Luận văn thạc sĩ ánh xạ giả aphin và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CƠNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CƠNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI - 2014 z Lời cám ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tơi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Tốn giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Do làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học cịn hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2014 z Mục lục Mở đầu Một số kí hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Tích vơ hướng chuẩn 1.1.2 Tập đóng, tập mở 10 1.1.3 Tập lồi 10 1.1.4 Tập aphin 10 1.1.5 Gradient 10 1.1.6 Ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch 11 ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 2.2 12 Định nghĩa ánh xạ giả aphin 12 2.1.1 Hàm giả lồi 12 2.1.2 Hàm giả tuyến tính 14 2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu 14 2.1.4 Ánh xạ giả aphin 15 Tính chất ánh xạ giả aphin 16 2.2.1 2.2.2 Tính chất sơ cấp ánh xạ giả aphin xác định tồn khơng gian 23 Tính chất ánh xạ giả aphin không gian 3-chiều 27 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 2.3 Ứng dụng ánh xạ giả aphin 36 2.3.1 Bất đẳng thức biến phân 36 2.3.2 Nghiệm tốn quy 38 2.3.3 Tính giả đơn điệu không gian chiều 44 2.3.4 Tính giả đơn điệu khơng gian có số chiều lớn Kết luận 46 52 Tài liệu tham khảo 53 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mở đầu Trong Giải tích phi tuyến tính đơn điệu khái niệm bản, có vai trị quan trọng nghiên cứu nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu (xem [5] tài liệu dẫn đó) Nhiều tác giả ngồi nước nghiên cứu thu kết quan trọng ánh xạ đơn điệu suy rộng ứng dụng giải tích phi tuyến mơn tốn ứng dụng (xem [6], [7], [8], tài liệu dẫn đó) Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ với ứng dụng tốn giải tích, chọn đề tài "Ánh xạ giả aphin ứng dụng" để làm luận văn tốt nghiệp Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung lớp ánh xạ giả aphin (một lớp ánh xạ đơn điệu đặc biệt) số ứng dụng vào lý thuyết bất đẳng thức biến phân Luận văn gồm chương Chương trình bày kiến thức quen biết dùng chương sau Chương trình bày ánh xạ giả aphin ứng dụng ánh xạ giả aphin vào việc nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bảng số kí hiệu R Rn Rn+ T : X → Rm dom(f ) ∇f (x) A∗ hx, yi xT y ||.|| |x| [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} sp (x1 ; x2 ; ; xk ) sp(S) l(x; y) x + S = {x + y | y ∈ S} R++ = (0;+∞) R++ S = tx | t ∈ R++ ; x ∈ S đường thẳng thực không gian Euclid n - chiều Nón khơng âm Rn ánh xạ từ X vào Rm miền hữu hiệu f gradient f x liên hợp tốn tử A tích vơ hướng x y chuẩn không gian Rn trị tuyệt đối số x đoạn thẳng đóng nối x y không gian sinh (x1 ; x2 ; ; xk ) không gian sinh S đường thẳng nối x y tổng véc tơ x với tập S tập số dương tích tập số dương với tập S 