

với các giá trị mẫu bằng cách sử dụng hàm nội suy:

Bt

Bt t

) (

) ( )

(

a a

F

n t g F

n x t

x

trong đó: xa(n/Fs) = xa(nT) = x(n) là các giá trị mẫu của xa(t)

Khi quá trình lấy mẫu của xa(t) đợc thực hiện với giá trị nhỏ nhất củatần số lấy mẫu Fs = 2B, công thức xa(t) trên sẽ trở thành:



) 2 / ( 2

) 2 / ( 2 sin ) 2 ( )

(

B n t B

B n t B B

n x t

1.5 Các tín hiệu rời rạc theo thời gian

1.5.1 Các phơng pháp biểu diễn tín hiệu rời rạc.

- Biểu diễn qua dãy số:

1.5.2 Một vài tín hiệu rời rạc cơ bản

1 Dãy mẫu đơn vị (Unit sample sequence)

Tín hiệu này còn đợc gọi là dãy xung đơn vị đợc định nghĩa nh sau:

0

0 ,

1 ) (

n n n



2 Dãy nhảy bậc đơn vị (Unit step signal)

Dãy này còn đợc gọi là tín hiệu nhảy bậc đơn vị:

0

0 ,

1 ) (

n n n

0

0 ,

1

n n

u r

1.5.3 Phân loại tín hiệu

1.5.3.1 Tín hiệu năng lợng và tín hiệu công suất

Năng lợng E của tín hiệu x(n) đợc định nghĩa:

2 ,

4

3 , 1 ,

1 )

n n

Tín hiệu x(n) đợc gọi là tuần hoàn với chu kỳ N khi:

x(n+N) = x(n) với mọi n

Nếu không có bất kỳ giá trị nào của N để công thức trên là đúng thìtín hiệu đợc gọi là không tuần hoàn

1.6 Các hệ thống tín hiệu rời rạc

Các hệ thống rời rạc theo thời gian bao gồm các thiết bị hoặc thuật

toán mà qua đó một tín hiệu rời rạc x(n) đợc gọi là tín hiệu đầu vào đợc chuyển đổi thành một tín hiệu rời rạc khác y(n) đợc gọi là tín hiệu đầu ra

hoặc đáp ứng của hệ Quan hệ vào ra có thể đợc biểu diễn bằng biểu thứctoán học:

y(n)  T{x(n)]

Trong đó T là ký hiệu của phép biến đổi hoặc toán tử

1.6.1 Phân loại các hệ thống rời rạc theo thời gian

1.6.1.1 Hệ nhớ và không nhớ (System with and without memory)

Hệ thống rời rạc theo thời gian đợc gọi là không nhớ (memoryless)hoặc tĩnh (static) nếu tín hiệu ra của nó ở mọi thời điểm chỉ phụ thuộc vàotín hiệu đầu vào ở cùng một thời điểm mà không phụ thuộc vào các giá trịmẫu của tín hiệu đầu vào trong quá khứ hoặc tơng lai Trong trờng hợp ng-

ợc lại hệ thống đợc gọi là có nhớ (dynamic)

1.6.1.2 Hệ thống bất biến và không bất biến theo thời gian ( Time – biến đổi Fourier rời rạc

Invariant and Time – biến đổi Fourier rời rạc Rariant Systems)

Một hệ đợc gọi là bất biến theo thời gian nếu nh đặc trng vào ra của

nó không thay đổi theo thời gian Đối với các hệ này, nếu nh đáp ứng của

hệ đối với tác động x(n) là y(n) thì khi tín hiệu đầu vào bị dịch trễ k đơn vị thời gian x(n-k) thì tín hiệu đầu ra cũng bị trễ k đơn vị y(n – biến đổi Fourier rời rạc k) Nh vậy,

