Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 63 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
63
Dung lượng
2,33 MB
Nội dung
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT TÂY NINH TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI, OLYMPIC CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ Biên soạn: NGUYỄN THANH TÂM Email: thanhtamstn@gmail.com Tel: 0986318518 9-9-2020 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ - Phương pháp tìm số hạng dãy số cho hệ thức truy hồi tuyến tính - Liên phân số - Sai phân - Các phương pháp tìm số hạng dãy số - Các khái niệm dãy con, dãy tuần hồn chu kì - Mối liên hệ tính hội tụ dãy số dãy - Tìm giới hạn dãy số - Các toán thường gặp dãy số GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 PHẦN I XÁC ĐỊNH DÃY SỐ A XÁC ĐỊNH DÃY SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP, PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Xác định dãy số phương pháp quy nạp Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với số nguyên dương n ( phương pháp quy nạp), ta thực theo bước sau: Bước (bước sở hay bước khởi đầu): Kiểm tra A(n) với n = Bước (bước quy nạp): Giả sử A(n) với n=k (k≥1,k∈N) ta chứng minh A(n) với n = k+1 Bước 3: Kết luận: A(n) với số nguyên dương n x1 = Bài 1: Cho dãy số ( xn ) sau: xn+1 = + xn , n = 1, 2, a) Tính x1, x2 , x3 b) Tìm số hạng tổng quát ( số hạng thứ n) Giải a) Ta có x1 = = 2cos 2 ; x2 = + = 1 + 2 = 1 + cos = 2cos 4 x3 = + x2 = 1 + cos = 2cos b) Ta suy : xn = 2cos Với n =1 x1 = 2cos 2n+1 , n = 1,2, = n =1 công thức Giả sử công thức với n=k (k≥1,k∈N) nghĩa xk = 2cos 2k +1 , k Ta chứng minh công thức với n=k+1 (k≥1,k∈N) nghĩa xk +1 = 2cos Thậy vậy: xk +1 = + xk = 1 + cos k +1 2k + , k = 2cos k +2 Vậy công thức tổng quát dãy số là: xn = 2cos Bài 2: Cho dãy số ( xn ) 2n+1 , n = 1,2, x1 = sau: Tính x2003 xn + − xn+1 = + − x , n = 1, 2, n Từ công thức tan ( x + y ) = ( tan x + tan y − tan x.tan y ) Giải GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 tan = − 2 Ta có: = tan = tan = tan + tan − = − tan 8 tan = −1 − 8 tan Vì tan nên tan = − 1, tan + + tan 3 8 = tan + , x = = tan + x1 = = tan , x2 = 8 3 3 8 − tan tan − tan + tan 8 3 8 Suy công thức tổng quát xn = tan + ( n − 1) , n = 1, 2, 8 3 Với n=1 x1 = tan − = 3, 8 3 Giả sử công thức với n = k (k≥1,k∈N) nghĩa xk = tan + ( k − 1) , k 8 3 Ta chứng minh công thức với n = k+1 (k≥1,k∈N) nghĩa xk +1 = tan + k , k 8 3 tan + ( k − 1) + tan 8 3 = tan + ( k − 1) + = tan + k , k Thậy vậy: xk +1 = 8 8 3 3 − tan + ( k − 1) tan 8 3 Vậy công thức tổng quát dãy số là: xn = tan + ( n − 1) , n = 1, 2, 8 3 tan + tan BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho dãy số ( xn ) x1 = sau: Tính x2010 xn + − xn+1 = , n = 1, 2, + − xn ( Hướng dẫn: ta có: tan 12 ) = 2− + ( n − 1) , n = 1, 2, 12 6 x1 = sau: xn + x = , n = 1, 2, n + − 3.xn Công thức tổng quát dãy số là: xn == tan Bài 2: Tìm số hạng tổng quát dãy số ( xn ) GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 Xác định dãy số phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) Chú ý: b b b ; f − đặt X = x + 2a 2a 2a b b b 2) Hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có điểm uốn A − ; f − đặt X = x + 3a 3a 3a b b b 3) Hàm số bậc bốn f ( x ) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có điểm uốn A − ; f − đặt X = x + 4a 4a 4a 1) Hàm số bậc hai f ( x ) = ax + bx + c có đỉnh A − CÁC VÍ DỤ Bài 1: Tìm dãy số ( xn ) biết x1 = ; xn+1 = ax2 + bx + c, n = 1,2, a 0, c = Hướng dẫn: đặt yn = xn + b2 − 2b 4a b 2a b b b = a yn − + b yn − + c, n = 1, 2, Ta được: yn +1 − 2a 2a 2a by b b b yn+1 − = a yn2 − n + + b yn − + c 2a a 4a 2a yn+1 − b b2 b2 b2 − 2b = ayn2 − byn + + byn − + yn+1 = ayn2 , n = 1,2, 2a 4a 2a 4a ( Suy ra: yn = ayn2−1 = a ayn2−2 Vậy xn = a n−1−1 n−1 y ) = = a n−1−1 y12 n−1 , n = 1,2, b b − = a n−1−1 + 2a 2a n −1 − b , n = 1,2, 2a Thử lại quy nạp Bài (HSG QG 2000 – 2001): Cho dãy số ( xn ) sau: x1 = , xn+1 = Hãy tính tổng 2001 số hạng đầu dãy số ( xn ) Ta thấy xn 0, n = 1,2, Do xn+1 = xn , n = 1,2, ( 2n + 1) xn + Giải xn 1 = ( 2n + 1) + , n = 1, 2, ( 2n + 1) xn + xn+1 xn Khi u1 = un+1 = ( 2n + 1) + un un = ( 2n + 1)( 2n − 1) , n = 1,2, xn 2 1 = = − , n = 1, 2, Vậy xn = un ( 2n + 1)( 2n − 1) 2n − 2n + Đặt un = 1 1 1 4002 − = = 1− 4003 4003 4001 4003 Do x1 + x2 + + x2001 = − + − + + GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 Một số phép biến đổi công thức lượng giác Bài 3: Xác định dãy số ( yn ) thỏa điều kiện y1 R; yn+1 = yn2 − 1, n = 1,2, Giải * Nếu y1 tồn cho cos = y1 Khi y2 = 2cos2 − = cos 2 , y3 = cos 22 , , yn = cos 2n−1 * Nếu y1 xét số thực β cho = y + y2 −1 1 1 1 y1 = + − y1 + = 2 = y − y2 −1 1 Vậy: đặt = y1 + y12 − y1 = + ; = y1 − y12 − 2 Ta có: 2 1 1 1 1 y1 = + − = + , y2 = y12 − = + − = + 2 2 2 2 n −1 Giả sử: yn = 2n−1 + 1n−1 , yn+1 = + 1n −1 2 2 2 2n − = + 2n 2 n −1 Vậy yn = + 1n −1 , n = 1, 2, 2 2 Bài 4: Xác định dãy số ( yn ) thỏa điều kiện y1 R; yn+1 = yn3 − yn , n = 1,2, Giải * Nếu y1 tồn cho cos = y1 Khi đó: y2 = 4cos3 − 3cos = cos3 , y3 = cos32 , , yn = cos3n−1 * Nếu y1 , xét số thực β cho y = + − y + = = y1 + y1 − 1 = y − y2 −1 1 1 1 Vậy: đặt = y1 + y12 − y1 = + ; = y1 − y12 − 2 Ta có: y1 = + − + = + , 2 2 1 1 y2 = y1 − y1 = + − + = + 2 2 0 Giả sử: yn = + 2 3 n −1 n −1 Khi đó: yn+1 = 3n−1 + 1n−1 − 3n−1 + 1n−1 = 3n + n 3 3 n −1 Vậy: yn = + 1n −1 , n = 1, 2, 2 3 GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 Bài 5: Xác định dãy số ( un ) sau: x1 = ; xn+1 = axn3 + 3xn ( a 0) , n N * Giải Đặt xn = yn y1 = a ; yn+1 = yn3 + yn , n N * a = y + y2 + 1 Xét số thực β cho y1 = − − y1 − = 2 = y − y2 + 1 Vậy: đặt = y1 + ( y12 + y1 = − ; = − y1 − y12 + 2 ) Ta có: y1 = − + − = − 3 2 2 1 1 y2 = y + y1 = − + − = − 2 2 Giả sử: yn = 3n −1 − 1n −1 2 n −1 n −1 n Khi đó: yn+1 = − 1n −1 + − 1n −1 = − n 3 n −1 n −1 3 2 a a a a Vậy: xn = + +1 + − + , n = 1, 2, 4 a BÀI TẬP ÁP DỤNG 2 Bài 3: Cho dãy số ( xn ) xác định sau: x1 − ; xn+1 = xn2 − , n N * Đặt un = 41−n xn+1 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) x1 x2 x3 xn Giải Đặt xn = 1 yn ta dãy số ( yn ) thỏa điều kiện y1 = x1; yn+1 = yn2 − yn+1 = yn2 − 1, n = 1,2, 2 Theo kết trên, ta : yn = + 2 2 Với: = y1 + y12 − = x1 + x12 − Đặt: zn = yn = 2n −1 + 1n −1 n + 2n zn+1 Khi đó: = z1 z2 z3 zn 22 2n −1 + + + 22 + 2n −1 n −1 n −1 GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 2n 2n − + 2n − + 2n = = = 2n 22 2n −1 − 2n − + + + 22 + 2n −1 Vì: zn = yn = 4xn nên 2n +1 = − +1 n +1 − zn+1 xn+1 41−n xn+1 = = z1 z2 z3 zn 4n x1 x2 x3 xn x1 x2 x3 xn n +1 Vậy: Số hạng tổng quát dãy số ( un ) un = − n +1 + , n N * −1 Bài (Đề nghị OLYMPIC 30/04/1999): Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) sau: u1 = 2; un+1 = 9un3 + 3un , n N * Giải Đặt un = xn x1 = 3; xn+1 = xn3 + 3xn , n N * Theo kết trên, ta có: 3n −1 3n −1 2 1 3.2 34 3.2 34 xn = + +1 + − + = + 10 2 4 ( ) 3n −1 ( + − 10 ) 3n −1 , n = 1, 2, Bài (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2004): Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) sau: u1 = ; un+1 = 24un3 − 12 6un2 + 15un − 6, n N * Giải Đặt un = xn − x1 = 2; xn+1 = xn3 + 3xn , n N * Theo kết ta xn = ( 2+ ) 3n −1 ( + 2− ) 3n −1 + 2 , n = 1, 2, Cách 2: Đặt un = xn − Khi x1 = 2; xn+1 = xn3 + 3xn , n N * Xét phương trình x2 − 4x − = x = + 5; x = − x1 + x2 = x x = − Phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa Ta chứng minh: un = Suy ra: un = ( ( n −1 3n−1 x1 + x23 2+ 6 ) 3n −1 ( ) + 2− ) 3n −1 GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh + , n = 1, 2, Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 B Phương pháp lặp Để tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) phương pháp lặp ta thường tìm hàm số ( ) (*) Sử dụng (*) liên tiếp ta thu được: ) ) = h ( h ( f ( u ) ) ) = h ( f ( u ) ) = = h ( f (u ) ) (**) f(x) h(x) cho f ( un ) = h f ( un−1 ) f ( un ) = h ( f ( un−1 n−2 n−2 n Từ (**) ta tìm u0 Hàm số f gọi hàm số phụ, hàm số h gọi hàm số lặp CÁC VÍ DỤ Bài 1: Tìm số hạng tổng qt dãy số ( xn ) cho sau: x1 = 3; xn+1 = xn −1, n = 1,2, Giải: Gọi c nghiệm phương trình f(x) = x f(x) = 7x – Ta có : 7c − = c c = 1 = xn − − , n = 1,2, 6 1 Ta được: xn+1 − = xn − = xn − , n = 1, 2, 6 6 1 1 1 17 Vậy: xn − = xn−1 − = xn−2 − = = n−1 x1 − = n−1 6 6 6 17 Suy ra: xn = 7n−1 + , n = 1,2, 6 5x + , n N * Bài 2.Cho dãy số ( xn ) xác định sau: x1 = 5; xn+1 = n xn + Xét: xn+1 = xn − xn+1 − Chứng minh rằng: xn 4, n N * Tính x2013 Giải Gọi c nghiệm phương trình f(x) = x, f(x) = Xét: xn + xn + c = −1 5c + = c c − 3c − = c = c+2 Ta có: x1 = Giả sử: xn 4, n N * Ta chứng minh: xn+1 4, n N * Nếu xn+1 = xn + = xn + = xn + xn = (mâu thuẫn) xn + Vậy: xn 4, n N * Ta có: xn − = xn−1 + x −4 5x + x +1 − = n−1 ; xn + = n−1 + = n−1 xn−1 + xn−1 + xn−1 + xn−1 + GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 Suy ra: xn + x +1 x +1 x +1 = n−1 = 62 n − = = 6n−1 = 6n xn − xn−1 − xn−2 − x1 − Do đó: xn + = 6n ( xn − ) xn = 4.6n + , n N * n −1 4.62013 + = 2013 −1 Vậy: x2013 Bài 3: Tìm số hạng tổng quát dãy số ( xn ) cho sau: x1 = R; xn+1 = xn2 − 14xn + 56, n = 1,2, Giải Gọi c nghiệm phương trình f(x) = x, f(x) = f ( x ) = x − 14 x + 56 c = c2 −14.c + 56 c2 −15c + 56 = c = 7; c = Xét: xn − = xn −1 − 14 xn −1 + 49 = ( xn −1 − ) = = ( x1 − ) 2n −1 Vậy: Số hạng tổng quát dãy số ( xn ) xn = + ( − ) = ( − ) 2n −1 2n −1 , n = 1, 2, , n = 1, 2, Bài 4: Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) cho sau: u1 = R; un+1 = 3un2 + 4un + , n = 1,2, Giải Ta biến đổi: un+1 = 3un2 + 4un + 3un+1 = 9un2 + 12un + xn Ta được: x1 = 3 R; xn+1 = xn2 + 4xn + 2, n = 1,2, Đặt un = xn+1 + = xn2 + xn + = ( xn+1 + ) , n = 1, 2, Suy ra: xn + = ( xn −1 + ) = ( xn − + ) Vậy: xn = ( 3 + ) 2n −1 − un 22 = = ( x1 + ) ( 3 + 2) = 2n −1 −2 2n −1 ax b + c2 x2 ax bd − ax + dc x = Ta có: d − g ( x ) = d − b + c2 x2 b + c2 x2 2 2 Ta cần chọn a, b, c, d cho bd − ax + dc x = ( d − x ) = d − 2dx + x Lớp hàm g ( x ) = bd = d b = d a = d a = 2d dc = c = d GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 x1 = n+2 xn = ( xn−1 + 2) , n = 2,3, 3n Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn Hướng dẫn Bằng quy nạp chứng minh xn−1 n+2 , n = 3,4, n −1 suy dãy số ( xn ) bị chặn số Với n ta có xn − xn−1 = n + − ( n − 1) xn−1 n+2 0 ( xn−1 + ) − xn−1 = 3n 3n Vậy dãy số ( xn ) giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Đặt lim xn = a cho n → + ta n→+ n+2 1 xn−1 + ) = lim + lim ( xn−1 + ) hay a = ( a + ) a = ( n→+ n→+ 3n n→+ 3n n→+ Vậy lim xn = lim xn = lim n→+ Bài 5: Cho trước a , xét dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiên xn a xn ( a − xn+1 ) a2 , n N Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn: ta có xn a dãy số ( un ) bị chặn Áp dụng bất đẳng thức cauchy xn + ( a − xn+1 ) xn ( a − xn+1 ) a2 = a xn+1 xn n suy dãy số ( xn ) giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn a2 a2 lim xn+1 ( a − xn+1 ) 4 2 a a a a x (1 − x ) x − x = lim xn = 2 2 1 Bài 6: Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = 0; x2 = xn+1 = + xn + xn3−1 , n = 2,3, Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn, tính lim xn Đặt lim xn = x ( x 0) ta có xn ( a − xn+1 ) ( ) n→+ Giải −1 , n = 1, 2, ( ) −1 −1 −1 ,0 xn Ta có x1 , x2 Giả sử xn−1 2 Ta chứng minh xn GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 48 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 1 − − −1 Khi xn+1 = (1 + xn + xn−1 ) + + = 3 Theo nguyên lý quy nạp (2 ) Ta chứng minh dãy số ( xn ) tăng 1 , x3 = 1 + + = x1 x2 x3 Giả sử xn−2 xn−1, xn−1 xn 3 1 Khi xn+1 − xn = + xn + xn3−1 − + xn−1 + xn3−2 = ( xn − xn−1 ) + xn3−1 − xn3−2 3 Vậy xn xn+1, 1,2, nên dãy số ( xn ) có giới hạn Đặt lim xn = a cho n → + ta Ta có: x1 = 0; x2 = ( ) ( ( ) )) ( n→+ a = 1 −1 a = (1 + a + a ) ( a − 1) ( a + a − 1) = a= − a = −1 Vậy lim xn = n→+ 1 a Bài 7: Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiên x1 0, a xn+1 = xn + , n N * 2 xn Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn: 1 a x1 + a quy nạp bất đẳng thức cauchy ta suy 2 x1 x a a = xn+1 xn , n = 2,3, xn a , n = 2,3, Mặt khác n+1 = + + xn 2 xn 2a Ta có x2 = Vậy dãy số ( xn ) giảm bị chặn Đặt lim xn = l cho n → + ta l = n→+ Vậy lim xn = n →+ a nên hội tụ ( ) 1 a 2 l + 2l = l + a l = a l a 2 l a 3 Bài 8: Cho dãy số ( xn ) xác định xn = 2n + a 8n + 1, n = 1, 2,3, ( a R ) a) Tìm a cho dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn b) Tìm a cho ( xn ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) a) Nếu a = −1 dãy số ( xn ) ( Giải có giới hạn hữu hạn : ) lim xn = lim 2n − 8n3 + = lim n→+ n→+ n→+ GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh −1 4n + 2n 8n + + 3 (8n + 1) = Trang 49 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 Giả sử dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn xn = 2n − 8n3 + + ( a + 1) 8n3 + mà dãy số với yn = ( a + 1) 8n3 + 1, n = 1, 2, có giới hạn ( xn ) có giới hạn hữu hạn nên dãy số ( yn ) hữu hạn Mà lim 8n3 + = + nên từ dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn suy n→+ a + = a = −1 Vậy dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn a = −1 b) Dãy số ( xn ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) tồn số nguyên dương n0 cho xn+1 xn , n n0 Ta có xn+1 xn 2n + + a ( n + 1) + 2n + 8n3 + a a 8 ( n + 1) + − (8n3 + 1) 3 3 3 ( 8( n +1) +1) + ( 8( n +1) +1)( 8n +1) + ( 8n +1) 3 ( 8(n +1) +1 − a ( 24n + 24n + 8) ( 8( n + 1) + 1) + ( 8( n +1) +1)( 8n +1) + ( 8n + 1) lim n→+ ( 3 3 ) ( a ( 24n2 + 24n + 8) ( n + 1) + + 3 ( n + 1) + )( 3 ) ( 8n3 + + 3 ) 8n3 + −2 −2 −2 8n3 + ) −2 24a −2 a − 4+4+4 Vậy dãy số ( xn ) tăng (kể từ số hạng đó) a −1 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1 2 Bài 1: Cho dãy số ( un ) cho công thức un +1 = un + 2 u1 un a) Chứng minh un 2, n b) Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn tìm giới hạn Bài 2: (Đề HSG Tp Hồ Chí Minh năm học 2012 – 2013) Cho dãy số ( un ) xác định : u1 = 3u + , n N * un+1 = n 2un + Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài 3: (HSG Gia Lai năm 2004) Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = 2004 xn+1 = 2n + ( xn + 1) , n = 1,2,3, 3n + Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn Hướng dẫn: tương tự GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 50 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 0 u n Bài 4: Chứng minh cho cơng thức ( n 1) có giới hạn tìm