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại khái niệm bản, giúp tiếp cận định nghĩa ánh xạ giả aphin Đây sở để nghiên cứu tính chất ánh xạ giả aphin ứng dụng chương sau 1.1 Các khái niệm Tập hợp Rn := {x = (x1 , , xn )T : x1 , , xn ∈ R},  x1  x2  x = (x1 , , xn )T :=   xn  với hai phép toán (x1 , , xn )T + (y1 , , yn )T := (x1 + y1 , , xn + yn )T λ(x1 , , xn )T := (λx1 , , λxn )T , λ∈R lập thành không gian véc tơ thực n−chiều Nếu x = (x1 , , xn )T ∈ Rn xi gọi thành phần tọa độ thứ i x Véc tơ không không gian gọi gốc Rn kí hiệu đơn giản 0, = (0, , 0)T 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Ta gọi hệ e1 = (1, 0, , 0)T , e2 = (0, 1, 0, , 0)T , en = (0, , 0, 1)T sở tắc khơng gian Rn 1.1.1 Tích vơ hướng chuẩn Trong Rn ta định nghĩa tích vơ hướng tắc h., i sau: với x = (x1 , , xn )T , y = (y1 , , yn )T ∈ Rn , n X hx, yi = xi yi i=1 Khi với x = (x1 , , xn )T ∈ Rn ta định nghĩa v u n p uX kxk := hx, xi = t (xi )2 i=1 gọi chuẩn Euclid véc tơ x Tích vơ hướng tắc x y Rn cịn kí hiệu xT y Với tích vơ hướng tắc ta có: (i) hx, yi = hy, xi (ii )hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi (iii) λhx, yi = hλx, yi (iv) hx, xi ≥ hx, xi = x = Chuẩn Euclid có tính chất sau: (i) kxk ≥ ∀x ∈ Rn , kxk = ⇐⇒ x = (ii) kλxk = |λ|kxk ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn (iii) |hx, yi| kxk.kyk ∀x, y ∈ Rn , dấu ” = ” xảy x, y phụ thuộc tuyến tính (iv) |kxk − kyk| kx + yk kxk + kyk ∀x, y ∈ Rn 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 1.1.2 Tập đóng, tập mở Cho x0 ∈ Rn , ε > 0, ta gọi tập B(x0 , ε) := {x ∈ Rn : kx − x0 k < ε} hình cầu mở Rn có tâm x0 , bán kính ε Định nghĩa 1.1 Tập U ⊂ Rn gọi mở với x0 ∈ U , tồn ε > cho B(x0 , ε) ⊂ U Tập F ⊂ Rn gọi đóng U := Rn \ F mở 1.1.3 Tập lồi Định nghĩa 1.2 Cho A tập Rn , A tập lồi ∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A Nghĩa x; y ∈ A đoạn thẳng [x; y] ⊂ A Ví dụ 1.1 +) Rn ; ∅; {x} tập lồi  +) x : aT x ≤ b - nửa không gian ngăn cách đường thẳng aT x = b tập mở 1.1.4 Tập aphin Định nghĩa 1.3 Cho A tập Rn , A tập aphin ∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A Nghĩa x; y ∈ A đường thẳng qua x, y nằm A 1.1.5 Gradient Định nghĩa 1.4 Cho A tập Rn Hàm f : A → R biến x = (x1 ; x2 ; ; xn ) ∈ A thành f (x1 ; x2 ; ; xn ) Khi Gradient 10 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 dương với t > đủ lớn Bởi theo tính giả đơn điệu G hG (y) , y − txi = hG (y) ; yi − t hAy + u, xi > Với t > đủ lớn Như : hAy + u; xi ≤ với y ∈ Rn Thay y = −tx vào bất đẳng thức ta có :hA (−tx) + u; xi ≤ Cho t → +∞ từ hAx; xi < 0, đến mâu thuẫn Định lý 2.15 Cho T : Rn → Rn xác định T (x) = g (x) (Ax + u) Ttrong g : Rn → R hàm dương, A ma trận vng cấp n × n, u ∈ Rn véc tơ tùy ý Khi T giả đơn điệu Rn A ma trận xác định dương Chứng minh Chúng ta có hT (x) , y − xi ≥ ⇔ hg (x) (Ax + u) ; y − xi ≥ ⇔ hAx + u, y − xi ≥ hT (y) , y − xi ≥ ⇔ hg (y) (Ay + u) ; y − xi ≥ ⇔ hAy + u, y − xi ≥ Vì T (x) = g (x) (Ax + u) giả đơn điệu Rn G (x) := Ax + u giả đơn điệu Rn Từ Định lý 2.14 có điều phải chứng minh Kết tổng quát Định lý 2.13 Định lý 2.16 Giả sử T : Rn → Rn ánh xạ dạng T (x) = g (x) (Ax + u) Ở g : Rn → R hàm dương liên tục, khả vi Frechet, A ma trận xác định dương cấp n × n, u ∈ Rn véc tơ 40 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 tùy ý Khi tồn ε > cho tốn quy VI (Rn , Tε ) có nghiệm với tất ε ∈ (0; ε] Chứng minh Từ giả thiết từ Định lí 2.16 ta có T : Rn → Rn liên tục, giả đơn điệu Chúng ta khẳng định A có dấu khơng đổi g dương Rn , toán VI (K, T ) có nghiệm, K = Rn Ngoài khẳng định phương trình g (x) (Ax + u) = tương đương với x = −A−1 u Vì hai {T, K} thỏa mãn điều kiện giả thiết câu hỏi mở Theo cách gọi Định lí 2.13 khẳng định với ε > tốn VI (Rn , Tε ) có nghiệm Nếu x (ε) nghiệm tốn g (x (ε)) [Ax (ε) + u] + εx (ε) = Lấy tích vơ hướng hai vế với x (ε) + A−1 u ta g (x (ε)) Ax (ε) + u, x (ε) + A−1 u + ε x (ε) , x (ε) + A−1 u = Hoặc   g (x (ε)) A x (ε) + A−1 u , x (ε) + A−1 u +ε x (ε) , x (ε) + A−1 u =   Vì A xác định dương, ta có A x (ε) + A−1 u , x (ε) + A−1 u ≥ Do x (ε) , x (ε) + A−1 u ≤ Thay   −1 x (ε) = x (ε) + A u − A−1 u 2   −1 x (ε) + A u = x (ε) + A u + A−1 u 2 −1 41 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 vào bất đẳng thức cuối ta −1 x (ε) + A u ≤ A−1 u 2 Vì nghiệm VI (Rn , Tε ) nằm B , B hình cầu đóng tâm − A−1 u bán kính A−1 u Theo ý 2.2 , x ∈ SOL (Rn , Tε ) g (x) (Ax + u) + εx = Phương trình cuối viết (2.24) φε (x) = Ở φε (x) := A −1  x −u − ε g (x)  Như đề cập phần trước, SOL (Rn , Tε ) khác rỗng với tất ε > Theo Định lý 2.11 phương trình (2.24) có nghiệm Với x; y ∈ B ta có   −1 x y kφε (x) − φε (y)k = A −ε + ε g (x) g (y) Theo Định lý 2.12 ta có x y − g (x) g (y) ≤ M kx − yk ; ∀x, y ∈ B Ở M số Lipschitz dương G (x) := x g(x) B Như −1 x y ≤ εM A−1 kx − y k kφε (x) − φε (y)k ≤ ε A − g (x) g (y) (2.25)  −1 −1  −1 Đặt ε ∈ 0; M A ý εM A < vói ε ∈ (0; ε] 42 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Nhờ (2.25) ta có : kφε (x) − φε (y)k ≤ kx − yk ; ∀x, y ∈ B; x 6= y Do phương trình (2.24) khơng thể có nhiều nghiệm B Tổng hợp lại tất điều nói kết luận toán VI (Rn , Tε ) có nghiệm với tất ε ∈ (0; ε] Chú ý 2.3 Lớp ánh xạ giả đơn điệu đề cập Định lý 2.16 chứa nhiều yếu tố mà ánh xạ giả aphin Bởi Định lý 2.16 trường hợp mở rộng Định lý 2.13 Ví dụ 2.5 Cho T (x) = g (x) (Ax + u), g (x) = x21 + x22 + 1, với tất x = (x1 ; x2 )T ∈ R2 ; u = (u1 ; u2 )T ∈ R2 véc tơ :   A= µ ; µ > Rõ ràng A xác định dương khả nghịch Bên cạnh g (x) > với x ∈ R2 g(x) liên tục Frechet khả vi Do tất giả thiết Định lý 2.16 thỏa mãn Trong A khơng đối xứng lệch T khơng giả aphin Chúng ta kết thúc phần với nhận xét sau : +) Chúng ta quan tâm vấn đề nhằm thiết lập kết tương tự cho Định lý 2.16 trường hợp K 6= Rn (trường hợp hạn chế bất đẳng thức biến phân) Tuy nhiên vấn đề ngày chưa giải +) Một câu hỏi mở khác