Giải phương trình khuếch tán cấp phân số và ứng dụng của nó để xác định chất gây ô nhiễm trong đất

SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất Đơn vị thực hiện: PTN Khoa học Môi Trường Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 07/2016 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất Viện trưởng: Nguyễn Kỳ Phùng Đơn vị thực hiện: PTN Khoa học Môi TRường Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Nguyễn Huy Tuấn TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 07/2016 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất MỤC LỤC MỞ ĐẦU ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Trang KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 CÁC PHỤ LỤC 24 Phụ lục 1: Bài báo ”Regularized solution of an inverse source problem for a time fractional diffusion equation” Phụ lục 2: Bài báo ”Inverse problem for nonlinear backward space-fractional diffusion equation” Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất MỞ ĐẦU Sự ô nhiễm đất (contamination in soils) diện hóa chất xenobiotic thay đổi khác môi trường đất tự nhiên Nguyên nhân gây ô nhiễm đất hoạt động cơng nghiệp, hóa chất nơng nghiệp, xử lý ô nhiễm không cách Những lo ngại sức khỏe ô nhiễm đất gây như, tiếp xúc trực tiếp với đất bị ô nhiễm, từ chất gây ô nhiễm, ô nhiễm nguồn nước bên bên đất Lập đồ trang web đất bị ô nhiễm hủy kết công việc tốn thời gian tốn kém, đòi hỏi số lượng rộng lớn địa chất, thủy văn, kỹ mơ hình máy tính, GIS (hệ thống thông tin địa lý) việc giám sát ô nhiễm Đối với trình vận chuyển chất gây ô nhiễm đất nước ngầm, phương trình khuếch tán(diffusion equations), phương trình bình lưu phân tán (advection-dispersion equations), phương trình phản ứng khuếch tán (advection-reaction-diffusion equations) phương trìnhtruyền thống [1, 2, 3, 4] Tuy nhiên, vài thập kỷ qua, ngày có nhiềuchứng cho thấy số tính quan trọng việc vận chuyển chất gây ô nhiễm thông qua phương tiện truyền thông phức tạp mô tả phương trình khuếch tánthơng thường [5, 7, 8, 9, 12, 13] Các tính bao gồm phát minh quan trọng sớm giảm nặng sau chất gây ô nhiễm hệ số phụ thuộc vào quy mô [6, 10, 11] Những điều dẫn đến gia tăng sử dụng phương trình khuếch tán cấp phân sốđể vận chuyển mẫu chất gây ô nhiễm môi trường rỗng Những phương trình phát sinh tượng chất lỏng nước ngầm thông qua phương tiện truyền thông rỗng có độ thấm tuyến tính mà xuất phát từ đạo hàm cấp phân số.Các đạo hàm cấp phân số sử dụng để mơ hình phổ biến bất thường, chùm hạt lây lan tỷ lệ khơng phù hợp với mơ hình cổ điển, chùm khơng đối xứng Khi đạo hàm cấp phân số thay đạo hàm cấp phương trình khuếch tán, dẫn đến tăng cường khuếch tán (còn gọi siêu khuếch tán) Trong ứng dụng cho dòng chảy truyền tải nước ngầm, thành phần khuếch tán mơ hình phương trình truyền tải khuyếch tán, lây lan chất gây ô nhiễm tốc độ tương phản chất lỏng qua môi trường xốp [14] Hệ thống thâm nhiễm nước ngầm xử lý rò rỉ nước thải gặp phải dịng chảy, mơ tả phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Các mơ hình tốn học phù hợp với giải pháp thủy văn chiều thẳng đứng nạp nước ngầm cách trải Dịng chảy có tầm quan trọng lớn khoa học tài nguyên nước, kỹ thuật khoa học đất nông nghiệp Oldham Spanier [16] xem xét phương trình khuếch tán phân số có chứa đạo hàm cấp theo biến không gian đạo hàm cấp ½ theo biến thời gian Nigmatullin [15] chứng minh nhiều phản ứng điện phản ứng