Bài toán tựa cân bằng tổng quát và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Tai Lieu Chat Luong LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn THÁI NGUYÊN - 2015 Líi cam oan Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn CĂc kát quÊ viát chung vợi GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn v GS TS Nguyạn Bữớng  ữủc sỹ ỗng ỵ cừa cĂc thƯy ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ nảu luên Ăn l mợi chữa tứng ữủc cổng bố trữợc õ TĂc giÊ Nguyạn Th Quýnh Anh Lới cÊm ỡn Luên Ăn ny ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn Trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu cừa tĂc giÊ, GS TSKH Nguyạn XuƠn TĐn  tứng bữợc ch dăn tĂc giÊ mởt cĂch tên tẳnh v nghiảm khưc, truyÃn cho tĂc giÊ rĐt nhi·u ki¸n thùc khoa håc v  cuëc sèng T¡c gi£ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án th¦y T¡c gi£ xin °c bi»t c£m ìn GS TS Nguyạn Bữớng, ngữới thƯy  luổn quan tƠm, giúp ù v tÔo iÃu kiằn cho tĂc giÊ tham gia semina nhõm nghiản cựu cừa suốt quĂ trẳnh hồc têp vứa qua NhƠn dp ny, tĂc giÊ cụng xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn tợi cĂc thƯy: GS TSKH PhÔm Hỳu SĂch, GS TSKH Nguyạn ổng Yản, PGS TS Nguyạn BĂ Minh, PGS TS Nguyạn Nông TƠm, PGS TS PhÔm Hián Bơng, PGS TS H TrƯn Phữỡng, TS Hỗ Minh Ton  ch bÊo tên tẳnh v cho nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu cho luên Ăn TĂc giÊ xin ữủc by tọ sỹ cÊm ỡn án Ban Gi¡m hi»u, Ban chõ nhi»m Khoa Khoa håc cì bÊn trữớng Ôi hồc Cổng nghằ Thổng tin v TruyÃn thổng,  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ hon thnh luên Ăn cừa mẳnh TĂc giÊ cụng xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m èc, Ban Sau Ôi hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản; Ban GiĂm hiằu, Phỏng Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm khoa ToĂn, Bở mổn GiÊi Tẵch trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc Th¡i Nguy¶n; Vi»n To¡n håc v  c¡c nh  khoa håc tÔi cĂc cỡ s,  tÔo iÃu kiằn v giúp ù tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn bÔn b, ỗng nghiằp, anh ch em nghiản cựu sinh  luổn giúp ù, ởng viản v khẵch lằ tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v lm luên Ăn iii TĂc giÊ xin gỷi tng bố mà v gia ẳnh thƠn yảu cừa mẳnh niÃm vinh dỹ to lợn ny TĂc giÊ Nguy¹n Thà Qnh Anh Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ìn Nhúng k½ hi»u Mð ¦u Ch÷ìng MËT SÈ KI˜N THÙC CÌ BƒN 1.1 i ii vi Khổng gian tổpổ tuyán tẵnh lỗi a phữỡng Hausdorff 1.1.1 Khæng gian tæpæ 1.1.2 Khỉng gian tỉpỉ tuy¸n t½nh 11 1.2 Nõn v Ănh xÔ a tr 12 1.2.1 Nân 12 1.2.2 nh xÔ a tr 14 1.2.3 Tẵnh liản tửc cừa Ănh xÔ a tr 15 1.2.4 Tẵnh lỗi cừa Ănh xÔ a tr 18 1.2.5 Mët số nh lỵ im bĐt ởng 21 Ch÷ìng B€I TON TÜA C…N BŒNG TÊNG QUT 24 2.1 °t b i to¡n 24 2.2 C¡c b i to¡n li¶n quan 25 2.3 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi 31 2.4 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc bi toĂn liản quan 34 2.4.1 Bi toĂn tỹa quan hằ bián phƠn 34 2.4.2 Bi toĂn tỹa cƠn bơng vổ hữợng 36 2.4.3 B i toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn lỵ tững 37 2.4.4 B i to¡n tỹa cƠn bơng lỵ tững 39 2.4.5 CĂc bi toĂn tỹa cƠn bơng Pareto v y¸u 40 v 2.4.6 C¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc tỹa bián phƠn vctỡ 62 2.5 Sü ên ành cõa c¡c tªp nghi»m cõa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt 66 Ch÷ìng B€I TON BAO H€M THÙC TÜA BI˜N PH…N PARETO HÉN HÑP 70 3.1 °t b i to¡n 71 3.2 Sỹ tỗn tÔi nghiằm 75 3.2.1 B i to¡n bao h m thùc tỹa bián phƠn Pareto hộn hủp trản-trản 75 3.2.2 B i to¡n bao hm thực tỹa bián phƠn Pareto hộn hủp trản - dữợi 80 3.2.3 Bi toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn Pareto hộn hủp dữợi - trản 81 3.2.4 B i to¡n bao hm thực tỹa bián phƠn Pareto hộn hủp dữợi - dữợi 82 3.3 Mët sè b i to¡n li¶n quan 84 3.3.1 Hằ bao hm thực tỹa bián phƠn Pareto 84 3.3.2 Bi toĂn tỹa cƠn bơng Pareto hộn hñp 87 Chữỡng PHìèNG PHP LP TM NGHIM B€I TON B‡T NG THÙC BI˜N PH…N 92 4.1 Giỵi thi»u b i to¡n 92 4.2 Phữỡng phĂp lp ân trản têp im bĐt ởng chung cừa hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khæng gian Hilbert 95 Kát luên chung 103 Danh mưc cỉng tr¼nh cừa tĂc giÊ liản quan án luên Ăn 104 T i li»u tham kh£o 105 B£ng k½ hi»u v  viát tưt Trong luên Ăn ny ta dũng nhỳng kẵ hiằu vợi cĂc ỵ nghắa xĂc nh dữợi Ơy: N têp hủp cĂc số tỹ nhiản khĂc khổng Q tªp hđp c¡c sè húu t R tªp hđp c¡c số thỹc R+ têp hủp cĂc số thỹc khổng Ơm R têp hủp cĂc số thỹc khổng dữỡng Rn khổng gian v²ctì Euclid n− chi·u Rn+ tªp hđp c¡c v²ctì cõ cĂc thnh phƯn khổng Ơm cừa khổng gian Rn Rn têp hủp cĂc vctỡ cõ cĂc thnh phƯn khổng dữỡng cừa khổng gian Rn X khổng gian ối ngău tổpổ cừa khổng gian tổpổ tuyán tẵnh X 2X têp c¡c tªp cõa tªp hđp X hT, Ki tªp hñp c¡c gi¡ trà cõa ξ ∈ T ⊆ L(X, Y ) tÔi x K X i = 1, n i = 1, 2, , n {xα } dÂy suy rởng xn * x xn hởi tử yáu tợi x têp rộng F : X 2Y Ănh xÔ a tr tứ têp X vo têp Y domF miÃn nh nghắa cừa Ănh xÔ F GrF ỗ th cừa Ănh xÔ a tr F C0 nõn ối ngău cừa nõn C vii C 0+ nõn ối ngău cht cừa nõn C C nõn ối ngău yáu cõa nân C A ⊆ B A l  tªp cõa B A 6⊆ B A khỉng l  tªp cõa B A∪B hđp cõa hai tªp hđp A v  B A∩B giao cõa hai tªp hđp A v  B A\B hi»u cõa hai tªp hđp A v  B A+B tờng Ôi số cừa hai têp hủp A v B AìB tẵch Descartes cừa hai têp hủp A v B coA bao lỗi cừa têp A clA bao õng tổpổ cừa têp hủp A intA phƯn tổpổ cừa têp hủp A Mé U Lỵ chồn à ti Lỵ thuyát tối ữu vctỡ ữủc hẳnh thnh tứ ỵ tững và cƠn bơng kinh tá, lỵ thuyát giĂ tr cõa Edgeworth [17] n«m 1881 v  Pareto [44] n«m 1909 Những tứ nhỳng nôm 1950 tr lÔi Ơy, sau nhỳng cổng trẳnh và iÃu kiằn cƯn v ừ cho tối ÷u cõa Kuhn - Tucker [31] n«m 1951, v· gi¡ tr cƠn bơng v tối ữu Pareto cừa Debreu [12] nôm 1954, lỵ thuyát tối ữu vctỡ mợi tr thnh mởt lỵ thuyát mợi cừa toĂn hồc hiằn Ôi, vợi nhiÃu ựng dửng thỹc tá Lỵ thuyát tối ữu vctỡ ữủc nghiản cựu khĂ t m v hằ thống sĂch chuyản khÊo cừa inh Thá Lửc [36] õng vai trỏ quan trồng lỵ thuyát tối ữu l bi toĂn tẳm cỹc tiu cừa hm f trản têp D: Tẳm x D cho f (¯ x) ≤ f (x), vỵi måi x ∈ D, (0.1) vợi D l mởt têp khĂc rộng khæng gian X , f : D → R l  mởt hm thỹc Bi toĂn ny cụng  ữủc nhiÃu nh toĂn hồc nghiản cựu, m rởng cho Ănh xÔ a trà c¡c khỉng gian v²ctì Chóng tỉi quan tƠm án lợp cĂc bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt v sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa chúng CĂch tờng quĂt hõa cĂc bi toĂn nhữ vêy cho php ta nhẳn nhên cĂc bi toĂn lỵ thuyát tối ữu mët c¡ch h» thèng v  nh§t qu¡n, v  nghi»m cõa chúng cõ liản quan cht ch vợi  tẳm nghi»m c¡c b i to¡n tèi ÷u v  c¡c b i to¡n m rởng, ngữới ta thữớng xƠy dỹng nhỳng thuêt toĂn º t¼m nghi»m cho tøng b i to¡n cư thº, tịy thuởc c trững cừa mội loÔi Mởt cĂc phữỡng phĂp õ l xƠy dỹng cĂc dÂy lp hởi tử và nghiằm Chẵnh vẳ vêy, viằc tẳm iÃu kiằn ừ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc bi toĂn l mởt nhỳng vĐn à quan trồng nghiản cựu cĂc bi toĂn lỵ thuyát tối ữu CĂc kát quÊ  ữủc ữa trữợc Ơy chữa thỹc sỹ tờng quĂt cho cĂc bi toĂn hoc iÃu kiằn tỗn tÔi nghiằm cỏn quĂ cht 96 Tiáp theo, ta s ch rơng, dÂy {xt } b chn Thêt vêy, vợi x D cố nh, ta cõ Tit x = x vỵi i = 1, 2, · · Ã, N , vẳ vêy kxt xk = kT t xt − xk = kT t xt − TNt T1t xk = k(I − λt µG)TNt T1t xt − (I − λt µG)TNt T1t x − λt µG(x)k (4.9) ≤ (1 − λt τ )kTNt T1t xt − TNt T1t xk + λt µkG(x)k ≤ (1 − λt τ )kTNt −1 T1t xt − TNt −1 T1t xk + λt µkG(x)k ≤ (1 − λt τ )kTit T1t xt − Tit T1t xk + λt µkG(x)k (4.10) ≤ (1 − λt τ )kT1t xt − T1t xk + λt µkG(x)k ≤ (1 − λt τ )kxt − xk + λt µkG(x)k Tø â, µ kG(x)k, (4.11) τ tực l dÂy {xt } b chn v vẳ vêy, c¡c d¢y {G(ytN )}, {yti }, i = 1, 2, · · ·, N công bà kxt − xk ≤ ch°n, vỵi yt1 = (1 − βt1 )xt + βt1 T1 xt , yt2 = (1 − βt2 )yt1 + βt2 T2 yt1 , yti = (1 − βti )yti−1 + βti Ti yti−1 , (4.12) ytN = (1 − βtN )ytN −1 + βtN TN ytN −1 , v  xt = (I − λt µG)ytN Hìn núa, ta câ kxt − xk2 = k(I − λt µG)ytN − xk2 = kytN − xk2 − 2λt µhG(ytN ), ytN − xi + λ2t µ2 kG(ytN )k2 ≤ kytN −1 − xk2 − 2λt µhG(ytN ), ytN − xi + λ2t µ2 kG(ytN )k2 (4.13) 97 ≤ ≤ kyt1 − xk2 − 2λt µhG(ytN ), ytN − xi + λ2t µ2 kG(ytN )k2 ≤ kxt − xk2 − 2λt µhG(ytN ), ytN − xi + λ2t µ2 kG(ytN )k2 Vẳ vêy, kytN xk2 + hG(x), ytN − xi ≤ λt µ kG(ytN )k2 (4.14) º ìn gi£n, ta °t yt0 = xt v  chùng minh r¬ng kyti−1 − Ti yti−1 k → 0, t → vỵi i = 1, 2, · · ·, N (4.15) Cho {tk } ⊂ (0, 1) l  dÂy tũy ỵ hởi tử tợi k ∞ v  xk := xtk Ta ph£i chùng minh rơng kyki Ti yki1 k 0, Ơy yki ữủc nh nghắa bi (4.12) vợi t = tk v yki = ytik LĐy dÂy {xl } cõa {xk } cho lim sup kyki − Ti yki−1 k = lim kyli − Ti yli−1 k l→∞ k (4.16) LĐy dÂy {xkj } cừa {xl } cho lim sup kxk − xk = lim kxkj − xk j→∞ k→∞ (4.17) Tø (4.13) v  M»nh · 1.1.1, ta suy r¬ng kxkj − xk2 = k(I − λkj µF )ykNj − xk2 ≤ kykNj − xk2 − 2λkj µhF (ykNj ), xkj − xi = k(1 − βkNj )(ykNj −1 − x) + βkNj (TN ykNj −1 − TN x)k2 − 2λkj µhF (ykNj ), xkj − xi ≤ (1 − βkNj )kykNj −1 − xk2 + βkNj kTN ykNj −1 − TN xk2 (4.18) − 2λkj µhF (ykNj ), xkj − xi ≤ kykNj −1 − xk2 − 2λkj µhF (ykNj ), xkj − xi ≤ · · · ≤ kyk1j − xk2 − 2λkj µhF (ykNj ), xkj − xi ≤ kxkj − xk2 2kj àhF (ykNj ), xkj xi Vẳ vêy, lim kxkj − xk = lim kyki j − xk, j→∞ j→∞ i = 1, · · ·, N (4.19) 98 p döng M»nh · 1.1.1, ta câ i−1 i−1 kyki j − xk2 = (1 − βki j )ykj + βki j Ti ykj −x = (1 − βki j )kyki−1 − xk2 + βki j kTi yki−1 − xk2 j j − βki j (1 − βki j )kyki j − Ti yki−1 k2 j ≤ (1 − βki j )kyki−1 − xk2 + βki j kyki−1 − xk2 j j − βki j (1 − βki j )kyki j − Ti yki−1 k2 j = kyki−1 − xk2 − βki j (1 − βki j )kyki j − Ti yki−1 k2 j j ≤ · · · = kyk0j − xk2 − βki j (1 − βki j )kyki j − Ti yki−1 k2 j = kxkj − xk2 − βki j (1 − βki j )kyki j − Ti yki−1 k2 , j i = 1, 2, · · ·, N (4.20) Khỉng gi£m t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû α ≤ βti ≤ β vỵi α, β ∈ (0, 1) Khi â, tø (4.20) ta câ α(1 − β)kyki j − Ti yki−1 k2 ≤ kxkj − xk2 − kyki j − xk2 j (4.21) Cịng vỵi (4.19) ta suy lim kyki j − Ti yki−1 k2 = 0, j j→∞ i = 1, 2, · · ·, N (4.22) M°t kh¡c, cịng vỵi (4.12), ta câ kyti − Ti yti−1 k = (1 − βti )kyti−1 − Ti yti−1 k (4.23) Do < α ≤ βti ≤ β < 1, ta ÷đc kyti−1 − Ti yti−1 k → t → vỵi i = 1, · · Ã, N Tiáp theo, ta ch rơng kxt Ti xt k → t → Trong tr÷íng hđp i = ta câ yt0 = xt Vẳ vêy, kxt T1 xt k t → Hìn núa, kyt1 − T1 xt k = (1 − βt1 )kxt − T1 xt k v  kxt − T1 xt k → 0, ta câ kyt1 T1 xt k Vẳ vêy, tứ kxt − yt1 k ≤ kxt − T1 xt k + kT1 xt − yt1 k ta suy kxt − yt1 k → t → M°t kh¡c, kyt2 − T2 yt1 k = (1 − βt2 )kyt1 − T2 yt1 k → (4.24) 99 v  kyt2 − xt k ≤ (1 − βt2 )kyt1 − xt k + βt2 kT2 yt1 − xt k ≤ (1 − βt2 )kyt1 − xt k + βt2 kT2 yt1 − yt1 k + kyt1 − xt k, ta kh¯ng ành r¬ng kyt2 − xt k → t → Do kxt − T2 xt k ≤ kxt − yt2 k + kyt2 − T2 yt1 k + kT2 yt1 − T2 xt k ≤ kxt − yt2 k + kyt2 − T2 yt1 k + kyt1 − xt k v  kxt − yt2 k, kyt2 − T2 yt1 k, kyt1 − xt k → 0, ta cõ kxt T2 xt k Nhữ vêy, ta câ kxt − Ti xt k → 0, vỵi i = 1, 2, · · ·, N v  kytN − xt k → t → Gi£ sû {xk } l  d¢y n o â cõa d¢y {xt } hởi tử yáu tợi x k → ∞ Khi â, kxk − Ti xk k → 0, vỵi i = 1, 2, · · ·, N v {ykN } cụng hởi tử yáu tợi x Tø Bê · 1.1.3, ta câ x ˜ ∈ D = ∩N i=1 F ix(Ti ) v  tø (4.14), ta suy hF (x), x − x˜i ≥ ∀x ∈ D Tø x, x ˜ ∈ D, b¬ng c¡ch thay x bði tx + (1 − t)˜ x bĐt ng thực cuối vợi tham bián t v cho t → 0, ta ÷đc hF (˜ x), x − x˜i ≥ ∀x ∈ D Do x ¯ (4.2) l nhĐt nản ta cõ x = x¯ Cuèi còng, thay x (4.14) bði x ¯, ta suy {xt } hởi tử mÔnh Ta cõ i·u ph£i chùng minh Ti¸p theo, chóng tỉi mð rëng kát quÊ trản ối vợi hồ cĂc Ănh xÔ giÊ co cht nh nghắa 4.2.1 nh xÔ S : X X ữủc gồi l -giÊ co cht náu tỗn tÔi hơng số [0, 1) cho kSx − Syk2 ≤ kx − yk2 + γk(I − S)x − (I − S)yk2 , ∀x, y ∈ X Ta  biát [56] rơng mởt Ănh xÔ T : X → X x¡c ành bði T x = αx + (1 − α)Sx vỵi α ∈ [γ, 1) cè ành vỵi måi x ∈ X , l  ¡nh xÔ khổng giÂn v F ix(T ) = F ix(S) Sû dưng k¸t qu£ n y, chóng tỉi mð rëng k¸t quÊ cừa mẳnh trữớng hủp D = N i=1 F ix(Si ), vỵi Si l  γi -gi£ co ch°t, γi ∈ [0, 1), i = 1, N 100 ˜ ˜ Cö thº, cho αi ∈ [γi , 1) l  c¡c sè cè ành Khi â, D = ∩N i=1 F ix(Ti ) vỵi Ti y = αi y + (1 i )Si y l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn, vợi i = 1, 2, à à Ã, N , v  vªy T˜t , i T˜it y = (1 − βti )y + βti T˜i y = (1 − βti (1 − αi ))y + βti (1 − αi )Si y, (4.25) i = 1, 2, · à Ã, N, l cĂc Ănh xÔ khổng giÂn V chúng tổi cõ kát quÊ sau, nh lỵ 4.2.2 Cho G : X X l Ănh xÔ L-Lipschitz liản tửc v -ỡn iằu mÔnh, vợi L, l nhỳng sè thüc d÷ìng Cho γi ∈ [0, 1), i = 1, N , hồ Ănh xÔ N {Si }N i=1 gỗm N Ănh xÔ i -giÊ co cht trản X cho D = ∩i=1 F ix(Si ) 6= ∅ Cho αi ∈ [γi , 1), µ ∈ (0, 2η/L2 ) v  cho t ∈ (0, 1), {λt }, {βti } (0, 1), nhữ nh lỵ 4.2.1 Khi â, d¢y {xt } x¡c ành bði xt = T˜t xt , T˜t := T0t T˜Nt T˜1t , t ∈ (0, 1), Ơy Tit , vợi i = 1, 2, à à Ã, N , ữủc nh nghắa bi (4.25) v  T0t x = (I − λt µG)x, hëi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt x cừa (4.2) = D Ơy S = Ta  biát [4] r¬ng F ix(S) PN i=1 ξi PN i=1 ξi Si vỵi ξi > v  ˜ = vỵi N Ănh xÔ {Si }N i=1 l i -giÊ co cht Hỡn nỳa, S l Ănh xÔ -giÊ co ch°t vỵi γ = max{γi : ≤ i ≤ N } Vẳ vêy, ta cõ kát quÊ sau nh lỵ 4.2.3 Cho G : X X l Ănh xÔ L-Lipschitz liản tửc v -ỡn iằu mÔnh vợi L, η > n o â Cho {Si }N i=1 l  N Ănh xÔ i -giÊ co cht trản X thọa m¢n D = ∩N i=1 F ix(Si ) 6= ∅ Cho α ∈ [γ, 1), ð ¥y γ = max{γi : ≤ i ≤ N }, µ ∈ (0, 2η/L2 ) v  cho t ∈ (0, 1), {λt }, {βt } ⊂ (0, 1), cho λt → 0, t → v  < lim inf βt ≤ lim sup βt < t→0 t→0 Khi â, d¢y {xt }, x¡c ành bði xt = T˜t xt , T˜t := T0t ((1 − βt (1 − α))I + βt (1 − α) N X ξi Si ), t ∈ (0, 1), i=1 ð ¥y T0t = (I − λt µG), ξi > v  x¯ cõa (4.2) PN i=1 i = 1, hởi tử mÔnh tợi nghiằm nhĐt 101 Vẵ dử Cho C1, C2 l cĂc têp õng lỗi khổng gian Hilbert H Bi toĂn tẳm p C1 C2 cõ chuân nhọ nhĐt, tực l tẳm cho (p ) = ϕ(x) vỵi ϕ(x) = kxk x∈C1 ∩C2 B i to¡n trản tữỡng ữỡng vợi hF (p ), p p i ≥ 0, vỵi måi p ∈ C1 ∩ C2 , F (x) = ϕ0 (x) = 2x l  ¡nh xÔ 2-Lipschitz liản tửc v 1ỡn iằu mÔnh Vợi mồi t ∈ (0, 1), l§y λt = t3 → Khi â, d¢y {xt }, xt = (I − λt F ).(αN I + (1 − αN )TN ).(αN −1 I + (1 − αN −1 )TN −1 ) (α1 I + (1 − α1 )T1 )xt , vỵi {Ti }, i = 1, 2, , N l  hå húu hÔn Ănh xÔ khổng giÂn trản H , hởi tử mÔnh tợi p = l nghiằm nhĐt cừa b i to¡n ¢ cho Ngo i ra, chóng tỉi cơng x²t bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Banach: Cho D l têp khĂc rộng, lỗi, õng khổng gian Banach X , Ănh xÔ ỡn tr F : D X v hồ vổ hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn Ti : D → D, i = 1, 2, , n, nh xÔ J tứ X vo X l Ănh xÔ ối ngău chuân tưc, (J(x) = {x X ∗ : hx, x∗ i = kxkkx∗ k v  kx∗ k = kxk}) Bi toĂn ữủc phĂt biu: Tẳm x ∈ D cho hF (x), J(x − x)i ≥ 0, ∀x ∈ D; Ti (x) = x, i = 1, 2, , n, (4.26) Chúng tổi  ữa mởt phữỡng phĂp lp ân mợi dỹa trản phữỡng ph¡p l°p Krasnoselskii-Mann, ph÷ìng ph¡p l°p Halpern v  c¡c ph÷ìng phĂp xĐp x mÃm cừa Moudafi v tẳm ữủc nghiằm cho b i to¡n (4.26) vỵi F = I − A, (A l Ănh xÔ co yáu trản D, D l mởt têp lỗi, õng mởt khổng gian Banach thỹc phÊn xÔ v lỗi cht vợi chuân khÊ vi GƠteaux Ãu) Kát quÊ ny  ữủc cổng bố bi bĂo [2] danh mửc cổng trẳnh  cổng bố liản quan án luên Ăn 102 KT LUN Trong chữỡng ny, Mửc 4.2, chúng tổi  ữa phữỡng phĂp lp ân tẳm nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản têp im bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn cĂc Ănh xÔ khổng giÂn khổng gian Hilbert v m rởng kát quÊ vợi hồ cĂc Ănh xÔ giÊ co cht Ngoi ra,  giÊi bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn khổng gian Banach, chúng tổi  ữa phữỡng phĂp xĐp x mÃm cÊi biản vợi Ănh xÔ co yáu cho mởt hồ vổ hÔn Ănh xÔ khổng giÂn Trong cĂc kát quÊ cừa mẳnh, chúng tổi  chựng minh ữủc sỹ hởi tử mÔnh cừa cĂc dÂy lp vợi mët sè i·u ki»n ìn gi£n hìn so vỵi mët số kát quÊ trữợc õ cừa cĂc tĂc giÊ khĂc Kát luên chung Kát quÊ chừ yáu Trong luên Ăn ny, chúng tổi  thu ữủc nhỳng kát quÊ chẵnh sau: 1) Thiát lêp mởt số iÃu kiằn ừ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt loÔi v mởt số bi toĂn liản quan, c biằt l bi toĂn tỹa cƠn bơng Pareto (yáu) trản (dữợi); nghiản cựu tẵnh ờn nh nghiằm cừa cĂc bi toĂn õ 2) Thiát lêp mởt số iÃu kiằn ừ cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc bi toĂn bao hm thực tỹa bián phƠn Pareto hộn hủp 3) XƠy dỹng dÂy lp tẳm nghiằm cho bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn Mởt số vĐn à cƯn tiáp tửc nghiản cựu 1) Tẳm hiu thảm và nhúng ùng dưng cõa c¡c k¸t qu£ v o mët sè bi toĂn kinh tá 2) Tiáp tửc nghiản cựu tẵnh nỷa liản tửc trản, dữợi v tẵnh Hoălder cừa nghiằm cừa bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt 3) Tẳm thuêt toĂn giÊi bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt mởt vi trữớng hủp c biằt 4) Nghiản cựu bi toĂn tỹa cƠn bơng tờng quĂt trữớng hủp cĂc têp D, K khổng compưc, ch lỗi, õng Danh mửc cổng trẳnh  cổng bố liản quan án luên Ăn [1 ] Nguyạn Th Quýnh Anh (2009), "CĂc bi toĂn tỹa tối ữu loÔi v loÔi 2", TÔp chẵ Khoa hồc v Cổng nghằ, Ôi hồc Th¡i Nguy¶n, 56, no 8, pp 45-50 [2 ] Nguyen Thi Quynh Anh (2014), "Modified viscosity approximation methods with weak contraction mapping for an infinite family of nonexpansive mappings", East - West Journal of Mathematics, 16, no 1, pp 1-13 [3 ] Nguyen Thi Quynh Anh and Nguyen Xuan Tan (2013), "On the existence of solutions to mixed Pareto quasivariational inclusion problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 16, no 2, pp 1-22 [4 ] Nguyen Buong and Nguyen Thi Quynh Anh (2011), "An implicit iteration method for variational inequalities over the set of common fixed points for a finite family of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Hindawi Publish Coporation, Fixed Point Thoery Applications, 2011, article ID 276859, 10 pages, doi: 10.1155/2011/276859 [5 ] Nguyen Xuan Tan and Nguyen Thi Quynh Anh (2011), "Generalized quasi-equilibrium problems of type and their applications", Vietnam Journal of Mathematics, 39, pp 1-25 T i liằu tham khÊo [1] Nguyạn XuƠn TĐn, Nguyạn BĂ Minh (2006), Mởt số vĐn à lỵ thuyát tối ữu a tr, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc [2] Nguyạn XuƠn TĐn, Nguyạn BĂ Minh (2007), Lỵ thuyát cĂc bi toĂn tối ữu, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Quốc gia H Nëi [3] Ho ng Tưy (2005), H m thüc v  Gi£i t½ch hm, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Quốc gia H Nởi [4] Acedo, G L and Xu, H K (2007), "Iterative method for strict pseudocontractions in Hibert spaces", Nonlinear Anal., 67, pp 2258-2271 [5] Pham Ngoc Anh, Kim J and Le Dung Muu (2012), "An extragradient algorithm for solving bilevel variational inequalities", J Global Optim., 52, pp 527-539 [6] Aubin J P and Cellina, A (1994), Differential Inclusions, Springer Verlag, BerLin, Gemany [7] Berge C (1959), Espaces Topologiques et Fontions Multivoques, Dunod, Paris 1959 [8] Bianchi M and Pini R (2005), "Coercivity conditions for equilibrium problems", J Optim Theory Appl., 124, pp 79-92 106 [9] Blum E and Oettli W (1991), "Variational principles for equilibrium problems", Parametric Optimization and Related Topies III (Guestrow, 1991), 79-88, Approx Optim , Lang, Frankfurt am Main, (1993) [10] Blum E and Oettli W (1993), "From optimization and variational innequalities to equilibrium problems", The Math Student, 64, pp 1-23 [11] Browder F E (1984), "Coincidence theorems, minimax theorems and variational inequalities", Amer Math Soc., Providence RI, 26, pp 67-80 [12] Debreu G (1954), "Valuation equilibrium and Pareto optimum", Proc Nat Acad Sci U.S.A., 40, pp 588-592 [13] Truong Thi Thuy Duong (2013), "Mixed generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim., 56, no 2, pp 647667 [14] Truong Thi Thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2010), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type I and Related Problems", Adv Nonlinear Var Inequal 13, no 2, pp 29-47 [15] Truong Thi Thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2011), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type II and related problems", Acta Math Vietnam 36, 2, pp 231248 [16] Truong Thi Thuy Duong and Nguyen Xuan Tan (2012), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", J Global Optim., 52, no 4, pp 711728 [17] Edgeworth F Y (1981), "Mathematical Psychics", C Kegan Paul Co., London, England [18] Fan K (1952), "Fixed point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces", Proc Nat Acad Sci U S A., 38, pp 121-126 [19] Fan K (1961), "A generalization of Tychonoff's fixed point theorem", Math- ematische Annalen 142, pp 305-310 107 [20] Fan K (1972), "A minimax inequality and application", in Inequalities III, O Shisha (Ed), Academic Press, New York, pp 103-113 [21] Fang Y P., Huang N J (2005), "Existence results for generalized implicit vector variational inequalities with multivalued mappings", Indian J Pure Appl Math., 36, pp 629-640 [22] Ferro F (1989), "A minimax theorem for vector-valued functions", J Op- tim Theory Appl., 60, pp 19-31 [23] Goebel K., Kirk W A (1990), "Topics in Metric Fixed Point Theory", Cambridge Studies in Advanced Math., 28, Cambridge Univ Press, Cam- bridge [24] Guerraggio A., Nguyen Xuan Tan (2002), "On general vector quasioptimization problems", Mathematical Methods of Operation Research, 55, pp 347-358 [25] Hadjisavvas, N (2003), "Continuity and maximality properties of pseudomonotone operators", J Convex Anal., 10, pp 465-475 [26] Bui The Hung, Nguyen Xuan Tan (2012), "On the existence of solutions to Pareto and weak quasivariational inclusion problems", Advances in Nonlin- ear Variational Inequalities, 15, no 2, pp 116 [27] Kalashnikov V V and Klashnikova, N I (1996), "Solving two-level varia- tional inequality", J Global Optim., , 289-294 [28] Bòi Trång Ki¶n (2013), "Second-order necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints", SIAM J Control Optim., 52, no 2, pp 1166-1202 [29] Kim, W.K and Tan K.K (2001), "New existence theorems of equilibria and applications", Nonlinear Analysis, 47, pp 531-542 [30] Kinderlehrer D and Stampacchia G (1980), "An introduction to variational inequalities and their applications", Academic Press, New York, NY 108 [31] Kuhn H N and Tucker A W (1951), "Nonlinear programming", in Pro- ceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, Berkeley and Los Angeles, pp 481-492 [32] Lin J L (2007), "Systems of generalized quasi-variational inclusion problems with applications to variational analysis and optimization problems", J Global Optim., 38, pp 21- 39 [33] Lin L J and Nguyen Xuan Tan (2007), "On quasi-variational inclusion problems of type I and related problems J Global Optim., 39, no 3, pp 393-407 [34] Lin L J., Nguyen Xuan Tan (2009), "Quasi-equilibrium inclusion problems of Blum-Oetli type and related problems", Acta Math Vietnamica, 34, no 1, pp 111-123 [35] Lions J L., Stampacchia G (1967), "Variational inequalities", Communi- cations on Pure and Applied Mathematics, 20, pp 493-512 [36] Dinh The Luc (1989), "Theory of vector optimization", Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer Verlag, Berlin, Germany, 319, 173 pages [37] Dinh The Luc (2008), "An abstract problem in variational analysis", J Optim Theory Appl., 38, pp 65-76 [38] Dinh The Luc and Nguyen Xuan Tan (2004), "Existence conditions in variational inclusions with constraints", Optimization, 53, no 5-6, pp 505- 515 [39] Marino G and Xu H K (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hibert spaces", J Math Anal Appl., 329, pp 336-346 [40] Nguyen Ba Minh and Nguyen Xuan Tan (2000), "Some sufficient conditions for the existence of equilibrium points concerning multivalued mappings", Vietnam Journal of Mathematics, 28, pp 295-310 109 [41] Nguyen Ba Minh, Nguyen Xuan Tan (2005), "On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems of Stampacchia type", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, , pp 1-16 [42] Minty G J (1978), "On variational inequalities for monotone operators", Advances in Mathematics, 30, pp 1-7 [43] Nash J (1951), "Non - Cooperative Games", Annals of Mathematics, 54, no 2, pp 286-295 [44] Pareto, V (1909), "Manuel d'e'conomic politique" [45] Park S (2000), "Fixed points and quasi-equilibrium problems", Nonlinear Oper Theory Math And Com Model., 32, pp 1297-1304 [46] Pham Huu Sach, Le Anh Tuan (2007), "Existence results for set-valued vector quasi equilibrium problems", J Optim Theory Appl., 133, pp 229- 240 [47] Nguyen Xuan Tan (1985), "Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex Hausdorff space", Math Nachr., 122, pp 231-245 [48] Nguyen Xuan Tan (2004), "On the existence of of solutions of quasivariational inclusion problems", J Optim Theory Appl., 123, pp 619-638 [49] Nguyen Xuan Tan and Phan Nhat Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Numer Funct Anal Optim., 19, pp 141-156 [50] Tian G Q and Zhou J X (1993), "Quasi- variational inequalities without the concavity assumption", J Math Anal Appl., 172, 289-299 [51] Le Anh Tuan and Pham Huu Sach (2009), "Generalizations of vector quasivariational inclusion problems with set-valued mappings", J Global Optim., 43, no 1, pp 23-45 [52] Xu H K and Ori R G (2001), "An implicit iteration process for nonexpansive mappings", Numer Func Anal And Optim., 22, pp 767-773 110 [53] Yamada Y (2001), "The hybrid steepest-descent method for variational inequalities problems over the intesectionof the fixed point sets of nonexpansive mappings", Inhently Parallel Algorithms in Feasibility and Opti- mization and Their Applications, Edited by D Butnariu, Y Censor, and S Reich, North-Holland, Amsterdam, Holland, pp 473-504 [54] Yannelis N C and Prabhaker N D (1983), "Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces", J Math Eco., 12, pp 233-245 [55] Zheng L C and Yao J C (2006), "Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of nonexpansive mappings", Nonl Anal., 64, pp 2507-2515 [56] Zhou H (2008), "Convergence theorems of fixed points for k -strict pseudocontractions in Hibert spaces", Nonlinear Analysis, 69, pp 456-462 [57] Zeidler E (1985), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York