Hsg8 cđ3 số chính phương

1 Website: tailieumontoan.com ĐS8-Chuyên đề 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Qua Các Đề Thi HSG Mơn Tốn Lớp A.Bài tốn Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố Câu 2: Cho a số gồm 2n chữ số , b số gồm n  chữ số , c số gồm n  n  N * Cmr: a  b  6c  số phương Câu 3: Tìm số ngun dương n để n  4n  29 số phương chữ số Câu 4: Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số ngun dương liên tiếp, biết tích chúng 120 Câu 6: Cho số a, b,c,d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc c d d a Chứng minh A abcd số phương Câu 7: Cho a n 1     n Chứng minh a n  a n 1 số phương x, y thì: Câu 8: Chứng minh với số nguyên A  x  y   x  2y   x  3y   x  4y   y số phương Câu 9: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 10: Tìm số tự nhiên n để: D n  n  số phương Câu 11: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Câu 12: Chứng minh tổng hai số phương liên tiếp cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 13: Tìm tất số nguyên n cho: n  2n  2n  n  số phương Câu 14: Chứng minh: số có dạng n  n  2n  2n với n  N n  số phương Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 15: Tìm số nguyên n để B n  n  13 số phương? Câu 16: Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương Câu 17: Cho a n 1     n Chứng minh a n  a n 1 số phương p p Câu 18: Cho A p số nguyên tố Tìm giá trị để tổng ước dương A số phương Câu 19: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Câu 20: Cho S 1.2.3  2.3.4  3.4.5   k  k  1  k   (với k  *) Chứng minh 4S  bình phương số tự nhiên Câu 21: Tìm số tự nhiên n cho số A n  n  số phương Câu 22: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Câu 23: Cho n tổng hai số phương Chứng minh n tổng hai số phương Câu 24: Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b b c cd d a Chứng minh A abcd số phương Câu 25: Cho an 1     n Chứng minh an  an1 số phương Câu 26: Chứng minh với số nguyên x, y thì: A  x  y   x  y   x  y   x  y   y số phương Câu 27: Cho an 1     n Chứng minh an  an1 số phương Câu 28: Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab  bc  ac 1 Chứng minh biểu Q  a  1  b  1  c  1 thức bình phương số hữu tỷ Câu 29: Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương P  x+5   x+7   x    x  11 + 16 Câu 30: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương 2 Câu 31: Cho a b số tự nhiên thỏa mãn 2a  a 3b  b Chứng minh rằng: a  b 3a  3b  số phương Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Câu 32: Cho A=p plà số ngun tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Câu 33: Tìm số tự nhiên nđể n2 + n+2013 số phương Câu 34: Cho S=1.2.3+2.3 4+ 3.4 5+…+ k ( k +1 )( k +2 ) với k ∈ N Chứng minh S +1là bình phương số tự nhiên ¿ Câu 35: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 36: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Câu 37: Tìm số tự nhiên n cho số A n  n  số phương B.Lời giải Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố Lời giải: Vì abcd số phương d số nguyên tố có chữ số nên d 5 * Đặt abc5 m , m  N Khi m có chữ số tận (1) Mặt khác, 1000 m 9999 suy 32 m 99 ( 2) Từ (1) (2) suy Suy m   35; 45;55;65; 75;85;95 m   1225; 2025;3025; 4225;5625;7225;9025 Ta lại có: m abc59 Do đó, chọn abcd   2025;5625 Câu 38: Cho a số gồm 2n chữ số , b số gồm n  chữ số , c số gồm n  n  N * Cmr: a  b  6c  số phương chữ số Lời