Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng

Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh nguyễn thị quỳnh trang Một số quy tắc tính toán giải tích biến phân ứng dụng Tai Lieu Chat Luong Chuyên ngành: Toán giải tích MÃ số: 62 46 01 02 Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học Nghệ An - 2015 Công trình hoàn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa häc: PGS TS NguyÔn Quang Huy PGS TS Trần Văn Ân Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường vào hồi ngày .tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại häc Vinh Th ViÖn Quèc gia ViÖt Nam Mở đầu Lý chọn đề tài 1.1 Giải tích biến phân phận toán học hình thành phát triển nhằm trang bị công cụ để nghiên cứu toán tối ưu vấn đề có liên quan Một mặt, toán tối ưu thường xuyên xuất khoa học ứng dụng Mặt khác, giải vấn đề dựa vào tối ưu phương pháp hiệu toán học Điều làm cho giải tích biến phân trở thành lĩnh vực đáng quan tâm xét theo góc độ lý thuyết lẫn góc độ ứng dụng Lĩnh vực nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu 1.2 Hệ thống quy tắc tính toán đóng vai trò quan trọng giải tích biến phân Nó cầu nối kết tổng quát với ứng dụng cụ thể Theo B S Mordukhovich, "bÊt kú cÊu tróc hay tÝnh chÊt nµo đưa có tiềm sử dụng có quy tắc tính toán thỏa đáng" Chính vậy, giới thiệu cấu trúc vi phân suy rộng người ta đÃ trọng đến việc thiết lập quy tắc tính toán cho chúng Hệ thống quy tắc tính toán bậc vi phân suy rộng giải tích biến phân đÃ đầy đủ Hiện nay, phát triển quy tắc tính toán bậc hai chủ đề nghiên cứu có tính thời giải tích biến phân Cùng với việc tìm kiếm quy tắc tính toán mới, sử dụng quy tắc tính toán đÃ thiết lập để khảo sát tính chất ánh xạ, hàm số tập hợp vấn đề quan tâm 1.3 Tính đơn điệu tính Lipschitz tính chất giải tích biến phân ứng dụng Mặc dù tính chất đÃ nghiên cứu mạnh mẽ thập kỷ qua, số vấn đề thú vị liên quan đến chúng, chẳng hạn như, đặc trưng đối đạo hàm ánh xạ đơn điệu, đặc trưng vi phân bậc hai hàm lồi, tính ổn định kiểu Lipschitz (Lipschitz-like) bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu, , đến giải thỏa đáng cho số trường hợp giả thiết định Các trường hợp lại cần khảo sát thêm Sự phát triển gần giải tích biến phân, đặc biệt hệ thống quy tắc tính toán, đưa đến cho hy vọng đạt bước tiến theo hướng nghiên cứu Với lý thế, chọn đề tài "Một số quy tắc tính toán giải tích biến phân ứng dụng" 2 Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số khía cạnh ứng dụng quy tắc tính toán giải tích biến phân với mục đích sau: - Tìm mối quan hệ công thức tính nón pháp tuyến tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, quy tắc tổng điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker; - Trả lời câu hỏi "Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet có không gian Banach hay không?" - Làm rõ khả đối đạo hàm việc nhận biết tính đơn điệu ánh xạ liên tục khả vi phân bậc hai việc nhận biết tính lồi hàm số khả vi liên tục; - Khảo sát tính ổn định kiểu Lipschitz bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu Đối tượng nghiên cứu Các quy tắc tính toán, định lý giá trị trung bình xấp xỉ, tính đơn điệu ánh xạ, tính lồi hàm số, tính ổn định kiểu Lipschitz bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện Phạm vi nghiên cứu Mối quan hệ công thức tính nón pháp tuyến tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, quy tắc tổng dạng đẳng thức điều kiện tối ưu dạng KarushKuhn-Tucker; tính hiệu lực định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet; điều kiện theo đối đạo hàm để ánh xạ liên tục đơn điệu điều kiện theo vi phân bậc hai để hàm số khả vi liên tục lồi; điều kiện cần điều kiện đủ để bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu ổn định kiểu Lipschitz Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân kỹ thuật giải tích hàm, giải tích biến phân, lý thuyết tối u, ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiƠn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết hệ thống quy tắc tính toán giải tích biến phân ứng dụng Vì nhiều toán thực tế dẫn đến mô hình bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện, nên kết tính ổn định thiết lập luận án hữu ích cho việc phân tích toán Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Năm 1963, để khảo sát toán tối ưu lồi không khả vi, R T Rockafellar đÃ giới thiệu khái niệm vi phân cho hàm lồi Lúc đầu ông gọi vi phân hàm lồi, sau đổi thành vi phân hàm lồi Đây khái niệm vi phân giải tích biến phân Những nghiên cứu vi phân suy rộng hàm lồi