giới hạn u − u ( ) n n +1 Hướng dẫn: tương tự Bài 5: Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = 20n + 21 xn+1 = xn3 − 12 xn + , n N * n +1 Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn Hướng dẫn - Chứng minh : xn 2, n N * - Chứng minh xn xn+1, 1,2, nên dãy số ( xn ) có giới hạn Đặt lim xn = a cho n → + ta Vậy lim xn = n→+ n→+ Bài 6: Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = 2n + 4999 2011 xn+1 = xn2 − xn + , n N * n + 2499 2010 Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn Hướng dẫn - Chứng minh : xn 1, n N * - Chứng minh xn xn+1, 1,2, nên dãy số ( xn ) có giới hạn Đặt lim xn = a cho n → + ta Vậy lim xn = n→+ n→+ 1 3 Bài 7: Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiên x1 0, a xn+1 = xn + a , n N * xn Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn 1 3 Hướng dẫn: Ta có x2 = x1 + x1 + a a tương tự x12 Bài 8: Cho dãy số ( xn ) xác định xn = n + a n + 1, n = 1, 2, ( a R ) a) Tìm a cho dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn b) Tìm a cho ( xn ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) tương tự Bài 9: (T10/404) Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = dãy số ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn 20n + 21 xn +1 = xn − 12 xn + Chứng minh n +1 1 2 Bài 10: (HSG Tây ninh 2014) Cho dãy số ( un ) xác định u1 = un +1 = un + Chứng minh un ( n ) Tìm lim un GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh 5 n un * Trang 51 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 IV GIỚI HẠN CỦA DÃY TỔNG Bài Cho dãy số ( an ) n a1 = * xác định Tìm lim , n = 1; 2;3 n N i =1 an +1 = an − an + Để tiến hành giải toán ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Chỉ lim an = + n Bước 2: tính tổng a i =1 n Bước 3: Tìm lim i a i =1 i Giải Do a1 = 1và an+1 − an = ( an − 1) , n = 1;2;3 nên = a1 a2 a3 tức dãy số nầy tăng (1) Ta chứng minh dãy số ( an ) không bị chặn (2) Thật vậy, dãy số ( an ) bị chặn ( an ) hội tụ Giả sử lim an = a ( a 1) a = a + ( a − 1) a = (mâu thuẩn) Từ (1) (2)suy lim an = + Ta có +1 − = ( − 1) 1 = − , i = 1; 2; ai − +1 − n 1 = − → n →+ =1− +1 − an +1 − i =1 i =1 − n Vậy lim = 1khi n →+ i =1 x1 = x1 x2 xn Bài : Cho dãy số ( xn ) xác định n =1;2;3; Tìm lim + + + xn +1 xn +1 = 2008 xn + xn x2 x3 n suy Giải Ta có xn +1 − xn = 2008x 0, n = 1;2;3 nên dãy số ( xn ) dãy số tăng dương Ta n chứng minh ( xn ) không bị chặn Thật vậy, dãy số ( xn ) bị chặn ( xn ) hội tụ Giả sử lim xn = a ( a 0) a = 2008a + a a = (vô lý).suy lim xn = + xk 1 = − xk +1 2008 xk xk +1 x x x 1 suy + + + n = − x2 x3 xn +1 2008 x1 xk +1 Biến đổi xk +1 = 2008xk2 + xk GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 52 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 x1 x2 x + + + n = x x x 2008 n +1 Vậy lim x1 = Bài 3: Cho dãy số ( xn ) , n = 1, 2, xác định x = xn + xn + xn n +1 n Chứng minh dãy ( yn ) với yn = , n = 1; 2;3 có giới hạn hữu hạn Tìm lim yn i =1 xi Giải Từ giải thiết ta thấy xn n nên xn2 + xn + xn − xn = xn+1 − xn = xn2 + xn − xn = 2 xn xn2 + xn + xn 0, n Do dãy số ( xn ) tăng a + 4a + a a = (vô lý) Giả sử lim xn = a ( a 0) a = Suy lim xn = + Từ xn +1 = xn2 + xn + xn xn2+1 = xn ( xn +1 + 1) 1 = − n xn +1 xn xn +1 1 1 1 1 1 1 + − + − + + − = 6− = − x1 x1 x2 x2 x3 xn+1 i =1 xn xn+1 x1 xn+1 yn Do yn n 1và dãy số ( yn ) tăng yn +1 = yn + xn +1 Vậy dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn lim yn = Suy yn = n x i = a1 = n N* an +1 = an ( an + 1)( an + )( an + 3) + Bài : Cho dãy số ( an ) xác định đặt yn = n , n = 1; 2;3 Tìm lim yn + i x i =1 Giải Từ công thức xác định