Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH Tai Lieu Chat Luong LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CƠNG NGHỆ THƠNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62.46.30.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Hà Nội – 2014 Mục lục Mở đầu Chương Hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 15 1.1 Không gian Hilbert không gian Banach 15 1.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 1.2.1 Khái niệm tốn đặt chỉnh khơng chỉnh 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 1.2.3 22 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình tốn tử U − đơn điệu 1.3 21 27 Hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.3.1 Bài toán dẫn đến hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 1.3.2 28 28 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 35 Chương Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử liên tục đóng yếu 42 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải 42 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh trường hợp nhiễu vế phải nhiễu toán tử 48 2.3 2.4 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử tuyến tính liên tục 54 Một số kết tính tốn 65 2.4.1 Quy tắc dừng lặp kết tính tốn cho hệ phương trình tốn tử tuyến tính 2.4.2 65 Kết tính tốn cho hệ phương trình tốn tử phi tuyến 76 Chương Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với tốn tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach 3.1 81 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach 81 3.2 Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 89 3.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 97 3.4 Một số kết tính tốn 99 Kết luận 106 Tài liệu tham khảo 107 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Cơng Điều Các kết trình bày luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình người khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Cơng Điều Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận án Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS Nguyễn Bường TS Nguyễn Cơng Điều, người thầy tận tình hướng dẫn cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả hồn thành luận án thời hạn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo thuộc Đại học Thái Nguyên Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận án Viện Công nghệ Thông tin Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Rn Không gian Ơcơlit n-chiều X∗ Không gian liên hợp không gian Banach X A∗ : Y ∗ → X ∗ Toán tử đối ngẫu toán tử A : X → Y H Không gian Hilbert I Toán tử đơn vị D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền ảnh toán tử A A−1 Toán tử ngược toán tử A A0 (x) Đạo hàm Fréchet toán tử A điểm x hx, yi Tích vơ hướng x y không gian Hilbert kxkX Chuẩn x không gian X ρX (x, y) Metric x y không gian X a∼b a tương đương với b C[a, b] Không gian hàm liên tục đoạn [a, b] ∅ Tập rỗng xn * x Dãy xn hội tụ yếu tới x xn → x Dãy xn hội mạnh tới x θ Phần tử không không gian Banach S(x∗ , r) Hình cầu mở tâm x∗ bán kính r khơng gian Banach N (A) Khơng gian khơng điểm tốn tử A Mở đầu Trong toán nảy sinh từ thực tế, tồn lớp tốn mà nghiệm khơng ổn định theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến thay đổi lớn liệu đầu (nghiệm tốn), chí cịn làm cho tốn trở lên vơ nghiệm Lớp toán gọi lớp toán khơng qui hay tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm toán đặt chỉnh Hadamard,J [45] đưa nghiên cứu ảnh hưởng điều kiện biên lên nghiệm phương trình elliptic parabolic Xét tốn tìm nghiệm phương trình A(x) = f, (1) đây, A toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y Theo Hadamard toán (1) gọi