vấn đề liên quan đầu thập niên 1960 dẫn đến đời Giải tích lồi Từ đến nay, lĩnh vực tiếp tục phát triển đÃ trở thành phận quan trọng giải tích biến phân Năm 1973, F H Clarke đÃ đưa khái niệm đạo hàm theo hướng Clarke vi phân Clarke hàm Lipschitz địa phương Những khái niệm sau đÃ mở rộng cho hàm số bất kỳ, không cần Lipschitz địa phương Bên cạnh quy tắc tính toán dạng bao hàm thức, F H Clarke đÃ thiết lập hệ thống quy tắc tính toán dạng đẳng thức cho lớp hàm quy Clarke Lý thuyết vi phân suy rộng Clarke có ảnh hưởng lớn đến phát triển giải tích không trơn, đặc biệt nửa cuối thập niên 1970 thập niên 1980 Các kết lý thuyết vi phân suy rộng đÃ trình bày sách chuyên khảo "Optimization and Nonsmooth Analysis" F H Clarke (1983) Năm 1976, để nghiên cứu điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu, B S Mordukhovich đÃ giới thiệu khái niệm nón pháp tuyến vi phân qua giới hạn Năm 1980, B S Mordukhovich đưa khái niệm đối đạo hàm ánh xạ đa trị, tên gọi ánh xạ liên hợp (adjoint mapping) Thuật ngữ "đối đạo hàm" sử dụng lần vào năm 1984 A D Ioffe Dưới vi phân bậc hai B S Mordukhovich đưa năm 1992 Đây khái niệm lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich Các quy tắc tính toán quan trọng lý thuyết vi phân suy rộng này, bao gồm quy tắc tổng (sum rule), quy tắc chuỗi (chain rule), quy tắc giao (intersection rule), đÃ nghiên cứu nhiều công trình, chẳng hạn, công trình A D Ioffe (1984, 2000), B S Mordukhovich (1994), B S Mordukhovich vµ N M Nam (2005), B S Mordukhovich vµ Y Shao (1996), B S Mordukhovich vµ J V Outrata (2001) Lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich đÃ trình bày sách chuyên khảo tập "Variational Analysis and Generalized Differentiation" cña B S Mordukhovich (2006) Ngoài khái niệm vi phân suy rộng kể trên, có nhiều khái niệm vi phân suy rộng khác đÃ giới thiệu nhằm mục đích nghiên cứu toán tối ưu vấn đề liên quan, chẳng hạn loại đạo hàm theo hướng, đạo hàm ánh xạ đa trị J.-P Aubin ®Ị xt, díi vi ph©n xÊp xØ cđa A D Ioffe Trong luận án này, giới hạn việc nghiên cứu khuôn khổ lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich Chương bắt đầu việc nhắc lại số khái niệm tính chất cần dùng luận án Dựa ý tưởng "sử dụng quy tắc chuỗi để chứng minh quy tắc tổng" cđa R T Rockafellar vµ R J.-B Wets (1998), Mơc 1.2 cho thấy số quy tắc tổng đÃ biết hệ trực tiếp công thức tính nón pháp tuyến tập nghịch ảnh dạng đẳng thøc B S Mordukhovich vµ B Wang thiÕt lËp năm 2004 Trong Mục 1.3, thu kết mối quan hệ công thức tính nón pháp tuyến Fréchet tập nghịch ảnh điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker (Định lý 1.3.4) Kết mở rộng kết tương ứng F J Gould J W Tolle (1971) từ không gian hữu hạn chiều lên không gian Banach Công thức tính nón pháp tuyến tập nghịch ảnh quy tắc tổng dạng đẳng thức Chương sử dụng để nghiên cứu số vấn đề chương Các định lý giá trị trung bình kết quan trọng giải tích biến phân G Lebourg (1975) người đưa định lý giá trị trung bình cho hàm Lipschitz không trơn Năm 1988, D Zagrodny đÃ cho thấy định lý giá trị trung bình Lebourg không cho hàm liên tục ông đÃ giới thiệu định lý giá trị trung bình xấp xỉ Định lý giá trị trung bình xấp xỉ sau tiếp tục nghiên cứu nhiều nhà toán học khác P D Loewen (1994), L Thibault (1995), J -P Penot (1997), Năm 1996, B S Mordukhovich Y Shao đÃ thiết lập định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet không gian Asplund, không gian Banach mà không gian đóng khả ly có đối ngẫu khả ly Định lý giá trị trung bình xấp xỉ B S Mordukhovich Y Shao công cụ để nghiên cứu vấn đề nhận biết tính chất hàm số qua vi phân Trong phép chứng minh số kết theo hướng này, chẳng hạn định lý đặc trưng vi phân hàm Lipschitz địa phương định lý đặc trưng gradient hàm đơn điệu theo nón, ngoại trừ việc sử dụng định lý giá trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet, lập luận khác không gian Banach tùy ý Vì vậy, câu hỏi đặt cách tự nhiên là: Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet có không gian Banach hay không? Trong Chương 2, chứng minh lớp không gian Asplund lớp không gian Banach rộng mà định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet không gian thuộc Khái niệm ánh xạ đơn điệu cực đại xuất từ đầu thập niên 1960 Dưới vi phân hàm lồi thường nửa liên tục phép chiếu trực giao lên tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert ví dụ ánh xạ đơn điệu cực đại Đối với ánh xạ đơn trị liên tục, tính đơn điệu đơn điệu cực đại trùng Tính đơn điệu cực đại ánh xạ đÃ sử dụng để nghiên cứu số khía