khí mơ hình hóa xác cách sử dụng phương trình khuếch tán cấp phân số Bài tốn ngược nhiễm đất phục hồi q trình chất gây nhiễm, tốn khó nhằm thu thập thơng tin hữu ích Bài tốn ngược thời gian biết không chỉnh theo nghĩa Hadamard Một số kết ổn định có Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất điều kiện mô tả báo [7, 8, 10], kết dựa liệu xác biết trước Tuy nhiên, thực tế, liệu đưa bị nhiễu nhiều lý sai số đo, lỗi làm tròn sai số thiết bị máy, vv… Do lý này, phương pháp chỉnh hóa cần thiết để xác định giải pháp nghiên cứu tính ổn định Đối với tốn (1) với F = 0, có số kết nghiên cứu toán ngược thời gian phương trình khuếch tán cấp phân số Chúng ta liệt kê tài liệu để độc giả tham khảo Liu [17], Ren [19], v.v Cho đến nay, kết trường hợpnguồn ô nhiễm không phi tuyến với phương trình khuếch tán cấp phân số cịn hạn chế Bài toán ngược thứ hai nước ngầm xác định nguồn ô nhiễm từ liệu đo lường quy định số điểm đo bên Một mơ có liên quan đến việc phát nguồn gây ô nhiễm gây ô nhiễm nước số khu vực Đối với toán (2), với thời hạn nguồn F (x, t) phụ thuộc vào biến x, xem xét kết gần Dou et al [21] Tuy nhiên, số hạng nguồn phụ thuộc vào biến khơng gian (x) biến thời gian(t), tốn (2) cịn tốn mở Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Viện Khoa học Cơng nghệ tính tốn Thành phố Hồ Chí Minh (ICST phố Hồ Chí Minh) với tên dự án giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Chủ nhiệm đề tài: Thành viên đề tài: Khoa học Môi Trường PGS Nguyễn Huy Tuấn PGS Nguyễn Huy Tuấn PGS Nguyễn Văn Thịnh CN Lê Đình Long CN Lê Thị Việt Phương Cơ quan phối hợp: ĐẠI HỌC QUỐC GIA SEOUL, HÀN QUỐC Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I BÁO CÁO KHOA HỌC ) Chúng giải toán sau đây:   u    uxx  R(t ) f ( x), (x,t)    (0,T)  t u  (1)    u( x,0)  u( x, T )  h( x), x   với R cho trước,  miền bị chặn d 1.1) Cơng thức tính hàm nguồn F Bây sử dụng phương pháp tách biến, chúng tơi tìm nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm xác u định nghĩa chuỗi Fourier sau:  u (x, t)   u p (t) p (x) , với u p (t)  u (., t),  p (x) Trong hàm riêng p 1 định nghĩa phương pháp Fourier Đó là, chúng tơi nhân vế phương trình (1) biểu thức  p (x) lấy tích phân phương trình theo biến x Sử dụng công thức Green  p   , chúng tơi có hệ thống phương trình tốn giá trị đầu cho phương trình vi phân cấp phân số với hệ số Fourier chưa biết u p (t) :  Dt u p (t)   p u p (t)  Fp (t),  t  T (2)  u (0)  u (x, 0),  (x)  p p Trong Fp (t)  F(x, t),  p (x) Như Sakamoto Yamamoto tài liệu tham khảo [9], công thức nghiệm cho toán (2) đưa sau: t  1  u p (t)  E ,1 ( p t )u p (0)    t  s  E , ( p (t  s) )Fp (s)ds Từ điều kiện u (x, 0)  Fp (s)  R(s) f (x),  p (x) , có: T  1 h(x),  p (x)  u p (T)   T  s  E , ( p (T  s) )R(s)ds f (x),  p (x) Thực phép biến đổi đơn giản, có:  h(x),  p (x)  p (x) f (x)   T  1 p 1   T  s  E , ( p (T  s) )R(s)ds Và đặt:  1 G  s,  p    T  s  E , ( p (T  s) ), chúng tơi có công thức hàm nguồn f sau: Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất  f (x)   T p 1 h(x),  p (x)  p (x)  G  s,  R(s)ds p Bài toán (1) có nghiệm Chứng minh tốn (1) có nghiệm: Ta giả sử có f1 f nguồn tương ứng với hai giá trị cuối h1 h theo thứ tự Giả sử h1  h , ta cần chứng minh f1  f Trong thực tế, biết E , ( p (t  s) )  với s  t Từ R(t)  R  t   0, T  Chúng tơi có rằng, T T  1  G  s,  p R(s)ds  R  T  s  E , ( p (T  s) )ds  R T  E , 1 ( p T )   Chúng có f1 (x)  f (x)   h1 (x)  h (x),  p (x)  p (x) p 1  p (x)  Việc chứng T  G  s,  R(s)ds p minh hồn tất 1.2) Tính khơng chỉnh tốn Tốn tử tuyến tính K : L2     L2    sau: T  Kf (x)     G  s,  p  R(s)ds  f (x),  p (x)  p (x)   k (x,  ) f ( )d (1) p 1    Trong  T  k (x,  )     G  s,  p  R(s)ds  p (x) p ( ) p 1   Giả sử ta có : k (x,  )  k ( , x) , biết K toán tử tự liên hợp Kế tiếp, chứng minh tính compact Định nghĩa toán tử hữu hãn K N sau  N T  K N f (x)     G  s,  p  R(s)ds  f (x),  p (x)  p (x) (2) p 1   Thì từ (1) (2), có kết sau: K N f  Kf T      G  s,  p  R(s)ds  p  N 1    R    p  N 1  R f (x),  p (x) 2 C [0,T] p f (x),  p (x)   C [0,T] p  N 1 N   f (x),  p (x) 2 Điều cho thấy rằng: K N f  Kf  R C [0,T] N  f 2 L ()  R C [0,T] N f L2 (  ) Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất Hơn nữa, K N  K  theo chuẩn toán tử L( L2 (), L2 ()) N   , đó, K tốn tử compact, giá trị cho tốn tử tuyến tính tự lien hợp K cho là: T  p   G  s,  p  R(s)ds, Và có vector riêng  p với sở trực chuẩn biết L2    Từ (1), tốn tìm hàm nguồn ngược giới thiệu viết dạng phương trình tốn tử: Kf (x)  h(x), sách Kirsch [11], biết vấn đề không chỉnh, chúng tơi giới thiệu ví dụ sau Giả sử liệu đầu vào cuối sau:  (x) h m (x)  m , nguồn cho h m sau: m  f m (x)   p 1 m h (x),  p (x)  p (x) T  G  s,  R(s)ds m (x) ,  p (x)  p (x) m   T m (x)  T  G  s,  R(s)ds p 1 p m  G  s, m R(s)ds p (3) 0 Giả sử chúng tơi có liệu đầu vào cuối g = Sai số theo chuẩn L2    hai liệu đầu vào cuối sau: hm  g L2    m (x) m   m L2    Hơn lim h m  g m  L   lim m  m 0 Và sai số chuẩn L2    hai hàm nguồn cho sau: fm f L  m (x)   T m  G  s, m R(s)ds L2    m  G  s, m R (s)ds T Từ (4) sử dụng bất đẳng thức  G  s, m R(s)ds  fm f L   (4) T R C [0,T] m , thu m R C [0,T] Điều dẫn đến: lim f m  f m  L    lim m  m R   C [0,T] Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất Từ (3) (4), chúng tơi kết luận tốn tìm hàm nguồn ngược tốn khơng chỉnh 1.4) Chỉnh hóa tốn (1) phương pháp Tikhonov: Như nói trên, sử dụng phương pháp Tikhonov giải tốn tìm hàm nguồn ngược, cực tiểu hóa hàm f L2    2 Kf  h   f Và giá trị hàm cực tiểu f  thõa mãn K * Kf  (x)   f  (x)  K *h(x) Do giá trị riêng kì dị tốn tử compact, tự liên hợp K, có : T  G  s,  R(s)ds p  f  (x)   p 1 h(x),  p (x)  p (x) T    G  s,  p R(s)ds Nếu liệu đo : (R  (t), h  (t)) (R(t), h(t)) thõa mãn tính chất sau đây: h  h L2     , R  R C [0,T]  Thì chúng tơi trình bày nghiệm chỉnh hóa sau: T  G  s,  R (s)ds p    f (x)   p 1 T h  (x),  p (x)  p (x)    G  s,  p R (s)ds 1.5) Đánh giá sai số cách lựa chọn số tiên nghiệm Sau đó, chúng tơi đánh giá sai số cho f  f  L2    trình bày hội tụ việc đánh giá cách chọn số chỉnh hóa :     1 1.5.1) Nếu    , cách chọn     , có sai số sau: M    1  1 M   f (x)  f  (x)     M (R)   M  1  1 L  2inf t[0,T] R (t) 1     2 1.5.2) Nếu   , cách chọn     , chúng tơi có sai số sau: M  f (x)  f  (x) L2      1 M     M (R)  M   2inf t[0,T] R (t) 1    Trong Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất  rand (.)   h  ()  h(.) 1    h L2 (  )    R   R(.)   rand(.) 1.7.1) Ví dụ 1: Trong ví dụ này, chúng tơi xem xét hàm f liệu xác Chúng tơi xem xét tốn (1) cho trường hợp chiều với  p  p , T  , với phương trình sau: ut (x, t)  u xx (x, t)  R(t) f(x), (x, t)   0,   (0,1)  t  (0,1) u(0, t)  u( , t)  0,  u (x, 0)  0, x  0,     u (x,1)  h(x), x   0,    t 1 R(t)  et  1  (2   ) t 1 , R (t)   et  1   rand (.)  (2   ) h(x)  101  e  1 sin(4 x)(  x) (2   ) Chúng tơi có nghiệm xác sau:  e 1  P f (x)  101  sin(4 x)(  x)   (2   )  p 1 G (s, p ) R (s)ds    G (s, p ) R (s)ds  P    e 1  rand (.)  f  (x)  101  sin(4 x)(  x)  1    h L2 (  ) p 1  (2   )        ( )    G (s, p2 ) R (s)ds  0  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 11 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất Hình 1: So sánh nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa cách chọn số tiên nghiệm cho ví dụ với   10 r , r=1,2,3,4 Hình 2: So sánh nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa cách chọn số hậu nghiệm cho ví dụ với   10 r , r=1,2,3,4 1.7.1) Ví dụ 2: Trong ví dụ này, xem xét hàm f liệu xác Chúng tơi xem xét tốn (1) cho trường hợp hai chiều với  p  p  q , T  , với phương trình sau: u  (x, y, t)  u (x, y, t)  u (x, y, t)  R(t) f(x, y), (x, y, t)  0,  (0,1)   xx yy  t u(0, y, t)  u( , y, t)  0, t  (0,1)  t  (0,1) u(x, 0, t)  u(x,  , t)  0,  ( x, y )   0,   u (x, y, 0)  0,  ( x, y )   0,   u (x, y,1)  h(x, y), Trong t1  et  1 (2   ) h(x, y)  21  e  1 sin(4 x) sin((  x)) (2   ) Chúng trình bày nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa sau: R(t)  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 12 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất  e 1  Q Q f (x)  101  sin(4 x) sin((  x))    (2   )  p 1 q 1 G (s, p  q ) R(s)ds    e 1   rand (.)  Q Q   f  (x)  21     h L2 (  )  p 1 q 1  (2   )     G (s, p  q ) R (s)ds 1    ( )    G (s, p2  q ) R (s)ds  0  sin(4 x) sin((  x)) Hình 3: So sánh nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa cách chọn số tiên nghiệm cho ví dụ với   10 r , r=1,2,3 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 13 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất Hình 4: So sánh nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa cách chọn số hậu nghiệm cho ví dụ với   10 r , r=1,2,3,4 Chúng thực ví dụ số để so sánh tất phương pháp dự kiến chúng tơi Một phân tích ưu nhược điểm phương pháp dự kiến quan sát ) Chúng giải toán sau đây: ut  x D u(x,t)  f(x,t,u(x,t)), (x,t)   (0,T)  (x,t)   (0,T) (5) u(x,t) x   x u( x, T )  h( x), Và toán sau ut  x D u(x,t)  f(x,t,u(x,t), ux (x,t)), (x,t)   (0,T)  (x,t)   (0,T) (6) u(x,t) x   x u( x, T )  h( x), Trong đạo hàm phân số khơng gian x D gọi đạo hàm phân số RieszFeller cấp độ   (0, 2] độ lệch      ,    ,  1 định nghĩa sau:   (1   )         x D f (x)  sin       d f (x) D f (x)  ,   2,  x dx         f (x  s)  f(x)   f (x  s)  f(x) ds  sin ds  ,    2, 0 s1 s1  2.1) Chỉnh hóa đánh giá sai số cho toán (5) Cho h ( ) đặt biến đổi Fourier hàm h, định nghĩa sau: h ( )  2  e  ix h(x) dx, i  1  Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 14 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất Tương tự, sử dụng phương pháp biến đổi Fourier, chúng tơi có tính chất sau đạo hàm phân số không gian Riesz-Feller sau: D (h)( )    ( )h ( ) x          ( )    cos  isign( )sin  Áp dụng biến đổi Fourier theo biến x cho tốn 2   (5), chúng tơi có: ut ( , t)    ( )u ( , t)  f ( , t, u( , t))    , T)  h   u( Nghiệm toán biễu diễn sau; T   u ( , t)  exp(  ( )(T  t))  h     exp(  ( )(s T )) f ( ,s, u( ,s))ds  (7) t   Dùng phương pháp biến đổi Fourier ngược, có: T    exp(  (  )(T  t)) h   exp(  ( )(s T )) f ( ,s, u( ,s))ds  exp(ix  ) d  (8)       t   Cho  max hàm đặc trưng khoảng  max , max  , chúng