7 trang 111 135

NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN BÀI 3: ĐA THỨC MỘT BIẾN Kiến thức cần nhớ: I Đa thức biến Trong biểu thức đại số sau, biểu thức khơng chứa phép tính cộng, phép tính trừ:  2y 3t ,  7, 3x , 3t  4t  , 3n  4n ,  2z , 1, 2021y Trong biểu thức trên, biểu thức: x ;3t ;  7;  z ;1; 2021 y ví dụ đơn thức biến Các biểu thức:  y,3t  4t  5,3n  4n ví dụ đa thức biến *) Đơn thức biến biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến *) Đa thức biến tổng đơn thức biến Đơn thức biến đa thức biến II Cách biểu diễn đa thức biến *) Bậc đa thức biến (khác đa thức không viết thành đa thức thu gọn) số mũ lớn biến đa thức *) Hệ số: P  x  2 x  x   x3 Ví dụ: Cho đa thức P  x  6 x  5x  x  x Khi xếp đơn thức theo lũy thừa giảm biến , ta có: P  x    x  x  x Khi xếp đơn thức theo lũy thừa tăng biến x , ta có: Hệ số x gọi hệ số cao nhất, hệ số x , hệ số x  hệ số tự *) Quy ước: Số coi đa thức khơng khơng có bậc III Giá trị đa thức biến A  x  2 x  x  x  Cho đa thức: A  3 2.34  8.32  5.3  162  72  15  98 Ta có: A x Ta nói đa thức có giá trị 98 x  IV Nghiệm đa thức biến P  x Nếu đa thức có giá trị x a ta nói a (hay x a ) nghiệm đa thức BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Hãy cho biết biểu thức sau đơn thức biến: 1) 5x ; 2) y  ; 3) 7,8 ; 4) 23 y y Bài Hãy cho biết biểu thức sau đa thức biến 1) A  32 ; 2) B 4 x  ; 3) 7,8 ;  3y 5x  N Q ; 3x  4) M 15  2t  8t ; 5) 6) Bài Hãy cho biết bậc đa thức sau” 1)  y ; 2) ; 3)  ; 4) 3, 2x  x Bài Hãy cho biết phần hệ số phần biến đa thức sau: 1)  2t  3t  2,3t ; 2) y  y  P  x  7  10 x  x3  x  x3  x Bài Cho đa thức Hãy viết đa thức thu gọn đa thức P xếp đơn thức theo lũy thừa giảm biến P  x  2 x  x  x  10 x  x  x Bài Cho đa thức Hãy viết đa thức thu gọn, tìm bậc hệ số P  x đa thức Bài Tính giá trị đa thức sau: P  x  2 x3  x  x  1) x  NHÓM WORD HÓA ĐỀ TOÁN 2) Bài Q  y  2 y  y  y  y y 3 M  t  t  t Cho đa thức M t 1) Hãy nêu bậc hệ số M t 2) Hãy tính giá trị t 4 Bài Tìm nghiệm đa thức sau: A  x  2 x  1) A  x  0 Hướng dẫn giải: Cho đa thức  x  0  x 3  x x nghiệm đa thức A  x  Vậy E  x  x  5; 2) ; 3) F  x   x 1 C  x  3x  5) ; 6) ; G  x   x  D  x   x  3; 8) ; 9) Bài 10 Chứng minh rằng: đa thức x  x  có hai nghiệm số 2 Hướng dẫn giải: Thay x 2 vào đa thức x  x  ta được: B  x  2 x  4) 7) H  x  5 x  M  x   4;  3x ; I  y  y2  10) 22  6.2  4  12  0  x 2 nghiệm đa thức x  x  2 Thay x 4 vào đa thức x  x  ta được:  6.4  16  24  0  x 4 nghiệm đa thức x  x  Vậy đa thức x  x  có hai nghiệm số Bài 11 Chứng tỏ rằng: 1) Đa thức x  x  có hai nghiệm ; 2 2) Đa thức x  x  có hai nghiệm  ; 1 3) Đa thức x  x  có hai nghiệm ;  4) Đa thức 12 x  x  có hai nghiệm ; 5) Đa thức x  x  có hai nghiệm ; BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài Tìm nghiệm đa thức sau: A  x   x    x  1 1) A  x  0 Hướng dẫn giải: Cho   x    x  1 0  x  0 x  0  x 4 x   x 2 x  NHÓM WORD HÓA ĐỀ TOÁN A  x  x 2 Vậy nghiệm đa thức x  B  x    x    x   C  x   x  1   x  2) 3) D  x   x     x  E  x   x  1  x  3 4) 5)      F  x   x     x  G  x   x     x  2 5     6) 7) 8) H  x  3  x 9) 10) N  x  9 x  12) M  x   x  x Bài K  x  x  x 11) I  x  x  x L  x   x  12 x  35 13) P  x  x  3x  x  x  x  x Cho hai đa thức: Sắp xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm biến P  x  Q  x P  x  Q  x Tính P  x Q  x Chứng tỏ x 0 nghiệm đa thức không nghiệm đa thức P  x  x  x  x  x  x  x  Cho hai đa thức: Q  x  5 x  x5  x  x3  3x  1) 2) 3) Bài Q  x  x  x  x  x   x 1) Thu gọn đa thức xếp theo lũy thừa giảm dần biến 2) Tính P  x  Q  x P  x  Q  x P  x Q  x Chứng tỏ x 2 nghiệm không nghiệm 2 A  x  x  x  x   x B  x  5 x   x  Bài Cho , B  x  A x 1) Tính B  x 2) Tìm bậc nghiệm đa thức  3 B  3) Tính   x  có phải nghiệm đa thức P  x  3 x  không? Bài Hỏi 3  1; 2;3;  Q  y  2 y  y   nghiệm Q  y  ? Bài Cho đa thức Các số tập hợp  M  t  3  t Bài Đa thức có nghiệm khơng? Vì sao? Bài Một ca nơ chạy với vận tốc v 16  2t (v tính theo đơn vị mét/giây, t thời gian tính theo đơn vị giây) Tinh tốc độ ca nô với t 5 ax  b  a 0  Bài Chứng tỏ rằng: Nếu đa thức có nghiệm a b hai số đối b P  x  ax  b  a 0  Bài 10 Chứng tỏ a nghiệm biểu thức 3) NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN BÀI 4: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN Kiến thức cần nhớ: Để cộng (hay trừ) hai đa thức biến, ta thực theo hai cách sau: Cách 1: Nhóm đơn thức lũy thừa biến thực phép cộng (hay trừ) Cách 2: Sắp xếp đơn thức hai đa thức theo lũy thừa tăng dần (hoặc giảm dần) biến đặt tính dọc cho lũy thừa giống hai đa thức thẳng cột với nhau, thực cộng (hay trừ) theo cột 1) Cộng hai đa thức biến: P  x  2 x5  x  x3  x  x  Q  x   x  x  x  Ví dụ: Cho hai đa thức: Hãy tính tổng chúng Hướng dẫn giải: Cách 1: P  x   Q  x   x  x  x  x  x  1    x  x  5x   4 = x  5x  x  x  x   x  x  5x  2 x5   x  x     x3  x3   x    x  x       = = x  x  x  x 1 Cách 2: Ta đặt thực phép cộng sau (chú ý đặt đơn thức đồng dạng cột): P  x  2 x5  x  x3  x  x  Q  x   x  x3 P  x   Q  x  2 x  x  5x   x  4x 1 2) Trừ hai đa thức biến: P  x  2 x5  x  x  x  x  Q  x   x  x  x  Ví dụ: Cho hai đa thức: Hãy tính P  x  Q  x Cách 1: P  x   Q  x   x  x  x  x  x  1    x  x  x   2 x5  x  x3  x  x   x  x  x  2 x   x  x     x3  x   x    x  x       Cách 2: 2 x  x  x3  x  x  P  x   Q  x  P  x     Q  x   P  x  2 x5  x  x3  x  x   Q  x  x  x3  5x  P  x   Q  x  2 x  x  x  x  x  Bài tập bản: Bài 1) 2) 3) Bài P x  Bài 1) 2) A  x  2 x  x  B  x  2 x  x  Cho đa thức: A x   B  x  Tính B  x   A x  Tính A   1 Tính P  x   3x  x  x Q  x  5 x3  x  x  P x  Q x Cho hai đa thức Hãy tính Q  x 4 g x  x  x  x  x    f  x  5 x  x  x  Cho đa thức: f  x  g  x Tính f  x  g  x Tính NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN Bài P  x  9 x  3x  x  Cho ba đa thức Q  x   x  x  3x  R  x   x  x  x  10 Tính P  x  Q  x  R  x P  x  Q  x  R x P  x  7 x  x  x  x   x Q  x   x  x  x   x Bài Cho hai đa thức: 1) Thu gọn xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần biến P  x  Q  x P  x  Q  x 2) Tính , M  x  7 x  x  x  M  x   N  x  3x  x Bài Cho đa thức Tìm đa thức cho 2 N  x  3 x  x  M  x   N  x  3 x  x   x  x  x    N  x   HD: 4 A   x  xy   6 x  xy  Bài Tìm đa thức A biết 4 A   x  xy   6 x  xy   A 6 x  xy    x  xy    a  HD: B  y B  y   A  y  2 y  y  A  y   y  y  y  Bài Cho đa thức Tìm đa thức cho BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài  3x  1    x  x     3x   1) Thực phép tính: 2) Cho A 4 x  2, C 5  x Tìm đa thức B cho A  B C Bài Viết biểu thức biểu thị chu vi hình thang cân hình sau: Bài Cho tam