đặt chỉnh (chính qui) điều kiện sau thỏa mãn: Phương trình (1) có nghiệm x0 với f ∈ Y ; Nghiệm x0 xác định cách nhất; Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f Một thời gian dài người ta nghĩ toán đặt thỏa mãn ba điều kiện Nhưng thực tế ý niệm sai lầm Nhất máy tính điện tử đời, tính tốn tốn thực tế máy tính ln xảy q trình làm trịn số Chính làm trịn dẫn đến sai lệch đáng kể Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn tốn (1) gọi tốn đặt khơng chỉnh Do lớp tốn đặt khơng chỉnh có tầm quan trọng ứng dụng thực tế, nên thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tiếng giới V K Ivanov, M M Lavrentiev, A N Tikhonov Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh như: P K Anh, Ng Bường, Đ N Hào, Đ Đ Trọng Để giải số toán đặt khơng chỉnh, bước Tikhonov đưa tốn đặt chỉnh cách giả thiết nghiệm cần tìm nằm vào tập compact lồi M ảnh A(M ) = N , cho f xấp xỉ fδ ∈ N ta có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N Do số liệu xấp xỉ số liệu khơng xác, nên xấp xỉ fδ lại không nằm vào tập A(M ) Khi đó, phương trình A(x) = fδ khơng có nghiệm theo nghĩa thơng thường Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K (xem [51], [52]) đưa khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1) Theo Ivanov phần tử x˜ ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf ρY (A(x), f ) gọi tựa nghiệm x∈M (1) tập M , trường hợp M tập compact X, với f ∈ Y tồn tựa nghiệm Nếu f ∈ A(M ) tựa nghiệm nghiệm thơng thường Tựa nghiệm nghiệm thơng thường khơng Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi không nằm A(M ) Lavrentiev, M.M [60] nghiên cứu Tư tưởng phương pháp mà Lavrentiev đề xuất thay phương trình (1) phương trình xấp xỉ giải với vế phải nghiệm phương trình xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải Năm 1963, Tikhonov, A N (xem [75], [76], [77]) đưa hướng giải toán (1), việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số M α [x, fδ ] = ρ2 (A(x), fδ ) + αψ(x), (2) ψ phiếm hàm ổn định không gian metric X, α tham số hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) chọn cho δ → 0, ta có α(δ) → điểm cực tiểu xδα phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm toán (1) Đối với toán (1), A : H → H tốn tử liên tục đóng yếu, Engl, H.W [42] xét dạng cụ thể (2) M α [x, fδ ] = kAx − fδ k2 + αkxk2 (3) chứng minh toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ hội tụ nghiệm (1) fδ → f Trong trường hợp A toán tử đơn điệu hemi liên tục từ không gian Bannach X vào X ∗ , Alber,Ya.I.[5] xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình A(x) + αU s (x) = fδ , (4) đây, U s toán tử đối ngẫu tổng quát X, tức U s : X → X ∗ , thỏa mãn điều kiện hU s (x), xi = kxkkU s (x)k, kU s (x)k = kxks−1 , s ≥ Từ (3.1), tính chất U − đơn điệu toán tử Ahj điều kiện định lý, ta có hδ hδ kxhδ − x k = x − x , U (x − x ) 0 α α α N X µ ˜ hδ = hf1δ − Ah1 (xhδ ) + α (fjδ − Ahj (xhδ α α )), U (xα − x0 )i α j=2 + x∗ − x0 , U (xhδ − x ) (3.22) α µ ˜ hδ hδ (δ + hg(kxhδ k))(1 + (N − 1)α )kx − x k + x − x , U (x − x ) ∗ 0 α α α α ≤ Từ (3.21) xhδ α → x0 ∈ S, ta có ∗ hδ − x ) − x ) = ω, A (x ) U (x x∗ − x0 , U (xhδ 0 α α ≤ kωkkA0 (x0 )∗ U (xhδ α − x0 )k ∗ hδ kA0 (x0 )∗ U (xhδ α − x0 )k = kQA (x0 ) U (xα − x0 )k, ∗ hδ hδ kA1 (xhδ α ) − A1 (x0 ) − QA (x0 ) U (xα − x0 )k ≤ γkA1 (xα ) − A1 (x0 )k Vì hδ kQA0 (x0 )∗ U (xhδ α − x0 )k − kA1 (xα ) − A1 (x0 )k ∗ hδ ≤ kA1 (xhδ α ) − A1 (x0 ) − QA (x0 ) U (xα − x0 )k, nên hδ kA0 (x0 )∗ U (xhδ α − x0 )k ≤ (γ + 1)kA1 (xα ) − f1 k h hδ δ ≤ (γ + 1)(δ + hg(kxhδ α k) + kA1 (xα ) − f1 k) hδ µ ˜ ≤ (γ + 1)(δ + hg(kxhδ α k) + αkxα − x∗ k + α N P δ kAhj (xhδ α ) − fj k) j=2 