tơi có nghiệm chỉnh u(x, t)  2  hóa tốn (5) sau:  T       u  (x, t)  exp(  (  )(T  t)) h       exp(  ( )(s  T )) f ( ,s, u ( ,s))ds  exp(ix  )  max d  (9)   2  t   max phụ thuộc vào  , số chỉnh hóa 2.2) Định lí 1: Cho h  L2 (), f : X [0, T]X  hàm cho tồn số k k >0 thõa mãn f (x, t, u)  f (x, t, v)  k u  v với (x, t)  X [0, T] Phương trình tích phân phía có nghiệm u   C ([0, T]; L2 ( )) Hơn nữa, nghiệm phụ thuộc liên tục theo liệu, tức là, với w,v phụ thuộc theo liệu h g, chúng tơi có đánh gí sau:       w(., t)  v(., t) L2 ( )  exp  (T  t)max cos    exp k T  t  h  g L2 ( ) , t   0, T     2.3) Định lí 2: Cho f h định lí 1, giả sử tốn (3) có nghiệm u  C ([0, T]; L2 ( )) cho U   C ([0, T]; L2 ( )) nghiệm theo điều kiện cuối h         a) Nếu  exp  t  cos    u ( , t) d   , t  [0, T]     Thì               U (., t)  u (., t)  exp   t max cos  exp k T  t  exp  T max cos    N ( , t)       L ( )            , t   0, T  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 15 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất T 2 Trong N ( , t)  3k T exp(3k T (T  t))  M ( , t) dt  M ( , t)  max     M ( , t)    exp  t max cos                u ( , t) d   exp  t max cos     max      u ( , t) d    b) Nếu tồn số a > cho a                cos exp t  cos u (  , t) d   , t  [0, T]              Thì         exp k T  t  exp  T max cos           Pa        exp   t max cos    exp  3k T (T  t) /  a            cos       Trong a                 Pa  sup     cos  exp  t  cos  u ( , t) d        0 t T           c) Nếu tồn số b >0 cho           Qb  sup   exp   t  b   cos  u (  , t) d   , ta có:  t T                  U (., t)  u (., t)  exp   t max cos     exp k T  t  exp  T max cos  L ( )            U  (., t)  u (., t) L ( )      exp   t max cos           exp  bmax cos         exp  3k T (T  t) /  6Qb  2.4) Chỉnh hóa đánh giá sai số cho toán (6) Trong phần này, chúng tơi xem xét tốn 6, dùng phép biến đổi Fourier, chúng tơi có sau: ut ( , t)    ( )u ( , t)  f ( , t, u( , t), u ( , t)) x    , T)  h   u( Bằng vài tính tốn bản, chúng tơi tìm nghiệm tốn là: T u ( , t)  exp(  ( )(T  t))  h    exp(  ( )(s  T )) f ( ,s, u( ,s), u ( ,s))ds      x t   Hoặc tương đương sau: Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 16 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất T    exp(  (  )(T  t)) h   exp(  ( )(s  T )) f ( ,s, u( ,s), u x ( ,s))ds  exp(ix  ) d        t   Chúng áp dụng phương pháp chặt cụt tần số cao với   max , u ( , t)  2  lim max    0 Cho   0,    , chọn     max    ln        Chúng tơi định nghĩa nghiệm chỉnh hóa sau:  T     v (x, t)  exp(  ( )(T  t))  h     exp(  ( )(s  T )) f ( ,s, u( ,s)ds  exp(i  x)  max d  2  t   2.4.1) Bổ đề 1: Cho K >0, cho f : X [0, T]X thõa điều kiện sau X R f (x, t, u1 , v1 )  f (x, t, u , v )  k  u1  u2  v1  v2  , (x, t)  X[0, T],  u1 , v1 , u , v  (10) Nếu f (.,., 0, 0)  C((0, T); L2 ( )), w, v  C((0, T); L2 ( )) , f (.,., v, w)  L ((0, T); L2 ( )) Tuy nhiên, v, v1  C((0, T); H ( )) ,  t  T chúng tơi có f (., t, v(., t), v x (., t))  f (., t, v1 (., t), v1x (., t)) L ( )  K v(., t)  v1 (., t) H1 ( ) 2.4.2) Bổ đề 2: Cho    1,   0,  t  s  T , chúng tơi có: exp   s  t  ( )   max        (t s) cos       exp   s  t   ( )   max   max     (t s) cos     2.4.3) Định lí 3: Cho    1,   0, h  L2 ( ) f thõa mãn (10) Ta có u , v  C ([0, T]; H1 ( )) tương ứng với liệu h g, có đánh giá sai số sau: u v C ([0,T];H1 ( ))  2(1   max )     T cos    exp(2(1  max ) K 2T ) h  g L2 ( ) 2.4.4) Định lí 3: Cho   , h  L2 ( ) f thõa mãn (10) Giả sử ta có u  C ([0, T]; H1 ( )) thõa mãn           M  sup   1    exp   t     cos  u (  , t) d    ,  0 t T         Cho   (0,1), h  L ( ) liệu đo cho h  h   Thì từ h  , L ( )  có sai số hàm V  C ([0, T]; H ( )) thõa mãn u (., t)  V  (., t) H1 ( )    2 M exp  (1  max ) K T   2(1  max ) exp(2(1  max ) K 2T )   Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 17 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất 2.5) Ví dụ số minh họa: Nó khó khan để xác định nghiệm xác tốn (5), phần chúng tơi giải tốn thuận cách đưa vào liệu xác g(x) áp dụng phương pháp FDM (finite different method) để tìm nghiệm xác khoảng (L,L) X (0,T), với L >0 ut (x, t)  x D u (x, t)  sin(u), (x, t)  ( L, L) X(0, T)  t  (0, T) u(x, t)| x  L  0,  x  ( L, L) u(x, 0)  g(x), Chúng tơi giải tốn thuận với : 16  x , x   4,  g (x)   x   4,  0, a)   0.5,   0.1 b)   0.5,   0.4 c)   0.9,   0.1 d)   0.9,   0.4 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 18 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất a)   0.5,   0.1, t  b)   0.5,   0.4, t  c)   0.5,   0.1, t  0.5 d)   0.5,   0.4, t  0.5 e)   0.5,   0.1, t  0.7 f)   0.5,   0.4, t  0.7 Hình 4: Hình vẽ so sánh nghiệm xác (FDM) nghiệm chỉnh hóa từ cơng thức (6) Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 19 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất a)   0.9,   0.1, t  b)   0.9,   0.4, t  c)   0.9,   0.1, t  0.5 d)   0.9,   0.4, t  0.5 e)   0.9,   0.1, t  0.7 f)   0.9,   0.4, t  0.7 Hình 5: Hình vẽ so sánh nghiệm xác (FDM) nghiệm chỉnh hóa từ cơng thức (6) Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 20 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất II CÁC TÀI LIỆU KHOA HỌC ĐÃ XUẤT BẢN 1) Bài báo: “Regularized solution of an inverse source problem for a time fractional diffusion equation” Tạp chí: “Applied Mathematical Modelling” Tác giả: Huy Tuan Nguyen, Le Dinh Long, Van Thinh Nguyen 2) Bài báo: “Inverse problem for nonlinear backward space-fractional diffusion equation” Tạp chí: “Journal of Inverse and Ill-Posed Problems” Tác giả: Đinh Nguyễn Duy Hải, Nguyễn Huy Tuấn, Lê Đình Long, Quốc Thống Lê Gia Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 21 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Dagan Theory of solute transport by groundwater Ann Rev Fluid Mech 1987; 19: 183215 [2] E M LaBolle, G E Fogg Role of molecular diffusion in contaminant migration and recovery in an alluvial aquifer system Transport Porous Med 2001; 42: 155-179 [3] Y Zhang, D A Benson, D M Reeves Time and space nonlocalities underlying fractionalderivative models: Distinction and literature review of field applications Adv Water Resour 2009; 32: 561-581 [4] R Metzler, J Klafter The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach Phys Rep 2000; 339: 1-77 [5] Q Z Huang, G H Huang, H B Zhan A finite element solution for the fractional advectiondispersion equation Adv Water Resour 2008; 31: 1578-1589 [6] B Berkowitz, A Cortis, M Dentz, H Scher Modeling non-Fickian transport in geological formations as a continuous time random walk Rev Geophys 2006; 44(2): RG2003 [7] B Berkowitz, H Scher On characterization of anomalous dispersion in porous media Water Resour Res 1995; 31: 1461-1466 [8] X X Zhang, M Lv, J.W Crawford, I M Young