giác có chu vi 12t  Tìm cạnh chưa biết tam giác Bài Cho hình vng cạnh 2x bên hình chữ nhật có độ dài hai cạnh x hình sau Tìm đa thức theo theo biến x biểu thị diện tích phần tơ màu Bài Tìm đa thức K biết:  x  x y  y   K 3x  x y  y NHÓM WORD HÓA ĐỀ TOÁN A  x   x  3x  x3   x Bài Cho hai đa thức B  x  3 x   x  x  x 1) Hãy xếp hạng tử đa thức theo luỹ thừa giảm dần biến A x  B  x A x  B  x 2) Tính A  x  x  x   x3  x Bài Cho đa thức: B  x   x  x  x  x  C  x  3 x  x3  x  1) Tính 2) Tính A x  C  x B  x , A x P  x  x3  x  x  Bài Cho đa thức Bài Cho đa thức sau: Q  x  4 x  x  Hãy viết P  x   x  x  x  P  x thành tổng hai đa thức bậc bốn R  x  6 x3  x 1) Tính: P  x  Q  x  R  x 2) P  x  Q  x  R  x 3) P  x  Q  x  R  x 3) 5x2  A  x   A  x2  x  ; 4) 3x  x   A  A  x   x ; 5) A  3x   x x  A  x  BÀI TẬP NÂNG CAO a , b Tìm a b , biết ( số) P  x  Q  x  R  x 4) 7 H   x  x y   4 x  x y  Bài 10: Tìm đa thức H biêt Bài 11 Tìm đa thức A biết: 2 2 1) A  x y  xy  xy x y  xy  xy ; 2 2) x  x   A 3x  x  ; Bài f  x  ax  bx  1) f  1 3 có bậc g  x   a  1 x  x  b f   1 Đa thức có bậc 3 f  h  x  5 x  x  x  b  ax  1 3 Đa thức có bậc f   5 R  x   a  1 x3  x  x  bx  Đa thức có bậc Tìm giá trị đa thức sau: A  x15  x14  biết x  0 2) B  x 2007  x 2006  1 1) Đa thức 2) 3) 4) Bài 2007 3) biết x  C 21x  12 x  3x  24 x  15 biết x  x  x  0 4) D  16 x5  28 x  16 x3  20 x  32 x  2023 , biết x  x  x  0 5) E 5 x  10 x  20 x5  35 x  20 x  x  40 x  105 , biết  x  x  x  x  0 6) F 21x8  24 x  x  3x3  x  2024 biết x  x  3x3  x  0 M x  20 x5  20 x  20 x3  20 x  20 x  20 , biết x 19 7) Bài Cho đa thức f  x   5mx  10 Tìm m , biết: NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 1) Bài Bài Bài f  1 5 f   15 f  3 10 2) 3) f  x   mx  f   3 f   5 Cho đa thức Xác định m , biết , tìm f  x   2ax  f  2 f   1 5 Cho đa thức Tìm , biết f  x  x   m  1 x  3m  Cho đa thức g  x  x   m  1 x  5m  h  x   x  mx  m  Tìm m , biết: 1) Đa thức f  x có nghiệm -1 2) Đa thức g  x có nghiệm h  x 3) Đa thức có nghiệm -1 f  1  g   4) g  1 h    5) Bài Chứng minh đa thức sau có nghiệm: f  x  mx  2n 1) với 4m  n 0 g  x  ax  bx  c 2) với 4a  2b  c 0 h  x  ax3  bx  cx  d 3) với  8a  4b  2c  d 0 k  x  m x  2mx  4mx  8m 4) B  x 3B  x   B   1 6 x  22 Bài 8: Tính giá trị đa thức x 2 biết PHÉP NHÂN ĐA THỨC MỘT BIẾN Kiến thức cần nhớ: PHÉP NHÂN ĐA THỨC MỘT BIẾN: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân đơn thức đa thức với đơn thức đa thức cộng tích với Ví dụ: Thực phép nhân: 3x  x  x    x  3  x 1 a) b) Hướng dẫn giải: 3x  x  x   3x  x   3x   x   x.5 6 x  12 x  15 x a) Ta có:  x  3  x  1 2 x  x 1   x 1 2 x  x  3x  2 x  x  b) Ta có: Ta thực phép nhân đa thức theo cách sau: BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài Thực phép nhân  x  3  x   1) x     x  3x  1  2) NHÓM WORD HĨA ĐỀ TỐN  x3  x     13x  x  5 3) Bài Cho hai hình chữ nhật hình sau Tìm đa thức theo biến x biểu thị diện tích phần tơ màu Bài Thực phép tính chia:  x6  x5 12 x4  20 x3  :  x3  1) Bài Thực phép tính chia: x  5 :  x    1) 2)  2x  3x 2)  x  3 :  x  3  x   :  x  3 Bài Tính chiều dài hình chữ nhật có diện tích  x  1 cm  4y  y  3 cm2 chiều rộng  3x3  x  45 x  40  cm3 , chiều dài  x  5 cm chiều Cho hình chữ nhật tích  x 1 cm Hãy tính chiều rộng hình hộp chữ nhật cao Bài Làm tính nhân: x  x  3 x  x  3 1) 2)  x  12  3x  x   3) 4) x  x  1 x  x  1 5) 6)   x  3 x  3x  x  7) 8) 1  3 x2  x    x  3 x 2 9) 10)  Bài 11)  x  3x   13)  x  x  x  1 2 x 15)  x  x   12 x 17) 1  3x   x3  x  x   3  19)  3x  x 21)  6 x3   x  x  3 x  3x  x   23) 2   x  x  x3  x  14  25)  Bài Tính giá trị biểu thức: 1  x  x3  x   2 12)  2  x  x  x  1  14)  16) x 18)  x5  x  x  x  3 20)  x  3x  x3  x   x  3   x  x  x4  x  6 22) 2  x   x  10 x    24)  NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 1) A 2   x   x Hướng dẫn giải: x  A 2   x   x 6  x  x 2 A 6    1    1 6   5 Thay x  vào biểu thức A, ta được: B 3  x    x 2) x 1 C 5  x  x   3) x  D 3x  x    x  x  1 4) x  5) E = 7x ( x - 5) + 3( x - 2) 6) F =- 2x ( x +1) + ( x + 2) 7) G = x - x + 2x ( x + 3) x = 8) H = - 4x ( x - 2) + 4x x = 9) I = 4x - 2x + 3x ( x - 5) x =- 10) K = x ( x - 5) - 2x ( x +1) + x 11) L = x ( 7x + 2) - 5x ( x + 3) 12) M = 3x - 2x ( x - 5) + x ( x - ) 13) J =- 3x + 4x - ( x - ) 14) N = 4x ( 2x - 3) - 5x ( x - ) 15) P = x ( x - 2022) + 2023( x +1) - x Bài x = x =- x =- x = x = 10 x = 10 x = x = 2024 Tính ( Rút gọn có thể): 1) x  3x  x   3) x  x  x  3 5) x  x  1  20 6 x  x    2) 3x - 3( x + 2) 4) - 2x + 3( x + 2) 6) 3x - x - x ( - 2x + 3x - 1) 7) x - 5x + 2x ( - x + 3x - 5) 8) - 7x + 5x - x ( - 2x + 3x - 1) 9) x + 3x + 2x ( - x - x +1) 10) 3x - 4x + 2x ( x - 2x + 7x ) NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 11) x ( x + x +1) - x ( 2x +1) 12) - 3x ( 2x + 2) + 2x ( 3x +1) 13) 3x ( x - 5) - 5x ( x + 7) 14) - 4x ( 3x - 4) + 7x ( x - 5) 15) x ( 2x - 3) - x ( 5x +1) + x 16) 3x ( x - 2) - 5x ( 1- x ) - ( x - 3) 17) 4x ( x - x +1) - x ( 3x - 2x - 5) 18) - x ( x - 4x + 3) + x ( x + x - 3) æ2 ö x ( 6x - 3) - x ỗ x + ữ + ( x + 4) ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ 19) 20) 2x ( 3x - x ) - 4x ( x - x +1) +( x - 3x ) x 2) ổ4 3x ỗ x +1ữ ữ ỗ ữ- 4x ( x - 2) = 10 ç è3 ø Bài 10 Tìm x, biết: 1) ỉ ổ 2ử 5x ỗ x - 2ữ + 3ỗ 6- x ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ=12 ỗ5 ỗ ứ ố ứ ố 3) ( x - 3x +1) + x ( 1- 5x ) = x - 4) 12x - 4x ( 3x - 5) = 10x - 17 5) 4x ( x - 5) - 7x ( x - 4) + 3x =12 6) 4x - 2x + - 4x ( x - 5) = 7x - 7) - 3x ( x - 5) + ( x - 1) + 3x = - x 8) 7x ( x - 2) - ( x - 1) = 21x - 14x + 9) 3( 5x - 1) - x ( x - 2) + x - 13x = x ( 10x - 15) - 2x ( x - 5) = 12 10) Bài 11 Làm tính nhân: 1) ( x + 2) ( x + 3) 2) ( x + 4) ( x - 7) 3) ( x - 7) ( x - 5) 4) ( x + 3) ( x - 4) 5) ( 3x + 5) ( 2x - 7) 6) ( - 5x + 2) ( - 3x - 4) 7) ( x - 5) ( 4x - 3) 8) - ( x + 3) ( x - 2) 9) - ( 2x - 5) ( x + 2) 10) ( x2 - 11) ( x2 - 12) ( x - 5) ( - x + x - 1) 13) ( 2x - 1) ( x - 5x + 3) 14) ( - x + 4) ( - x + 4x - 1) 15) - ( x + 2) ( x + 2x + 2) 16) - ( x +1) ( x + 4x +1) ổ ỗ xỗ ỗ 17) ố2 2x - 1) ( x - 3) ổ2 ỗ ỗ xỗ 18) ố3 3ữ ữ ữ( 3x - 6) ứ ổ ỗ x + 3ữ ữ ỗ ữ( 2x - 4x - 6) ỗ ứ 19) ố2 ổ3 ỗ ỗ xỗ 20) è2 1÷ ÷ ÷( - 4x + 2x - 6) ứ ổ2 ỗ - x + 3ữ ữ ( 3x - 6x + 9) ỗ ữ ç ø 21) è 22) ( x3 - ( x - 1) ( x +1) ( x + 2) 24) x ( x - 2) ( x +1) 23) ö 1÷ ( 2x - 3) ÷ ÷ ø 2x +1) ( x - 1) 2x + x - 1) ( - x ) NHÓM WORD HÓA ĐỀ TỐN 25) ( x2 - ỉ 2x + 3) ç xç ç è2 5÷ ÷ ÷ ø ỉ 1ữ ửổ ữ ỗ ỗ x- ữ x+ ữ ( 4x - 1) ỗ ỗ ữ ữ ỗ ç 26) è øè ø Bài 12 Tính (rút gọn): 1) 4x - ( x + 3) ( x - 5) + x Hướng dẫn giải: 4x - ( x + 3) ( x - 5) + x = 4x - ( x - 5x + 3x - 15) + x = 4x - x + 5x - 3x +15 + x = 3x + 3x +15 2) 5x - +( x - 5) ( x + 4) - 3) x - 2x + - ( x - 7) ( x + 2) 4) - 3x + 7x - +( x - 1) ( x + 2) 5) x ( x - 5) - 3x ( x +1) 6) 4x ( x - x +1) - ( x - 1) ( x - x ) 7) - 5x ( x - 5) +( x - 3) ( x - 7) 8) x ( x - 5x + 2) - ( x + 3) ( x - 2) 9) 4x ( x - x - 1) - ( x - 2) ( x + 3) 10) ( x - 5) ( x + 7) - 7x ( x + 3) 11) x ( x - x - 2) - ( x + 5) ( x - 1) 12) ( x + 5) ( x + 7) - ( x - 4) ( x + 3) 13) ( x - 1) ( x + 2) - ( x + 5) ( x - 2) 14) ( 2x - 3) ( x + 4) +( - x +1) ( x - 2) 15) ( - x + 5) ( x + 3) +( 2x - 1) ( x + 3) 16) ( x + 3) ( x - 1) - ( x - 7) ( x - 6) 17) ( - x - 2) ( x +1) - ( x - 5) ( - x +1) 18) 5x ( x - 3) ( x - 1) - 4x ( x - 2x ) 19) - 4x ( x + 3) ( x - 4) - 3x ( x - x +1) 20) - 3( x + 4) ( x - 7) + ( x - 5) ( x - 1) 21) 4x ( x - x + 3) - ( x - 6) ( x - 5) Bài 13 Tìm x, biết: 1) 4x ( x - 5) - ( x - 1) ( 4x - 3) = 2) ( 3x - 4) ( x - 2) = 3x ( x - 9) - 3) ( x - 5) ( x - 4) - ( x +1) ( x - 2) = 4) 5x ( x - 3) = ( x - 2) ( 5x - 1) - 5) ( x - 3) ( x - 4) - 6x ( x - 2) = 6) ( x - 5) ( x - 1) = ( x - 1) ( x - 2) 7) - ( x + 3) ( x - 4) +( x - 1) ( x +1) =10 8) ( 2x - 1) ( x - 2) - ( x + 3) ( 2x - ) = 9) ( x - 5) ( - x + 4) - ( x - 1) ( x +3) =- 2x 10) ( 4x +1) ( x - 3) - ( x - 7) ( 4x - 1) =15 11) ( x +1) ( x - x +1) - x ( x - 3) = 12) ( x - 3) ( x + 3x + 9) + x ( - x ) = 6x 13) ( 5x - 1) ( 5x +1) = 25x - 7x +15 14) 8x ( x - 3) - ( x - 1) ( x +1) = 20 15) - 4x ( x - 7) + 4x ( x - 5) = 28x - 13 16) ( 4x - 5) ( x +1) - ( x - 1) ( x +1) = 17) ( 3x - 5) ( x +1) - ( 3x - 1) ( x +1) = x - 18) ( x - 2) ( x + 3) - ( x + 4) ( x - 7) = - x 19) ( x - 3) ( x - 7) - ( 5x +1) ( x - 2) = 20) 3( x - 7) ( x + 7) - ( x - 1) ( 3x + 2) =13 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN 6 PHÉP CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN Kiến thức cần nhớ: Chia đa thức cho đa thức ( chia hết) Cho hai đa thức P Q ( với Q ¹ ) Ta nói đa thức P chia hết cho đa thức Q có đa thức M cho P Q.M Khi P đa thức bị chia, Q đa thức chia M đa thức thương (gọi M= P Q tắt thương) Kí hiệu: M  P : Q Chú ý: Để thực phép chia đa thức, người ta thường viết đa thức thành đa thức thu gọn xếp đơn thức theo lũy3x thừa - giảm 5x + dần, = ( x - thực 2) ( 3x +1)phép + chia Phép chia có dư ta có Ví dụ muốn chia đa thức 3 Q B 3với Nhận xét: +Khi 7x 4chia =thức 5x : 2x 7x : 2xlà ( 3x - 5x ) : 2xđa ( 3x :A2xcho ) +đa( - thức ) +(thương ) , dư R A = B.Q + R , bậc R nhỏ bậc B = x3 - x + x 2 2 Ví dụ: Chia đa thức 4x - 5x +1 cho 2x - Đặt phép chia Chia đơn thức bậc cao đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao đa thức chia 4x : 2x = 2x Nhân 2x với đa thức chia 2x - lấy đơn thức bị chia trừ cho tích vừa nhận NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài Làm tính chia 1) ( x + x) : x 2) ( x2 - 4) x + x ) : x = ( x : x ) +( x : x ) = x +1 ( Hướng dẫn giải: 3) ( x + 3x ) : x ( 3x + 2x) : x 5) ( x6 + x7 - 6) ( 4x + 2x ) : ( 2x ) 7) ( 3x + 3x ) : ( 3x ) 8) ( 3x - 9) ( 6x + 4x +8x ) : ( 2x ) 10) ( 8x +16x - 10x ) : ( 2x ) 11) ( 4x + 6x +14x ) : ( 2x ) 12) ( 14x + 63x +14x ) : ( 7x ) 13) ( 14x + 21x - 14) ( x4 + x5 + x ) : x3 15) ( 4x - 16) ( 8x - 16x - 20x ) : ( 4x ) 17) ( 18x - 18) ( 2x +14x +10x ) : ( 2x ) 19) ( 12x +16x - 20) ( 3x + 6x +12x ) : ( 3x ) Bài 2x ) : x 9x +12x ) : ( 3x ) x9 ) : x 7x ) : x 24x ) : ( 4x ) 9x + 27x10 ) : ( 9x ) 24x ) : ( 4x ) Tìm số dư phép chia 1) ( x +1) : ( x - 1) 2) ( x +1) : ( x +1) 3) ( 3x + 3) : ( x +1) 4) ( 2x + 6) : ( x + 3) 5) ( 4x - 8) : ( x - 2) 6) ( 12x + 3) : ( 4x +1) 7) ( x + x ) : ( x + 2) 8) ( x - 3) : ( x - 3) 9) ( x - x ) : ( x - 1) 10) ( - x + 4x) : ( x - 4) 11) ( x + 2x +1) : ( x +1) 12) ( x + x - 12) : ( x - 3) 13) ( x2 - 14) ( x + 5x - 6) : ( x - 1) 4x + 3) : ( x - 3)   x  4x  4 :  x  2  x  x   :  x  3 17)  x  x  5x  21 :  x 19) 16) Bài 2  x  5x   :  x     x  8x  12  :  x  3 18)  x  3x  3x  1 :  x  x 1 20) 15)  4x  7 1) Thực phép tính:  x  1 :  x  1 2)  3x  3 :  x  1 3)  x   :  x  3 4)  x  8 :  x   5)  12 x  3 :  x  1 6) x  x  :  x  2 NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN  x  3x  :  x  3   x  4x  :  x  4  x  x  12  :  x  3  x  x   :  x  1 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) Bài Thực phép chia sau:  x  5x 11x 10  :  x   1)  x  x  x  5 :  x 1 3)  x  11x  36 x  35 :  x  3x  5 5)  3x  x 1 :  x   7)  x  x  x  :  x  1 9)  x  1 :  x  1 11)  x 1 :  x 1 13)  x  x   :  x  5 15) 3 4 14) x x x x  x  :  x  1  x  1 :  x 1  x  3 :  x  3  4x  9 :  x  2  x  x  10 x   :  x   3x   x  x  13x  14  :  x  3x    x  5x  5x  :  x  5  x  1 :  x  1  x  3x  x  1 :  x    x  1 :  x  1  x  x  3x  5 :  x  3 2) 4) 6) 2 2 2 8) 10) 12) 14) 4 Bài Cho hai đa thức A x  x  x  13x  11 B x  x  Tìm thương Q dư R cho A B.Q  R 2 Cho hai đa thức A 2 x  10 x  3x  x  ; B 2 x  Tìm đa thức dư R phép chia A cho B viết A B.Q  R Bài Tìm a cho đa thức x  x  x  x  a chia hết cho đa thức x  x  Bài 2 Bài Cho đa thức: A 6 x  x  x  m  6m  B 2 x  1) Tìm đa thức thương số dư phép chia A cho B 2) Tìm m để A chia hết cho B CHƯƠNG 8: HÌNH HỌC PHẲNG TAM GIÁC Bài GÓC VÀ CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC I TỔNG SỐ ĐO BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC Kiến thức cần nhớ:  Định lý: Tổng số đo ba góc tam giác 180  Chú ý: - Tam giác có góc nhọn gọi tam giác nhọn - Tam giác có góc vng gọi tam giác vng, cạnh đố diện góc vng gọi cạnh huyền, hai cạnh lại gọi hai cạnh góc vng - Tam giác có góc tù gọi tam giác tù  Nhận xét: Trong tam giác vng, tổng hai góc nhọn 90 BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài Tìm số đo góc chưa biết tam giác hình NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN H D A 62° 28° 45° B 37° 62° F C E 38° I K b) a) c) Hình Tìm số đo góc chưa biết tam giác hình Bài A E 72° M 59° 44° 33° 31° B C P 120° D F N b) a) c) Hình Bài Tìm số đo góc chưa biết tam giác hình cho biết tam giác tam giác nhọn, tam giác tam giác tù, tam giác tam giác vuông F C I 58° 32° 42° 68° D E 27° G H 56° J K b) a) c) Hình y x Tính số đo tam giác hình Bài G t M A 30° x y A D 90° x 55° B Bài Bài Bài Bài Bài 40° a) C x H 40° b) x 50° I N c) 40° 60° P E d) x 70° K z B Hình    Vẽ ABC Giả sử A 57 , B 63 Tính C    Vẽ DEF Giả sử DEF 40 , EDF 75 Tính DFE     Vẽ ABC Giả sử A 40 , B 70 Chứng minh: B C    Vẽ ABC có đường phân giác AD Giả sử B 70 , C 50 Tính BAD Tính số đo góc x Hình 40° x D e) y C NHÓM WORD HÓA ĐỀ TOÁN N Q K 62° x x 52° M R L a) T P b) Hình   Bài 10 Vẽ ABC vuông A Giả sử B 55 Tính C  Bài 11 Vẽ AHC vng H , có đường phân giác CF Giả sử A 32    1) Tính ACH HCF 2) Tính HFC Bài 12 Tìm số đo x hình A H E 40° A K I x a) M D B x 25° x H x 55° 60° B b) B C N I c) P A d) K E Hình Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC ( H  BC ) 1) Tìm cặp góc phụ hình vẽ 2) Tìm cặp góc nhọn hình vẽ    Bài 14 Cho ABC vng A Kẻ AH vng góc với BC H Giả sử C 30 Tính B, HAC cho nhận xét vè hai góc Bài 15 Hãy chia tứ giác ABCD hình thành hai tam giác để tính tổng số đo bốn góc A, B  ,C  ,D  A B C D Hình    Bài 16 Cho tam giác ABC có B 80 , C 30 Tia phân giác góc A cắt BC D Tính ADC ,   Bài 17 Vẽ ABC Giả sử ABC 80 , ACB 40 Hai tia phân giác kẻ từ đỉnh B C cắt    Tính IBC  ICB tính BIC ADB I NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN Bài 18 Cho ABC vng A Lấy D thuộc cạnh AC Vẽ DE vng góc với BC E Chứng minh:  CDE  B Bài 19 Cho ABC nhọn Vẽ AH vng góc với BC H BD vng góc với AC D , AH  60  BD cắt I Giả sử C Tính BIH  Bài 20 Cho ABC nhọn có BD  AC D CE  AB E , BD cắt CE I BIC kề bù với góc   nào? Chứng minh: BIC bù với A  Bài 21 Cho xOy góc nhọn có điểm I bên Vẽ IA vng góc Ox A ; IB vng góc Oy B   Gọi Oz tia đối tia Oy Chứng minh xOz  AIB (Gợi ý: AI kéo dài cắt Oy D ) II QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA TAM GIÁC Kiến thức cần nhớ:  Định lý: Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại  Nhận xét: Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại BÀI TẬP CƠ BẢN: Bài Trong ba độ dài đoạn thẳng đây, ba độ dài ba cạnh tam giác? 1) 2cm; 3cm; 6cm; 2) 2cm; 4cm; 6cm; 3) 3cm; 4cm; 6cm; Bài Trong ba độ dài đoạn thẳng đây, ba độ dài ba cạnh tam giác? 1) 7cm; 8cm; 11cm; 2) 7cm; 9cm; 16cm; 3) 8cm; 9cm; 16cm; Bài Trong ba độ dài đoạn thẳng đây, ba độ dài ba cạnh tam giác? 1) 4cm; 5cm; 7cm; 2) 2cm; 4cm; 6cm; 3) 3cm; 4cm; 8cm; Bài Cho tam giác ABC với độ dài ba cạnh ba số nguyên Nếu biết AB 5cm, AC 3cm cạnh BC có độ dài xăngtimét? Bài 5: Cho tam giác ABC có BC 1cm, AB 4cm Tìm độ dài cạnh AC biết độ dài số nguyên xăngtimét Bài Trong trường học, người ta đánh dấu ba khu vực A, B, C ba đỉnh tam giác, biết khoảng cách AC 15m, AB 45m 1) Nếu đặt khu vực C thiết bị phát wifi có bán kính hoạt động 30m khu vực B có nhận tính hiệu khơng? Vì sao? 2) Cũng câu hỏi với thiết bị phát wifi có bán kính hoạt động 60m Bài Cho tam giác ABC có đường cao AH Chứng minh: 2AH  BC  AB  AC Bài Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Gọi I giao điểm đường thẳng BM cạnh AC 1) So sánh MA với MI  IA , từ chứng minh: MA  MB  IA  IB So sánh IB với IC  CB , từ chứng minh: IA  IB  CA  CB 3) Chứng minh bất đẳng thức MA  MB  CA  CB BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài Cho tam giác ABC cân có AB 3,9cm; BC 7,9cm 2) 1) Tìm AC 2) Tam giác cân đỉnh nào? 3) Tính chu vi tam giác ABC NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN Tính chu vi tam giác cân ABC biết: 1) AB 5cm; AC 12cm 2) AB 7cm; AC 13cm Bài Cho OBC cân O Trên tia đối tia CO lấy điểm A Chứng minh: AB  AC Bài Cho OBC cân O Trên tia đối tia OC lấy điểm A Chứng minh: AB  AC Bài Cho tam giác ABC có AB  AC AD đường phân giác Trên AB lấy F cho AC  AF Trên AD lấy điểm E tuỳ ý Chứng minh: Bài AB  AC BF 3) BE  EC  BF Bài Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy MD MA 1) Chứng minh: AMB DMC 2) Chứng minh AB  AC  AM AB  AC  AM Bài Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Chứng minh Bài Cho tam giác ABC có M điểm nằm hai điểm B C Chứng minh AB  AC  BC AM  ABC Bài Cho tam giác có D điểm nằm hai điểm B C Chứng minh AB  AC  BC  AD  AB  AC  BC  Bài 10 Cho tam giác ABC có M thuộc tia phân giác C Trên tia đối tia CA lấy CI CB 1) So sánh MI với MB 2) Chứng minh: MA  MB  AC  BC  Bài 11 Cho tam giác ABC có Cx tia đối tia CB Gọi Cy tia phân giác ACx Lấy M Cy Trên Cx lấy N cho CN CA Chứng minh: 1) ACM NCM 2) AC  BC  MA  MB 1) AEC AEF 2) DE // BC  E  AC  Cho tam giác ABC cân A có D thuộc cạnh AB Kẻ Tam giác ADE tam giác gì? So sánh BE CD BE cắt CD O Chứng minh: OB  OC  OD  OE  DE  BC Chứng minh: 2BE  BD  EC Bài 13 Cho tam giác ABC có D, E , F trung điểm BC , CA, AB Trên tia đối tia DA lấy I cho D trung điểm AI 1) So sánh AB CI 2) Chứng minh: AB  AC  AD 3) Chứng minh: AB  AC  BC  AD  BE  CF  Bài 14 Cho tam giác ABC có tia AM đường phân giác BAC ( M thuộc cạnh BC ) AB  AC Lấy I thuộc cạnh AB cho AI  AC 1) So sánh MC với MI 2) Chứng minh: MB  MC  AB  AC   Bài 15 Cho xOy  90 tia phân giác Oz Lấy điểm M xOz Kẻ MH  Ox H , Mk  Oy K MK cắt tia Oz A Từ A kẻ AI  Ox I 1) So sánh AI AK 2) So sánh MH với MI ; MI với MK 3) Chứng minh: MH  MK -BÀI TẬP CHUẨN BỊ Bài 12 1) 2) 3) 4) Bài Vẽ tam giác ABC nhọn có AB  AC Vẽ tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Bài Vẽ tam giác ABC nhọn có AB  AC Vẽ tia đối tia AB lấy điểm E cho AE  AC NHÓM WORD HÓA ĐỀ TỐN Bài Vẽ tam giác ABC vng  A A 90  có AB  AC Vẽ tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Vẽ tia đối tia AC lấy điểm E cho AE  AC Bài  Vẽ tam giác ABC có A  90 AB  AC Vẽ tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AC Vẽ tia đối tia AC lấy điểm E cho AE  AB Bài Vẽ tam giác ABC nhọn có có AB  AC AM đường trung tuyến (đường tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD MA Bài Vẽ tam giác ABC vng A có M trung điểm BC Lấy điểm I đoạn thẳng AM Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME MI Bài  Vẽ tam giác ABC có A tù M trung điểm BC Trên tia AM lấy điểm D cho M trung điểm AD Bài 8:  Vẽ tam giác ABC nhọn tia phân giác BAC cắt cạnh BC D (đoạn thẳng AD gọi đường phân giác tam giác ABC ) Bài Vẽ tam giác ABC nhọn có AB  AC Kẻ AH  BC H (đoạn thẳng AH gọi đường cao tam giác ABC ) Kéo dài AH H lấy thêm đoạn HD HA   Bài 10: Vẽ tam giác ABC có ABC  ACB đường phân giác AD   Bài 11 Vẽ tam giác ABC tam giác DEF có AB DE , BC EF ABC DEF NHÓM WORD HÓA ĐỀ TOÁN BÀI TAM GIÁC BẰNG NHAU Kiến thức cần nhớ:  Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng  Kí hiệu: Hai tam giác ABC DEF kí hiệu là: ABC DEF BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Quan sát hình Hai tam giác ABC MNP có khơng? Hãy cặp góc cặp cạnh tương ứng Bài Cho ABC DEF Em cặp cạnh góc tương ứng Hướng dẫn giải: Ta có ABC DEF (gt)  AB DE    AC DF  BC EF  (các cặp cạnh tương ứng nhau)    BAC EDF     ABC DEF   ACB DFE  (các cặp góc tương ứng nhau) Bài 3: Cho ABC DEF a) Tìm cạnh tương ứng với cạnh BC Tìm góc tương ứng với góc H b) Tìm cạnh nhau, tìm góc Bài 4: Tìm hình a hình b tam giác (các cạnh đánh dấu kí hiệu giống nhau) Kể tên đỉnh tương ứng tam giác đó.Viết kí hiệu tam giác