A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí do chọn đề tài Trong dạy học Toán thì dạy học phương pháp học Toán nhằm hình thành cho học sinh (HS) tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn[.]
A- ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài Trong dạy - học Tốn dạy - học phương pháp học Tốn nhằm hình thành cho học sinh (HS) tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề quan trọng Đặc biệt, bồi dưỡng HS giỏi việc rèn luyện phương pháp làm bài, bồi dưỡng lực tư cần trọng để từ vốn kiến thức sẵn có HS vận dụng sáng tạo vào tình Toán học cụ thể Từ thực tế giảng dạy bồi dưỡng HS giỏi năm qua thấy đẳng thức đáng nhớ nội dung quan trọng chương trình Đại số Các tập đẳng thức đáng nhớ, tập nâng cao, đòi hỏi phải vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức kĩ Do đó, HS nắm kiến thức kĩ mà sách giáo khoa cung cấp gặp nhiều khó khăn giải dạng tập Với mong muốn giúp em giảm bớt phần khó khăn nêu trên, nắm vững vận dụng tốt đẳng thức đáng nhớ, chọn nghiên cứu, thực nghiệm đề tài : “ Hướng dẫn học sinh khai thác đẳng thức hiệu hai bình phương ” II Giới hạn đề tài Đề tài giới hạn việc hướng dẫn HS cách khai thác đẳng thức hiệu hai bình phương, nhằm giúp HS hình thành phương pháp giải tốn, góp phần bồi dưỡng lực tư cho em B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Điều tra thực trạng trước nghiên cứu Trước thực đề tài, tiến hành kiểm tra 20 HS giỏi lớp Bài kiểm tra số 1: (Thời gian làm bài: 45 phút) Đề bài: Câu (3 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – b) (2x – 1)2 – 25y2 c) – x4y4 Câu (3 điểm): Tính nhanh: a) 662 – 342 b) 101 99 – 102 98 + 103 97 – 104 96 + 105 95 – 106 94 + 107 93 – 108 92 + 109 91 – 110 90 Câu (2 điểm): So sánh 3220112 với 322010 322012 Câu (2 điểm): Chứng minh rằng: 1 210 16 2 Đáp án - Biểu điểm: Câu Nội dung a) x2 – = x2 – 22 Điểm 0,5 = (x + 2)(x – 2) b) (2x – 1)2 – 25y2 = (2x – 1)2 – (5y)2 0,5 0,5 = (2x – + 5y)(2x – – 5y) c) – x4y4 = 12 – (x2y2)2 0,5 0,25 = (1 + x2y2)(1 – x2y2) 2 0,25 = (1 + x y )[1 – (xy) ] = (1 + x2y2)(1 + xy)(1 – xy) a) 66 – 34 = (66 + 34)(66 – 34) 0,5 0,5 = 100 32 0,25 = 3200 0,25 b) Ta có: 101 99 – 102 98 + 103 97 – 104 96 + 105 95 – 106 94 + 107 93 – 108 92 + 109 91 – 110 90 = (100 + 1)(100 – 1) – (100 + 2)(100 – 2) + (100 + 3)(100 – 3) – … – (100 + 10)(100 – 10) 2 2 2 = (100 – ) – (100 – ) + (100 – ) – … – (1002 – 102) 0,5 = 1002 – 12 – 1002 + 22 + 1002 – 32 – … – 1002 + 102 = – 12 + 22 – 32 + 42 – 52 + 62 – 72 + 82 – 92 + 102 0,25 = – + – + 16 – 25 + 36 – 49 + 64 – 81 + 100 0,25 = + + 11 + 15 + 19 0,25 = 55 0,25 0,5 Ta có: 322010 322012 = (322011 – 1)(322011 + 1) 0,5 = 322011 – = 3220112 – < 322011 0,5 0,5 Vậy: 322011 > 322010 322012 0,5 1 210 16 Đặt P = Khi đó: 1 1 P 210 2 16 1 210 16 = 0,25 1 210 16 = 0,25 1 1 210 = 16 16 210 = 16 23 23 = 210 24 24 = 210 0,5 =… 10 210 2 = 1 22 0,5 => P < hay P < 0,25 = 11 1 210 16 Vậy 2 0,25 Kết quả: Kết chung Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 15 25 15 45 Kết cụ thể Câu 1: a) 20 HS làm b) 18 HS làm đúng, HS làm sai c) HS làm đúng, HS chưa làm kết cuối cùng, HS làm sai Câu 2: a) 20 HS làm b) HS làm đúng, 16 HS làm sai không làm Câu 3: 11 HS làm đúng, HS làm sai khơng làm Câu 4: Khơng có HS làm