nêu điều kiện tính chất A Định lý 2.13 2.16 loaị bỏ hay không Cũng chưa biết liệu tính chất g Định lý 2.13 2.16 thay đổi tính liên tục hay khơng 43 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 2.3.3 Tính giả đơn điệu không gian chiều Trong phần nghiên cứu đặc tính giả đơn điệu ánh xạ T (x) = ax + b, tập khác rỗng, lồi, đóng K ⊂ R với a b số thực Định lý 2.17 Cho K ⊂ R tập khác rỗng, lồi, đóng Và T (x) = ax + b ánh xạ aphin Thì T giả đơn điệu K năm trường hợp sau xảy : a) K có phần tử nhất; b) K = R a ≥ 0; c) K = [α; +∞) với α ∈ R, hai a ≥ a < aα + b < 0; d) K = (−∞; β] với β ∈ R, hai a ≥ a < aβ + b > 0; e) K = [α; β] với α; β ∈ R; α < β , hai a ≥ a < aα + b < a < aβ + b > Chứng minh Nếu K có phần tử nhất, có hT (x) ; y − xi = hT (y) ; y − xi = 0; ∀x; y ∈ K Và T giả đơn điệu K Nếu a ≥ 0, ánh xạ T (x) = ax + b đơn điệu R, giả đơn điệu K ⊂ R Bây ta xét trường hợp a < K chứa nhiều phần tử Trường hợp 1: K = R Vì x = − ab y 6= − ab , có hT (x) , y − xi = (ax + b) (y − x) = 0, 44 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66    2 b b hT (y) , y − xi = (ay + b) y + =a y+ < a a Do T khơng giả đơn điệu K Trường hợp 2: K = [α; +∞) Nếu aα + b < T (x) = ax + b ≤ aα + b < 0; ∀x ∈ K ; hT (x) , y − xi ≥ ⇒ hT (y) , y − xi ≥ 0; ∀x, y ∈ K Do T giả đơn điệu K Nếu aα + b ≥ T khơng giả đơn  điệu K Để thấy điều chọn x = − ab ; y ∈ K\ − ab áp dụng lập luận trường hợp Trường hợp 3: K = (−∞; β] Phân tích tương tự trường hợp cho thấy T giả đơn điệu K aβ + b > Trường hợp 4: K = [α; β] Với số suy luận tương tự sử dụng trường hợp 2; trường hợp cho thấy T giả đơn điệu K aα + b < aβ + b > Trên sở Định lý 2.17 chứng minh tính giả đơn điệu bảo tồn theo quy tắc ánh xạ Định lý 2.18 Cho K tập khác rỗng, lồi, đóng R Và T (x) = ax + b ánh xạ aphin Nếu T giả đơn điệu K tồn ε > cho Tε (x) = (a + ε) x + b giả đơn điệu K với ε ∈ (0; ε) Chứng minh Nó đủ điều kiện để xét trường hợp (a) - (e) Định lý 2.17 : Trường hợp a) - (b) hiển nhiên 45 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Trong trường hợp (c) - (e) a ≥ ta khẳng định Bởi ta cần xét trường hợp a < Nếu (c) xảy a < aα + b < a + ε < (a + ε) α + b < với ε ∈ (0; ε),  |a|  ;α ≤ ε= −1 |a| , |aα + b| α ; α > Do từ Định lý 2.17 Tε (x) = (a + ε) x + b giả đơn điệu K với ε ∈ (0; ε) Nếu (d) xảy a < aβ + b > a + ε < (a + ε) β + b < với ε ∈ (0; ε),  |a|  ;β ≥ ε= −1 ; β < |a| , |aβ + b| β Do từ Định lý 2.17 Tε (x) = (a + ε) x + b giả đơn điệu K với ε ∈ (0; ε) Nếu (e) xảy a < aα + b < lập luận trường hợp (c) Nếu (e) xảy a < aβ + b > lập luận trường hợp (d) Trong phần xét tính giả đơn điệu Tε bảo toàn với ε > đủ nhỏ (T giả đơn điệu ) mô ta Định lý 2.18 với K ⊂ R Tuy nhiên điều không cịn trường hợp K khác rỗng, đóng, lồi Rn , n ≥ 2.3.4 Tính giả đơn điệu khơng gian có số chiều lớn Trong phần tập chung vào việc xét tính giả đơn điệu ánh xạ aphin loại đặc biệt nón khơng âm K = Rn+ Chúng ta nhắc 46 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 lại điều sau : Định lý 2.19 Cho M ma trận cấp n × n q ∈ Rn T (x) = M x + q giả đơn điệu Rn+  T