dãy suy a2 = an n = 1;2;3 ta biến đổi an ( an + 1)( an + 2)( an + 3) + = = (a n (a n + 3an )( an2 + 3an + ) + + 3an ) + ( an2 + 3an ) + = an2 + 3an + với n ≥1 an+1 = an2 + 3an + 3an 32 an−1 3n a1 = 3n GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 53 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 Bằng quy nap ta chì an 3n −1 n Nên lim an lim 3n−1 = + ta lại có n→+ an+1 = a + 3an + an+1 + = a + 3an + = ( an + 1)( an + 2) nên n an+1 + = n ( an + 1)( an + ) = 1 1 − = − an + an + an + an + an+1 + n 1 1 1 = − − = − → = xi +1 + x1 + xn +1 + xn +1 + i =1 xi + i =1 xi + 1 Vậy lim yn = n →+ x1 = a ( a R ) n Tìm tất giá trị Bài Xét dãy số thực ( xn ) ( n 1) xác định xn +1 = xn − xn + xn a để dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn dãy số ( xn ) trường Do yn = n hợp Giải Xét hàm số f ( t ) = 2t − 5t + 4t Khi dãy số cho có dạng xn +1 = f ( xn ) n N * ta có f ' ( t ) = 6t − 10t + = ( 3x − )( x − 1) f ( x ) − x = x ( x − 1)( 2x − 3) Từ suy f ( x ) = x 3 x f ( x ) x , x f ( x ) x 2 3 Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số f ( x ) ta có x f ( x ) 2 x = x = 1hoặc x = Từ nhận xét ta thu được: (i) Với x ( −;0) ln ln có f ( x ) ( −;0) 3 3 2 2 3 3 (iii) Với x ; + luôn có f ( x ) ; + 2 2 (ii) Với x 0; ln ln có f ( x ) 0; Ta xét trường hợp cụ thể : Trường hợp 1: a1 cho f ( x) − f ( L) x−L = f '(c) f ( x) − f ( L) 1 Hay xn +1 − L xn − L 8 1 x − L f ( xn ) − f ( L ) xn − L 8 n +1 x0 − suy lim xn = L Ta cần xác định L giải phương trình GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 55 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 1 25 f ( x) = x 1+ = x x + − 2 x + = x +1 3 27 43 177 43 177 + + − − khoảng (1; ) 54 18 54 18 ta L = 43 177 43 177 + + − − 54 18 54 18 x1 = 2,1 Bài 7: Xét dãy số ( xn ) ( n = 1; 2;3 ) xác định xn − + xn2 + xn − Với số nguyên xn +1 = n dương n , đặt yn = Tìm lim yn i = xi +1 − Vậy lim xn = Giải x − + x2 + 8x − x − = ( x − 3)( x − ) Nhận xét: ta có Phương trình khơng có nghiệm x>2 Do 2,1 x1 x2 x3 (1) Mặt khác từ công thức truy hồi dãy ( xn ) giả thiết toán ta suy ( xn +1 − xn + 2) = xn2 + xn − xn2+1 + xn2 + − xn +1 xn + xn +1 − xn = xn2 + xn − xn2+1 − = xn +1 xn − xn +1 + 3xn − xn2+1 − = ( xn +1 + 3)( xn − ) x + xn +1 + + 1 1 1 = n2+1 = = + = − (2) xn − xn +1 − xn +1 − xn +1 − xn +1 − xn +1 − xn − xn +1 − 1 = lim − lim = suy Từ (1) (2) ta thấy tồn lim xn lim xn − xn +1 − xn +1 − lim xn = + Do yn = n 1 1 = − − = 10 − = xn +1 − x1 − xn +1 − xn +1 − i =1 xn +1 − i =1 xn − n Vậy lim yn = 10 a = n = 1;2; Bài Cho dãy số ( xn ) xác định an2 an +1 = an2 − an + a) Chứng minh dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn b) Đặt bn = a1 + a2 + + an với số nguyên dương n.Tìm phần nguyên bn giới hạn lim bn n → Giải GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 56 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 1 Ta có a − an + = an − + an n 2 n −a ( a − 1) an2 Mặt khác an +1 − an = − an = 2n n (1) an − an + an − an + Vậy dãy số ( an ) dãy giảm bị chặn 0, suy tồn lim an = a (1) s Do chứng minh quy nạp ta được: an an a1 n → b) Ta có an +1 − = a a −1 1 1 −1 = n = an + an = − an − an +1 − an − a − an + an − an + an +1 − n n 1 1 a = − − = 2− = i an − an +1 − a1 − 1 − an +1 i =1 i =1 an +1 − 1 1 bn b n a n an lim an = lim bn = − = bn = n → n n n → Bài 9: Cho dãy số ( an ) xác định a1 = a2 = an+1 = an + an−1 , n = 2,3, Chứng minh n ( n + 1) dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn Giải Ta thấy an 0, n N suy dãy số ( an ) dãy số tăng Theo giả thiết ta có: * an+1 = a an−1 an−1 + an = + n−2 + an−1 = n ( n + 1) n ( n + 1) ( n − 1) n = an−1 an−2 an−3 a a + + + + + + a2 n ( n + 1) ( n − 1) n ( n − )( n − 1) 3.4 2.3 = an−1 an−2 an−3 1 + + + + + + 1(*) n ( n + 1) ( n − 1) n ( n − )( n − 1) 3.4 2.3 Bằng quy nạp ta chứng minh an , n = 3,4, Ta có a3 = a2 + a1 = 1+ = 2.3 6 Giả sử ak , k N : k n từ (*) ta có: 5 1 1 1 an+1 + + + + + +1 + n ( n + 1) ( n − 1) n ( n − )( n − 1) 4.5 3.4 2.3 GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 57 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 1 1 1 1 = − − + + − + + + + n n + n − n 12 5 1 5 20 = − = + + = n + 4 12 dãy số ( an ) tăng bị chặn nên dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn Lưu ý: Giả sử ak , k N :3 k n ta chứng minh an+1 1 1 + + + + + 4.5 k ( k + 1) ( k − 1) k ( k − )( k − 1) từ (*) ta có: an+1 +5 +5 1 Để an+1 = − = = + 4 k +1 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 + + + xn − x1 − x2 − Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = và.Tìm lim x1 xn x + + + xn +1 − x2 − x3 − Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = a xn +1 = xn2 Tìm lim Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = xn +1 = phần nguyên S2008 tìm lim S n xn + 1) n=1,2,… Đặt Sn = Tìm ( k =1 xk + n Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = a 2003xn +1 = x + 2002xn ( n 1) Tìm lim n Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = a xn +1 = n x k =1 xk k +1 −1 n xn2 + xn − 1 n lim Tìm ( ) xn k =1 xk − n xn − xn + 25) ( n = 1, 2, ) Tìm lim ( k =1 xk − n xác định x1 = 2009 xn +1 = xn xn + Tìm lim xk + k =1 Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = xn +1 = ( Bài Cho dãy số ( xn ) Bài Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = xn +1 = xác đinh yn = n x k =1 k ) xn4 − xn + ( n 1) Chứng minh dãy số ( yn ) xn3 − xn + có giới hạn tìm giới hạn Bài (HSG Gia Lai năm 2011 – 2012) Cho dãy số ( an ) xác định a1 = 24, a2 = 60 an+1 = an + an−1 , n = 2,3, Chứng minh dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn n ( n + 1)( n + ) GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 58 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 V PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH DÃY SỐ 1) Đinh lý 11 (Nguyên lý kẹp) Nếu ba dãy số ( xn ) , ( yn ) , ( zn ) thỏa điều kiện yn xn zn , n n0 lim yn = lim zn = L lim xn = L n→+ n→+ n→+ CÁC BÀI TỐN Bài 1: (Đề Olympic tốn SV tồn quốc 2003) Cho dãy số ( xn ) xác định xk = k n n n + + + , k = 1, 2, Hãy tính lim n x1 + x2 + + x2003 n →+ 2! 3! ( k + 1)! Giải Vì xk +1 − xk = Ta có : k +1 nên x1 x2 x2002 x2003 ( k + )! ( k + 1) − = − k = ( k + 1)! ( k + 1)! k ! ( k + 1)! Do xk = 1 k 1 1 1 + + + = 1 − + − + + − = − 2! 3! ( k + 1)! 2! 2! 3! ( k + 1)! k ! ( k + 1)! n n n Ta có: x2003 x1n + x2n + + x2003 2003x2003 n suy x2003 n x1n + x2n + + x2003 2003n x2003 nên − 1 n n x1n + x2n + + x2003 2003 n 1 − 2004! 2004! 1 n Vì lim 1 − = 2003 nlim 1 − = 1− n→+ →+ 2004! 2004! 2004! n Suy lim n x1n + x2n + + x2003 = 1− n→+ 2004! Bài 2: (Đề Olympic 30/4/ 2011) Cho dãy số ( un ) xác định u1 = a un+1 = un + n u , k = 1, 2, Tìm giới hạn dãy n un n Giải 2 Giả sử un n, n u1 un2 − ( n + 1) un + n ( un − 1)( un − n ) = 0 Khi đó, un+1 − ( n + 1) = un un u Theo nguyên lý quy nạp suy un n, n , n 1, n = 2,3, n n un + un−1 + u2 + ( n − 1) Từ ta un+1 = un + un u u u n−2 u −2 suy n + 1 n 1+ (*) n n n n n Ta có u2 = u1 + GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 59 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 un =1 n→+ n Từ (*) cho n → + sử dụng giới hạn kẹp ta lim Bài (Đề Olympic 30/4/ 2001): Cho dãy số ( un ) xác định u0 = u2 uk = uk −1 + k −1 , k = 1, 2, , n Tìm lim un n →+ n Từ giải thiết ta có: n ( uk − uk −1 ) = u k −1 Giải nuk − nuk −1 + uk uk −1 − uk2−1 = uk uk −1 uk − uk −1 1 1 = − = (1) uk uk −1 n + uk −1 uk −1 uk n + uk −1 1 1 Do = u0 u1 u2 nên từ (1) ta suy − , k = 1, 2, n ( ) uk −1 uk n ( uk − uk −1 )( n + uk −1 ) = uk uk −1 Từ (2) thay k = 1,2,… n Rồi cộng bất đẳng thức ta được: 1 − 11 un uk 1, k = 1, 2, n ( ) u0 un un 1 Nên từ (1) ta suy − , k = 1, 2, n ( 3) uk −1 uk n + Trong (3) thay k= 1,2,… n cộng bất đảng thức ta 1 n n n+2 n +1 n +1 − 2− = un 1, n N Mà lim =1 n→+ n + u0 un n + un n +1 n +1 n+2 Vậy lim un = n→+ Bài (Đề Olympic 30/4/ 2006): Cho dãy số ( un ) xn2 xác định x1 xn+1 = + xn + , n = 1, 2, Tìm lim xn ? n →+ Giải Ta có xn+1 = + xn − x 1 3 = − ( xn2 − xn − ) = − ( xn − 1) + , n = 1, 2, 2 2 2 n Bằng quy nạp ta chứng minh xn 1, n = 1,2, Theo giả thiết ta có x1 Giả sử xn 1, xn2 x2 x − xn + xn − n − n 2 2 x x x Do xn+1 = + xn − n + − n = − n = − = ( xn ) 2 2 Khi từ xn xn2 − 3xn + hay Vậy theo nguyên lý quy nạp ta suy xn 1, n = 1,2, Như ta chứng minh xn , n = 2,3, GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 60 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 a2 Đặt a = a = + a − Do đó, ta có: xn+1 − a = + xn − xn2 − 1 + a − = xn − a − a2 2 = ( xn − a ) − ( xn − a ) 2 1 ( xn + a ) = xn − a − a − xn 2 mà − a − xn 1 1 xn − a xn−1 − a n x1 − a 2 Vậy xn − a n−1 x1 − , = 2,3, lim n−1 = nên theo nguyên lý kẹp ta lim xn = a = n →+ n→+ nên xn+1 − a BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài (Đề vô địch Singapore 1997): Cho dãy số ( un ) xác định u0 = uk2−1 uk = uk −1 + , k = 1,2, , n − Chứng minh − un Hướng dẫn: xem giải n n x2 Bài (HSG Gia Lai 1996): Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = xn+1 = n − 1, n = 1,2, Chứng minh dãy số ( an ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn: Bằng quy nạp ta chứng minh −1 xn 0, n = 2,3, Giả sử lim xn = L n → + n→+ Ta giải phương trình: L = L = 1+ L2 −1 L = 1− L = − 3 Ta chứng minh xn+1 − L Bài 2: Cho trước a 0;1 , xét dãy số ( xn ) n −1 x2 − L , n = 2,3, a a xn2 xác định x1 = xn+1 = − , n = 1,2, 2 Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn : Bằng quy nạp ta chứng minh − xn Giả sử: lim xn = L n → + , n = 2,3, n→+ GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 61 Chuyên đề : Dãy số giới hạn dãy số - Bồi dưỡng học sinh giỏi, Olympic 2020 L = + a2 − a L2 Ta giải phương trình: L = − L = + a2 − 2 L = − + a − n −1 1 a − L , n = 2,3, Ta chứng minh: xn − L 2 Vây: lim xn = + a − n→+ Bài 3: Cho trước a ( 0; + ) , xét dãy số ( xn ) xác định x1 = a xn+1 = xn ( − axn ) , n = 1, 2, Chứng minh xn 0, n = 1,2, dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn: Ta có x2 = x1 ( − ax1 ) 0,2 − ax1 0,1 − ax1 −1 Nhưng x1 0, a nên − ax1 suy − ax1 1, n N * Ta có: xn+1 − 1 = xn ( − axn ) − axn+1 − = − axn ( − axn ) = a xn2 − 2axn + = − axn a a − axn = − axn−1 = − axn −2 = = − ax1 ( ) Vậy: lim − axn = lim − axn n→+ n→+ 2n −1 2n −1 = − ax1 1, n N * Do đó: lim (1 − axn ) = lim axn = lim xn = a −1 n →+ n →+ n→+ x1 = Bài (HSG QG năm 2012): Cho dãy số ( xn ) xác định n+2 xn = ( xn−1 + 2) , n = 2,3, 3n Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn Giải Ta có : n+2 n+2 2 5 xn−1 − + xn−1 − + , n 10 ( xn−1 − 1) + 3n n 3n n 5 n 5 Đặt yk = max xk − ; , k 10, n 11 k 2 5 * Nếu yn = xn − yn xn−1 − + yn−1 = yn−1 5 n 5 5 * Nếu yn = yn = yn−1 n n −1 Vậy : ( yn ) dãy giảm, bị chặn số nên có giới hạn hữu hạn xn − = Ta chứng minh: a = Suy nên lim xn − = Do lim xn = n→+ n→+ GV: Nguyễn Thanh Tâm – Trường THPT Tây Ninh Trang 62