Nguyên nhân HS chưa định hướng phương pháp làm II Phương pháp nghiên cứu Với mục đích hướng dẫn HS phương pháp giải toán phép chia hết đa thức, sáng kiến-kinh nghiệm sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu sau : - Phương pháp hệ thống hoá kiến thức - Phương pháp điều tra thực nghiệm - Phương pháp đối chứng - Phương pháp thống kê III Nội dung biện pháp tiến hành Lí thuyết: Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương phát biểu sau: + Với số thực a b, ta có: a2 – b2 = (a + b)(a – b) (1) + Tổng quát, với biểu thức tuỳ ý A B ta có: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (2) Vận dụng: Bây giờ, khai thác số ứng dụng đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử Khi vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, trước hết nên biến đổi đa thức dạng A2 – B2 VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – b) 4x2 – 25y2 c) 36x4y2 – z6 d) (x + 1)2 – (y – 1)2 e) x4 – Hướng dẫn: a) x2 – = x2 – 32 = (x + 3)(x – 3) b) 4x2 – 25y2 = (2x)2 – (5y)2 = (2x + 5y)(2x – 5y) c) 36x4y2 – z6 = (6x2y)2 – (z3)2 = (6x2y + z3)(6x2y – z3) d) (x + 1)2 – (y – 1)2 = [(x + 1) + (y – 1)].[(x + 1) – (y – 1)] = (x + y)(x – y + 2) e) x4 – 16 = (x2)2 – 42 = (x2 + 4)(x2 – 4) = (x2 + 4)(x + 2)(x – 2) Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1.1 x2 – 100 1.2 49x2 – 16y2z10 1.3 (2x – 3y)2 – (z – 5t)2 1.4 – x8 2 Tính nhanh VD: Tính nhanh: a) 352 – 152 b) 299 301 c) 102 – 92 + 82 – 72 + 62 – 52 + 42 – 32 + 22 – 12 d) 102 – 9.11 + 8.12 – 7.13 + 6.14 – 5.15 + 4.16 – 3.17 + 2.18 – 1.19 Hướng dẫn: a) 352 – 152 = (35 + 15)(35 – 15) = 50 20 = 1000 b) Ta thấy 299 301 có trung bình cộng 300 nên: 299 301 = (300 – 1)(300 + 1) = 3002 – 12 = 90000 – = 89999 c) Nhận xét: (n + 1)2 – n2 = (n + + n)(n + – n) = (n + + n) = (n + 1) + n Nhóm cặp bình phương có dạng (n + 1) – n2 áp dụng nhận xét ta được: 102 – 92 + 82 – 72 + 62 – 52 + 42 – 32 + 22 – 12 = (102 – 92) + (82 – 72) + (62 – 52) + (42 – 32) + (22 – 12) = (10 + 9) + (8 + 7) + (6 + 5) + (4 + 3) + (2 + 1) = (10 + 1) + (9 + 2) + (8 + 3) + (7 + 4) + (6 + 5) = 11 = 55 d) Nhận xét: tích 9.11, 8.12, … , 1.19 có dạng (10 – n)(10 + n) (với n N*, n < 10); mà (10 – n)(10 + n) = 102 – n2 Do ta có: 102 – 9.11 + 8.12 – 7.13 + 6.14 – 5.15 + 4.16 – 3.17 + 2.18 – 1.19 = 102 – (102 – 1)2 + (102 – 22) – … + (102 – 82) – (102 – 9)2 = 102 – 102 + 12 + 102 – 22 – … + 102 – 82 – 102 + 92 = 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + 72 – 82 + 92 = (92 – 82) + (72 – 62) + (52 – 42) + (32 – 2)2 + 12 =9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 (theo kết phần c) Bài tập vận dụng: Tính nhanh: 2.1 a) 1252 – 752 2.2 a) (22 + 42 + 62 … + 202) – (12 + 32 + 52 + … + 192) b) 203.197 b) Từ kết nêu tốn tổng qt giải tốn 2.3 a) 2011.1989 – 2010.1990 + 2009.1991 – … + 2001.1999 – 20002 b) Từ kết nêu tốn tổng qt giải tốn 10 Chứng minh VD 1: Chứng minh rằng: 20112 > 2010 2012 Hướng dẫn: Ta thấy 2011 trung bình cộng 2010 2012 nên: 2010 2012 = (2011 – 1)(2011 + 1) = 20112 – < 20112 Vậy 20112 > 2010 2012 VD 2: Chứng minh rằng: Tồn cặp số tự nhiên mà hiệu bình phương chúng 2011 Hướng dẫn: Với toán này, ta cần chứng minh tồn cặp số tự nhiên a b thoả mãn a2 – b2 = 2011 Có thể giải tốn theo cách: Cách 1: Giả sử tồn