giải: 102 n  10n 1  10 n  a  b  6c     8 9 Ta có : 102 n   10.10n   6.10n   72  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 102 n  16.10n  64  10 n      33 36  n  1so   Vậy, a  b  6c  số phương Câu 39: Tìm số ngun dương n để n  4n  29 số phương Lời giải: Đặt n  a , 4n  29 b  a, b  N  Ta có: b  4a 25   b  2a   b  2a  25 Mà b  2a  nên b  2a  b  2a  b  2a  nên suy b  2a 1 b  2a 25 Do đó, a 6 Vậy, n 35 Câu 40: Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương Lời giải: a) Để n  18 n  41 hai số phương  n  18  p n  41 q  p, q    p  q  n  18    n  41 59   p  q   p  q  59  p  q 1   p  q  59 Nhưng 59 số nguyên tố, nên:   p 30  q 29 Từ n  18  p 30 900  n 882 Thay vào n  41, ta 882  41 841 29 q Vậy với n 882 n  18 n  41 hai số phương Câu 41: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số ngun dương liên tiếp, biết tích chúng 120 Lời giải: a) Số cần tìm có dạng ab , với a, b  N ;1 a 9;0 b 9 Theo đề ta có: 3 ab  a  b    10a  b   a  b   1 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  a  b  phải số phương Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải số lập phương Do 10 ab 99  ab 27 ab 64 +Nếu ab 27  a  b 9 3 ( phương ) +Nếu ab 64  a  b 10 ( khơng phương nên loại ) Vậy, số cần tìm ab 27 b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp Ta có :  x  1 , x,  x  1 ( ĐK : x 1, x  N )  x  1 x  x  x 1   x  1  x  1 26   3x  26  x 3 ( Vì x 1, x  N ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm 2, 3, c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp Ta có :  x  1 , x,  x 1 ,  x   ( ĐK : x 2, x  Z )  x  1 x  x  1  x   120   x  x  1    x  1  x    120   x  x    x  x    120   x  x    x  x   121   x  x  1 112  x  3  x   0  x 3 ( Vì x   ) Vì x 2, x  Z nên x  x  11 Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm 2, 3, 4, Câu 42: Cho số a, b,c,d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc c d d a Chứng minh A abcd số phương Lời giải: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc c d d a a b c d  1 1  1 1 6 ab bc c d d a a b c d     2 a  b b c c d d a  1 a b c d  1  0 a b bc c d d a Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b b d d    0 a  b b c c d d a b c  a d  a  c   0  a  b  b  c   c  d  d  a    b  c  d   d  a   d  a  b   b  c  0  abc  acd  bd  b 2d 0   b  d   ac  bd  0   b  d   ac  bd  0  ac  bd 0  ac bd Vậy A abcd  ac  số phương Câu 43: Cho a n 1     n Chứng minh a n  a n 1 số phương Lời giải: Ta có: a n 1 1     n  n  a n  a n 1 2      n   n  2 n  n  1  n  n  2n   n  1 số phương x, y thì: Câu 44: Chứng minh với số nguyên A  x  y   x  2y   x  3y   x  4y   y số phương Ta có: Lời giải: A  x  y   x  2y   x  3y   x  4y   y     x  5xy  4y x  5xy  6y  y Đặt  x  5xy  5y tt      A  t  y t  y  y t  y  y t  x  5xy  5y  2 2 Vì x, y, z  nên x  , 5xy  , 5y    x  5xy  5y  (dfcm) Vậy A số phương Câu 45: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải a  1 Gọi hai số a  Theo đề ta có: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2 a   a  1  a  a  1 a  2a  3a  2a   a  2a  a    a  a    a  a    a  a   a =   a  1 2 a  a a  a  1 số chẵn số phương lẻ a  a  số lẻ Câu 46: Tìm số tự nhiên n để: D n  n  số phương Lời giải D n5  n  n  n  1  n  n  1  n  1  n  1  n  n  1  n  1   n    5  n  n  1  n  1  n    n    5n  n  1  n  1  Mà n  n  1  n  1  n    n   5 (tích số tự nhiên liên tiếp) Và 5n  n  1  n  1 5 Vậy D chia dư D Do