đáp ứng đầu ra trong trờng hợp này cũng nh đáp ứng đầu ra khi hệ thống

đ-ợc tác động bởi x(n) với một sự khác biệt duy nhất là đáp ứng bị trễ k đơn vị

bằng thời gian trễ của tín hiệu vào

Định lý : Một hệ thống relaxed đợc gọi là bất biến theo thời gian khi

1.6.1.3 Hệ thống tuyến tính và không tuyến tính (Linear an nonlinear systems)

Các hệ thống có thể đợc chia làm hai loại: tuyến tính và không tuyếntính Hệ thống đợc gọi là tuyến tính nếu nó thoả mãn nguyên lý xếp chồng.Nguyên lý này đòi hỏi đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của cáctín hiệu sẽ bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là từngtín hiệu riêng lẻ

Định lý : Hệ thống đợc xem là tuyến tính khi và chỉ khi:

T[a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n)] = a 1 T[x 1 (n)] + a 2 T[x 2 (n)]

đối với mọi dãy tín hiệu đầu vào x 1 (n), x 2 (n) và các hằng số a1 và a2

1.6.1.4 Hệ nhân quả và không nhân quả (Causal and noncausal system)

Định lý: Một hệ thống đợc gọi là nhân quả nếu tín hiệu đầu ra của nó

tại một thời điểm bất kỳ n [nghĩa là y(n)] chỉ phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong quá khứ và tại thời điểm đang xét [nghĩa là chỉ phụ thuộc vào x(n),

x(n-1), x( n-2), ] và không phụ thuộc vào các tín hiệu đầu vào trong tơng

lai [ x(n +1), x(n+2), ] Nếu gọi y(n) là tín hiệu đầu ra thì y(n) có thể đợc

biểu diễn qua công thức sau:

y(n) = F[x(n), x(n-1), x(n-2), ]

trong đó F[] biểu diễn một hàm số bất kỳ.

Trong trờng hợp ngợc lại nếu hệ thống không thoả mãn định nghĩa

đ-ợc nêu ở trên thì hệ thống đđ-ợc gọi là không nhân quả

1.6.1.5 Hệ thống ổn định và không ổn định (Stable and unstable)

Định lý: Một hệ thống đợc gọi là ổn định hay hệ BIBO nếu và chỉ

nếu với dãy đầu vào bị chặn ta có dãy đầu ra bị chặn

Nếu dãy đầu vào x(n) là hữu hạn và dãy đầu ra là vô hạn thì hệ thống

đợc gọi là không ổn định

1.6.2 Quan hệ liên kết của các hệ thống rời rạc theo thời gian.

Các hệ thống rời rạc theo thời gian có thể đợc liên kết với nhau để tạo

y

2(n)

Hình biểu diễn tầng liên kết (a), và biểu diễn song song (b)

1.7 Phân tích hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian

1.7.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

Định lý: Một hệ thống đợc gọi là tuyến tính bất biến và nhân quả khi

và chỉ khi đáp ứng xung của nó có giá trị bằng không với mọi n < 0

Tính nhân quả của hệ thống có thể đợc mở rộng cho tín hiệu Nh vậy mộtdãy (tín hiệu) đợc gọi là nhân qủa nếu dãy có giá trị bằng không đối với

mọi n < 0 Trờng hợp ngợc lại gọi là phản nhân quả.

1.7.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định

Một hệ thống bất kỳ đợc gọi là ổn định khi và chỉ khi với dãy đầu

vào bị chặn, ta có dãy đầu ra cũng bị chặn Nếu dãy đầu vào x(n) bị chặn thì luôn tồn tại một hằng số M x sao cho: x(n) M x   Cũng nh vậy đầu ra

Lấy trị tuyệt đối cả hai vế, và mặt khác trị tuyệt đối cuả tổng luôn béhơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối của các số hạng do đó ta có:

) ( ) ( )