cặp số tự nhiên a b (a > b) thoả mãn a2 – b2 = 2011 Ta có: a2 – b2 = 2011 (a + b)(a – b) = 2011 Dễ thấy a + b > a – b (vì a, b N) 2011 = 2011.1 nên ta xét trường hợp: a b 2011 a 1006 a b 1 b 1005 Kiểm tra lại: 10062 – 10052 = (1006 + 1005)(1006 – 1005) = 2011.1 = 2011 Vậy, toán chứng minh Nhận xét: cách làm đơn giản lại thiếu tự nhiên gán giá trị a + b = 2011 a – b = Vì 2011 số lẻ 1006, 1005 số tự nhiên liên tiếp nên ta làm theo cách thứ sau: Cách 2: Trước hết, ta chứng minh toán tổng quát: “Mọi số tự nhiên lẻ hiệu bình phương số tự nhiên liên tiếp” Thật vậy, số tự nhiên lẻ có dạng 2n + (n N) Thêm bớt n2 vào biểu thức 2n + ta được: 2n + = (n2 + 2n + 1) – n2 = (n + 1)2 – n2 Vì n số tự nhiên nên n + số tự nhiên 11 (n + 1)2 – n2 hiệu bình phương số tự nhiên liên tiếp n + n Vậy, toán tổng qt chứng minh Từ suy tốn ban đầu chứng minh Cụ thể, 2011 = 1005 + nên theo toán tổng quát tồn cặp số 1006 1005 thoả mãn điều kiện toán ban đầu VD 3: Chứng minh rằng: a) (a – b)(a + b)(a2 + b)2 = a4 – b4 b) (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) = a8 – b8 c) (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) = a16 – b16 Hướng dẫn: a) (a – b)(a + b)(a2 + b2) = [(a – b)(a + b)] (a2 + b2) = (a2 – b2)(a2 + b2) = (a2)2 – (b2)2 = a4 – b4 b) Theo câu a) ta có: (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) = (a4 – b4)(a4 + b4) = (a4)2 – (b4)2 = a8 – b8 c) Theo câu b) ta có: (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) = (a8 – b8)(a8 + b8) = (a8)2 – (b8)2 = a16 – b16 Từ kết trên, ta suy đẳng thức tổng quát sau: n n 2 (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) … ( a b ) = a n 1 b2 n 1 (3) Hay a b2 a2 b2 1 a2 b2 12 a2 b2 a2 b2 … n a2 b2 n n 1 b2 n 1 B2 = a n 1 (4) Với A B hai biểu thức tuỳ ý, ta có: n n 2 (A – B)(A + B)(A2 + B2)(A + B4)(A + B8) … ( A B ) = A n 1 (5) (Có thể chứng minh đẳng thức phương pháp quy nạp toán học) Vận dụng đẳng thức ta làm tốn dạng tổng quát sau: 2n VD 4: Cho biểu thức An = 15 17 (28 + 1) … ( + 1) (n N, n > 3) a) Chứng minh rằng: An < n 1 với n b) Tìm giá trị lớn n cho An < 21024 Hướng dẫn: 2n Ta có: An = 15 17 (28 + 1) … ( + 1) n = 17(2 + 1) … ( + 1) 2n = (2 – 1)(2 + 1)(4 + 1)(16 + 1)(28 + 1) … ( + 1) 2n 2n = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 12)(24 + 14)(28 + 18) … ( + ) =2 n 1 =2 n 1 n 1 –1 (theo đẳng thức (3)) –1 a) Theo kết An = 2 Vậy An < n 1 n 1 –1< với n 10 2 b) Ta có 1024 = 210 nên 21024 = = 2 Theo kết phần a) A9 < 13 1 1 n 1 với n Để kết luận n = giá trị cần tìm, ta phải chứng minh: 10 An > với n 10 10 1 Thật vậy, với n 10 An A10 = Mà 10 Vì 2 – = 1 1 –1= –1= 1 1 > + > – > – = nên 10 10 1 2 –1 22 10 2 210 10 1 An A10 = 22 10 10 12 210 210 210 210 210 10 2 – > hay An > với n 10 Vậy, n = giá trị lớn n cho An < 21024 Bài tập vận dụng: Chứng minh rằng: 3.1 a) 1234567882 > 123456787 123456789 b) 20102010 20122012 < 201120112 – 108 3.2 với Tồn 2012 cặp số tự nhiên a b thoả mãn a2 b2 = m, m số tự nhiên lẻ không lớn 2011 3.3 9 2010 22010 10 10 100 10000 10 > 2011 a) n 22 17 2n b) 16 … < với số nguyên dương n 3.4 a) Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn b) Trong hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi bé Tìm điều kiện để giá trị biểu thức số phương VD 