có tận nên D khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương Câu 47: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Lời giải Gọi abcd số phải tìm , a, b, c, d  ,0 a, b, c, d 9; a 0 abcd k  k , m  ;31  k  m  100   a  b  c  d   m      Ta có:  abcd k  abcd  1353 m Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 2 Do đó: m  k 1353   m  k   m  k  123.11 41.33  k  m  200  m  k 123   m  k 11 m  k 41  m  k 33  m 67  k 56   m 37   k 4 Kết luận đúng: abcd 3136 Câu 48: Chứng minh tổng hai số phương liên tiếp cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải Gọi hai số phương liên tiếp k2 (k+1)2 Ta có: k2 + (k+1)2 + k2.(k+1)2 = k4 +2k3+ 3k2 + 2k +1 = (k2 + k +1)2 = [k(k + 1) +1]2 số phương (1) Vì k(k + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1) chẵn  k(k + 1) +1 lẻ  [k(k + 1) +1]2 lẻ (2) Từ (1) (2) suy đpcm Câu 49: Tìm tất số nguyên n cho: n  2n  2n  n  số phương Lời giải Giả sử n  2n  2n  n   y 2 Ta có: y  n  n   n  n   y   n2  n   y  n2  n  y  n2  n  (Vi y  )  y  n2  n   y  n  n  1 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ( y  ) Website: tailieumontoan.com y  n  n   n  n  Thay  n2  n     n    n  3 0   n 2 Thử trực tiếp n 2; n  thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm n   2;  3 Câu 50: Chứng minh: số có dạng n  n  2n  2n với n  N n  khơng phải số phương Lời giải ) Chứng minh: số có dạng n  n  2n  2n với n  N n  số phương Ta có n  n  2n3  2n n  n  n  2n   n  n  n  1  n  1   n  1  n   n  1  n3  n    n  n  1   n3  1   n  1  n  n  1 n  2n   2 n  2n   n  1    n  1 n  2n  n   n  1  n n  N n  Với và  n  1 Suy phương  n  2n   n 2 với n  N n  n  2n  khơng phải số Vậy, số có dạng n  n  2n  2n với n  N n  khơng phải số phương Câu 51: Tìm số nguyên n để B n  n  13 số phương? Lời giải Ta có B số phương 4B số phương Đặt B k , k  N Khi đó, Vì B 4n  4n  52 k   2n   k   2n   k   51  n   k    2n   k  nên ta có trường hợp:  2n   k 1 2n   k 3 2n   k 51 ,  , ,   2n   k  51  2n   k  17 2n   k  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 2n   k 17  2n   k  10 Website: tailieumontoan.com Giải ta được: n  12, n  3, n 13, n 4 Vậy, n  12 n  n 13 n 4 B n  n  13 số phương Câu 52: Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương Lời giải Để n  18 n  41 hai số phương  n  18 p2 n  41 q  p,q    p  q  n  18    n  41 59   p  q   p  q  59 2  p  q 1   p  q 59  Nhưng 59 số nguyên tố, nên: Từ  p 30  q 29 n  18 p2 30 900  n 882 882  41 841 29 q Thay vào n  41, ta Vậy với n 882 n  18 n  41 hai số phương Câu 53: Cho a n 1     n Ta có: Chứng minh a n  a n 1 số phương Lời giải a n 1 1     n  n  a n  a n 1 2      n   n  2  n  1 n  n  1  n  n  2n  số phương p p Câu 54: Cho A p số ngun tố Tìm giá trị để tổng ước dương A số phương Lời giải Các ước dương A 1; p; p ; p ; p Tổng ước  p  p2  p3  p4 n  n     4p  4p2  4p3  4p4 4n Ta có: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 11 Website: tailieumontoan.com 4p4  4p3  p2  4n  4p  p   4p3  8p2  4p   2   2p2  p   2n   2p2  p   2    2n   2p2  p   Do : 4p4  4p3  4p2  4p  4p4  4p3  5p2  2p   p  1(ktm)  p2  2p  0    p2 3(tm) Vậy p 3 Câu 55: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Lời giải Giả sử n  4n  2013 m  m    n    2009 m  m   n   Suy   m  n    m  n   2009 2 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau:  m  n  2009  m 1005 TH1 :    m  n  1 n 1002 m  n  287 m 147 TH2 :   m  