cạnh quan trọng toán tối ưu cân bằng, chẳng hạn như, tồn nghiệm, tính ổn định nghiệm hội tụ phương pháp số Theo kết cổ điển đặc trưng tính đơn điệu, ánh xạ đơn trị khả vi đơn điệu đạo hàm nửa xác định dương điểm Năm 1962, sử dụng đạo hàm theo hướng, G J Minty đÃ thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ đơn trị không trơn đơn điệu H Jiang L Qi (1995), D T Luc S Schaible (1996) đÃ cho thấy ánh xạ đơn trị Lipschitz địa phương không gian hữu hạn chiều đơn điệu vµ chØ nÕu mäi ma trËn Jacobi suy réng Clarke nửa xác định dương Sau đó, thay c¸c ma trËn Jacobi suy réng Clarke b»ng c¸c ma trận Jacobi xấp xỉ, V Jeyakumar cộng (1998) đÃ thu điều kiện đủ để ánh xạ đơn trị liên tục đơn điệu R A Poliquin R T Rockafellar (1998) đÃ chứng minh đối đạo hàm ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại không gian hữu hạn chiều có tính nửa xác định dương N H Chieu vµ N Q Huy (2012), B S Mordukhovich vµ T T A Nghia (2013) đÃ mở rộng kết cho trường hợp không gian Hilbert Gần đây, N H Chieu cộng (2015) đÃ thu số đặc trưng đối đạo hàm cho tính đơn điệu cực đại cho lớp ánh xạ đa trị hypo-đơn điệu (hypomonotone) Trong Chương 2, sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet, quy tắc tổng dạng đẳng thức định lý Weierstrass tồn nghiệm tối ưu, ®· thiÕt lËp mét ®iỊu kiƯn ®đ theo ®èi ®¹o hàm để ánh xạ đơn trị liên tục f xác định không gian Asplund X đơn điệu (Định lý 2.3.5) Điều kiện đủ điều kiện đủ cho tính đơn điệu theo đối đạo hàm giải tích biến phân Hơn thế, điều kiện cần Lipschitz địa phương f X Hilbert Chúng thu số điều kiện đủ theo đối đạo hàm để ánh xạ đơn điệu tập X (Định lý 2.3.17) Bằng cách áp dụng kết cho ánh xạ đạo hàm, thu số điều kiện cần ®iỊu kiƯn ®đ theo díi vi ph©n bËc hai ®Ĩ hàm số khả vi liên tục lồi (Định lý 2.3.21) Kết cải tiến kết N H Chieu vµ N Q Huy (2011) TÝnh chÊt kiểu Lipschitz (Lipschitz-like) ánh xạ đa trị giới thiệu J.-P Aubin (1984) tên gọi tính giả Lipschitz (pseudo-Lipschitz) A L Dontchev R T Rockafellar gäi nã lµ tÝnh chÊt Aubin, B S Mordukhovich gäi nã lµ tÝnh chÊt kiĨu Lipschitz Năm 1993, B S Mordukhovich đÃ thiết lập đặc trưng đối đạo hàm cho tính chất kiểu Lipschitz ánh xạ đa trị, gọi tiêu chuẩn Mordukhovich Năm 1996, sử dụng tiêu chuẩn Mordukhovich, A L Dontchev R T Rockafellar đÃ thu đặc trưng tính ổn định kiểu Lipschitz bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện không bị nhiễu không gian hữu hạn chiều Năm 2010, R Henrion cộng đÃ mở rộng kết lên không gian Banach phản xạ Đối với bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu, tính ổn định Lipschitz đÃ nghiên cứu N D Yen (1995) cho trường hợp bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh S Lu S M Robinson (2008) cho trường hợp bất đẳng thức affine Năm 2009, không gian hữu hạn chiều, N D Yen J.-C Yao đÃ thu số điều kiện đủ để toán ổn định kiểu Lipschitz Trong không gian hữu hạn chiều, gần đây, N T Qui đÃ giới thiệu số cải tiến kết N D Yen J.-C Yao Một kết khác đáng ý theo hướng nghiên cứu kết N M Nam (2010), tác giả lần đặc trưng tính ổn định kiểu Lipschitz bất đẳng thức biến phân chứa tham số tập lồi đa diện bị nhiễu Tuy nhiên, đặc trưng thiết lập điểm mà véctơ hoạt xác định miền ràng buộc độc lập tuyến tính Tại điểm lại, thâm chí người ta liệu toán ổn định kiểu Lipschitz hay không Kết Chương sau: điểm mà véctơ hoạt xác định miền ràng buộc phụ thuộc tuyến tính dương, chứng minh toán không ổn định kiểu Lipschitz, điểm mà véctơ hoạt xác định miền ràng buộc độc lập tuyến tính dương phụ thuộc tuyến tính, ví dụ cho thấy toán ổn định kiểu Lipschitz, ®ång thêi giíi thiƯu mét ®iỊu kiƯn cÇn cho tÝnh ổn định kiểu Lipschitz Ngoài ra, Chương luận án đÃ thu ước lượng đối đạo hàm ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình tác giả có liên quan đến luận án Danh sách tài liệu tham khảo, nội dung luận án gồm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị kết liên quan đến nón pháp tuyến tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi Mục 1.1 dành để nhắc lại khái niệm giải tích biến phân cần dùng luận án Mục 1.2 cho thấy số qui tắc tổng dạng đẳng thức hệ công thức tính xác nón pháp tuyến tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi Mục 1.3 dành để thiết lập kết mối quan hệ công thức tính xác nón pháp tuyến tập nghịch ảnh điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker Chương nghiên cứu định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet, tính đơn điệu ánh xạ tính lồi hàm số Mục 2.1 dành để trình bày kiến thức chuẩn bị chương Mục 2.2 đưa