Từ (3.22) ta có kxhδ α − x0 k ≤ µ ˜ hδ max{1; g(kxhδ α k)}(δ + h)(1 + (N − 1)α )kxα − x0 k α 98 + x∗ − x0 , U (xhδ − x ) , α suy kxhδ α − x0 k ≤ µ ˜ hδ max{1; g(kxhδ α k)}(δ + h)(1 + (N − 1)α )kxα − x0 k α hδ +kωk(γ + 1)(δ + hg(kxhδ α k) + αkxα − x∗ k +α µ ˜ N X (3.23) δ kAhj (xhδ α ) − fj k), j=2 đây, hδ p hδ µ ˜p δ + hg(kxhδ α k) ≤ (1 + g(kxα k))(h + δ) ≤ (1 + g(kxα k))(h + δ) , hδ p hδ µ ˜p αkxhδ α − x∗ k = (K + 2g(kxα k))(δ + h) ≤ (K + 2g(kxα k))(δ + h) , µ ˜ µ ˜p µ ˜ hδ αµ˜ = (K + 2g(kxhδ α k)) /kxα − x∗ k (δ + h) Vậy từ (3.23) suy 1−p µ ˜p kxhδ kxhδ α − x0 k ≤ C1 (h + δ) α − x0 k + C2 (h + δ) , C1 > 0, C2 > Mặt khác a, b, c ≥ 0, s > t, as ≤ bat + c ⇒ as = O(bs/(s−t) + c), vậy, ta thu ν kxhδ ˜p/2} α − x0 k = O((h + δ) ), ν = min{1 − p; µ 3.4 Một số kết tính tốn Để minh họa cho lý thuyết hiệu chỉnh hệ phương trình tốn tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz mục trước, ta xét tốn tìm nghiệm hệ phương trình F ( hBj x, xi)Bj (x) = fj , j = 1, 2, 3, 99 (3.24) đây, F : R → R chọn sau:   0, t ≤ a0    t−a0 F (t) = ε , a0 < t ≤ a0 + ε     1, t > a0 + ε đó, a0 số dương, ε đủ bé Bj : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] tốn tử tích phân xác định Z1 Bj x(t) = kj (t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3, đó, kj (t, s), j = 1, 2, hạch tích phân xác định sau:   t(1 − s), t ≤ s k1 (t, s) =  s(1 − t), s < t   (1−s)2 st2 − (1−s)2 t3 (1+2s) + (t−s)3 , t≤s 6 k2 (t, s) =  s2 (1−s)(1−t)2 + s2 (1−t3 )(2s−3) + (s−t)3 , s ≤ t 6 k3 (t, s) = ts Trong trường hợp fj đại lượng xấp xỉ fjδ = fj + δ, δ > 0, tốn (3.24) dẫn việc tìm nghiệm xấp xỉ toán F ( hBj x, xi)Bj (x) = fjδ , j = 1, 2, (3.25) Giải tốn (3.25) dẫn tìm nghiệm phương trình hiệu chỉnh A1 (x) + αµ˜ (A2 (x) − f2δ + A3 (x) − f3δ ) + α(x − x∗ ) = f1δ , đây, Aj (x) = F ( hBj x, xi)Bj (x), j = 1, 2, 3, hay viết dạng B(x) + α(x − x∗ ) = f˜δ , 100 (3.26) B(x) = A1 (x) + αµ˜ (A2 (x) + A3 (x)), f˜δ = f1δ + αµ˜ (f2δ + f3δ ) Để giải số toán (3.26), ta thực việc rời rạc hóa tích phân Bj x(t) sau: " kj (ti , t0 )x0 + kj (ti , tM )xM + Bj x(ti ) ≈ B˜j xi = h M −1 X # kj (ti , tq )xq , q=1 i = 0, 1, , M, x(t) ≈ x˜ = (x0 ; x1 ; ; xM ), xi ≈ x(ti ), i = 0, 1, , M, đây, t0 = 0, tM = 1, ti = i/M, tq = q/M, h = 1/M Vậy toán tử B˜j xác định sau: B˜j = (bi,q )M i,q=0 ; bi,q = hkj (ti , tq ), i, q = 1, , M − 1; bi,0 = hkj (ti , t0 )/2; bi,M = hkj (ti , tM )/2 Sau rời rạc, toán (3.26) đưa dạng ˜ x˜ + α(˜ B x − x˜∗ ) = f˜δ , (3.27) ˜ = A˜1 + αµ˜ (A˜2 + A˜3 ), A˜j x˜ = F ( hB˜j x˜, x˜i)B˜j x˜, j = 1, 2, B Để kiểm tra nghiệm hiệu chỉnh có hội tụ nghiệm (3.24) hay khơng, ta giả thiết (3.24) có nghiệm x(t) = 1, kết tính tính tốn kiểm tra hội tụ phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm toán (3.27) thực theo sơ đồ lặp hiệu chỉnh (xem [12]) ˜ (k) + αk (x(k) − x(0) ) − f˜δ ) , x(0) = x˜∗ ∈ RM +1 , x(k+1) = x(k) − βk (Bx βk = cαk , αk+1 = αk , k = 0, 1, 2, , + αk3 với quy tắc dừng lặp (xem[9]) ˜ (K) − f˜δ k2 M +1 ≤ τ δ < kBx ˜ (k) − f˜δ k2 M +1 , τ > 1, k = 0, 1, , K − kBx R R 101 Để trình lặp hội tụ, ta cần chọn tham số thỏa mãn điều kiện αk α + L2 ≤ + αk3 , αk > αk+1 , (1 − cλ) cα02 ≤ 1, λ = , αk+1
√ 2α0 − cλ − ( τ − 1) α0 c k˜ x − x(0) kRM +1 ≤ , (1 + α03 ) (1 + α02 ) + 2α0 chọn α02 + L2 ˜ L = kBkRM +1 , α0 = 0.1, λ = ,c = , 2λ s !2 (0) kx − x kRM +1 [(1 + α0 ) (1 + α0 ) + 2α0 ]