The impact of boundary on the fractional advection dispersion equation for solute transport in soil: Defining the fractional dispersive flux with the Caputo derivatives Adv Water Resour 2007; 30: 1205-1217 [9] H G Sun, W Chen, Y Q Chen Variable-order fractional differential operator in anomalous diffusion modeling Phys A 2009; 388: 4586-4592 [10] D A Benson, S W Wheatcraft, M M Meerschaert Application of a fractional advectiondispersion equation Water Resour Res 2000; 36(6): 1403-1412 [11] J D Seymour, J P Gage, S L Codd, R Gerlach Magnetic resonance microscopy of biofouling induced scale dependent transport in porous media Adv Water Resour 2007; 30(6-7): 1408-1420 [12] M M Meerschaert, D A Benson, B Baeumer Operator L´evy motion and multiscaling anomalous diffusion Phys Rev E 2001; 63: 021112 [13] D A Benson, C Tadjeran, M M Meerschaert, I Farnham, G Pohll Radial fractionalorder dispersion through fractured rock Water Resour Res 2004; 40: W12416 [14] J Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media Dover, 1988; Published originally in 1972 by American Elsevier Pulishing Co Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 22 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất [15] R R Nigmatullin, Realization of the generalized transfer equation in a medium with fractional geometry Physica Status (B) : Basic Research 133(1) (1986) 425-430 [16] K B Oldham, J Spanier, The fractional calculus, Academic Press, New York (1999) [17] J J Liu and M Yamamoto, A backward problem for the time-fractional diffusion equation, Appl Anal 89 (2010), 1769-1788 [18] K Sakamoto, M Yamamoto, Initial value boundary value problems for fractional diffusionwave equations and applications to some inverse problems J Math Anal Appl 382 (2011),no 1, 426-447 [19] Ren, Caixuan; Xu, Xiang; Lu, Shuai; Regularization by projection for a backward problem of the time-fractional diffusion equation.J Inverse Ill-Posed Probl.22 (2014), no 1, 121–139 [20]Wang, Jun-Gang; Zhou, Yu-Bin; Wei, TingTwo regularization methods to identify a spacedependent source for the time-fractional diffusion equation.Appl Numer Math.68 (2013), 39–57 [21]Dou, F F.; Hon, Y C.; Numerical computation for backward time-fractional diffusion equation.Eng Anal Bound Elem.40 (2014), 138–146 [22] Wei, T.; Zhang, Z Q.; Stable numerical solution to a Cauchy problem for a time fractional diffusion equation.Eng Anal Bound Elem.40 (2014), 128–137 [23] Wei, Ting; Wang, Jungang; A modified quasi-boundary value method for an inverse source problem of the time-fractional diffusion equation.Appl Numer Math.78 (2014), 95–111 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 23 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây ô nhiễm đất CÁC PHỤ LỤC PHỤ LỤC Bài báo: Regularized solution of an inverse source problem for a time fractional diffusion equation Tạp chí: Applied Mathematical Modelling Tác giả: Huy Tuan Nguyen, Le Dinh Long, Van Thinh Nguyen Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 24 Giải phương trình khuếch tán cấp phân số ứng dụng để xác định chất gây nhiễm đất PHỤ LỤC Bài báo: Inverse problem for nonlinear backward space-fractional diffusion equation Tạp chí: Journal of Inverse and Ill-Posed Problems Tác giả: Đinh Nguyễn Duy Hải, Nguyễn Huy Tuấn, Lê Đình Long, Quốc Thống Lê Gia Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 25