Luận văn thạc sĩ ánh xạ đơn điệu suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – 2016 z Mục lục Một số kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclide 1.2 Tập lồi 1.3 Hàm lồi 1.4 Hàm lồi suy rộng 11 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 2.1 2.2 17 Các định nghĩa 17 2.1.1 Ánh xạ đơn điệu đơn điệu chặt 17 2.1.2 Ánh xạ giả đơn điệu 18 2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu chặt 19 2.1.4 Ánh xạ tựa đơn điệu 21 2.1.5 Ánh xạ đơn điệu mạnh giả đơn điệu mạnh 23 Các đặc trưng ánh xạ đơn điệu suy rộng 26 2.2.1 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 1−chiều 26 2.2.2 Mối liên hệ ánh xạ tựa đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu 28 2.2.3 Ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi 30 2.2.4 Ánh xạ đơn điệu suy rộng affin 34 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 40 z 3.1 Bất đẳng thức biến phân 40 3.2 Sự tồn nghiệm 43 Tài liệu tham khảo 52 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bảng kí hiệu R đường thẳng thực Rn không gian Euclide n - chiều R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng f :X→R ánh xạ từ X vào R int A phần A A bao đóng A dom(f ) miền hữu hiệu f epi(f ) đồ thị f ϕ0 (x) đạo hàm ϕ x ∇f (x) gradient f x ϕ00 (x) đạo hàm bậc hai ϕ x ∇2 f (x) ma trận Hessian f x h., i tích vơ hướng Rn ||.|| chuẩn khơng gian Rn |x| trị tuyệt đối số x af f (A) bao lồi affin A coA bao lồi A (x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} đoạn thẳng mở nối x y [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} đoạn thẳng đóng nối x y L(f, α) = {x ∈ X | f (x) α} tập mức 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mở đầu Ánh xạ đơn điệu khái niệm suy rộng tự nhiên hàm số đơn điệu Khái niệm sau đời quan tâm nghiên cứu tính phổ dụng loại tốn tử nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt Giải tích phi tuyến Tính đơn điệu sau mở rộng tính đơn điệu suy rộng giả đơn điệu, tựa đơn điệu, v.v Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung ánh xạ đơn điệu suy rộng vài ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Luận văn trình bày gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Tác giả trình bày kiến thức tập lồi, hàm lồi hàm lồi suy rộng Các kiến thức sử dụng để nghiên cứu vấn đề chương Chương 2: Ánh xạ đơn điệu suy rộng Nội dung chương tập trung trình bày định nghĩa ánh xạ đơn điệu đơn điệu chặt, ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ giả đơn điệu chặt, ánh xạ tựa đơn điệu, ánh xạ đơn điệu mạnh giả đơn điệu mạnh Đồng thời nêu đặc trưng ánh xạ đơn điệu suy rộng ánh xạ đơn điệu suy rộng 1− chiều, mối liên hệ ánh xạ tựa đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi, ánh xạ đơn điệu suy rộng affin Chương 3: Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Ở luận văn trình bày vài ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Tác giả luận văn xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 PGS.TS Nguyễn Năng Tâm hướng dẫn tận tình tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy phản biện dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian tác giả học tập trường Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên chia sẻ để tác giả hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Tác giả luận văn Đức Minh Thiêm 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số nội dung tập lồi, hàm lồi hàm lồi suy rộng, bao hàm hàm tựa lồi hàm giả lồi Những nội dung trình bày chương chủ yếu chọn tài liệu [2] 1.1 Không gian Euclide Tập hợp Rn := {x = (x1 , , xn )T : x1 , , xn ∈ R} với hai phép toán (x1 , , xn )T + (y1 , , yn )T := (x1 + y1 , , xn + yn )T λ(x1 , , xn )T := (λx1 , , λxn )T , λ∈R lập thành không gian véc tơ Euclide n−chiều Nếu x = (x1 , , xn )T ∈ Rn xi gọi thành phần tọa độ thứ i x Véc tơ không không gian gọi gốc Rn kí hiệu đơn giản 0, = (0, , 0)T Trong Rn ta định nghĩa tích vơ hướng tắc h., i sau: với x = (x1 , , xn )T , y = (y1 , , yn )T ∈ Rn , hx, yi = n X xi yi i=1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Đơi ta cịn ký hiệu xT y Khi với x = (x1 , , xn )T ∈ Rn ta định nghĩa v u n p uX kxk := hx, xi = t (xi )2 i=1 gọi chuẩn Euclide véc tơ x 1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn gọi lồi, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ X Mệnh đề 1.2 Cho Xα ⊂ Rn (α ∈ I) tập lồi, với I tập số T Khi X = Xα lồi α∈I Mệnh đề 1.3 Cho tập Xi ⊂ Rn lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 X1 + + λm Xm tập lồi Mệnh đề 1.4 Cho tập Xi ⊂ Rni lồi, (i = 1, 2, , m) Khi tích Đề X1 × × Xm tập lồi Rn1 × × Rnm Định nghĩa 1.5 Cho X ⊂ Rn Giao tất tập lồi chứa X gọi bao lồi (convex hull) tập X, kí hiệu coX Định nghĩa 1.6 Giả sử X ⊂ Rn Giao tất tập lồi đóng chứa X gọi bao lồi đóng tập X kí hiệu coX Mệnh đề 1.7 Cho X ⊂ Rn lồi Khi đó, i) Phần intX bao đóng X X tập lồi; ii) Nếu x1 ∈ intX, x2 ∈ X, {λx1 + (1 − λ)x2 : < x1 ≤ 1} ⊂ intX 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 1.3 Hàm lồi Định nghĩa 1.8 Cho hàm f : X → R, X ⊂ Rn , R = R ∪ {−∞, +∞}, tập epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R| f (x) ≤ α} , dom(f ) = {x ∈ X| f (x) < +∞} gọi đồ thị miền hữu hiệu f Định nghĩa 1.9 Cho X ⊂ Rn tập lồi, f : X → R Hàm f gọi lồi X đồ thị epi(f ) tập lồi Rn × R Nếu dom f 6= ∅ −∞ < f (x) với x ∈ X ta nói hàm f thường Hàm f gọi lõm X −f hàm lồi X Định lý 1.10 Giả sử f1 , , fm hàm lồi thường X Khi đó, tổng f1 + + fm hàm lồi Ta nhắc lại số đặc trưng tính chất hàm lồi biến khả vi Định lý 1.11 Cho ϕ : (a, b) → R i) Nếu ϕ khả vi (a, b) ϕ lồi (a, b) ϕ0 không giảm (a, b) ii) Nếu ϕ có đạo hàm bậc hai (a, b) ϕ lồi (a, b) ϕ00 (t) > với t ∈ (a, b) iii) Nếu ϕ lồi [a, b] ϕ liên tục (a, b) Định lý 1.12 Cho X tập lồi không gian Rn f : X → R Khi đó, điều kiện sau tương đương: a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X b) f (λx + (1 − λ) y) > λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ > 1, ∀x, y ∈ X cho λx + (1 − λ) y ∈ X 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z ≥ = [0, 2] , +t = t t ∈ R, −1 hàm ψ : Ix,v → R cho ψ = −t Chú ý có tính chất bảo tồn dấu [0, 2], khơng có tính chất bảo tồn dấu chặt điểm biên ∈ Ix,v Định lý sau trường hợp đặc biệt Định lý 2.24 Định lý 2.29 Cho S ⊂ Rn tập mở lồi Khi đó, ánh xạ affin F : S → Rn có dạng F (x) = M x + q, ánh xạ giả đơn điệu với x ∈ S v ∈ Rn ta có v T (M x + q) = ⇒ v T M v ≥ Nhận xét 2.30 Định lý 2.29 không miền S không mở Cho ví dụ: ánh xạ F : R+ → R2 cho công thức F (x) = M x, ! 0 M= 1 ánh xạ giả đơn điệu R+ , từ (y − x)T M x = (y2 − x2 ) (x1 + x2 ) ≥ suy (y − x)T M y = (y2 − x2 ) (y1 + y2 ) ≥ với x ≥ y ≥ Tuy nhiên, với " x= 0 # " v = −2 # , Ta có v T M x = 0, v T M v = −1 < đây, tập Ix,v ( " # ) −2 = {t |t ∈ R, x + tv ≥ } = t t ∈ R, t ≥ = {0} , 36 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 singleton Do chứng minh Định lí 2.24 khơng thơng qua Điều kiện đủ đính lí cho tập lồi S tùy ý Định lý 2.31 Cho S ⊂ Rn tập lồi (khơng cần mở) Khi đó, ánh xạ affin F : S → Rn có dạng F (x) = M x + q, ánh xạ giả đơn điệu với x ∈ S v ∈ Rn ta có v T (M x + q) = ⇒ v T M v ≥ (2.88) Chứng minh Giả sử F không ánh xạ giả đơn điệu S Khi tồn x, y ∈ S cho (y − x)T (M x + q) ≥ 0, (y − x)T (M y + q) ≥ (2.89) Đặt v = y − x , xác định Ix,v ψ : Ix,v → R (2.59) