Chuyên đề 10 CÂU ĐỐ VÀ TRÒ CHƠI A Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong giải bóng đá, có đội thi đấu vịng trịn lượt (trong trận đội thắng điểm, đội hòa điểm, đội thua điểm) Khi kết thúc giải, người ta thấy có đội đạt tổng số điểm điểm, điểm điểm Hãy cho biết đội lại giải có tổng số điểm giải thích sao? (Tuyển sinh lớp 10, trường PTNK, ĐHQC TP Hồ Chí Minh, năm học 2006-2007) Giải Do có đội tham dự nên đội đấu trận Theo đề đội điểm thắng trận thua trận, đội điểm thắng trận hòa trận, đội điểm hòa trận thua trận Do đội cịn lại phải có trận hịa Vì tổng số trận thắng tổng số trận thua nên đội lại phải thua trận thắng trận Tổng số điểm đội lại là: + +3 = (điểm) Có thể diễn giải sau: Giả sử đội bóng đá A, B, C, D + A thắng C D, thua B nên điểm + B thắng A, hòa C D nên điểm + C thắng D, hòa B thua A nên điểm + D hòa B, thua A C nên điểm Ví dụ 2: Một tháng đặc biệt có tới năm ngày thứ 3, ngày ngày cuối tháng thứ Hỏi ngày cuối tháng ngày nào? Giải Tìm cách giải Nhận thấy tháng nhiều có 31 ngày, nên nhiều có ngày thứ ba, khoảng cách hai thứ ba liên tiếp ngày Do tìm ngày thứ ba tháng Trình bày lời giải Ngày tháng thứ 3, suy năm ngày thứ ba 2, 9, 16, 23, 30 Mà ngày cuối tháng ngày thứ ba nên suy ngày cuối tháng 31 ngày thứ tư Ví dụ 3: Có 2020 đồng xu đánh số thứ tự từ đến 2020, tất ngửa Lần 1: Lật mặt tất đồng xu có số thứ tự bội Lần 2: Lật mặt tất đồng xu có số thứ tự bội Lần 3: Lật mặt tất đồng xu có số thứ tự bội ……………………………………………………… Lần 2020: Lật mặt tất đồng xu có số thứ tự bội 2020 Hỏi có đồng xu ngửa sau lần lật thứ 2020? Giải Tại lần lật thứ k, đồng xu có số thứ tự bội k lật Để đồng xu lúc đầu ngửa, sau 2020 vịng lật ngửa số lần đồng xu lật phải số chẵn, tức số thứ tự phải có số ước số chẵn Ta biết số phương có số ước số lẻ Từ đến 2020 có 44 số phương là: 1, 4, 9, …, 1936 Do cuối sau 2020 vịng lật, số đồng xu ngửa là: 2020 – 44 = 1976 (đồng xu) Ví dụ 4:Thiện Ác chia đống gồm 2000 đô-la bạc (mỗi đồng trị giá đô-la), giám sát lão Tà Đầu tiên, lão Tà bảo Thiện chia thành hai đống, đống có hai đồng Sau Ác chia đống thành hai đống (mỗi đống có đồng), lão ta chọn đống đống nhiều bốn đống tạo thành, hai đống lại phần Thiện Vậy thì, bất chấp lão Ác khơn khéo tham lam nào, số tiền ớn mà lão Thiện kiếm bao nhiêu? Giải Nếu đồng X gồm 2000 đồng đô-la chia thành hai đống M đồng N đồng (X = M + N = 2000) cho M > N tiếp tục chia đống thành M; N thành hai đống: M = a + b cho a > b N = c + d cho c > d trường hợp, tổng đống lớn đống nhỏ bốn đống a, b, c, d (Kí hiệu T) khơng vượt M Nếu b nhỏ hiển nhiên a lớn T = a + b = M Nếu d nhỏ thì: c lớn T = c + d = N < M a lớn nhất: T = a + d < M Vậy để nhận số tiến lớn lão Thiện phải chia 2000 đồng đô-la thành hai đống ( M = N) Khi dù lão Ác chia ln nhận 1000 đơ-la, lão Thiện nhận 1000 đơ-la Ví dụ 5: Trong giải đấu vật có 100 người tham dự, tất có sức mạnh khác Người khỏe chiến thắng đối thủ yếu Mỗi đo vật đấu hai lần người thắng hai trận tặng thưởng Hỏi số người tặng thưởng bao nhiêu? (Kỳ thi Toán quốc tế thành phố ITOT, Mùa thu 2013, THCS mở rộng) Giải Sắp xếp 100 đô vật theo sức mạnh tăng dần với a1 (người yếu nhất), a2, a3,…, a100 (người khỏe nhất) hiển nhiên a100 người chiến thắng Ở lượt thứ ta xếp đồ vật thi đấu theo cặp sau: a100 với a99, a98 với a97;…;a2 với a1 Khi a1; a3; …;a99 người thua Ở lượt thứ hai, ta xếp cặp a100 với a1; a99 với a98;….;a3 với a2 Khi a1; a2; a4; a6;…; a98 người thua Do có a100 người thắng hai vịng đấu Ví dụ 6: Nhà trường tổ chức ngày hội chợ cho học sinh Trong đó, có trị chơi đốn xem có viên cẩm thạch đựng lọ kín Giải thưởng trao cho đốn gần xác vào cuối ngày hội chợ Kết là: Giải nhất: Đức Trọng, dự đoán 125 viên Giải nhì: Minh Hạnh, dự đón 140 viên Giải ba: Trọng Nhân, dự đón 142 viên Giải tư: Đức Minh, dự đốn 121 viên Hỏi xác lọ có viên cẩm thạch Giải Nếu gọi số viên cẩm thạch lọ x 125 x 140 Vì người dự đốn số 125 đạt giải người dự đón 140 đạt giải nhì nên suy x 125 140 x 125 x 132 Vì người dự đốn số 142 đạt giải ba người dự đoán số 121 đạt giải tư nên 142 x x 121 132 x 132 x 132 Vậy lọ có xác 132 viên cẩm thạch B Bài tập vận dụng 10.1 Bốn đội bóng A, B, C, D xếp hàng Mỗi đội chơi trận, với đội lại Mỗi trận thắng điểm, hòa điểm, thua điểm Sau tất trận đấu, kết sau: (1) Tổng số điểm trận đội số lẻ liên tiếp (2) Đội D cao điểm (3) Đội A hòa trận, hịa trận với C Tính điểm đội 10.2 Cho hình vng x gồm 25 vng nhỏ Hỏi phải tơ cho hình vng 3x3 có tơ 10.3 Sửu nói thật vào thứ 2, thứ 4, thứ chủ nhật Dần nói thật vào ngày thứ 2, thứ 3, thứ thứ Hãy tìm ngày mà hai nói: “Hơm qua, Tơi nói dối” 10.4 Trên bàn cờ 15 x 15 ô vuông gồm ô trắng đen xen kẽ cờ vua, có 15 qn xe đứng vị trí khơng đối đầu (không ăn nhau) Giả sử sau đó, quân xe bị xê dịch theo bước quân mã Chứng minh phải có cặp quân xe rơi vào đối đầu 10.5 Ai lấy kẹo? Ở trường nội trú, ăn trưa, từ phịng Hằng ra, năm cậu bé ghé đến quầy ăn trưa bên cạnh Một năm cậu lấy kẹo mà không trả tiền Khi bị thấy hiệu trưởng chất vấn, năm cậu bé trả lời sau: 1) An : “Không phải Cường lấy, em” 2) Bình : “Theo em, An Chi lấy” 3) Chi : “Cả An Bình nói dối” 4) Dũng : “Chi nói khơng đúng, hai người nói dối, người cịn lại nói thật” 5) Cường: “Tất Dũng nói sai cả” Khi thấy hiệu trưởng hỏi ý kiến cô Hằng, trả lời: “Trong năm cậu ấy, có cậu ln ln trung thực, hai cậu cịn lại ln dối trá” Giả sử có Hằng nói đúng, bạn xác định xem người lấy kẹo? 10.6 Trong giải bóng đá có N đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt (hai đội gặp lần) Sau trận đấu, đội thắng điểm, đội thua khơng điểm nào, cịn trận đấu có kết hịa đội điểm Các đội xếp hạng dựa theo tổng điểm Trong trường hợp số đội có tổng điểm đội xếp hạng theo số phụ Kết thúc giải người ta nhận thấy khơng có trận đấu kết thúc với tỉ số hịa; đội xếp có tổng điểm đôi khác a) Chứng minh N 7 b) Tìm N tổng điểm đội tham gia giải 10.7 Trong giải cờ vua có kì thủ tham gia, thi đấu vịng trịn lượt, thắng điểm, hòa điểm, thua điểm Biết sau tất trận đấu kết thúc kì thủ nhận số điểm khác kì thủ xếp thứ hai có số điểm tổng điểm kì thủ xếp hạng cuối Hỏi ván đấu kì thủ xếp thứ tư kì thủ xếp thứ năm kết thúc với kết nào? 10.8 Một đảo nằm xa tít ngồi biển khơi có tên đảo “Thiên mã” Trên hịn đảo có hai tộc sinh sống Một tộc có tên Kị sĩ tộc làm nghề Ăn trộm Tất nhiên tộc Kị sĩ ln nói thật tộc Ăn trộm ln nói dối Dưới bóng có hai thổ dân ngồi nghỉ Một du khách đến hỏi hai người a) Ngài Kị sĩ hay Ăn trộm ngựa? A:…… Khơng thể hiểu người nói gì, du khách quay sang hỏi người kia, xem người lúc trước nói gì? B: Ơng ta nói ơng ta người Ăn trộm ngựa Vậy A B nhỉ? 10.9 Có 10 đồng tiền xu thật có khối lượng giống nhau, đồng tiền xu giả có khối lượng nặng khối lượng đồng tiền xu thật đồng xu giả khác có khối lượng bé khối lượng đồng xu thật Hãy giải thích bốn lần cân đĩa cân thăng bạn xác định tổng khối lượng hai đồng tiền xu giả lớn hơn, hay nhỏ tổng khối lượng hai đồng xu thật (Thi Toán quốc tế IMC 2014 THCS Đồng Đội Canada đề nghị) 10.10 Cho bảng vuông với số sau: Có thể điền chữ số 1, 2, 3, 4, vào cịn trống để tạo thành hình vng kì diệu hay khơng? (Hình vng kì diệu có tổng số hàng, cột, đường chéo nhau) 4 4 3 2 (Cuộc thi Hội toán học Xcot-len, năm 2001-2002) 10.11 Cho ba đống đá gồm 51, 49 Có hai thao tác thực là: dồn hai đống tùy ý thành đống; chọn đống tùy ý có số chẵn hịn đá để phân làm hai đống có số lượng hịn đá Có thể cuối nhận 105 đống mà đống có hịn, sau dãy thao tác luân phiên nhau? (Cuộc thi Toán học Quốc tế tỉnh thành, THCS, mùa xuân 2001) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 10.1 Điểm đội (1, 3, 5, 7) (3, 5, 7, 9) Do khơng thể có hai đội có điểm điểm nên điểm (1, 3, 5, 7) Đội D có điểm cao nên điểm D nên đội D thắng trận, hòa trận Đội A không thua trận 3, bời thua số điểm số chẵn, suy D hịa với A thắng đội B đội C Đội A có trận hịa với D C, thắng B nên điểm A điểm Đội B thắng C thua A D nên điểm Đội C hòa với A, thua B D điểm Vậy Đội A: điểm; Đội B: điểm; Đội C: điểm; Đội D: điểm 10.2 Giả sử hình vng 6x6 tơ màu số ô cho hình vuông 3x3 có tơ Hình vng 6x6 chia thành hình vng 3x3 nên 36 vng nhỏ có 16 tơ Để số tơ màu hình vng 5x4 phải nhiều 11 vng nhỏ phía ngồi Để ý cột cột tô màu giống nhau, hàng hàng tô màu giống ô trung tâm giống góc dưới, ta tơ màu cho nhiều 11 phía ngồi (ví dụ hình trên) Vậy cần tơ 16 – = Ví dụ cách tơ màu; 10.3 Nếu hơm Dần nói thật hơm qua Dần nói dối, hơm thứ Hai Sửa nói thật vào thứ Hai Chủ nhật vào thứ Hai, Sửu phải nói “Hơm qua tơi nói thật” Như hơm Dần nói dối, hơm qua Dần nói thật Suy hơm thứ Sáu Thứ Sáu ngày Sửu nói thật thứ Năm ngày Sửa nói dối, vào thứ Sáu, Sửu nói “Hơm qua tơi nói dối” 10.4 Đánh số hàng cột bàn cờ từ đến 15, đó, quân xe xác định vị trí hàng i, cột j cặp (i, j) với i; j 15 Vì ban đầu qn xe đứng vị trí khơng đối đầu nên khơng thể có hai qn xe nằm hàng cột Nói cách khác, số hàng (cột) quân xe phải khác Từ đến 15 có số lẻ số chẵn Mỗi quân xe di chuyển theo bước quân mã, làm tăng (hoặc giảm) số hàng đơn vị số cột hai đơn vị (hoặc ngược lại) Như thế, 15 số 30 số bảo tồn tính chẵn lẻ Từ đó, sau quân xe di chuyển theo bước quân mã khơng thể có 16 số lẻ 14 số chẵn Điều có nghĩa rằng, phải có cặp quân xe rơi vào đối 10.5 Vì có cậu ln ln trung thực nên câu trả lời cậu khơng mâu thuẫn với nhau, nói cách khác, với người nói thật câu trả lời khơng mâu thuẫn với hai câu trả lời người khác Từ nhận xét trên, suy luận An, Bình Cường người ln nói thật cịn Chi Dũng người ln nói dối Dựa vào câu trả lời An Bình, suy Chi người lấy kẹo 10.6 a) Đội xếp 15 điểm nên thi đấu với đội khác N 5 Nếu N = đội xếp thứ thắng đội cịn lại, đội xếp nhì 12 điểm nên thắng đội trừ đội xếp Đội xếp ba thua đội xếp nhìn nên số điểm tối đa 3.3 = Theo đầu đội ba 12 điểm: vơ lí Do N 7 b) Các đội cịn lại có số điểm khơng lớn 12 Vì khơng có hịa nên số điểm đội lại bội Số điểm đội cịn lại là: 0, 3, 6, 9, 12 Do N 5 N 7 (câu a) Nên N = N = Xét N = Có đội nên số trận đấu có .7 28 trận Tổng số điểm đội đạt 28.3 số chẵn Cịn 0+3+6+9+12+12+12+15 số lẻ: vơ lí Vậy nên N 8 Xét N = Có đội nên số trận đấu có 7.6 21 trận Tổng số điểm đội đạt 21.3 = 63 điểm Tổng số điêm đội lại đạt là: 63 (12 12 15) 24 điểm 24 0 12 Số 24 biểu diễn thành tổng số bội khác theo cách biểu diễn Tổng số điểm đội lại đạt 0, 3, 9, 12 10.7 Sau giải kết thúc, số ván cờ thi đấu kỳ thủ xếp cuối là: x3 6 1x Sau ván tổng số điểm hai kỳ thủ nhận Vì tổng số điểm