Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 PHẦN I ĐẠI SỐ Chương I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP I Kiến thức, kĩ cần đạt được: Viết tập hợp từ dạng đặc trưng phần tử sang liệt kê phần tử ngược lại Thực phép toán tập hợp: Giao, hợp, hiệu hai tập hợp, nhiều tập hợp Viết tập hợp kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn biểu diễn trục số Thực phép toán tập hợp trục số Xác định tập tập hợp II Một số ví dụ : Ví dụ 1: Cho tập hợp: { } A = x ∈ R |( x2 + x + 6) ( x2 − 4) = B = { x ∈ N |2 x ≤ 8} C = { x + 1| x ∈ Z , − ≤ x ≤ 4} a Hãy viết lại tập hợp A, B, C dạng liệt kê phần tử b Tìm A ∪ B, A ∩ B, B \ C c Tìm ( A ∪ C ) \ B Hướng dẫn: a Ta có: x2 + x + = x = −1 ∨ x = − x2 + x + 6) ( x2 − 4) = ⇔ ⇔ •( Vậy A = { −6; −2; −1; 2} x −4=0 x = −2 ∨ x = x∈N x∈ N ⇔ ⇔ x ∈ { 0,1, 2,3, 4} Vậy B = { 0;1; 2;3; 4} • 2 x ≤ x ≤ x ∈ Z ⇔ x ∈ { −2, −1, 0,1, 2,3, 4} Thay x vào 2x + ta C = { −3; −1;1;3;5;7;9} • −2 ≤ x ≤ b Ta có: A ∪ B = { −6; −2; −1;0;1; 2;3; 4} A ∩ B = { 2} B \ C = { 0; 2; 4} c Ta có: A ∪ C = { −6; −3; −2; −1;1; 2;3;5;7;9} Ví dụ 2: Cho tập hợp: A = { x ∈ R | x < 3} Suy ( A ∪ C ) \ B = { −6; −3; −2; −1;5;7;9} B = { x ∈ R |1 < x ≤ 5} C = { x ∈ R | − ≤ x ≤ 4} a Hãy viết lại tập hợp A, B, C kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn b Tìm A ∪ B, B ∩ C , A \ C Hướng dẫn: B = ( 1;5] C = [ −2; ] a Ta có: A = ( −∞;3) b A ∪ B = ( −∞;5] B ∩ C = ( 1; 4] A \ C = ( −∞; −2 ) Lớp 10 (cơ bản) Trang Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Ví dụ 3: Xác định tập số sau: a ( −4; 2] ∩ [ 0; ) c [ −4;3] \ [ −2;1] b d ( 0;3) ∪ [ 1; 4] R \ [ 1;3] Hướng dẫn: Ta có a ( −4; 2] ∩[ 0; ) = [ 0; ] ( 0;3) ∪[ 1; 4] = ( 0; 4] c [ −4;3] \ [ −2;1] = [ −4; −2 ) ∪ ( 1;3] d R \ [ 1;3] = ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞) b III Bài tập luyện tập: Bài Viết lại tập hợp sau dạng liệt kê phần tử a) A = {x ∈ N / (x + 2)(x2 + 2x - 3) = 0} KQ A = { 1} B = { 0,1, 4} b) B = {x2 / x ∈ Z , x ≤ } KQ c) C = {x ∈ ¥ / x ước 30} KQ d) D = {x ∈ ¥ / x số nguyên tố chẵn} Bài Cho tập hợp sau : A = { x ∈ ¥ * / x ≤ 4} KQ D = { 2} KQ A ∩ C = { 1, 2,3} B = { x ∈ ¡ / 2x( 3x2 – 2x – 1) = 0} KQ C = { x ∈ ¢ / -2 ≤ x < 4} KQ KQ a) Hãy viết lại tập hợp dạng liệt kê phần tử b) Hãy xác định tập hợp sau : A ∩ C, A ∪ B, C\B, (C\A) ∩ B Bài Hãy tìm tập hợp tập hợp KQ a) A = { a, b} b) B = { 1, 2,3, 4} C = { 1, 2,3,5, 6,10,15,30} A ∪ B = − , 0,1, 2,3, C \ B = { −2, −1, 2,3} ( C \ A ) ∩ B = { 0} a) ∅, { a} , { b} , { a, b} Bài Cho A = { x ∈ ¡ | −3 ≤ x ≤ 5} B = { x ∈ ¡ | x > 2} a Hãy viết lại tập hợp dạng kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn B B A∪ B A\ B CR KQ CR = ( −∞; 2] b Tìm A ∩ B Bài Xác định tập hợp sau: a ) [ −4; ) ∪ ( 0;5] b) ( −3; ) \ ( 1;5 ) c) R \ ( −∞;3] d ) [ −4;9 ) \ ( 0; ] Bài 1) Cho A = [m;m + 2] B = [n;n + 1] Tìm điều kiện số m n để A ∩ B = ∅ 2) Cho A = (0;2] B = [1;4) Tìm CR(A ∪ B) CR(A ∩ B) 3) Xác định tập A B biết A ∩ B = {3,6,9} ; A\B = {1,5,7,8} ; B\A = {2,10} m − n < −2 KQ 1) m − n > 2) CR(A ∪ B) = (0, 4); CR(A ∩ B) = [1, 2] 3) A = {1,3,5,6,7,8,9}, B = {2,3,6,9,10} Lớp 10 (cơ bản) Trang Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Bài Mỗi học sinh lớp 10A chơi bóng đá, bóng chuyền Biết có 25 bạn chơi bóng đá khơng chơi bóng chuyền, 20 bạn chơi bóng chuyền khơng chơi bóng đá 10 bạn chơi mơn.Hỏi lớp 10A có học sinh Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I Kiến thức, kĩ cần đạt được: Xác định tập xác định, xét tính chẵn lẻ số hàm số Hàm số bậc hai: y = ax + bx + c (a ≠ 0) Bài toán lập bảng biến thiên vẽ Parabol y = ax + bx + c (a ≠ 0) + TXĐ: D = R ∆ b + Toạ độ đỉnh I − ; − ÷ 2a 4a + Trục đối xứng x = − b 2a + Lập bảng biến thiên + Tìm điểm đặc biệt (giao điểm parabol với trục tung, trục hoành (nếu có)) + Vẽ đồ thị Xác định phương trình Parabol biết số yếu tố liên quan II Một số ví dụ : Ví dụ 1: Tìm tập xác định xét tính chẵn lẽ hàm số a ) f ( x) = x − x b) f ( x) = 2x +1 x −1 c) f ( x ) = x − + 2x − x−4 Hướng dẫn: a) TXĐ: D = R ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D nên f(x) hàm số lẻ 3 ∀x ∈ D, f ( − x ) = ( − x ) − ( − x ) = − ( x − x ) = − f ( x ) Vì b) c) Hàm số xác định x − ≠ ⇔ x ≠ TXĐ: D = R\{1} Vì −1∈ D nhưng1 ∉ D nên f(x) hàm số không chẵn, không lẻ x ≠ x − ≠ 1 ⇔ Hàm số xác định TXĐ: D = ; +∞ ÷\ { 4} 2 2 x − ≥ x ≥ Vì ∈ D −1∉ D nên f(x) hàm số khơng chẵn, khơng lẻ Ví dụ 2: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 2x - Hướng dẫn: TXĐ: D = R Tọa độ đỉnh I(1;-4) Trục đối xứng đường thẳng x = Bảng biến thiên: −∞ x y +∞ Lớp 10 (cơ bản) Trang +∞ +∞ Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số với trục tọa độ * Giao điểm với trục tung: A(0;-3) * Giao điểm với trục hoành: x = −1 Suy giao điểm B(-1;0); C(3;0) x = Ta có: x − x − = ⇔ y Đồ thị x -8 -6 -4 -2 -5 f(x)=x^2-2x-3 Ví dụ 3: Xác định phương trình Parabol (P): y = x2 + bx + c trường hợp sau: a) (P) qua điểm A(1; 0) B(-2; -6) b) (P) có đỉnh I(1; 4) Hướng dẫn: x(t)=1 , y(t)=t 0 = + b + c b + c = −1 b = ⇔ ⇔ Vậy (P): y = x2 + 3x – −6 = − 2b + c 2b − c = 10 c = −4 a) Vì (P) qua A, B nên −b =1 b = −2 ⇔ b) Vì (P) có đỉnh I(1; 4) nên Vậy (P): y = x2 – 2x + c=5 b − 4c − =4 III Bài tập luyện tập Bài Tìm TXĐ hàm số sau: x +1 x − 2x + 2x +1 d y = (3 x − 6)(− x − x + 4) a y = b − 2x x−2 c y = 2x − + − x 3x − + − 10 x + x −4 x +1 e y = x − + − x f y = e D = [2;3] f D = [-1; ] Đáp số: d D = R \ {2,1,-4} Bài Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a y = x2 + b y = x3 + x Đáp số: a Hàm số chẵn b Hàm số lẻ Bài Lập BBT vẽ đồ thị hàm số sau: Lớp 10 (cơ bản) Trang c y = 2x2 + 3x +1 c Hàm số khơng chẵn, khơng lẻ Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm hoï c 2011 - 2012 a y = x2 - 2x + b y = - x2 + 2x +3 c y = − x − x d y = -x2 - 2x e y = x2 +3 f y = x + x + Bài Cho hàm số y = x2 – 4x + có đồ thị Parabol (P) a Lập bảng biến thiên vẽ (P) b Biện luận theo m số giao điểm đường thẳng y = m với (P) c Từ đồ thị hàm số câu a) suy đồ thị hàm số y = x2 - |x| +3 Hướng dẫn y x -8 -6 -4 y= m -2 b) m < -1: Có giao điểm m = -1: Có giao điểm -5 m > -1: Có giao điểm Bài Tìm Parabol y = ax2 + 3x − 2, biết Parabol : f(x)=x^2-4x+3 x(t)=2 , y(t)=t a Qua điểm A(1; 5) x(t)=t , y(t)=-2 ĐS y = x + 3x − b Cắt trục Ox điểm có hoành độ ĐS y = − x + 3x − c Có trục đối xứng x = −3 ĐS y = x + 3x − 2 d Có đỉnh I(− ; − 11 ) ĐS y = 3x + x − Bài Xác định phương trình Parabol: a) y = ax2 + bx + qua A(1 ; 0) trục đối xứng x = ĐS y = x − 3x + b) y = ax2 + bx + qua A(-1 ; 9) trục đối xứng x = - ĐS y = −2 x − x + c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) đỉnh I ( 3; - 4) ĐS y = x − x + d) y = x2 + bx + c biết qua diểm A(1 ; 0) đỉnh I có tung độ đỉnh yI = -1 ĐS y = x − ; y = x − x + Bài Xác định parabol y = ax2 + bx + c biết rằng: a Parabol qua điểm A(0; -1); B(1;-2); C(2;-1) ĐS y = x − x − b Đi qua điểm A(-2;0); B(2;-4) nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng.ĐS y = x − x − Bài Cho parabol (p): y = x2 + 4x - đường thẳng d: y = - x +2m Tìm m để: a (d) cắt (p) điểm b (d) không cắt (p) Hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 + 4x – = -x + 2m Số nghiệm phương trình số giao điểm (p) với d ĐS: a) m > Lớp 10 (cơ bản) 33 b) m < Trang 33 Löu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường họ c 2011 - 2012 Đề cương ôn tập họ c kì I Năm Bài 9: Cho hàm số: y = x − 4mx + m − 2m a)Tìm m để hàm số đồng biến [ −2; +∞ ) b) Tìm quỹ tích đỉnh I parabol Chương III PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.Kiến thức, kĩ cần đạt được: Nắm điều kiện xác định phương trình Biết qui đồng mẫu thức để giải phương trình chứa ẩn mẫu dạng Biết giải biện luận phương trình dạng ax = b Nắm phương trình hệ quả, phương trình tương đương Biết giải số phương trình thức Vận dụng định lí viet số tốn tham số II Một số ví dụ : Ví dụ 