M z ≥ hz, qi ≥ z ∈ Rn , hz, M zi < ⇒ M T z ≤ , hz, qi ≥ z, M z − + q < Ở zi− := max {0; −zi } với i = 1, 2, , n Định lý 2.19 cho phép xét tính giả đơn điệu ánh xạ aphin loại đặc biệt nón Rn+ Định lý 2.20 Giả sử T (x) = M x + q ánh xạ aphin, M = diag (λ1 , λ2 , , λn ) ; q = (q1 , q2 , , qn ) (2.26) tương ứng ma trận đường chéo véc tơ Rn Thì T giả đơn điệu Rn+ điều kiện sau thỏa mãn i) λi > 0; ∀i ∈ {1, 2, , n} ii) Tồn i ∈ {1, 2, , n} cho  λi < 0, qi < λj = 0, qj = 0; ∀j ∈ {1, 2, , n} \ {i} (2.27) Chứng minh Chúng ta xét trường hợp sau : Trường hợp 1: λi ≥ 0; ∀i ∈ {1, 2, , n} Trong trường hợp M xác định dương T đơn điệu Rn+ Do T giả đơn điệu Rn+ Trường hợp 2: Tồn i; j ∈ {1, 2, , n} cho i 6= j , λi < λj >
T p p √ Đặt z = 0, , 0, 2λj , 0, , 0, −λi , 0, , , với 2λj giá trị thứ √ i −λi giá trị thứ j , ta có hz, M zi = λi zi2 + λj zj2 = 2λi λj + λj (−λi ) = λi λj < 47 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 T p p M z = 0, , 0, λi 2λj , 0, , 0, λj −λi , 0, , T  Với giá trị thứ i âm giá trị thứ j dương Do theo Định lý 2.19 Thì T khơng giả đơn điệu Rn+ Trường hợp 3: Tồn i; j ∈ {1, 2, , n} cho i 6= j , λi < λj < Đặt z = (0, , 0, 1, 0, , 0, −1, 0, , 0)T , với giá trị thứ i −1 giá trị thứ j , ta có hz, M zi = λi zi2 + λj zj2 = λi + λj < M T z = (0, , 0, λi , 0, , 0, −λj , 0, , 0)T Với giá trị thứ i âm giá trị thứ j dương Do theo Định lý 2.19 T khơng giả đơn điệu Rn+ Trường hợp 4: Tồn i ∈ {1, 2, , n} cho λi < λj = ; với j ∈ {1, 2, , n} \ {i} Chúng ta áp dụng Định lý 2.19 để chứng minh điều kiên q (2.27) cần đủ để T (x) = M x + q giả đơn điệu Rn+ Điều kiện đủ : Cho z = (0, , 0, 1, 0, , 0)T , với giá trị thứ i ta có z − = (0, 0, , 0)T , z, M T z = λi zi2 = λi < 0, M T z = (0, , 0, λi , 0, , 0)T ≤ Nếu T giả đơn điệu Rn+ phù hợp với Định lý 2.19 > z, M z − + q = qi Thay vào số nguyên dương k định nghĩa  T −1 k z = 0, , 0, , 0, , 0, 1, 0, , k 48 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Với −1 k giá trị thứ i giá trị thứ j Chú ý k
2 λi
2 λi z , M z k = λi zik = < 0, z k , M z k = λi z ki = < k k Và M T zk =  T λi ≤ 0, 0, , 0, , 0, , k T  λ i M T z k = 0, , 0, − , 0, , ≥ k Nếu T giả đơn điệu Rn+ , Định lý 2.19 k k z , q ≤ 0, z , q ≥ Suy − qi + qj ≥ k qi + qj ≤ 0, k Hoặc tương đương qi qi ≤ qj ≤ − k k Cho k → ∞ ta qj = với j ∈ {1, 2, , n} \ {i} Do ta chứng minh qi < 0; qj = 0; ∀j ∈ {1, 2, , n} \ {i} Điều kiện cần : Giả sử qi < 0; qj = 0; ∀j ∈ {1, 2, , n} \ {i} thỏa mãn (2.27) Để T giả đơn điệu Rn+ chọn x, y từ Rn+ Từ (2.26) (2.27) suy hT (x) , y − xi = (λi xi + qi ) (yi − xi ) Và hT (y) , y − xi = (λi yi + qi ) (yi − xi ) Từ λi xi + qi < λi yi + qi < ta suy hT (x) , y − xi ≥ ⇒ hT (y) , y − xi ≥ Do T giả đơn điệu Rn+ 49 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bây mô tả lớp ánh xạ giả đơn điệu aphin