kỳ thủ xếp cuối khơng điểm Nếu s 6,5 tổng số điểm kỳ thủ xếp thứ hai s 6,5 Do kỳ thủ số điểm khác nên dễ thấy kỳ thủ xếp thứ có điểm số khơng s 0,5 7 Do kỳ thủ xếp thứ đấu trận nên điều xảy s 0,5 7 s 6, kỳ thủ xếp thứ thắng ván Suy kỳ thủ xếp thứ hai thắng không ván số điểm 6 s : vơ lí Vậy ta phải có s = Điều có nghĩa kỳ thủ xếp từ năm đến tám giành điểm thi đấu với thơi, ngồi thua tất kỳ thủ khác Do vậy, kỳ thủ xếp thứ tư thắng kỳ thủ xếp thứ năm trận đấu trực tiếp 10.8 A trả lời cách Kị sĩ, Vì B nói dối Suy B Ăn trộm ngựa Chúng ta khơng có thơng tin xác A 10.9 Ta chia đồng xu cho thành nhóm A, B, C, D, nhóm có đồng xu đem cân nhóm đồng xu sau: Cho A B lên hai đĩa cân (lần cân thứ nhất); C D lên hai đĩa cân (lần cân thứ hai) Ta xét trường hợp + Trường hợp Cả hai lần cân thăng Khi đó, đồng xu giả nhóm tổng khối lượng hai đồng xu tổng khối lượng hai đồng xu giả + Trường hợp Một hai lần cân thăng Chỉ có hai nhóm đồng xu có khối lượng Giả sử hai nhóm A B có tổng khối lượng nhau, tổng khối lượng đồng xu nhóm C lớn tổng khối lượng đồng xu nhóm D Khi hai đồng xu giả thuộc nhóm A B với tổng khối lượng đồng xu hai nhóm C D Từ ta có câu trả lời + Trường hợp Cả hai lần cân thứ thứ hai không thăng bẳng Do đối xứng, ta giả sử nhóm A có trọng lượng nặng nhóm B nhóm C có trọng lượng nặng nhóm D Khi đồng xu giả nặng nhóm A đồng xu giả nhẹ nhóm D; đồng xu giả nặng nhóm C đồng xu giả nhẹ nhóm B Nếu nhóm A tồn đồng xu thật B chứa đồng xu giả nhẹ hơn, C chứa đồng xu giả nặng Nếu nhóm A chứa đồng xu giả nặng B phải chứa hồn tồn đồng xu thật (vì B chứa đồng xu giả nhẹ nhóm C có trọng lượng nhóm D vơ lí) Khi D chứa đồng xu giả nhẹ Do nhóm A D chứa đồng xu giả khơng chứa đồng xu giả Nếu nhóm A có trọng lượng nhẹ nhóm C đồng xu giả nặng C đồng xu giả nhẹ B Cuối ta cần cân nhóm A D với nhóm B C kết 10.10 Giả sử ta điền số 1, 2, 3, 4, để có hình vng kì diệu: Từ ta có: a e 15 a e 9; b e h 15 b e h 8; g e c 15 g e c 9; d e f 15 d e f 9; 4 a d g b e h c f i 2 Suy ra: a b c d e f g h i 3e 35 Mặt khác, cộng ba hàng hình vng, ta được: a b c d e f g h i 18 45 Vì vậy: 3e 8 e 1; 2;3; 4;5 Kết luận: Khơng thể có hình vng kì diệu thỏa mãn yêu cầu đề 10.11 Do ba đống 51, 49 có số lẻ hịn đá nên thao tác phải là: dồn hai đống thành Nếu ban đầu dồn hai đống 49 thành một, ta có hai đóng 51 54 hịn có số hịn bội Từ lúc trở đi, luân phiên thực thao tác, dễ thấy đống bội Tương tự: Nếu ban đầu dồn hai đống 49 51 thành tiếp tục luân phiên thực thao tác đống ln bội 5; Nếu ban đầu dòn hai đống 51 thành tiếp tục luân phiên thực thao tác đống ln bội Vậy ta thực yêu cầu đề