1: Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình: m ( x + 1) = x + m (1) Hướng dẫn: 2 2 2 Ta có m ( x + 1) = x + m ⇔ m x + m = x + m ⇔ m x − x = m − m ⇔ ( m − 1) x = m − m TH1: m − = ⇔ m = ±1 Với m = 1: PTTT 0.x = 0, ∀x ∈ ¡ nghiệm phương trình Với m= -1:PTTT 0.x= -2: vô nghiệm m − m2 −m TH2: m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 : phương trình có nghiệm nhất: x = = m −1 m +1 Kết luận: • m = -1, PT vơ nghiệm • m = 1, ∀x ∈ ¡ nghiệm phương trình −m • m ≠ ±1 , phương trình có nghiệm nhất: x = m +1 2 Ví dụ 2: Cho ptrình x − ( m − ) x + m − = (*) a Tìm m để ptrình có nghiệm x = Tính nghiệm cịn lại b Tìm m để ptrình có hai nghiệm x1, x2 thoả : x12+x22 = 26 Hướng dẫn: a) Vì x = nghiệm phương trình (*) nên thay x =1 vào phương trình (*) ta m = − ( m − ) + m − = ⇔ m − 2m = ⇔ m = x = x = −5 x =1 + với m = phương trình (2) trở thành: x − = ⇔ x = −1 + Với m = phương trình (2) trở thành: x + x − = ⇔ ' b) Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là: ∆ ≥ ⇔ ( m − ) − m + ≥ ⇔ m ≤ Lớp 10 (cơ bản) Trang Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường họ c 2011 - 2012 Đề cương ôn tập họ c kì I Năm x1 + x2 = 2m − Khi theo định lí viet x1 x2 = m − Suy x12 + x2 = 26 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 26 ⇔ ( 2m − ) − ( m − ) = 26 ⇔ 2m − 16m = m = ⇔ m = ( loai ) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 3: Giải ptrình sau: x − x + = x − (**) Hướng dẫn: Cách 1: Dùng phương trình hệ x − 3x + = x − ⇒ x − 3x + = ( x − ) ⇒ x − 3x + = x − x + ⇒ x=3 Thử lại ta thấy x = thoả mãn phương trình (**) Vậy phương trình (**) có nghiệm x = Chú ý, với cách giải ta không cần đặt điều kiện x − x + ≥ Cách 2: Dùng phép biến đổi tương tương x − 3x + = x − x − ≥ ⇔ 2 x − 3x + = ( x − ) x ≥ ⇔ 2 x − 3x + = x − x + x ≥ ⇔ x = ⇔ x=3 Vậy phương trình (**) có nghiệm x = Học sinh cần ý số phép biến bổi tương đương để khử bậc hai B ≥ A=B⇔ A = B B ≥ A= B⇔ A = B III Bài tập luyện tập Bài Giải phương trình sau: a x −3 +2 = x −3 + ĐS: PTVN b x − x − − x = x − + 12 Lớp 10 (cơ bản) ĐS: x=4 Trang Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường họ c 2011 - 2012 c x + − = x + + x Bài Giải phương trình sau: a 2x = x−2 Đề cương ôn tập họ c kì I Năm ĐS: x=2 x−2 ĐS: PTVN x2 b = x +1 x +1 3x + c x − = x +1 x +1 x −2 −5 x − d − x −1 = x −1 x −1 e x + ( x + x + 3) = ĐS: x=3 ĐS: x=3 ĐS: PTVN ĐS: x=-1 Bài Giải phương trình sau: a) 2x +1 = ĐS: x=12 ĐS: x = b) x + = x − + 17 c) x − x + 10 = − x ĐS: x=6 d) x2 + x − = x + ĐS: x=-2 e) 2x +1 − = x + ĐS: x=14 + 208 ĐS: x=-6+ f ) x + 14 − x + = x + g) x + + − x − h) x+2+ ( x + 3) ( − x ) x +1 + 2x − + i) − 2x = x + l) =0 x + x + - = 3x k) ( x + ) ( x + 1) ĐS: x=-3 v x=6 3x − = 2x − j) =3 3x − x + + x - = m) ĐS: x=1 v x= x − x − - 2x - = ĐS: x = v x= x +1 p) 3x − x + = q) ĐS: x=9 ĐS: x =-1 2x + - x + = n) −7 16 + 97 ĐS: x= ĐS: x=0 ĐS: x= ĐS: x= 3x + − x + = 10 ĐS: x=-1 Bài Cho phương trình x + ( m + ) x + m + = Xác định m để ptrình có hai nghiệm phân thực 2 2 biệt x1, x2 thoả điều kiện: x1 + x2 − x1 x2 = 46 Bài Cho phương trình (m-1)x2+2mx+1=0 Lớp 10 (cơ bản) ĐS: m=2 Trang Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường họ c 2011 - 2012 Đề cương ôn tập họ c kì I Năm b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thực trái dấu ĐS: mb ⇔ a – b > (tương ứng ≤, ≥, < ) b Áp dụng bất đẳng thức bản: +Bất đẳng thức bản: A ≥ Dấu “=” xảy ⇔ A = +Bất đẳng thức Cơ Si: ∀a, b ≥ , ta ln có a+b ≥ ab ⇔ a + b ≥ ab Dấu “=” xảy ⇔ a = b c Sử dụng tính chất cạnh tam giác II Một số ví dụ: Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức sau: a a + a > b + b ∀a > b > b ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c ) ∀a, b, c ∈ R c ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ∀a, b, c ∈ R 2 Lớp 10 (cơ bản) Trang Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Hướng dẫn: a Theo giả thiết a > b > nên a – b > a + b + > 2 2 Do ta có: a + a > b + b ⇔ a − b + ( a − b ) > ⇔ ( a − b ) ( a + b + 1) > ( ) Vậy a + a > b + b; ∀a > b > b Ta có : ( a + b + c ) − ( a + b + c ) = 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0; 2 ∀a, b, c ∈ ¡ Dấu “=” xảy a = b = c c Ta có ( a + b + c) = − ( ab + bc + ca ) = a + b + c − ab − bc − ca 1 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ ∀a, b, c ∈ R 2 Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ CMR a ( a + b ) ( a.b + 1) ≥ 4a.b ∀a ≥ 0, b ≥ a b c b 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 8, ∀a, b, c > b c a Hướng dẫn: a + b ≥ ab ⇒ ( a + b ) (ab + 1) ≥ ab ab = 4ab; ∀a, b ≥ a Ta có: ab + ≥ ab Dấu “=” xảy a=b=1 b Ta có : a a 1 + ≥ ; b b b b a b c a b c + ≥ ; ⇒ 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ = c c b c a b c a c c 1 + ≥ a a Dấu “=” xảy a = b = c a Ví dụ : Cho a ≥ Chứng minh a + ≥ Hướng dẫn: a 3a a 3a 3.2 = Ta có a + = + ÷+ ≥ + ≥ + a 4 a 4 a 4 Dấu “=” xảy a=2 III Bài tập luyện tập: Lớp 10 (cơ bản) Trang 10 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Bài : Cho hai số thực dương a,b Chứng minh 1 + ≥ a b a+b (HD : Áp dụng Bất đẳng thức Cô Si) Bài : Cho ba số thực dương a,b,c Chứng minh 1 + + ≥ a b c a +b+c (HD : Áp dụng Bất đẳng thức Cô Si) 1 1 1 + + ≥ + + Bài : Cho ba số thực dương a,b,c Chứng minh 4a 4b 4c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c (HD : Áp dụng Bất đẳng thức Cô Si) 2 2 Bài : Cho số thực a, b, c, d, e Chứng minh rằng: a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) (HD : Áp dụng Bất đẳng thức bản) Bài Cho hai số thực a, b Chứng minh rằng: a ) ( + a ) ( + b ) ≥ ( + ab ) b) 2a + b + ≥ 2a ( + b ) c ) a + ab + b ≥ Hướng Dẫn a ) ( + a ) ( + b ) = + a 2b + a + b ≥ ( + ab ) b) 2a + b2 + = ( a + b ) + ( a + 1) ≥ 2a ( + b ) c) Sử dụng bất đẳng thức cở Bài Chứng minh bất đẳng thức sau xét xem đẳng thức xảy ra? bc ca ab a) + + ≥ a +b+c ∀a , b, c > a b c b) a b − + b a − ≤ ab ∀a , b ≥ a2 ≤ a +1 Hướng Dẫn a) Sử dụng bất đẳng thức côsi b) Sử dụng bất đẳng thức côsi c) Sử dụng bất đẳng thức côsi c) Bài Chứng minh bất đẳng thức: ∀a , b, c, d ∈ R , ( ac + bd ) ≤ ( a + b ).( c + d ) (BĐT Bunhiacopxki) HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức ( ad − bc ) ≥ Bài Chứng minh bất đẳng thức: a b + ≥ a + b , a > 0; b > b a HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về: ( a+ b )( a− b ) ≥ 0, Bài Cho x − y = 15 Chứng minh: x + y ≥ Lớp 10 (cơ bản) Trang 11 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 HD: Rút x y từ x − y = 15, vào x + y Bài 10 Chứng minh: a + b + c ≥ ab + bc + ca với a , b, c ≥ HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si cặp (a b); (b c); (c a) Bài 11 Chứng minh: ( a + 1)( b + 1)( a + c )( b + c ) ≥ 16abc với a, b, c dương Bài 12 Với a bất kì, chứng minh: a2 + a2 + ≥ PHẦN II HÌNH HỌC Vấn đề I VECTƠ VÀ CÁC PHÁP TOÁN CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN VỚI MỘT SỐ THỰC I Kiến thức, kĩ cần đạt Nắm vững yếu tố liên quan đến vectơ như: giá, độ lớn vectơ, hai vectơ phương, hướng, nhau, đối Nắm vững qui tắc sau +) Quy tắc ba điểm: Cho A, B, C ba điểm bất kỳ, ta có: uu u u uu ur ur ur AB = AC + CB u u u u uu ur ur u r AB = CB − CA uu uu uu ur ur ur +) Quy tắc hình bình hành: cho hình bình hành ABCD ta có: AB + AD = AC ur ur r u u uu uu ur ur uu ur +) Nếu I trung điểm đoạn AB ta có: IA + IB = ⇔ ∀M , MA + MB = 2MI uu uu uu r ur ur ur uu uu uu ur ur uu u u r uu r +) Nếu G trọng tâm ∆ ABC ta có: GA + GB + GC = ⇔ ∀M , MA + MB + MC = 3MG Vận dụng qui tắc để giải số dạng toán thường gặp: + Chứng minh đẳng thức vec tơ + Xăc định điểm M thoả mãn đẳng thức vec tơ cho trước + Tính vec tơ theo hai vec tơ khơng phương + Chứng minh ba điểm thẳng hàng II Một số ví dụ: uu uu ur ur uu uu ur ur Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB − CD = AC − BD Hướng dẫn: Cách : Dùng phép biếnrđổiur u u u u u u u u u u u u u u tương đươngr ur ur ur u u u u u u ur ur u u ur ur Ta có : AB − CD = AC − BD ⇔ AB + BD = AC + CD ⇔ AD = AD (Đpcm) Cách : Biến đổi vế trái thành vế phải uu u u u u uu uu uu u u uu ur ur ur ur ur ur ur ur Ta có VT = AB − CD = AC + CB − CB + BD = AC − BD =VP (Đpcm) Cách : Biến đổi vế phải thành vế trái uu uu uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur ur ur Ta có VP = AC − BD = AB + BC − BC + CD = AB − CD =VT (Đpcm) ( ) ( ) Ví dụ 2: Cho sáu điểm A, B,rC, u u E,uF Chứng u u urằng: D, minh u u u ur ur u u ur ur u u ur AD + BE + CF = AE + BF + CD Hướng dẫn: Cách : Dùng phépr biếnuđổiur u u u u u u tương đương u u u r u u ur ur ur u u Ta có : AD + BE + CF = AE + BF + CD Lớp 10 (cơ bản) Trang 12 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường họ c 2011 - 2012 Đề cương ôn tập họ c kì I Naêm uu uu ur ur uu uu ur ur uu uu r ur ur ⇔ ( AD − AE ) + ( BE − BF ) + (CF − CD ) = uu uu uu r ur ur ur ⇔ ED + FE + DF = uu uu uu r ur ur ur ⇔ u u + DF + FE = ED r ur ⇔ EE = (Đpcm) Cách : Biến đổi vế trái thành vế phải Ta có : uu uu uu ur ur ur AD + BE + CF uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur = AE + ED + BF + FE + CD + DF uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur = AE + BF + CD + ED + DF + FE uu uu uu uu ur ur ur ur = AE + BF + CD + EE uu uu uu ur ur ur = AE + BF + CD Cách : Biến đổi vế phải thành vế trái (Học sinh tự làm) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Hãy xácu u u u u thoả điều kiện: định điểm M u r ur uu r u r MA − MB + MC = Hướng dẫn: uu uu uu r ur ur uu r uu u u r u uu r r u ur u u uu u r Từ MA − MB + MC = ⇔ BA + MC = ⇔ CM = BA A B M C Vậy M đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM uu uu uu uu r ur ur uu u u r r Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD Hãy xác định điểm M thoả điều kiện: MA + MB + MC + MD = Hướng dẫn: Gọi E, F trung điểm AB CD Tau : ur u u u u r u r u u uu u u ucó r r MA2 MB + MC2 43 = 14 + 14 + MD uu ur uu r ur ⇔ 2ME + MF = uu uu r ur u r ⇔ ME + MF = Vậy M trung điểm EF Ví dụ Cho tam giác ABC Gọiu trung điểm cạnh AC D ur u Hãy biểu diễn vec tơ BD theo vec tơ : u u uu ur u r a ) BC , CA uu u u u ur r b) BA, AC Hướng dẫn: u u uu u u u u uu u u u u uu ur u ur r ur u ur r ur u r a Ta có BD = BA + BC = BC + CA + BC = BC + CA 2 u u u u u u u u u u u u uu u u ur u ur r u u ur r r u r ur b Ta có BD = BA + BC = BA + BA + AC = BA + AC 2 ( ) ( ( ) A ) ( ) D B C Ví dụ 6: Cho tam giác ABC trọng tâm G Gọi D E điểm xác định uu ur uu ur uu ur uu ur uu ur uu uu uu ur ur ur AD = AB, AE = AC a) Tính DE DG theo AB AC b) CMR ba điểm D, G, E thẳng hàng Lớp 10 (cơ bản) Trang 13 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Hướng dẫn: uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur uu ur a DE = AE − AD = AC − AB = AC − AB ( 1) 5 uu uu uu uu uu u r ur ur ur ur uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur DG = AG − AD = AB + AC − AB = AC − AB = AC − AB 3 3 uu uu ur ur b Từ (1) (2) suy ra: DG = DE uu ur uu ur Vậy DE DG phương nên ba điểm D, G, E thẳng hàng ( ( ) ) ( ) ( 2) III Bài tập luyện tập: Bài Cho bốnrđiểm A,u u C,ur Chứng minh : B, D u u u u ur u u u ur AB − CD = AC + DB a) uu uu uu uu ur ur ur ur b) AB + CD = AD + CB Bài Cho u ugiácu u u Gọi E, F trung điểm AB, CD I trung điểm EF CMR tứr u r ABCD u u ur a) AC + BD = EF ur ur ur ur r u u u u b) IA + IB + IC + ID = uu uu uu uu ur ur ur ur ur u c) OA + OB + OC + OD = 4OI với điểm O tuỳ ý Hướng dẫn u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur a) AC + BD = AE + EF + FC + BE + EF + FD = 2EF + AE + BE + FC + FD = b) Sửng dụng qui tắc trung điểm c) Sử dụng kết câu b) Bài Cho tam giác ABC ur I, J, K trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi u r uu u u r u u r a) CMR AI + BJ + CK = uu uu uu r ur ur ur uu u u u u u ur ur r uu ur b) Gọi O trung điểm AI CMR 2OA + OB + OC = EA + EB + EC = EO với E điểm Bài Chou uđiểmrA,u u C, ur E ur F.ur r u u ur uD, uvà u u B, Chứng minh u u u u a) AD + BE + CF = AE + BF + CD uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur b) AB + CD + EF = AD + CF + EB uu uu uu uu uu uu ur ur ur ur ur ur c) AE + BC + DF = AC + BF + DE uu u u u u u u u r ur ur ur d) AB + DC = AC + DB uu uu uu uu uu uu ur uu u r ur u u u r r r Bài Cho lục giác ABCDEF CMR: MA + MC + ME = MB + MD + MF ∀M Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M trung điểm BC, I trung điểm AG CMR : ur ur ur r u u u a) IA + IB + IC = uu uu uu ur ur ur ur u b) Với điểm O ta có 4OA + OB + OC = 6OI Hướng dẫn ur ur u u ur u r ur ur u u u u ur u u a) IA + IB + IC = IA + IM = IA + AI b) Sử dụng câu a) Bài 7.uCho hình bình hành ABCD, N trung điểm CD, M điểm đoạn AB cho AB = 3AM ur u u ur uu uu ur Tính AN theo vec tơ AM AD Hướng dẫn uu uu uu ur ur ur u u u ur ur uu AN = AD + AC = = AD + AM 2 ( Lớp 10 (cơ bản) ) Trang 14 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 u ur uu uu uu ur ur uu uu ur ur uu ur Bài Cho tứ giác ABCD Dựng điểm M, N, P thoả AM = AB , AN = AC , AP = AD u ur uu uu uu ur ur uu ur a) Tính MN theo BC , NP theo CD b) CMR: M, N, P thẳng hàng B, C, D thẳng hàng Hướng dẫnu u u u u ur uu ur ur uu ur a) MN = BC , NP = CD b) Sử dụng câu a) ur u uu ur Bài Cho tam giác ABC, gọi I điểm AB cho AI = AB , J điểm AC cho u u uu ur u r AJ = JC ur u a) CMR : IJ = ur ur uu uu AC − AB ( ) uu uu ur ur ur u b) G trọng tâm tam giác ABC Tính IG theo AB, AC c) CMR : ba điểm I, J, G thẳng hàng Hướng dẫn uu ur uu u r uu ur ur uu a) Sử dụng AJ = JC ⇔ AJ = AC ur ur uu uu AC 3 ur u b) IG = − AB + Vấn đề 2: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ TÍCH VƠ HƯỚNG I Kiến thức, kĩ cần đạt được: Nắm vững tọa độ phép tốn, cơng thức liên quan đến tọa độ sau r r Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho vectơ a = ( a1 ; a2 ) ; b = ( b1 ; b2 ) ; điểm A ( x A ; y A ) ; B ( xB ; y B ) ; C ( xC ; yC ) , đó: r r a1 = b1 a=b⇔ a2 = b2 r r a ± b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 ) r u u r u r k a = k a1 ; k a2 rr a.b = a1.b1 + a2 b2 r r a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2 b2 = r a = a12 + a2 uu ur AB = ( xB − x A ; y B − y A ) ( ) AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) r r a1.b1 + a2 b2 cos a, b = 2 a12 + a2 b12 + b2 ( ) Lớp 10 (cơ bản) Trang 15 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 x +x +x xG = A B C y = y A + yB + yC G Trọng tâm tam giác ABC G ( xG ; yG ) , x +x xI = A B Trung điểm đoạn thẳng AB I ( xI ; yI ) , y = y A + yB I 2 Vận dụng thành thạo công thức vào giải tốn II Một số ví dụ ( rr ) r r r r r r r r Ví dụ 1: Trong mặt phẳng O, i, j cho a = 2i − j , b = i + j , c = −i r r r r a Xác định toạ độ vec tơ: a, b, c r r r r r c Tìm tọa độ vectơ v thỏa v + b = 2a − 3c Hướng dẫn r r r r r b Tìm tọa độ vectơ u = 2a − b r r r d Phân tích vec tơ c theo a, b a a = ( 2, −3) , b = ( 1,1) , c = ( −1, ) r 2a = ( 4, −6 ) r b Ta có r ⇒ u = ( 3, −7 ) b = ( 1,1) r r r r r r r r r r c Ta có: v + b = 2a − 3c ⇔ v = 2a − b − 3c = u − 3c = ( 6, −8 ) −1 r r r α = 2α + β = −1 ⇔ d Giả sử c = α a + β b ⇔ −3α + β = β = −3 r −1 r r Vậy c = a − b 5 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;1),uB(5;2), C(4;4) u u u r uu ur u u r a Xác định toạ độ vec tơ: AB, BC , CA b Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác c Tính chu vi tam giác ABC r uu uu ur ur d Tìm toạ độ u = AB − BC e Tìm toạ độ trung điểmr Mur đoạn AB trọng tâm G tam giác ABC uu uu u f Tính tích vơ hướng AB BC Hướng dẫn: uu ur uu ur uu u r a Ta có: AB = ( 4;1) , BC = ( −1; ) , CA = ( −3; −3) b Vì uu uu ur ur ≠ nên hai vec tơ AB, BC không phương −1 Suy A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C ba đỉnh tam giác uu ur uu ur uu ur c Ta có: AB = 17, BC = 5, AC = nên chu vi tam giác ABC là: 17 + + Lớp 10 (cơ bản) Trang 16 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 r uu uu ur ur d Ta có u = AB − BC = ( 2.4 − ( −1) ; 2.1 − ) = ( 9;0 ) 3 10 e Ta có : M 3; ÷, G ; ÷ 2 3 uu uu ur ur f Ta có: AB BC = 4.