1.7.5 Hệ thống với đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn và vô hạn

Tuỳ theo vào tính chất của đáp ứng xung mà các hệ thống tuyến tính

có thể chia ra làm 2 loại: Hệ thống với đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn(FIR) và hệ thống với đáp ứng xung có chiều dài vô hạn (IIR)

Hệ thống FIR là hệ thống tuyến tính với đáp ứng xung hữu hạn gồm

0

) ( ) ( )

k

k n x k h n

) ( ) ( )

(

k

k n x k h n

y

19

Chơng II Phân tích tín hiệu và hệ thống trong miền tần số

2.1 Phân tích tín hiệu rời rạc trong miền tần số

2.1.1 Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn rời rạc

Nếu x (n) là dãy tuần hoàn với chu kỳ N, nghĩa là x(n) x(nN) với

mọi N Biểu diễn của x (n)qua chuỗi Fourier có dạng:

k

N kn j

k e c n

x  (2.1.1)

Trong đó {c k } là các hệ số của chuỗi và e j2 kn/N với k=0, 1, , N-1 là

N hàm mũ phức có quan hệ điều hoà với nhau và có tần số tơng ứng là k/N.

Để có thể đa ra biểu thức cho các hệ số của dãy Fourier, ta sẽ sửdụng công thức sau:

Biểu thức của hệ số c k có thể nhận đợc bằng cách nhân cả hai vế của(2.1.1) với e j2  ln/N (l là số nguyên trong khoảng từ 0 đến N-1) và tính tổng của tích từ 0 đến n= N-1 Nh vậy ta có:

n

N

e n

0

1

0

/ ) ( 2

0

1 ln/

2 ) (

Từ đây suy ra:

) 5 1 2 ( )

e n x N

0

/ 2 )

k

N kn j

k e c n

1 N n

N kn j

N

(2.1.7)Biểu thức (2.1.6) thờng đợc gọi là chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian

(DTFS) Các hệ số {c k } của chuỗi sẽ cho phép mô tả tín hiệu x(n) trong

miền tần số Các hệ số này biểu diễn biên độ và pha của thành phần tần sốtơng ứng với dạng:

kn j N kn j n

Dễ dàng nhận thấy s k (n) là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ N [ nghĩa là

sk (n)=s k (N+n)] Từ tính chất tuần hoàn này suy ra:

) (

) (

1 N n

N

n

k N kn j N

n N k j N

N e

n x N

Điều này chứng tỏ rằng các hệ số {c k } của chuỗi cũng tuần hoàn với

chu kỳ N Nh vậy khi k chạy trong khoảng 0, 1, , N-1 thì ta luôn có:

c k = c k+N (2.1.8)

Các kết luận trên chứng tỏ phổ của tín hiệu tuần hoàn x(n) với chu kỳ

N cũng là dãy tuần hoàn với cùng chu kỳ N và do vậy bất kỳ N mẫu liên

tục của tín hiệu hoặc phổ của nó sẽ cung cấp một cách trọn vẹn về cách môtả của tín hiệu trong miền thời gian hoặc tần số

21

Vì các hệ số Fourier là dãy tuần hoàn nên ta chỉ cần xác định các giá

trị này trong một chu kỳ, tức là ứng với các giá trị của k trong khoảng 0,

1, ., N -1 Điều này có một sự thuận tiện vì trong miền tần số khi

1

0 k N thì ta sẽ có 0  k  2 k/N  2  Ngợc lại nếu ta lấy k trong

khoẳng

2 2

N k

N







thì ta sẽ có    k  2 k/N   Tuy vậy có thể thấy

rằng việc xác định khoảng giới hạn này của k sẽ có điều bất tiện khi N là số

lẻ Rõ ràng rằng nếu ta sử dụng tần số lấy mẫu F s(số mẫu trong một chu kỳ)

và các giá trị của k trong khoảng 0 k N 1 thì từ miền giá trị này của k ta

suy ra:

1 0

1 0

1 0

s F

F f

N

k N

k

Hay: 0 F  F s

2.1.2 Phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn

Công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn rời rạc theo thời gian vớichu kỳ N đợc xác định bởi công thức:

1 N n

N P

Công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn đợc biểu diễn thông quacác hệ số của dãy Fourier có dạng:

k

N

n k

N c

e n x N c

2.1.3 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc x(n) với năng lợng hữu hạn đợc

e n x

 ) ( ) (

Nh vậy biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x(n) trong miền biến số độc lập n thành việc biểu diễn tín hiệu X() trong miền tần số

 Về mặt vật lý, X() biểu diễn nội dung của tín hiệu x(n) Nói một cách khác, X() là phân tích của x(n) thành các thành phần tần số của nó.

2.1.4 Sự hội tụ của biến đổi Fourier

Điều kiện để tồn tại biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian là:

n x e

n x

2.1.5 Phổ mật độ năng lợng của tín hiệu không hoàn toàn

Với tín hiệu rời rạc theo thời gian x(n) thì năng lợng của nó đợc xác

x n x

n n

2

1 )[

( )

( )

) ( )[

( 2

n x

2 2

) ( 2

1 )

(

Đây chính là quan hệ Parseval đối với tín hiệu rời rạc không tuầnhoàn với năng lợng hữu hạn

Trong trờng hợp tổng quát, phổ X() là hàm của tần số có giá trị

phức do vậy X() có thể đợc biểu diễn dới dạng:

) (

) ( )



X e j X

Trong đó:

) ( )

S xx 

23

biểu diễn sự phân bố năng lợng và là hàm của tần số Đại lợng này đợc gọi

là phổ mật độ năng lợng của x(n) Rõ ràng Sxx( ) không chứa bất kỳ mộtthông tin nào về pha

2.1.6 Phân loại tín hiệu theo tần số: khái niệm về bề rộng phổ

2.1.6.1 Tín hiệu tần số thấp - âm tần (low – biến đổi Fourier rời rạc frequency signal)

Các tín hiệu này có phổ mật độ công suất hoặc phổ mật độ năng lợng

đợc tập trung xung quanh tần số không

2.1.6.2 Tín hiệu tần số cao (high – biến đổi Fourier rời rạc frequency signal)

Là tín hiệu mà phổ mật độ năng lợng hoặc công suất ở các tần sốcao

2.1.6.3 Tín hiệu trung tần (medium – biến đổi Fourier rời rạc frequency signal)

Tín hiệu này còn đợc gọi là tín hiệu dải thông (bandpass) và có phổmật độ năng lợng hoặc công suất tập trung ở các vị trí ở giữa tần số thấp vàtần số cao trong khoảng giới hạn của dải tần số

Ngoài việc phân loại theo tín hiệu theo các đặc tính trên tín hiệu còn

có thể đợc phân loại một cách định lợng theo miền giới hạn của tần số mà ở

đó phổ mật độ năng lợng hoặc công suất đợc tập trung Đại lợng này đợcgọi là bề rộng phổ (bandwidth) của tín hiệu

2.2 Đặc tính của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian

2.2.1 Đáp ứng đối với tín hiệu mũ phức và tín hiệu hình sin: Hàm đáp ứng tần số

Ta có một hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu vào bất kỳ x(n)

giả sử hệ thống đợc kích thích bởi tín hiệu mũ phức:

x(n) = Ae jn (-  < n < )thay vào công thức tổng chập trên ta có:

n

Ae k h n

e k h

khi đó đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào có dạng mũ phức sẽ