đặc trưng không gian Asplund theo định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet Sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet quy t¾c tỉng, Mơc 2.3 thiÕt lËp mét sè kÕt khả nhận biết tính đơn điệu ánh xạ qua đối đạo hàm nhận biết tính lồi hàm số qua vi phân bậc hai Chương nghiên cứu tính ổn định kiểu Lipschitz bất đẳng thức biến phân chứa tham số tập lồi đa diện bị nhiễu Mục 3.1 dành để phát biểu toán bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu Mục 3.2 dành để thiết lập ước lượng đối đạo hàm ánh xạ nghiệm toán Mục 3.3 thu kết tính ổn định kiểu Lipschitz bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu Chương Nón pháp tuyến tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi Chương dành để khảo sát mối quan hệ công thức tính nón pháp tuyến tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, quy tắc tổng dạng đẳng thức điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker Kết Định lý 1.3.4, mở rộng kết tương ứng F J Gould J W Tolle (1971) từ không gian hữu hạn chiều lên không gian Banach 1.1 Các khái niệm Trong mục này, nhắc lại số khái niệm ký hiệu đÃ biết giải tích biến phân Nếu không giải thích thêm, X Y không gian Banach trường số thực, có không gian đối ngẫu tôpô tương X Y ∗ Víi (x∗ , x) ∈ X ∗ × X , đặt hx , xi := x (x) Tôpô sinh chuẩn ký hiệu kÃk , tôpô yếu không gian X ký hiƯu σ X ∗ , X Chn trªn không gian tích k(x, y)k := kxk + kyk với (x, y) X ì Y ứng 1.1.1 Định nghĩa Cho tập khác rỗng X (i) Với 0, tập hợp -pháp tuyến x , ký hiƯu b Nε (¯ x; Ω), lµ tËp X xác định b N ( x; Ω) := x ∈ X lim sup ≤ε , kx − x¯k Ω x− →x¯ Ω bε (¯ ë x x có nghĩa x x¯ víi x ∈ Ω NÕu x¯ 6∈ Ω, th× ®Ỉt N x; Ω) := ∅ b (¯ b0 (¯ Khi ε = 0, tËp hỵp N x; Ω) := N x; ) nón gọi nón pháp tuyến Fréchet x (ii) Nón pháp tuyến qua giới hạn x¯ ∈ Ω, ký hiƯu N (¯ x; Ω), lµ tập X xác định b (x; Ω), N (¯ x; Ω) := Lim sup N x →x ¯ ε↓0 “ Lim sup ” lµ giíi hạn Painlevé-Kuratowski theo dÃy, nghĩa b (xk ; Ω) x ∈ N (¯ x; Ω) vµ chØ tån t¹i εk ↓ 0, xk → x¯, vµ x∗k ∈ N k ∗ ∗ ∗ w ∗ ∗ w ∗ ∗ ∗ cho xk −→ x Ký hiƯu xk −→ x cã nghÜa lµ xk → x theo σ X ∗ , X Qui íc N (¯ x; Ω) := ∅ nÕu x¯ 6∈ 1.1.2 Định nghĩa Cho U mét tËp më cña X, f : U → Y vµ x¯ ∈ U (i) Ta gäi f lµ khả vi chặt x tồn ánh xạ tuyến tính liên tục f ( x) : X → Y cho f (x) − f (u) − ∇f (¯ x), x − u lim = (0.1) x,u→¯ x kx − uk x6=u Trong trêng hỵp này, f ( x) gọi đạo hàm chặt f x (ii) Nếu tồn ánh xạ tuyến tính liên tục f ( x) : X → Y cho (0.1) ®óng víi u = x , f gọi khả vi x ánh xạ f ( x) : X Y gọi đạo hàm f x (iii) Ta nói f khả vi liên tục x¯ nÕu tån t¹i δ > cho f khả vi x B ( x) ¸nh x¹ ∇f : Bδ (¯ x) → L(X; Y ), x f (x) liên tục x, B ( x) hình cầu đóng tâm x bán kính L(X; Y ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y (iv) Ta nói f khả vi (tương ứng, khả vi chặt, khả vi liên tục) U khả vi (tương ứng, khả vi chặt, khả vi liên tục) điểm thuộc U x X , ánh xạ x : X R, x 7→ ϕx (x∗ ) := hx∗ , xi lµ mét phiếm hàm tuyến tính liên tục X , tøc lµ ϕx ∈ X ∗∗ := X ∗ Hơn nữa, Với : X X ∗∗ , x 7→ Φ(x) := ϕx lµ mét ánh xạ tuyến tính liên tục k(x)k = kx k víi mäi x ∈ X Ta gäi Φ lµ phép nhúng tắc X vào X Bằng cách đồng x với x , xem X không gian X viết X X Nếu (X) = X , X gọi ánh xạ không gian phản xạ (i) Ta nói (X, k Ã k) không gian có chuẩn trơn hàm x kxk khả vi điểm khác 1.1.4 Định nghĩa (ii) Không gian (X, k Ã k) gọi có chuẩn tương đương trơn tồn chuẩn k Ã k1 X cho k Ã k1 tương đương với k · k vµ (X, k · k1 ) lµ không gian có chuẩn trơn (iii) Không gian X gọi Asplund hàm lồi liên tục : U R xác định tập lồi mở U X khả vi ®iĨm thc mét tËp trï mËt cđa U 1.1.5 Chú ý Không gian Banach đóng khả ly X Asplund không gian X có đối ngẫu khả ly Lớp không gian Asplund chứa không gian có chuẩn tương đương trơn, đặc biệt không gian Banach phản xạ R Haydon (1990) đÃ không gian Asplund mà chuẩn tương đương không trơn Các không gian C[a, b], L1 [a, b] L [a, b] không Asplund c0 Asplund không phản xạ mét tËp cđa X vµ x¯ ∈ Ω Nãn tiÕp tun Bouligand-Severi cđa Ω t¹i x ¯, ký hiƯu T ( x; ), tập X xác định T ( x; ) := v ∈ X | ∃ tk ↓ 0, ∃ vk ∈ X : vk → v, x¯ + tk vk ∈ Ω ∀k − b x; Ω) = T ( 1.1.7 Chú ý Nếu X hữu hạn chiều, N ( x ; ) , K − := x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , vi ≤ ∀v ∈ K víi mäi K ⊂ X Cho 1.1.6 Định nghĩa F : X Y, miền hữu hiệu đồ thị F tương ứng lµ DomF := x ∈ X | F (x) 6= ∅ vµ gphF := (x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) Víi ¸nh xạ đa trị 1.1.8 Định nghĩa Cho F : X Y ( x, y) X ì Y (i) Đối đạo hàm pháp tuyến F ( x, y) ánh xạ DN F ( x, y) : Y X xác ®Þnh bëi ∗ DN F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N (¯ x, y¯); gph F b F ( (ii) Đối đạo hàm Fréchet F ( x, y) ánh xạ D x, y) : Y X 10 xác định b F ( b (¯ D x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N x, y¯); gph F ∗ F (¯ x, y¯) : Y X (iii) Đối đạo hàm hỗn hợp F ( x, y) ánh xạ DM xác định F ( x, y)(y ∗ ) DM 1.1.9 Chó ý n w∗ := x∗ ∈ X ∗ | ∃εk ↓ 0, (xk , yk ) → (¯ x, y¯), x∗k −→ x∗ , o ∗ ∗ ∗ ∗ k·k b yk −→ y : (xk , −yk ) ∈ Nεk (xk , yk ); gph F , k Nếu mệnh đề cho F ( x, y), F (¯ x, y¯) vµ DN DM D∗ F (¯ x, y) chung cho hai loại đối đạo hàm Nếu F ( x) = { y }, ta bá qua y¯ ký hiƯu cđa ®èi đạo hàm chẳng x, y) x) thay cho DN F (¯ h¹n, ký hiƯu DN F (¯ phát biểu dùng 1.1.10 Định nghĩa Cho ϕ : X → R := R ∪ {±∞} (i) Miền hữu hiệu đồ thị tương ứng dom := x X | ϕ(x) < ∞ vµ epi ϕ := (x, α) ∈ X × R | α ≥ ϕ(x) (ii) Ta nãi ϕ lµ chÝnh thêng nÕu dom ϕ 6= ∅ vµ ϕ(x) > −∞ víi mäi x ∈ X (iii) Hàm gọi nửa liên tục díi t¹i x nÕu lim inf ϕ(u) ≥ ϕ(x) u→x (iv) NÕu tån t¹i δ > cho ϕ nửa liên tục u B (x) ta gọi nửa liên tục quanh x (v) Nếu nửa liên tục x gọi nửa liên tơc díi x¯ ∈ X tháa m·n ϕ(¯ x) ∈ R b x) X xác định (i) Dưới vi phân Fréchet x tËp ∂ϕ(¯ b x) := x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −1) ∈ N b (¯ ∂ϕ(¯ x, ( x)); epi 1.1.12 Định nghĩa Cho (ii) Dưới vi phân qua giới hạn x tập ( x) X xác ®Þnh bëi ∂ϕ(¯ x) := x∗ ∈ X ∗ | (x∗ , −1) ∈ N (¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ Qui íc b x) := ∅ nÕu |ϕ(¯ ∂ϕ(¯ x) = ∂ϕ(¯ x)| = ∞ 1.2 Nãn ph¸p tuyÕn tập nghịch ảnh quy tắc tổng g : X → Y vµ Θ ⊂ Y víi y¯ = g(¯ x) ∈ Θ Gi¶ sư r»ng g kh¶ vi chặt x g( x) : X Y 1.2.1 Định lý (B S Mordukhovich B Wang, 2004) Cho toàn ánh Khi đó, ta có b x¯; g −1 (Θ) = ∇g(¯ b (¯ N x¯; g −1 (Θ) = ∇g(¯ x)∗ N (¯ y ; Θ) vµ N x)∗ N y ; Θ) 11 Trong luận án, cách sử dụng Định lý 1.2.1, đÃ giới thiệu phép chứng minh cho quy tắc tổng đÃ biết sau Cho f : X Y ánh xạ khả vi chặt x X F : X Y ánh xạ đa trị tháa m·n y¯ − f (¯ x) ∈ F (¯ x), y Y Khi đó, víi mäi y ∈ Y , ta cã 1.2.2 HƯ qu¶ ∗ ∗ DN (f + F )(¯ x, y¯)(y ∗ ) = ∇f (¯ x)∗ y ∗ + DN F x¯, y¯ − f (¯ x) (y ∗ ) vµ b ∗ (f + F )(¯ b ∗ F x¯, y¯ − f (¯ D x, y¯)(y ∗ ) = ∇f (¯ x)∗ y ∗ + D x) (y ∗ ) Cho ψ : X → R hàm hữu hạn x X : X R hàm khả vi chặt x Khi đó, ta có 1.2.4 HƯ qu¶ b + ψ)(¯ b x) ∂(ϕ + ψ)(¯ x) = ∇ϕ(¯ x) + ∂ψ(¯ x) vµ ∂(ϕ x) = ∇ϕ(¯ x) + ∂ψ(¯ 1.3 Nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet tập nghịch ảnh g : X Y ánh xạ khả vi x , := g (K) K Y Xét toán tối ưu (P ): ( f (x) inf, x , Giả sử f : X R hàm số khả vi x; f tương ứng gọi hàm mục tiêu miền ràng buộc (P ) Điểm x gọi nghiệm địa phương (P ) nÕu tån t¹i δ > cho f (x) ≥ f (¯ x) víi mäi x ∈ Ω ∩ Bδ (¯ x) Y := Rm, K := {0Rp } × Rm−p (m, p ∈ N, p ≤ m) vµ − g(x) = g1 (x), g2 (x), , gm (x) , toán (P ) gọi quy hoạch phi Trong trường hợp, tuyến (nonlinear program) Nếu miền ràng buộc thỏa mÃn điều kiện định (chuẩn hóa ràng buộc) x nghiệm địa phương (P ), ta có điều kiện Karush-Kuhn-Tucker: tån t¹i λ = (λ1 , , λm ) ∈ Rm cho  m P ∇f (¯ x) + λi ∇gi (¯ x) = 0, λj ≥ 0, ∀j ∈ I(¯ x), i=1  λi gi (¯ x) = 0, ∀i = 1, 2, , m Nh÷ng kÕt kiểu thường gọi quy tắc nhân tử Lagrange Tìm chuẩn hóa ràng buộc chủ đề trung tâm lý thuyết điều kiện cần 12 cực trị quy hoạch phi tuyến Đến nay, có nhiều chuẩn hóa ràng buộc đÃ giới thiệu, chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyÕn tÝnh vµ chuÈn hãa rµng buéc Mangasarian-Fromovitz lµ hai chuẩn hóa ràng buộc đóng vai trò đặc biệt quan trọng lý thuyết quy hoạch phi tuyến ứng dụng F J Gould J W Tolle (1971) đÃ chứng minh dimX < chuẩn hóa ràng buộc Guignard T ( x; Ω) = ∇g(¯ x) N g(¯ x); K lµ chuẩn hóa ràng buộc yếu Đối với quy hoạch phi tuyÕn, ta cã b g(¯ N x); K = y ∗ ∈ Rm | λj ≥ 0, ∀j ∈ I(¯ x), λi gi (¯ x) = 0, ∀i = 1, 2, , m , víi I(¯ x) := j ∈ {p + 1, , m} | gj (¯ x) = vµ y ∗ := (λ1 , , m ) Vì thế, khái niệm sau xem mở rộng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker 1.3.1 Định nghĩa Ta nói điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker cho (P ) b g( x nÕu tån t¹i y ∗ ∈ N x); K cho ∇f (¯ x) + ∇g(¯ x)∗ y ∗ = Nếu dimX < chuẩn hóa ràng buộc Guignard trïng víi ®iỊu kiƯn b b g(¯ N x¯; Ω = ∇g(¯ x)∗ N x); K Do đó, kết sau xem mở rộng kết đÃ đề cập Gould Tolle Cho g : X Y ánh xạ khả vi x ¯ ∈ Ω := g −1 (K) víi K ⊂ Y đóng Khi đó, điều kiện cần đủ để 1.3.4 Định lý b x; = ∇g(¯ b g(¯ N x)∗ N x); K lµ víi hàm mục tiêu f khả vi x , điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker cho (P ) x x nghiệm địa phương (P ) m−p XÐt trêng hỵp Y := Rm , K := {0Rp } ì R g : X Rm khả vi x := g (K) Giả sử chuẩn hóa ràng buộc Guignard thỏa mÃn x Khi đó, ta cã 1.3.5 HƯ qu¶ b x¯; Ω = ∇g(¯ b g(¯ N x)∗ N x); K X Y không gian Banach, g : X Y khả vi liên tục, K Y lồi đóng x := g −1 (K) Ta nãi r»ng chuÈn hãa rµng buéc Robinson x int g( x) + g( x)(X) K 1.3.6 Định nghĩa Cho Cho X Y không gian Banach, g : X Y ánh xạ khả vi liên tục, K Y tập lồi đóng x := g (K) Giả sử chuẩn hóa ràng buộc Robinson ®óng t¹i x ¯ Khi ®ã, ta cã 1.3.8 HƯ qu¶ b x¯; Ω = ∇g(¯ b g(¯ N x)∗ N x); K 13 KÕt luËn Ch¬ng Các kết chương bao gồm: - PhÐp chøng minh míi cho mét sè quy t¾c tỉng dạng đẳng thức (Hệ 1.2.2 Hệ 1.2.4); - Một kết mối quan hệ công thức tính nón pháp tuyến tập nghịch ảnh điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker (Định lý 1.3.4) Các kết chương chưa công bố trước Chương Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet ứng dụng Chương dành để nghiên cứu định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet, tính đơn điệu ánh xạ liên tục tính lồi hàm số khả vi liên tục 2.1 Kiến thức chuẩn bị Mục nhắc lại số kết giải tích biến phân cần dùng cho phép chứng minh phần sau Chúng bao gồm nguyên lý biến phân Ekeland, định lý Moreau-Rockafellar, tắc tổng mờ qui tắc hiệu 2.2 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet 2.2.1 Định lý (B S Mordukhovich Y Shao, 1996) Cho X không gian Asplund : X → R lµ mét hµm chÝnh thêng nưa liên tục dưới, hữu hạn hai điểm a 6= b c [a, b) điểm thỏa mÃn (c) = (x), x[a,b] (x) := ϕ(x) + cho ϕ(b) − ϕ(a) ϕ b kx bk Khi đó, tồn xk c vµ x∗k ∈ ∂ϕ(x k) kb − ak ϕ(b) − ϕ(a) kb − ck, k→∞ kb − ak lim inf hx∗k , b − ≥ ϕ(b) − ϕ(a), lim inf hx∗k , b − xk i ≥ k→∞ (2.1) (2.2) 14 thế, c 6= a lim hx∗k , b − = ϕ(b) − ϕ(a) k→∞ (2.3) X không gian Banach Ta nói định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet X với hàm : X R thỏa mÃn giả thiết Định lý 2.2.1, tồn xk − c vµ b x∗k ∈ ∂ϕ(x k ) cho (2.1) − (2.3) ®óng 2.2.2 Chó ý Cho KÕt mục phát biểu sau: Để không gian Banach X Asplund, điều kiện cần đủ định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho vi phân Fréchet X 2.2.7 Định lý 2.3 Đặc trưng tính đơn điệu ánh xạ qua đối đạo hàm Trước hết, nhắc lại khái niệm ánh xạ đơn điệu: T : X X đơn điệu hx∗1 − x∗2 , x1 − x2 i ≥ víi mäi (xi , x∗i ) ∈ gphT, i = 1, T gọi đơn điệu cực đại T đơn điệu gphT không tập thực đồ thị ánh xạ đơn điệu từ X vào X Ta nói ánh xạ T : U X đơn ®iƯu nÕu vµ chØ nÕu Te : X ⇒ X đơn điệu, U X , Te (x) := T (x) x ∈ U vµ Te (x) := x X\U 2.3.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạ Kết sau cho thÊy r»ng, díi mét sè gi¶ thiÕt, tÝnh nưa xác định dương đối đạo hàm đặc trưng tính đơn điệu Cho X không gian Asplund vµ f : X → X ∗ lµ ánh xạ liên tục Xét tính chất: 2.3.5 §Þnh lý (a) ∗ hu∗ , ui ≥ víi mäi x ∈ X , u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ DN f (x)(u); ∗ hu∗ , ui ≥ víi mäi x ∈ X , u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ DM f (x)(u); b ∗ f (x)(u); (c) hu∗ , ui ≥ víi mäi x ∈ X , u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ D (b) (d) f đơn điệu Khi ta có (a) (b) (c) (d); X phản xạ (b) (c); f Lipschitz địa phương X Hilbert (c) (d); X Euclid hữu hạn chiều (a) (b) (c) ⇔ (d) f : R → R cho bëi f (x) = nÕu x ∈ Q b (x, f (x)); gphf = {0} ì R và f (x) = nÕu x ∈ R\Q Ta cã N b ∗ f (x)(u) = {0} víi mäi x, u ∈ R Từ suy (c) Mặt khác, D 2.3.7 Ví dụ Xét ánh xạ 15 f (x1 ) − f (x2 ), x1 − x2 = x2 − x1 < 0, víi bÊt kú (x1 , x2 ) ∈ Q × R\Q , x1 > x2 Do đó, f không đơn điệu Vì vậy, trường hợp này, (c) (d) Lý f không liên tục Trong trường hợp ánh xạ khả vi, Định lý 2.3.5 cho phép thu lại kết cổ điển sau đây: Cho f : Rn Rn ánh xạ khả vi Khi đó, f đơn điệu ma trận Jacobi Jf (x) nửa xác định dương, tức lµ uT Jf (x)u ≥ víi mäi x, u Rn 2.3.8 Hệ Khái niệm ánh xạ đơn điệu mạnh không gian Hilbert định nghĩa sau: T : X X ánh xạ đa trị, X không gian Hilbert Ta nói T đơn ®iƯu m¹nh nÕu tån t¹i σ > cho T I đơn điệu, I ánh xạ đồng X 2.3.10 Định nghĩa Cho Do đó, nhờ Định lý 2.3.3 Hệ 1.2.2, ta có: Cho X không gian Hilbert f : X X ánh xạ liên tục Khi đó, tính chất sau tương đương: 2.3.11 Hệ > để hu , ui ≥ σkuk2 víi mäi x, u ∈ X vµ u∗ ∈ DM f (x)(u); b ∗ f (x)(u); (j) Tồn > để hu , ui σkuk2 víi mäi x, u ∈ X vµ u∗ ∈ D (i) Tồn (k) f đơn điệu mạnh Tiếp theo, có số điều kiện đủ để ánh xạ liên tục đơn điệu tập lồi đóng Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Asplund X vµ f : X → X ∗ Khi đó, f đơn điệu C hai điều kiện sau thỏa mÃn: 2.3.17 Định lý (m) f Lipschitz địa