ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CÔNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CƠNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CƠNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI - 2014 z Lời cám ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tơi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Tốn giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Do làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học cịn hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2014 z Mục lục Mở đầu Một số kí hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Tích vơ hướng chuẩn 1.1.2 Tập đóng, tập mở 10 1.1.3 Tập lồi 10 1.1.4 Tập aphin 10 1.1.5 Gradient 10 1.1.6 Ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch 11 ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 2.2 12 Định nghĩa ánh xạ giả aphin 12 2.1.1 Hàm giả lồi 12 2.1.2 Hàm giả tuyến tính 14 2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu 14 2.1.4 Ánh xạ giả aphin 15 Tính chất ánh xạ giả aphin 16 2.2.1 2.2.2 Tính chất sơ cấp ánh xạ giả aphin xác định tồn khơng gian 23 Tính chất ánh xạ giả aphin không gian 3-chiều 27 z 2.3 Ứng dụng ánh xạ giả aphin 36 2.3.1 Bất đẳng thức biến phân 36 2.3.2 Nghiệm tốn quy 38 2.3.3 Tính giả đơn điệu không gian chiều 44 2.3.4 Tính giả đơn điệu khơng gian có số chiều lớn Kết luận 46 52 Tài liệu tham khảo 53 z Mở đầu Trong Giải tích phi tuyến tính đơn điệu khái niệm bản, có vai trị quan trọng nghiên cứu nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu (xem [5] tài liệu dẫn đó) Nhiều tác giả nước nghiên cứu thu kết quan trọng ánh xạ đơn điệu suy rộng ứng dụng giải tích phi tuyến mơn toán ứng dụng (xem [6], [7], [8], tài liệu dẫn đó) Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ với ứng dụng tốn giải tích, tơi chọn đề tài "Ánh xạ giả aphin ứng dụng" để làm luận văn tốt nghiệp Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung lớp ánh xạ giả aphin (một lớp ánh xạ đơn điệu đặc biệt) số ứng dụng vào lý thuyết bất đẳng thức biến phân Luận văn gồm chương Chương trình bày kiến thức quen biết dùng chương sau Chương trình bày ánh xạ giả aphin ứng dụng ánh xạ giả aphin vào việc nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân z Bảng số kí hiệu R Rn Rn+ T : X → Rm dom(f ) ∇f (x) A∗ hx, yi xT y ||.|| |x| [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} sp (x1 ; x2 ; ; xk ) sp(S) l(x; y) x + S = {x + y | y ∈ S} R++ = (0;+∞) R++ S = tx | t ∈ R++ ; x ∈ S z đường thẳng thực khơng gian Euclid n - chiều Nón khơng âm Rn ánh xạ từ X vào Rm miền hữu hiệu f gradient f x liên hợp tốn tử A tích vơ hướng x y chuẩn không gian Rn trị tuyệt đối số x đoạn thẳng đóng nối x y không gian sinh (x1 ; x2 ; ; xk ) không gian sinh S đường thẳng nối x y tổng véc tơ x với tập S tập số dương tích tập số dương với tập S Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại khái niệm bản, giúp tiếp cận định nghĩa ánh xạ giả aphin Đây sở để nghiên cứu tính chất ánh xạ giả aphin ứng dụng chương sau 1.1 Các khái niệm Tập hợp Rn := {x = (x1 , , xn )T : x1 , , xn ∈ R}, x1 x2 x = (x1 , , xn )T := xn với hai phép toán (x1 , , xn )T + (y1 , , yn )T := (x1 + y1 , , xn + yn )T λ(x1 , , xn )T := (λx1 , , λxn )T , λ∈R lập thành không gian véc tơ thực n−chiều Nếu x = (x1 , , xn )T ∈ Rn xi gọi thành phần tọa độ thứ i x Véc tơ không không gian gọi gốc Rn kí hiệu đơn giản 0, = (0, , 0)T z Ta gọi hệ e1 = (1, 0, , 0)T , e2 = (0, 1, 0, , 0)T , en = (0, , 0, 1)T sở tắc khơng gian Rn 1.1.1 Tích vơ hướng chuẩn Trong Rn ta định nghĩa tích vơ hướng tắc h., i sau: với x = (x1 , , xn )T , y = (y1 , , yn )T ∈ Rn , n X hx, yi = xi yi i=1 Khi với x = (x1 , , xn )T ∈ Rn ta định nghĩa v u n p uX kxk := hx, xi = t (xi )2 i=1 gọi chuẩn Euclid véc tơ x Tích vơ hướng tắc x y Rn cịn kí hiệu xT y Với tích vơ hướng tắc ta có: (i) hx, yi = hy, xi (ii )hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi (iii) λhx, yi = hλx, yi (iv) hx, xi ≥ hx, xi = x = Chuẩn Euclid có tính chất sau: (i) kxk ≥ ∀x ∈ Rn , kxk = ⇐⇒ x = (ii) kλxk = |λ|kxk ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn (iii) |hx, yi| kxk.kyk ∀x, y ∈ Rn , dấu ” = ” xảy x, y phụ thuộc tuyến tính (iv) |kxk − kyk| kx + yk kxk + kyk ∀x, y ∈ Rn z 1.1.2 Tập đóng, tập mở Cho x0 ∈ Rn , ε > 0, ta gọi tập B(x0 , ε) := {x ∈ Rn : kx − x0 k < ε} hình cầu mở Rn có tâm x0 , bán kính ε Định nghĩa 1.1 Tập U ⊂ Rn gọi mở với x0 ∈ U , tồn ε > cho B(x0 , ε) ⊂ U Tập F ⊂ Rn gọi đóng U := Rn \ F mở 1.1.3 Tập lồi Định nghĩa 1.2 Cho A tập Rn , A tập lồi ∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A Nghĩa x; y ∈ A đoạn thẳng [x; y] ⊂ A Ví dụ 1.1 +) Rn ; ∅; {x} tập lồi +) x : aT x ≤ b - nửa không gian ngăn cách đường thẳng aT x = b tập mở 1.1.4 Tập aphin Định nghĩa 1.3 Cho A tập Rn , A tập aphin ∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A Nghĩa x; y ∈ A đường thẳng qua x, y nằm A 1.1.5 Gradient Định nghĩa 1.4 Cho A tập Rn Hàm f : A → R biến x = (x1 ; x2 ; ; xn ) ∈ A thành f (x1 ; x2 ; ; xn ) Khi Gradient 10 z ... T ánh xạ giả đơn điệu Bây định nghĩa ánh xạ giả aphin 2.1.4 Ánh xạ giả aphin Định nghĩa 2.2 Một ánh xạ T : K → Rn gọi ánh xạ giả aphin T −T ánh xạ giả đơn điệu Như ta khẳng định hai ánh xạ Ví... ∀x ∈ K Kết luận Chương trình bày số khái niệm dùng phần sau 11 z Chương ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Định nghĩa ánh xạ giả aphin Trong phần nghiên cứu ánh xạ giả aphin ứng dụng vào nghiên... quan hệ với ứng dụng toán giải tích, tơi chọn đề tài "Ánh xạ giả aphin ứng dụng" để làm luận văn tốt nghiệp Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung lớp ánh xạ giả aphin (một lớp ánh xạ đơn điệu