đợc biểu diễn nh sau:

y(n) = AH( ) e jn

Nh vậy đáp ứng của hệ thống cũng có dạng nh tín hiệu vào nhng đợc

nhân thêm với H() và do vậy H() đợc gọi là hàm đáp ứng tần số của hệ

thống

25

Chơng III Biến đổi Fourier rời rạc và các thuật toán biến đổi

Để tránh nhợc điểm nêu trên có thể đa ra một cách biểu diễn khác

của {x(n)} – biến đổi Fourier rời rạc biểu diễn thông qua việc lấy mẫu phổ X( ) của tín hiệu Nhvậy từ biểu diễn của tín hiệu trong miền tần số liên tục ta đã đa đến biến đổiFourier rời rạc (DFT) Biến đổi này là một công cụ rất hiệu quả trong việcphân tích các tín hiệu rời rạc theo thời gian

3.1 Lấy mẫu trong miền tần số – biến đổi Fourier rời rạc biến đổi Fourier rời rạc

Trớc khi nghiên cứu DFT, ta hãy xét việc lấy mẫu của biến đổi Fourier

đối với dãy tín hiệu rời rạc theo thời gian không tuần hoàn và qua đây cóthể thiết lập đợc quan hệ giữa biến đổi Fourier đã đợc lấy mẫu và DFT

3.1.1 Lấy mẫu trong miền tần số và khôi phục lại tín hiệu rời rạc theo thời gian.

Xét một tín hiệu không tuần hoàn rời rạc theo thời gian x(n) với biến

e n

x( )  (3.1.1)

Giả sử tín hiệu X() đợc lấy mẫu tuần hoàn và khoảng cách giữa hailần lấy mẫu liên tiếp là bằng nhau và bằng  radian Bởi vì X() là tuầnhoàn với chu kỳ 2 do vậy ta chỉ cần xét đến các mẫu đợc lấy trong miềntần số cơ bản Nếu chọn khoảng tần số cơ bản là 0    2  và số lợng mẫu

đợc lấy trong khoảng này là N thì khoảng cách giữa các lần lấy mẫu sẽ là:

 = 2 /N - xem hình 3.1

Nếu đánh giá (3.1.1) tại   2 k / N, ta nhận đợc:

e n x k

x p (3.1.3)

là tín hiệu nhận đợc do sự xếp chồng của vô số tín hiệu x(n) đặt lệch nhau

đi một chu kỳ là N.

Rõ ràng rằng x p (n) là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là N và do

vậy nó có thể đợc khai triển qua chuỗi Fourier bằng công thức sau:

0

/

2 0 , 1 , , 1 )

( N

k

N kn j k

n

N kn j p k

Từ đây suy ra:

1 , , 1 , 0 )

2 (

1 )

e k N

X N n

k p





(3.1.6)Công thức (3.1.6) chính là công thức cho phép khôi phục lại tín hiệu

tuần hoàn x p (n) từ các mẫu của phổ X() Quan hệ này, tuy vậy vẫn không

đảm bảo đợc rằng x(n) hoặc X() có thể đợc khôi phục từ các mẫu hay

không Để đảm bảo đợc điều này cần phải xem xét thêm quan hệ giữa x(n)

X



Hình 3.1 Lấy mẫu miền tần số của biến đổi Fourier.

Bởi vì theo công thức (3.1.3) x p (n) là sự mở rộng một cách tuần hoàn

của x(n) do vậy x(n) có thể đợc khôi phục lại từ x p (n) nếu không có sự

“trùm thời gian” giữa các thành phần của x p (n) Điều này đòi hỏi x(n) phải

có độ dài hữu hạn và độ dài L phải nhỏ hơn chu kỳ N của x(n) ở đây

không làm mất tính tổng quát ta có thể xem x(n) là một dãy có độ dài hữu

hạn với các giá trị khác không trong khoảng 0 nL 1 Có thể đa ra nhậnxétkhiN  Lthì: x(n) x p(n) 0 nN 1

Vì vậy x(n) có thể đợc khôi phục từ x p (n) mà không có sự sai lệch Mặt

khác nếu N<L thì sẽ không có khả năng khôi phục x(n) từ x p (n) do có sự

trùm tín hiệu trong miền thời gian

Từ kết quả thu đợc ở trên ta suy ra phổ của tín hiệu rời rạc theo thời

gian không tuần hoàn với độ dài hữu hạn L có thể đợc khôi phục một cách

chính xác thông qua các mẫu của nó tại các tần số   2 k / N nếu N  L.Khi N  L thì x(n) đợc xác định thông qua x p (n):

và do vậy:

0.2 0.4 0.6 0.8



) ( 

X



29

3.1.2 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Công thức của biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là:

Công thức biến đổi ngợc (IDFT) là:

3.1.3 Quan hệ của DFT và các biến đổi khác

3.1.3.1 Quan hệ với các hệ số Fourier của dãy tuần hoàn

Dãy tuần hoàn {x p (n)} với chu kỳ cơ bản N có thể đợc biểu diễn dới

dạng chuỗi Fourier:

Các hệ số Fourier đợc xác định theo công thức:

3.1.3.2 Quan hệ với biến đổi Fourier của dãy không tuần hoàn

Nếu x(n) là dãy không tuần hoàn có năng lợng hữu hạn với biến đổi

Fourier X() đợc lấy mẫu ở N tần số cách đều nhau  k =2 k/N, k=0, 1, 2, ,

Cho x1(n) và x2(n) với DFT tơng ứng là X1(k) và X2(k) Khi đó tínhiệu:

y(n) = a1*x1(n) + a2*x2(n)

sẽ có DFT là

Y(k) = a1*X1(k) + a2*X2(k)Nếu trờng hợp x1(n) và x2(n) có độ dài khác nhau thì ta phải chọn độdài lớn nhất để tính DFT cho cả hai tín hiệu, khi đó tín hiệu có độ dài ngắnhơn sẽ đợc bổ sung thêm các mẫu bằng 0 vào cuối

3.2.2 Tính dịch vòng

Cho tín hiệu x(n) có độ dài hữu hạn 0 N-1 và DFT của nó là X(k).Nếu chỉ với x(n) mà ta thực hiện phép dịch (tuyến tính) đơn thuần và vẫnquan sát tín hiệu trong đoạn 0 N-1 thì không có ý nghĩa gì thêm vì các mẫudịch ra khỏi đoạn 0 N-1 sẽ mất đi

Nh vậy: phép dịch vòng tín hiệu x(n) là phép dịch trong đó các mẫu

ra khỏi đoạn 0 N-1 sẽ quay vòng lại đầu kia Việc dịch vòng có thể tởng ợng nh là tín hiệu x(n) đợc vẽ trên một hình trụ tròn có độ dài chu vi là N

t-Điểm quan sát sẽ cố định trong khi hình trụ đó quay tròn

Mặt khác cách dịch vòng của tín hiệu x(n) hoàn toàn tơng đơng vớiviệc quan sát tín hiệu xp(n) qua một cửa sổ di động tuyến tính, độ rộng cửa

sổ là N mẫu Tín hiệu quan sát đợc kí hiệu là x1(n) Nh vậy x1(n) là tín hiệudịch vòng của x(n) và x1p(n) là một trong số các chu kỳ của x1p(n):

p p

31

Đối với tín hiệu rời rạc biến đổi Fourier rời rạc X(ej) và x(n) không

có tính đối ngẫu nhng DFT có tính đối ngẫu

3.2.5 Các phơng pháp lọc tuyến tính dựa trên DFT

- Sử dụng DFT trong lọc tuyến tính

- Lọc các dãy có độ dài dữ liệu lớn

3.3 Phân tích tín hiệu trong miền tần số bằng DFT

Nếu tín hiệu cần phân tích là tín hiệu tơng tự thì trớc tiên tín hiệu nàycần đợc truyền qua bộ lọc để loại bỏ các nhiễu và sau đó đợc lấy mẫu với