(-1) + 1.2 = -2 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;1), B(-1; 2), C(1;-3) a Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Ox cho A, B, E thẳng hàng b Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c Tìm tọa độ điểm F điểm đối xứng A qua B d Tìm tọa độ điểm K cho A trọng tâm tam giác BCK e Tính góc A tam giác ABC Hướng dẫn: a Giả sử E(xE ; 0) uu ur uu ur Ta có: AB = ( −3;1) , AE = ( xE − 2; −1) uu ur uu ur Khi A, B, E thẳng hàng AB phương với vectơ AE ⇔ Vậy E(5; 0) b Giả sử D(xD ; yD) u u uu ur ur Ta có: AB = ( −3;1) , DC = ( − xD ; −3 − yD ) uu ur uu ur xE − −1 = ⇔ xE = −3 1 − xD = −3 x = ⇔ D −3 − yD = y D = −4 Khi ABCD hình bình hành AB = DC ⇔ Vậy D(4; -4) c Giả sử F(xF ; yF) xF = xB − x A = −4 yF = yB − y A = Theo giả thiết, B trung điểm FA nên Vậy F(-4; 3) d Giả sử K(xK ; yK) xK = xA − xB − xC = yF = y A − y B − yC = A trọng tâm tam giác BCK nên Vậy K(6; 4) uu ur uu ur e Ta có AB = ( −3;1) , AC = ( −1; −4 ) uu uu ur ur uu uu ur ur AB AC −1 ur ur Khi cos A = cos AB, AC = u u u u = 10 17 AB AC ( ) Vậy µ ≈ 94023’55’’ A III Bài tập luyện tập r r u u r Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho u = ( 1; ) , v = ( −2;3) , w = ( −1;1) r r r r r r a) Tìm toạ độ vec tơ: u + v , u − v, 3u + 2v r r b) Tìm m để c = ( m;6 ) phương với u r r r r u u r c) Tìm toạ độ a cho a + u = −2v + w Lớp 10 (cơ bản) Trang 17 ĐS: m = Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường họ c 2011 - 2012 r Đề cương ôn tập họ c kì I Năm r u u r d) Phân tích u theo hai vec tơ v, w r r Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho a = ( 1; ) , b = ( 3; ) Tìm toạ độ vec tơ u r r r r r r a) m = 2a − 3b b) n = 3a + b Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-5;6), B(-4;-1), C(4;3) a) Tìm tọa độ điểm M cho u u trung điểm BM A rlà u u r u ur b) Tìm toạ độ điểm N cho NA + NB = c) Cho P(2x + 1, x - 2) Tìm x để điểm A, B, P thẳng hàng d) Đường thẳng BC cắt trục tọa độ E, F Tìm tọa độ E, F e) Chứng tỏ A, B, C ba đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC f) Tìm toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành g) Tìm tọa độ điểm Q cho B trọng tâm tam giác ABQ h) Tính góc tam giác 3 Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A ( 1; ) , B 3; ÷Tìm toạ độ điểm C đối xứng với A qua B Hướng dẫn: xC = xB − x A yC = yB − y A C đối xứng với A qua B ⇔ B trung điểm AC ⇔ Bài Trong mặt phẳng u ur độ Oxy chor A(1;-2), B(0;4), C(3;2) Tìm toạ độ : toạ uu uu u u ur u a) Điểm M biết CM = AB − AC uu ur u u u u r ur ur b) Điểm N biết AN + BN − 4CN = Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(-3;6), B(9;-10), C(-5;4) a) Tính chu vi tam giác ABC b) Tìm toạ độ trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp I, trực tâm H tam giác ABC c) Chứng minh I, G, H thẳng hàng IH = 3IG Hướng dẫn b) Gọi I(xI; yI) I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇔ IA = IB =IC uu uu ur ur HA.BC = ur ur Gọi H(xH; yH) H trực tâm ∆ ABC ⇔ u u u u HB AC = Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;-1), B(5;-3), đỉnh C trục Oy trọng tâm G trục Ox Tính toạ độ C, G Hướng dẫn Vì C ∈ Oy nên C(0; c); Vì G ∈ Ox nên G(g, 0) Vì G trọng tâm ∆ ABC nên + + = 3g => g Từ ta có c Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;2), B(0;3), C(-1;1) a) Chứng tỏ A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tìm toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tìm điểm M Oy cho A, B, M thẳng hàng Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;1), B(2;4), C(10;-2) a) CMR tam giác ABC vng A b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC c) Tìm M thuộc trục Ox cách A, B d) Tính cosB cosC Hướng dẫn Lớp 10 (cơ bản) Trang 18 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 uu uu ur ur a) Tính AB AC = suy tam giác ABC vng A b) Tính AB, AC suy diện tích S = AB.AC c) M ∈ Ox nên M(m, 0) M cách A, B nên MA = MB Bài 11.Cho A(2;-3) B(5;1) C(8;5) a) Xét xem ba điểm có thẳng hàng khơng ? b) Tìm tọa độ điểm D cho tam giác ABD nhận gốc O làm trọng tâm c) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AC Bài 12 Cho ∆ABC : A(1;1), B(-3;1), C(0;3) Giải sử A, B, C trung điểm MN, NP, PM Tìm tọa độ điểm M, N, P chứng minh tam giác ABC MNP có trọng tâm Hướng dẫn Sử dụng hình bình hành ABCM tìm M, từ tìm điểm N, P = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = Trường THPT Vạn Tường Tổ Tốn -Tin ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2010 -2011 Mơn : Tốn khối 10 (Chương trình chuẩn) Thời gian : 90 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu I (1 điểm) Hãy xác định tập hợp sau dạng liệt kê phần tử: A = { x ∈ Z /( x + 1)( x − x + 4) = 0} Câu II (2 điểm) Cho hàm số : y = x − x + Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tìm m để phương trình x − x + = m có hai nghiệm phân biệt Câu III.(3 điểm) Giải phương trình sau: a) x + = x − 3x + b) x + = x − Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a b c 1 + + ≥ + + bc ac ab a b c Câu IV (4 điểm): → Cho hình bình hành ABCD có tâm I Gọi M trung điểm AI Hãy phân tích AM theo → → AB AD Lớp 10 (cơ bản) Trang 19 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Trong mặt phẳng Oxy cho A(-5;1), B(-2;3), C(2;-3) a) Chứng minh ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB, tọa độ trọng tâm tam giác ABC c) Chứng minh tam giác ABC vng Tính diện tích tam giác ABC ………………………… Hết………………………… (Giáo viên coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên…………………………… Lớp ………… Phòng thi ………………………… Câu Câu I Lời giải gợi ý A = {-1;1;4} (1.5 điểm) • Tập xác định :D=R • Đỉnh:I(2;-1) • Trục đối xứng x = • Bảng biến thiên: x -∞ y +∞ Điểm 1.0 0.25 0.25 0.25 +∞ +∞ -1 0.25 • Đồ thị: Giao điểm (P) với trục Oy (0;3) Giao điểm (P) với trục Ox (1;0) , (3;0) y Câu II (2 điểm) f(x)=x^2-4x+3 x(t)=2 , y(t)=t x -8 -6 -4 -2 0.5 -5 (0.5 điểm) Số nghiệm phương trình x − x + = m số giao điểm (P) đường thẳng y=m Lớp 10 (cơ bản) Trang 20 0.25 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Dựa vào đồ thị (P) ta thấy phương trình x − x + = m có nghiệm phân biệt m>-1 x + = x − 3x + (1) x + = x − 3x + 0.25 • Với x ≥ -1 ,phương trình (1) trở thành ⇔ x − x + = ⇔x=2 0.25 Ta thấy x =2 thỏa x ≥ -1 nên x=2 nghiệm phương trình • Với x0 nên ta có: a b a b a b + ≥2 ⇒ + ≥2 bc ac bc ac bc ac c 0.25 a c a c a c + ≥2 ⇒ + ≥2 bc ab bc ab bc ab b 0.25 b c b c b c + ≥2 ⇒ + ≥2 ac ab ac ab ac ab a a b c 1 ( ∀a, b, c > 0) Dấu “=” xãy a=b=c + + ≥ + + Suy bc ac ab a b c → → → → 1 → → → AM = AI = AC = AB + AD ÷ = AB + AD 4 0.25 → AB = ( 3; ) ; Ta có 1.0 0.5 → AC = ( 7; −4 ) → → ≠ nên AB AC không phương −4 Suy điểm A, B ,C không thẳng hàng Vậy A, B, C đỉnh tam giác −7 a Tọa độ trung điểm I AB:I( ;2) Lớp 10 (cơ bản) 0.25 Trang 21 0.25 0.25 0.5 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường họ c 2011 - 2012 Đề cương ôn tập họ c kì I Năm Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC: G( −5 ; ) 3 0.5 → AB = ( 3; ) Câu IV (4 điểm) → → → BC = ( 4; −6 ) ⇒ AB BC = 3.4 + ( −6 ) = → 0.25 → ⇒ AB ⊥ BC ⇒ ∆ABC vuông tai B BA.BC BA = 13 0.25 BC = 13 0.25 S ∆ABC = ⇒ S ∆ABC = 13.2 13 = 13 ( dvdt) 0.25 * Lưu ý: Mọi cách giải khác đùng cho điểm tối đa theo thang điểm Lớp 10 (cơ bản) Trang 22 Lưu hành noäi boä ... Lớp 10 (cơ bản) Trang Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Hướng dẫn: a Theo giả thi? ??t a > b > nên a – b > a + b + > 2 2 Do ta có: a +... = Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường họ c 2011 - 2012 r Đề cương ôn tập họ c kì I Năm r u u r d) Phân tích u theo hai vec tơ v, w r r Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho a = ( 1;... AD Lớp 10 (cơ bản) Trang 19 Lưu hành nội Tổ Toán – Tin trường THPT Vạ n Tường Đề cương ôn tập họ c kì I Năm họ c 2011 - 2012 Trong mặt phẳng Oxy cho A(-5;1), B(-2;3), C(2;-3) a) Chứng minh ba