τ= +1 − cλ − αc0 α0 Trong kết tính tốn, điểm xấp xỉ ban đầu chọn x (0) = (0.9; 0.9; ; 0.9) ∈ R M +1 10−3 , a0 = , ε = 10−2 , M = 50, µ ˜= Với cách chọn tham số xấp xỉ đầu trên, ta có kết nghiệm tìm sau: n K ˜ (K) − f˜δ k kBx τδ kx(K) − x0 k 1.281316 2.702034 0.714143 0.235367 0.270203 0.714143 0.133629 0.027020 0.714143 0.048042 0.002702 0.356609 12461 0.016399 0.000269 0.242662 595071 0.005181 0.000027 0.185342 0.001638 0.000003 0.149496 22343008 Bảng 3.1 Kết tính tốn mối liên hệ số lần lặp tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm x0 = (x00 ; x01 ; ; x0M ) = (1; 1; ; 1), δ = 10−n 102 Bây ta xét trường hợp toán tử tích phân có nhiễu Bjh x(t) = Z1 kjh (t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3, đây, kjh (t, s) = kj (t, s) + h(t, s), j = 1, 2, 3, < h(t, s) ≤ h, ∀t, s h → +0 Nếu chọn nhiễu h(t, s) = h ta có kết tính tốn sau: n K kB˜h x(K) − f˜δ k τδ kx(K) − x0 k 0.288198 2.771210 0.714143 0.153002 0.270602 0.714143 0.125654 0.027024 0.714143 0.047713 0.002702 0.359784 12420 0.016399 0.000269 0.243664 594816 0.005181 0.000027 0.185589 0.001638 0.000003 0.149560 22341513 Bảng 3.2 Kết tính tốn mối liên hệ số lần lặp tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm x0 = (x00 ; x01 ; ; x0M ) = (1; 1; ; 1) có nhiễu lên toán tử h = δ = 10−n Nhận xét: Kết tính tốn kết kiểm tra hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đặt khơng chỉnh cho trước nghiệm hệ x(t) = Phương trình hiệu chỉnh (3.27) có ˜ ma trận với điều kiện xấu, để tìm nghiệm ta cần phải sử B dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp quy tắc dừng lặp Từ Bảng 3.1 Bảng 3.2 thấy số lần lặp hiệu chỉnh phụ thuộc lớn vào nhiễu δ việc chọn xấp xỉ đầu x(0) Vì vậy, trường hợp địi hỏi độ xác cao cho nghiệm tốn u cầu thời gian tính tốn tương đối lớn 103 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, giới thiệu hệ phương trình đặt khơng chỉnh với tốn tử U − đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Các kết đạt chương xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình đặt khơng chỉnh phi tuyến có nhiễu vế phải nhiễu toán tử cách xấp xỉ hệ phương trình phương trình hiệu chỉnh Chúng tơi chứng minh phương trình hiệu chỉnh tồn nghiệm Đề xuất nguyên lý chọn tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào nhiễu vế phải, nhiễu lên toán tử cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ nghiệm hệ mà khơng cần tính liên tục yếu theo dãy toán tử, nguyên lý gọi nguyên lý tựa độ lệch Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đánh giá bổ sung thêm điều kiện đặt lên toán tử hệ phương trình mà khơng địi hỏi điều kiện lên tất tốn tử Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ tính tốn số để minh họa cho lý thuyết trình bày chương 104 Kết luận Luận án đề cập đến hai vấn đề sau: Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho hệ phương trình phi tuyến với tốn tử liên tục đóng yếu Các kết đạt phương pháp đưa hệ phương trình đặt khơng chỉnh tốn đặt chỉnh, việc giải toán xấp xỉ thực phương pháp Newton Ngoài ra, ổn định hội tụ nghiệm toán đặt chỉnh nghiệm hệ phương trình chứng minh nhờ tính chất liên tục đóng yếu tốn tử Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đưa bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm tính khả vi Fréchet, điều kiện Lipchitz lên đạo hàm Fréchet toán tử, điều kiện nguồn điều kiện số Lipchitz Trong trường hợp đặc biệt, tốn tử tuyến tính liên tục xét đến phương pháp đưa hệ phương trình đặt khơng chỉnh tốn đặt chỉnh Ngồi ra, ổn định hội tụ nghiệm toán đặt chỉnh nghiệm hệ phương trình chứng minh nhờ tính chất liên tục tốn tử Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đưa bổ sung thêm điều kiện nguồn toán tử Trong trường hợp tốn tử có tính chất U − đơn điệu liên tục 105 Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, đưa phương pháp hiệu chỉnh tính nghiệm hiệu chỉnh Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đưa tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm điều kiện nguồn tính khả vi Fréchet Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ tính tốn số để minh họa cho lý thuyết Các vấn đề cần nghiên cứu tiếp là: Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm phương pháp hiệu chỉnh đưa chương chương cho hệ phương trình tốn tử đặt không chỉnh Nghiên cứu việc áp dụng phương pháp lặp cho hệ phương trình đặt khơng chỉnh Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh nhiều tham số cho hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 106 Tài liệu tham khảo [1] Anh,Ph.K., Buong,Ng (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nghia,H.L (2009), Về toán chụp cắt lớp máy CTScanner, [http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/ve-bai-toan-chup-cat-lopcua-may-ct-scanner.41697.html, truy cập ngày 11/10/2010] [3] Agarwal, R.P., O’Regan.D and Sahu.D.R (2009), Fixed point theory for Lipschitz type mappings with applications, Springer [4] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P (1979), On solutions of nonlinear problems involving monotone discontinuous operators, Uravnenia [5] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer verlag Publishers [6] Andrew,J.K., Michael,Z (2004), Convex functional analysis, Germany [7] Anh,Ph.K., Chung,C.V (2009), Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations, Appl Math Comput, 212(2), 542-550 [8] Bakushinky,A.B., Goncharsky,A (1994), Ill-posed problems: Theory and Aplications, Kluwer Academic 107 [9] Bakushinky,A.B., Smirnova,A (2006), A posteriori stopping rule for regularized fixed point iterations, Nonl Anal, 64(6), 1255-1261 [10] Bakushinky,A.B., Smirnova,A (2005), On application of generalized discrepancy principle to iterative methods for nonlinear ill-posed problems, Numer Funct Anal Optim, 26(1), 35-48 [11] Bakushinsky,A.B of the iteratively (1992), The Problem of the convergence regularized Gauss-Newton method, Com- put.Math.Math.Phys, 32(9), 1353-1359 [12] Bakushinsky,A.B., Poljak,B.T (1974), The solution of variational inequalities, Dokl Akad Nauk SSSR, 1038-1041 (in Russian) [13] Barbu,V (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff Internal Publ Leyden Netherlands Ed Acad Bucurest, Romania [14] Barbu,V (1975), Convexity and optimization in Banach spaces, Editura Academiei R.S.R Bucurest [15] Baumeister,J., Kaltenbacher,B., Leitão,A (2010), On LevenbergMarquardt - Kaczmarz methods for regularizing systems of nonlinear ill-posed equations, Inverse Problems and Imaging, 335-350 [16] Boonchari,D., Saejung,S (2009), Weak and strong convergence theorems of an implicit iteration for a countable family of continuous pseudocontractive mappings, Journal of Computational and Applied Mathematics, 233(4), 1108-1116 108 [17] Browder,F.E (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc Nat Acad Sei U.S.A, 56(4), 1080-1086 [18] Browder,F.E., Petryshyn,W.V (1967), Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces, J Math Anal Appl, 20(2), 197-228 [19] Browder,F.E (1967), Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive type in Banach spaces, Bull Amer Math Soc, 73(6), 875-882 [20] Browder,F.E (1964), Continuity properties of monotone nonlinear operators in Banach spaces, Bull AMS, 70(4), 551-553 [21] Bryan,P.R., Martin,A.Y (2006), Linear functional analysis, Springer, London [22] Buong,Ng (2006), Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 46(3), 372-378 [23] Buong,Ng (1992), Projection - regularization method and illposedness for equations involving accretive operators, Vietnamese Math J, 20(1), 33-39 [24] Buong,Ng (2004), Generalized discrepancy principle and ill-posed equations involving accretive operators, J Nonlinear Functional Analys and Appl, Korea, 9, 73-78 109 [25] Buong,Ng (2004), Convergence rates in regularization for nonlinear ill-posed equations under m-accretive perturbations, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 44(3), 397-402 [26] Buong,Ng (2004), On nonlinear ill-posed accretive equations, Southest Asian Bull of Math, 28(1), 1-6 [27] Buong,Ng., Dung,N.D (2012), Convergence Rates in Regularization for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310 [28] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with perturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Technology, 83(7), 73 - 79 [29] Buong,Ng., Dung,N.D (2011), Regularization for a common solution of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788 [30] Buong,Ng., Dung,N.D (2009), Regularization for a Common Solution of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int Journal of Math Analysis, 3(34), 1693 - 1699 [31] Buong,Ng., Dung,N.D (2013), Regularization for a common solution of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving lipschitz continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XV số vấn đề chọn lọc Công nghệ Thông tin Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012 110 [32] Buong,Ng., Dung,N.D (2014), A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 54(3), 397 - 406 [33] Buong,Ng., Phuong,Ng.T.H (2013), Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m- accretive mappings in Banach spaces, Iz.VUZ Mathematica, (2), 67-74 [34] Buong,Ng., Thuy,Ng.T.T (2007), Iterative regularization method of zero order for unconstrained vector optimization of convex functionals, Kỷ yếu hội nghị khoa học kỉ niệm 30 năm thành lập Viện Công nghệ Thông tin 27-28/12/2006, Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội, 168-173 [35] Buong,Ng., Hung,V.Q (2005), Newton-Kantorovich iterative regularization for nonlinear ill-posed equations involving accretive operators, Ukrainian Math Zh, 57(2), 323-330 [36] Burger,M., Kaltenbacher.B (2006), Regularization Newton- Kacmarz methods for nonlinear ill-posed problems, SIAM J Number Analysis, 44(1), 153-182 [37] Ceng,L.C., Petrusel,A., Yao,J.C (2007), Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of lipschitz pseudocontractive mappings, J Mathematical Inequalities, 1(2), 249-258 111 [38] Cezaro,A.D., Baumeister,J, Leitão,A (2011), Modified iterated Tikhonov methods for solving system of nonlinear ill-posed equations, Inverse problems and imaging, 5(1), 1-17 [39] Cezaro,A.D., Haltmeier,M., Leitão,A., Scherzer,O (2008), On steepest-descent-Kaczmarz method for regularizing systems of nonlinear ill-posed equations, Applied Mathematics and Computations, 202(2), 596-607 [40] Cioranescu,I (1990), Geometry of Banach spaces, Duality mappings and nonlinear problems, Kluwer Acad Publ, Dordrecht [41] Ekeland,I., Temam,R (1976), Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, Amsterdam, Holland [42] Engl,H.W., Kunish,K., Neubauer,A (1989), Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 5(4), 523-540 [43] Fiacco,A.V., McCormick,G.P (1968), Nonlinear programming: sequential unconstrained minimization techniques, New-York [44] Gerald,T (2001), Nonlinear functional analysis, Wien, Austria [45] Hadamard,J (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris [46] Haltmeier,M., Kowar,R., Leitao,A., Scherzer,O (2007), Kacmarz methods for nonlinear ill-posed equations I: Convergence analysis, Inverse problem and Imaging, 1(2), 289-298, II: Application 1(3), 507-523 112