tần số F s  2B, với B là độ rộng của dải thông Nh vậy tần số cao nhất của thành phần có chứa trong tín hiệu sau khi lấy mẫu là F s /2 Để có thể hạn

chế độ dài của tín hiệu đã đợc lấy mẫu, giả sử chỉ xét tín hiệu trong một

khoảng thời gian hữu hạn T 0 = LT, trong đó L là số lợng mẫu và T là

khoảng thời gian giữa hai lần lấy mẫu Khoảng thời gian lấy mẫu này vềnguyên tắc sẽ hạn chế độ phân giải về tần số, nghĩa là nó sẽ hạn chế khảnăng phân biệt đối với các thành phần tần số mà khoảng cách giữa chúngnhỏ hơn 1/T0 = 1/LT trong miền tần số

3.4 Tính toán có hiệu quả của DFT: Các thuật toán FFT

Nh đã biết DFT của dãy x(n) với độ dài hữu hạn N đợc xác định

0

1 0

) ( )

với:

N j



(3.4.2)

Trong trờng hợp tổng quát thì dữ liệu của dãy {x(n)} sẽ có giá trị

phức.Phép biến đổi Fourier rời rạc ngợc (IDFT) của X(k) là:

) (

1 )

Do các biểu thức (3.4.1) và (3.4.3) chỉ khác nhau ở dấu của số mũ W

và ở hệ số tỷ lệ 1/N nên mọi lý luận về cách tính của IDFT đều giống với

cách tính DFT

Có thể thấy trong công thức tính DFT, đối với mỗi giá trị của k thì việc tính trực tiếp X(k) sẽ đòi hỏi N phép nhân số phức (4N phép nhân số thực) và N-1 phép cộng số phức (4N-2 phép cộng số thực) Nh vậy để tính

N giá trị của DFT thì cần phải sử dụng 4N 2 phép nhân thực và N(4N-2)

phép cộng thực hay N 2 phép nhân phức và N 2 -N phép cộng số phức.

Việc tính toán DFT sẽ hiệu quả hơn nếu ta sử dụng một số tính chất

quan trọng của hệ số pha W N Các tính chất này bao gồm:

Tính đối xứng: W N k+N/2 =- WNk (3.4.4)

Tính tuần hoàn: W N k+N = W k

N (3.4.5)Hầu hết các thuật toán tính nhanh Fourier đều khai thác các tính chấtquan trọng của hệ số pha

3.4.1 Phơng pháp tính trực tiếp của DFT

Để có thể so sánh và đánh giá tính hiệu quả của các phơng pháp FFT

tr-ớc tiên ta sẽ xem xét số lợng các phép toán cần đợc thực hiện nếu DFT đợc tính trực tiếp thông qua công thức (3.4.1)

Đối với dãy số phức x(n) với N điểm, công thức của DFT có thể đợc

viết dới dạng:

] 2 sin 2

cos ) ( [ )

N

n k x

N

n k n

x k

X R  R    (3.4.6)

] 2 sin 2

sin ) ( [ )

n k x

N

n k n

x k

X  R    (3.4.7)Việc tính toán trực tiếp của (3.4.6) và (3.4.7) đòi hỏi:

1 2N 2 phép xác định giá trị các hàm lợng giác

2 4N 2phép nhân số thực

3 4N(N-1) phép cộng số thực.

4 Một số phép toán lấy chỉ số và địa chỉ

Đây là các phép toán đặc trng của các thuật toán tính bằng DFT.Trong các phép toán này thì 2, 3 đợc thực hiện để nhân và cộng các số hạng

khi tính x(n) Các phép toán lấy chỉ số và địa chỉ là các phép toán cần thiết

để nhận giá trị của x(n), 0 nN  1 và hệ số pha cũng nh lu trữ kết quảnhận đợc Hầu hết các thuật toán FFT đều tối u hoá các quá trình tính toánnày (đặc biệt là 2 và 3) theo nhiều cách khác nhau

33