1: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A = n + n + số phương Hướng dẫn: Vì A số phương nên ta đặt A = a2 (a N) 14 n2 + n + = a2 Khi đó: 4n2 + 4n + = 4a2 (4n2 + 4n + 1) + = 4a2 (2n + 1)2 + = (2a)2 (2a)2 – (2n + 1)2 = (2a + 2n + 1)(2a – 2n – 1) = 3.1 (*) Dễ thấy 2a + 2n + N, 2a – 2n – N 2a + 2n + > 2a – 2n – 2a 2n 3 2a 2n 1 Do đó: (*) a 1 n 0 Vậy n = giá trị cần tìm Khi A = Thay đổi cách hỏi, ta tốn khó sau: VD 2: Tìm số nguyên n để biểu thức B = n n nhận giá trị nguyên Hướng dẫn: Vì n nguyên nên n2 + n + nguyên Do đó, để B nhận giá trị ngun (khơng âm) giá trị biểu thức n2 + n + số phương Phần cịn lại giải ví dụ Bài tập vận dụng: 4.1 Cho biểu thức Q = x x 30 Tìm x nguyên để Q nguyên (Đề thi chọn HS giỏi Toán huyện Cẩm Giàng năm học 2010 - 2011) 4.2 Tìm số nguyên m để m m 23 số hữu tỉ (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Hải Dương năm học 2003 2004) IV Kết Kết chung Sau cho HS nghiên cứu, học tập nội dung đề tài “ Hướng dẫn HS khai thác đẳng thức hiệu hai bình phương ” , phần lớn HS làm tương đối tốt dạng tập liên quan : phân tích đa thức thành nhân tử, so sánh, 15 chứng minh, tìm điều kiện để giá trị biểu thức số phương Thơng qua đó, HS có cách nhìn linh hoạt trước tốn, giúp em phát triển tư tốt Ngoài ra, kiến thức chuyên đề giúp HS làm số dạng toán vận dụng đẳng thức hiệu hai bình phương khác Nhiều em thể rõ u thích mơn Tốn sau học xong nội dung đề tài Kết điều tra cụ thể Sau hướng dẫn HS học tập nội dung đề tài, cho 20 HS (đã tham gia điều tra thực trạng lúc đầu) làm kiểm tra sau : Bài kiểm tra số 2: (Thời gian làm bài: 45 phút) Đề bài: Câu (3 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 49 b) (3x + 2)2 – 36y2 c) 4x2y2 – (x2 + y2)2 Câu (3 điểm): Tính nhanh: a) 20112 – 20092 b) 20112 – 2010.2012 + 2009.2013 – 2008.2014 + … – 2.4020 Câu (2 điểm): So sánh: 3(4 + 1)(16 + 1)(28 + 1)(216 + 1) với 232 Câu (2 điểm): Tìm n nguyên để biểu thức P = n n nhận giá trị nguyên Đáp án - Biểu điểm: Câu Nội dung a) x2 – 49 = x2 – 72 = (x + 7)(x – 7) Điểm 0,5 0,5 16 b) (3x + 2)2 – 36y2 = (3x + 2)2 – (6y)2 0,5 = (3x + 6y + 2)(3x – 6y + 2) c) 4x2y2 – (x2 + y2)2 = (2xy)2 – (x2 + y2)2 0,5 0,25 = (2xy + x2 + y2)(2xy – x2 – y2) 0,25 = – (x2 + 2xy + y2)(x2 – 2xy + y2) = – (x + y)2 (x – y)2 a) 2011 – 2009 = (2011 + 2009)(2011 – 2009) 0,5 0,5 = 4020 0,25 = 8040 0,25 b) Ta có: 20112 – 2010.2012 + 2009.2013 – 2008.2014 + … – 2.4020 = 20112 – (2011 – 1)(2011 + 1) + (2011 – 2)(2011 + 2) – (2011 – 3)(2011 + 3) + … – (2011 – 2009)(2011 + 2009) 2 2 2 0,5 = 2011 – (2011 – ) + (2011 – ) – (2011 – ) + … – (20112 – 20092) 0,25 = 20112 – 20112 + 12 + 20112 – 22 – 20112 + 32 + … – 20112 + 20092 2 2 = – + – – … – 2008 + 2009 0,25 = + (32 – 22) + (52 – 42) + … + (20092 – 20082) 0,25 = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4)(5 – 4) + … + (2009 + 2008)(2009 – 2008) 0,25 = + + + … + 2008 + 2009 = [(1 + 2009) 2009] : 0,5 = 019 045 Ta có: 3(4 + 1)(16 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (2 – 1)(2 + 1)(4 + 1)(16 + 1)(28 + 1)(216 + 1) 0,5 16 = (4 – 1)(4 + 1)(16 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = (16 – 1)(16 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (162 – 1) = (28 – 1)(28 + 1)(216 + 1) = (216 – 1)(216 + 1) = 232 –