n  7 n 138 m  n  49 m 45 TH3 :   m  n  41 n 2 Vậy số cần tìm 1002;138; Câu 56: Cho S 1.2.3  2.3.4  3.4.5   k  k  1  k   (với k  *) Chứng minh 4S  bình phương số tự nhiên Lời giải 1 k  k  1  k    k  k  1  k    k  k  1  k     k     k    4 Ta có: 1  k  k  1  k    k    k  k    k    k   4  4S 1.2.3.4  0.1.2.3  2.3.4.5  1.2.3.4   k  k  1  k    k    k  k  1  k    k  1 k  k  1  k    k    4S  k  k  1  k    k    Mặt khác: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 12 Website: tailieumontoan.com k  k  1  k    k    k  k    k    k         k  3k k  3k    k  3k   2 Mà k   * nên k  3k    * nên suy đpcm Câu 57: Tìm số tự nhiên n cho số A n  n  số phương Lời giải Giả sử A số phương, suy tồn số k   cho :   n  n  k  n  n  4k 2   2k    2n  1 23   2k  2n  1  2k  2n  1 23 (*) Do k, n   nên dễ thấy 2k  n  2k  2n  số nguyên Ngoài 23  2k  2n  1; 2k  2n   2k  2n  Suy 2k  2n   2k  2n  Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy  2k  2n  0  4n  22  n 5   2k  2n  23 Với n 5 A 36 6 số phương Vậy n 5 số tự nhiên cần tìm Câu 58: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Lời giải Giả sử n  4n  2013 m  m  ¥  Suy  n  2 2  2009 m  m   n   2009   m  n    m  n   2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau:  m  n  2009 m 1005 TH 1:    m  n  1 n 1002 m  n  287  m 147 TH :   m  n  7 n 138  m  n  49 TH :    m  n  41 m 45  n 2 Vậy số cần tìm 1002;138; Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 13 Website: tailieumontoan.com Câu 59: Cho n tổng hai số phương CMR : n tổng hai số phương Lời giải 2 Đặt N a  b với a, b  ¥ Khi N a  2a 2b  b  4a 2b  a  b    2ab  tổng hai số phương Câu 60: Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b b c cd d a Chứng minh A abcd số phương Lời giải 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b b c cd d a a b c d  1 1  1  1  6 a b bc cd d a a b c d     2 a b b c c d d a a)  1 a b c d  1   0 a b b c cd d a b b d d    0 a b b c c d d a b c  a d  a  c   0  a  b  b  c  c  d   d  a   b  c  d   d  a   d  a  b   b  c  0  abc  acd  bd  b d 0   b  d   ac  bd  0   b  d   ac  bd  0  ac  bd 0  ac bd A abcd  ac  số phương Vậy Câu 61: Cho an 1     n Chứng minh an  an 1 số phương Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 14 Website: tailieumontoan.com Ta có: an1 1     n  n  an  an1 2      n   n  2 n  n  1  n  n  2n   n  1 số phương Câu 62: Chứng minh với số nguyên x, y thì: A  x  y   x  y   x  y   x  y   y số phương Lời giải Ta có: A  x  y   x  y   x  y   x  y   y  x  xy  y   x  xy  y   y Đặt x  xy  y t  t   A  t  y   t  y   y t  y  y t  x  xy  y  2 2 Vì x, y, z nên x  ,5 xy  ,5 y    x  xy  y ( dfcm) Vậy A số phương Câu 63: Cho an 1     n Chứng minh an  an1 số phương Lời giải Ta có: an1 1     n  n  an  an1 2      n   n  n  n  1  n  n  2n  2  n  1 số phương 2 Câu 64: Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab  bc  ac 1 Chứng minh biểu thức Q  a  1  b  1  c  1 bình phương số hữu tỷ Lời giải Vì ab  ac  bc 1 nên a  a  ab  bc  ca  a  b   a  c  c   b  c   c  a  Tương tự: b   a  b   b  c  2 Q  a  1  b  1  c  1   a  b   b  c   c  a    dfcm Do đó: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 15 Website: tailieumontoan.com Câu 65: Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương P  x+5   x+7   x    x  11 + 16 Lời giải Ta có: P  x+5   x+7   x    x  11 + 16  P ( x  5)( x  11)( x  7)( x  9) + 16  P ( x  16 x  55)( x  