mà toán tử chỉnh hóa Tε khơng giả đơn điệu với ε > đủ nhỏ Định lý 2.21 Cho T (x) = M x + q với M = diag (λ1 , λ2 , , λn ) ; q = (q1 , q2 , , qn ) tương ứng ma trận đường chéo véc tơ Rn Nếu T giả đơn điệu Rn+ (T giả đơn điệu không đơn điệu Rn+ ) tồn ε > cho Tε (x) = T (x) + εx không giả đơn điệu Rn+ , với ε ∈ (0, ε) Chứng minh Từ T (x) = M x + q giả đơn điệu Rn+ Theo Định lý 2.20 tồn i ∈ {1, 2, , n} cho λi < 0, qi < 0, λj = qi = ; với j ∈ {1, 2, , n} \ {i} Đặt |λi | > thấy với ε ∈ (0, ε) ma trận đường chéo Mε = M + εI có hai phần tử đường chéo trái dấu Do theo Định lý 2.20 ánh xạ Tε (x) = Mε x + q không giả đơn điệu Rn+ , với ε ∈ (0, ε) Bây lấy số ví dụ minh họa cho Định lý 2.21 Ví dụ 2.6 Cho T (x) = M x + q với     −1 −1 M= ; q= 0 Với x = (x1 , x2 )T ; y = (y1 , y2 )T ∈ R2+ có hT (x) , y − xi = (−x1 − 1) (y1 − x1 ) ; hT (y) , y − xi = (−y1 − 1) (y1 − x1 ) Từ −x1 − < −y1 − < 0, ta có hT (x) , y − xi ≥ ⇒ hT (y) , y − xi ≥
Do T (x) giả đơn điệu R2+ Với ε ∈ 0, 21 đặt  
T

T −2 2 −2 xε = 0, ε − 2ε , yε = ε, ε − 2ε + ε − 2ε 50 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chúng ta có xε , yε ∈ R2+ hTε (yε ) , yε − xε i = −ε3 < hTε (xε ) , yε − xε i = 0,
Do Tε (x) khơng giả đơn điệu R2+ Chú ý SOL R2+ , T = ∅ Tiếp theo ta xét ví dụ mà bất đẳng thức biến phân có nghiệm Ví dụ 2.7 Cho M, q, T Ví dụ 2.6 K = [0, 1]× R+ ⊂ R2+ Từ T (x) giả đơn điệu R2+ , giả đơn điệu K
Chọn xε , yε Ví dụ 2.6 Với ε ∈ 0, 12 , Tε (x) = Mε x + q + εx giả đơn điệu K , với
ε ∈ 0, 21
Khơng khó khăn để chứng minh SOL R2+ , T = {1} × R+ Kết luận Chương trình bày ứng dụng tính chất hàm giả aphin ứng dụng 51 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung sau: Một số khái niệm tính chất hàm giả aphin Một số ứng dụng tính chất hàm giả aphin vào nghiên cứu toán bất đẳng thưc biến phân Vì khả điều kiện có hạn, luận văn chắn khơng thể tránh thiếu sót Kính mong thầy đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt 52 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy,(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Monica Bianchi, Nicolas Hadjisavvas, Siegfried Schaible (2003)On Pseudomonotone Maps T for which -T is also Pseudomonotone , J Conv Anal., Volume 10, No 1, pp 149-168 [3] J Dugundij, A Granas,(1982), Fixed point Theory, Vol 1, Polish Scientific Publishers, Warsaw [4] Monica Bianchi, Siegfried SchaibleAn Extension of Pseudolinear function and Variational Inequality Problems, J Optim Appl Vol 104, pp 59-71 [5] N Hadjisavvas, S Komlosi and S Schaible,(2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer [6] M S Gowda, (1990), Affine Pseudomonotone Mapping and the Linear Complementarity Problem, SIAM J Matrix Anal Appl Vol 11, No 3, pp 373-380 [7] Pham Duy Khanh,(2012), Partial Solution for an Open Question on Pseudomonotone Variational Inequalities, Appl Anal.Vol 91, No 9, pp.1691–1698 53 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99