phương x ∈ C vµ ∗ hz, ui ≥ ∀u ∈ C − C ⊂ X ∗∗ , ∀z ∈ DM f (x)(u), ∀x ∈ C; (n) int C 6= ∅, f liên tục C và, với x intC , b ∗ f (x)(u) hz, ui ≥ ∀u ∈ intC − intC ⊂ X ∗∗ , ∀z ∈ D (Mordukhovich, 1992) Cho ϕ : X → R hàm hữu hạn x X x ( x) Dưới vi phân bậc hai pháp tuyến hàm số 2.3.19 Định nghĩa 16 t¹i ϕ(¯ x, x¯∗ ) : X ∗∗ ⇒ X ∗ cho bëi (¯ x, x¯∗ ) lµ ánh xạ đa trị N N ( x, x¯∗ )(u) := DN ∂ϕ (¯ x, x¯∗ )(u) ∀u ∈ X ∗∗ Díi vi ph©n bËc hai hỗn hợp hàm số ( x, x ) ánh xạ đa trị ( x, x ) : X ∗∗ ⇒ X ∗ cho bëi ∂M ∗ ∂M ϕ(¯ x, x¯∗ )(u) := DM ∂ϕ (¯ x, x¯∗ )(u) ∀u ∈ X ∗∗ Với b x), ánh xạ đa trị b2 ( x¯∗ ∈ ∂ϕ(¯ x, x¯∗ ) : X ∗∗ ⇒ X ∗ cho bëi b (¯ b ∗ ∂ϕ ∂b2 ϕ(¯ x, x¯∗ )(u) := D x, y¯)(u) ∀u X , gọi vi phân bËc hai FrÐchet cđa hµm sè Quy íc r»ng nÕu ϕ t¹i (¯ x, x¯∗ ) x¯∗ 6∈ ∂ϕ(¯ x) th× 2 ∂N ϕ(¯ x, x¯∗ )(u) := ∅ vµ ∂M ϕ(¯ x, x¯∗ )(u) := ∅, nÕu b x) th× ∂b2 ϕ(¯ x¯∗ 6∈ ∂ϕ(¯ x, x¯∗ )(u) := ∅ víi mäi u ∈ X ∗∗ 2 ∂ϕ(¯ x) = {¯ x∗ }, th× viÕt ∂N ϕ(¯ x) thay cho ∂N ϕ(¯ x, x¯∗ ) vµ ∂M ϕ(¯ x) thay ∗ 2 ∗ b x) = {¯ cho ∂M ϕ(¯ x, x¯ ) Ta ký hiÖu ∂b ϕ(¯ x) thay cho ∂b ϕ(¯ x, x¯ ) nÕu ∂ϕ(¯ x∗ } NÕu Cho ϕ : X R hàm số khả vi liên tục, X không gian Asplund Xét tính chất: 2.3.21 Định lý (p) Với x ∈ X , hu∗ , ui ≥ víi mäi u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ ∂N ϕ(x)(u) x ∈ X , hu∗ , ui ≥ víi mäi u ∈ X ⊂ X ∗∗ u M (x)(u) b2 (x)(u) (r) Với x ∈ X , hu∗ , ui ≥ víi mäi u ∈ X ⊂ X ∗∗ vµ u∗ ∈ (q) Với (s) lồi Khi ta cã (p) ⇒ (q) ⇒ (r) ⇒ (s); nÕu X phản xạ (q) (r); Lipschitz địa phương X Hilbert (r) (s) X Euclid hữu hạn chiều (p) (q) (r) (s) Từ định lý ta suy kết cổ điển sau đặc trưng bậc hai tính lồi hµm sè: Cho ϕ : Rn → R lµ hµm khả vi hai lần Khi đó, lồi nếu, với x Rn , ma trận Hesse H (x) nửa xác định dương 2.3.23 Hệ 17 Kết luận Chương Các kết chương bao gồm: - Một đặc trưng không gian Asplund theo định lý giá trị trung bình xấp xỉ (Định lý 2.2.7); - Một số điều kiện cần điều kiện đủ theo đối đạo hàm để ánh xạ liên tục đơn điệu (Định lý 2.3.5 Định lý 2.3.17); - Một số điều kiện cần điều kiện đủ theo vi phân bậc hai để hàm số khả vi liên tục lồi (Định lý 2.3.21) Chương viết dựa báo [1] [3] Chương Tính ổn định kiểu Lipschitz bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện Chương dành để nghiên cứu tính chất kiểu Lipschitz ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện Trong chương này, không giải thích thêm, X không gian Banach phản xạ, T := 1, 2, , m (m ≥ 1) vµ a∗i ∈ X ∗ | i T họ phiếm hàm tuyến tính liªn tơc trªn X Mét tËp X gọi lồi đa diện biểu diễn dạng giao hữu hạn nửa không gian đóng X Với b = (b1 , b2 , , bm ) Rm , đặt (b) := x X | ha∗i , xi ≤ bi , ∀i ∈ T F : K X ánh xạ từ tập lồi đóng khác rỗng K không gian Banach X vào không gian đối ngẫu X Bài toán tìm x K cho F (x), u − x ≥ ∀u ∈ K, Cho gọi toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu VI(K, F ) Ta gọi F 18 K miền ràng buộc Mỗi x K tháa m·n F (x), u − x ≥ với u K gọi nghiệm VI(K, F ) trường véctơ K tập lồi đa diện, VI(K, F ) gọi toán bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện Nếu ánh xạ F affine (đơn điệu, đơn điệu mạnh, ), tương ứng ta gọi VI(K, F ) toán bất đẳng thức biến phân affine (đơn điệu, đơn điệu mạnh, ) Trong trường hợp X = Rn K = Rn +, n VI(K, F ) tương đương với toán bù: tìm x ∈ R cho ≤ F (x) ⊥ x ≥ NÕu f : Z × X → X ∗ , b ∈ Rm vµ p ∈ Z , với Z không gian Banach Bài toán t×m x ∈ Θ(b) cho Cho hf (p, x), u − xi ≥ víi mäi u ∈ Θ(b), gọi toán bất đẳng thức biến phân chứa tham số tập lồi đa diện bị nhiƠu, ký hiƯu VI f (p, ·); Θ(b) , ë x biến số p, b tham số Bài toán tương đương với toán giải phương trình suy rộng sau: f (p, x) + N x; Θ(b) , N x; (b) nón pháp tuyến tập (b) x theo nghÜa cđa gi¶i tÝch låi: N x; Θ(b) := x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , u−xi ≤ 0, ∀u ∈ Θ(b) nÕu x ∈ Θ(b) vµ N x; Θ(b) := ∅ nÕu x ∈ X\Θ(b) Víi (p, b) Z ì Rm , đặt n o S(p, b) := x ∈ X | ∈ f (p, x) + N x; Θ(b) ®ã S : Z × Rm ⇒ X , (p, b) S(p, b), ánh xạ nghiệm VI f (p, Ã); (b) Ta gọi 3.1.1 Định nghĩa (J.