16 x  63)+ 16  P ( x  16 x  55)  8( x  16 x  55)+ 16  P ( x  16 x  55)  2( x  16 x  55).4+  P ( x  16 x  59) Vơi x số nguyên P số CP Câu 66: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Lời giải b) Giả sử Suy n  4n  2013 m ,  m    n  2 2  2009 m  m   n   2009   m  n    m  n   2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau xảy ra:  m  n  2009   TH1:  m  n  1  m  n  287   m  n    TH2:  m 1005  n 1002  m 147   n 138  m  n  49 m 45   n 2 TH3:  m  n  41 Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 16 Website: tailieumontoan.com 2  a  b   3a  3b  1 a Câu 67: Từ 2a  a 3b  b có  a  b   2a  2b  1 b Suy  a  b   2a  2b  1  3a  3b 1  ab  Cũng có :  2a  2b  1,3a  3b  1 d Chứng minh d 1 Gọi  3a  3b  số phương  a  b số phương (đpcm) Câu 68: Tìm số tự nhiên nđể n2 + n+2013 số phương Lời giải Các ước dương Alà ; p ; p2 ; p ; p Tổng ước 1+ p+ p2 + p3 + p =n2 (n ∈ N ) ❑ 4+ p+ p 2+ p3 + p4 =4 n ⇒ Ta có: p + p 3+ p 2< n 2< p4 + p 2+ 4+ p3 +8 p2 +4 p ⇒ 2 ⇒ 2 ❑ ( p2 + p ) < ( n ) < ( p 2+ p+ ) ❑ ( n ) =( p2 + p+1 ) Do :4 + p +4 p2 + p3 +4 p 4=4 p4 + p3 +5 p 2+ p+1 ⇒ ❑ p2 −2 p−3=0 ❑ p1=−1(không thỏa mãn) ⇔ p2=3(thỏa mãn) Vậy p=3 [ Câu 69: Tìm số tự nhiên nđể n2 + n+2013 số phương Lời giải Giả sử n2 + n+2013=m2 (m∈ N ) ⇔ Suy ( n+2 )2 +2009=m2 ❑ m2−( n+2 )2 =2009 ⇔ ❑ ( m+n+ )( m−n−2 ) =2009 Mặt khác 2009= 2009.1=287.7 = 49.41 m+n+2>m−n−2 nên có trường hợp sau: ⇔ TH 1: m+ n+2=2009 ❑ m=1005 m−n−2=1 n=1002 { { TH 2: {m+ n+2=287 ❑ {m=147 m−n−2=7 n=138 ⇔ ⇔ TH 3: m+n+ 2=49 ❑ m=45 m−n−2=41 n=2 { { Vậy số cần tìm 1002; 138; Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 17 Website: tailieumontoan.com Câu 70: Cho S=1.2.3+2.3 4+ 3.4 5+…+ k ( k +1 )( k +2 ) với k ∈ N Chứng minh S +1là bình phương số tự nhiên ¿ Lời giải 1 Ta có: k ( k +1 )( k + )= k ( k +1 ) ( k +2 ) 4= k ( k +1)( k +2) [ ( k +3 )−( k−1) ] 4 1 ¿ k ( k +1 ) ( k +2 ) ( k +3 )− k (k +1)( k +2)(k −1) 4 ⇒ ❑ S=1.2 4−0.1.2 3+2.3 5−1.2.3 4+ …+k ( k +1 ) ( k +2 )( k +3 )−k ( k + )( k + )( k−1 )=k ( k +1 ) ( k +2 ) ( k +3 ) ⇒ ❑ S+1=k ( k +1 ) ( k +2 ) ( k +3 ) +1 Mặt khác: k ( k +1 )( k + )( k + ) +1=k ( k+ ) ( k +1 ) ( k +2 ) +1=¿ Mà k ∈ N ¿ nên k +3 k +1 ∈ N ¿ nên suy đpcm Câu 71: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải a  1 Gọi hại số a  Theo ta có: 2 a   a  1  a  a  1 a  2a  3a  2a   a  2a  a    a  a    a  a    a  1   a  a  1 số phương lẻ a  a a  a  1 số chẵn nên a  a  số lẻ Câu 72: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Lời giải Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  , a, b, c, d 9, a 0  abcd k k , m  ,31  k  m  100   a  b  c  d   m         Ta có:  2 Do đó: m  k 1353   m  k   m  k  123.11 41.33  k  m  200  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 abcd k  abcd  1353 m 18 Website: tailieumontoan.com   m  k 123   m  k 11      m  k 41    m  k 33  m 67 (TM )   m 57  m 37  ( KTM )  k 4 Vậy số cần tìm abcd 3136 Câu 73: Tìm số tự nhiên n cho số A n  n  số phương Lời giải Giả sử A số phương, suy tồn số k   cho : n  n  k   n  n   4k 2   2k    2n  1 23   2k  2n  1  2k  2n  1 23 Do k , n   nên dễ thấy 2k  n  2k  2n  số nguyên Ngoài 23  2k  2n  1;2k  2n   2k  2n  Suy 2k  2n   2k  2n  Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy 2k  2n  0  4n  22  n 5  2k  2n  23 Với n 5 A 36 62 số phương Vậy n 5 số tự nhiên cần tìm Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 (*)