-P Aubin, 1984) Cho X Y không gian F : X ⇒ Y lµ kiĨu Lipschitz (Lipschitz-like) quanh (¯ x, y¯) ∈ gphF nÕu vµ chØ nÕu tån ` > > cho F (u) ∩ Bδ (¯ y ) ⊂ F (x) + `ku − xkBY víi mäi u, x ∈ Bδ ( x) Banach Ta nói ánh xạ {vi }m i=1 gồm phần tử không gian véctơ thực gọi m P độc lập tuyến tính dương nÕu nã tháa m·n ®iỊu kiƯn λi vi = vµ λi ≥ 0, HƯ i=1 i = 1, 2, , m, vµ chØ λi = víi mäi i = 1, 2, , m TËp chØ sè hoạt tương ứng với (x, b) gph xác ®Þnh bëi I(x, b) := {i ∈ T | ha∗i , xi = bi }, bi tọa ®é thø i cđa b ∈ Rm Víi ∅ = I ⊂ T , ký hiƯu bI lµ véctơ có thành phần tọa độ bi xếp theo tăng dần i I , I := T \I 19 3.2 Công thức ước lượng đối đạo hàm ánh xạ nghiệm Để giới thiệu kết phần sau, cÇn mét sè ký hiƯu sau x¯∗ ∈ N x, (b) , đặt I := I( x, b), X ∗ ∗ ¯ λj a∗j Ξ(¯ x, b, x¯ ) := λ = (λj )j∈I | λI ≥ 0, x = Với jI I1 ( x, ¯b, x¯∗ ) := i ∈ I | ∃λ ∈ Ξ(¯ x, ¯b, x¯∗ ) : λi = Với tập số P Q thỏa mÃn P Q T , đặt := span a∗i | i ∈ P } + pos{a∗j | j ∈ Q\P , AQ,P BQ,P := x ∈ X | ha∗i , xi = ∀ i ∈ P, ha∗j , xi ≤ ∀j ∈ Q\P , vµ FQ := x ∈ X | ha∗i , xi = ¯ bi , ∀i ∈ Q, ha∗j , xi < ¯bj , ∀j ∈ T \Q , ë ®©y ∗ X λi | λi ∈ R ∀i ∈ P span | i ∈ P } := i∈P vµ ∗ X pos | i ∈ Q\P } := λi | λi ≥ ∀i ∈ Q\P i∈P Qui íc span ∅ = pos = {0} Sau số công thức ước lượng đối đạo hàm ánh xạ nghiệm Giả sử f : Z ì X X ánh xạ khả vi chặt ( p, x) m đạo hàm riêng p f ( p, x) : Z X toàn ánh Gọi S : Z ì R X ánh xạ nghiệm toán VI f (p, Ã); (b) Đặt x := f ( p, x), I := I(¯ x, ¯b) vµ J := I\I1 (¯ x, b, x ) Khi đó, khẳng định sau đúng: 3.2.5 Định lý {aj | j I} độc lập tuyến tính dương, với x ∈ X ∗ , ta cã (i) NÕu ∗ ∗ DM p, ¯b, x¯)(x∗ ) ⊂ DN S(¯ p, ¯b, x¯)(x∗ ) nS(¯ ⊂ (p∗ , b∗ ) | − v ∈ BQ,P , p∗ = ∇p f (¯ p, x¯)∗ v, b∗ ∈ Rm , b∗Q¯ = 0, o P ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ bQ\P ≤ 0, x + ∇x f (¯ p, x¯) v = bi , J ⊂ P ⊂ Q ⊂ I i∈Q X hữu hạn chiều, với x X ∗ , ta cã n ∗ ∗ ∗ ∗ ¯ ¯ DN S(¯ p, b, x¯)(x ) = DM S(¯ p, b, x¯)(x ) ⊃ (p∗ , b∗ ) | − v ∈ BQ,P , x, ¯b, x¯∗ ), p∗ = ∇p f (¯ p, x¯)∗ v, b∗ ∈ Rm , b∗Q¯ = 0, b∗Q\J ≤ 0, λ ∈ Ξ(¯ o P ∗ ∗ x∗ + ∇x f (¯ p, x¯)∗ v = bi , J1 (λ) ⊂ P ⊂ Q ⊂ I, FQ 6= ∅ (ii) Nếu iQ 20 3.3 Tính ổn định kiểu Lipschitz toán VI f (p, Ã); (b) Kết mục định lý sau đây: m toán Gọi S : Z ì R X ánh xạ nghiệm VI f (p, ·); Θ(b) Gi¶ sư (¯ p, b, x¯) gphS f : Z ì X X ánh xạ khả vi chặt ( p, x), đạo hàm riêng p f ( p, x) : Z X toàn ánh Z X hữu hạn chiều Đặt x := −f (¯ p, x¯), I := I(¯ x, ¯b) vµ J := I\I1 (¯ x, ¯b, x¯∗ ) Khi ®ã, khẳng định sau đúng: 3.3.5 Định lý (i) Hai mệnh đề sau tương đương: (a) Hệ {aj }jI độc lập tuyến tính S kiĨu Lipschitz quanh (¯ p, ¯b, x¯); (b) Víi mäi b Rm cặp (P, Q) thỏa P m·n J ⊂ P ⊂ Q ⊂ I , nÕu ∗ ∗ ∗ p, x¯) v = b∗i a∗i , th× (v, b∗ ) = (0, 0) −v ∈ BQ,P , bQ¯ = 0, bQ\P ≤ vµ ∇x f ( iQ (ii) Trong trường hợp X hữu hạn chiỊu vµ S lµ kiĨu Lipschitz quanh (¯ p, ¯b, x¯), P ∗ ∗ nÕu λ ∈ Ξ(¯ x, ¯b, x¯∗ ), b∗ ∈ Rm , J1 (λ) ⊂ P ⊂ Q ⊂ I, ∇x f (¯ p, x¯)∗ v = bi , i∈Q b∗Q¯ b∗Q\J ∗ = 0, ≤ 0, th× (v, b ) = (0, 0) Do ®ã, nÕu S lµ kiĨu Lipschitz quanh ®iĨm (¯ p, b, x), {aj }jI độc lập tuyến tính dương := T \Q Trong J1 () := {i ∈ I | λi > 0} vµ Q −v BQ,P , FQ 6= , Ví dụ sau cho thấy rằng, điểm véctơ hoạt xác định miền ràng buộc độc lập tuyến tính, ánh xạ nghiệm kiểu Lipschitz không kiĨu Lipschitz 3.3.7 VÝ dơ LÊy X = Z = R, a∗1 = −1, f (x, p) := x2 + p, x¯ = vµ ¯b = Ta cã √ √ √  nÕu p < 0, − −p < −b < −p,  −p √ √ √ S(p, b) = − b, − −p, −p nÕu p ≤ 0, −b < − −p,   −b trêng hợp lại p = {aj }jI(x,b) ®éc lËp tun tÝnh vµ S lµ kiĨu Lipschitz quanh (¯ p, ¯b, x¯) ∈ gphS a) NÕu p¯ = {aj }jI(x,b) độc lập tuyến tính S không kiểu Lipschitz quanh ( p, b, x) gphS b) Nếu Trong trường hợp véctơ hoạt xác định miền ràng buộc phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính dương, ánh xạ nghiệm có thÓ kiÓu Lipschitz 21 X = Z = R, a∗1 = −1, a∗2 = −2, f (x, p) := x2 + p, x¯ = 0, p¯ = vµ ¯b = (0, 0) Ta cã √  −p nÕu p < 0,   √ √    − −p < max(−b1 , − b22 ) < −p,  √ √ S(p, b) = max(−b1 , − b22 ), − −p, −p nÕu p ≤ 0,  √  b2   −p, max(−b , − ) < −    max(−b1 , − b22 ) trường hợp lại 3.3.8 Ví dụ Do ®ã, LÊy S lµ kiĨu Lipschitz quanh (¯ p, ¯b, x) gphS Trong tình này, hệ {aj }jI(x,b) ®éc lËp tun tÝnh d¬ng, nhng phơ thc tun tÝnh Tuy nhiên, ánh xạ nghiệm kiểu Lipschitz điểm mà véc tơ hoạt xác định miền ràng buộc phụ thuộc tuyến tính dương Cho X, Z không gian Banach S(p, b) tập nghiệm toán VI f (p, Ã); (b) , f : Z ì X X ∗ , b ∈ Rm , p ∈ Z 3.3.9 Định lý (b) := x X | ha∗i , xi ≤ bi , ∀i ∈ T , T := 1, 2, , m Gi¶ sử ánh xạ S : Z ì Rm X, (p, b) 7→ S(p, b), lµ kiĨu x, ¯b)} lµ ®éc lËp Lipschitz quanh ®iÓm (¯ p, ¯b, x¯) ∈ gphS Khi ®ã, hƯ {a∗j | j ∈ I(¯ tun tính dương Kết luận Chương Kết chương bao gồm: - Các ước lượng đối đạo hàm ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu (Định lý 3.2.5); - Một số điều kiện cần điều kiện đủ để bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu ổn định kiểu Lipschitz (Định lý 3.3.5 Định lý 3.3.9); - Các ví dụ phân tích tính ổn định kiểu Lipschitz bất đẳng thức biến phân tập lồi đa diện bị nhiễu (Ví dụ 3.3.7 Ví dụ 3.3.8) Chương viết dựa báo [2] [4]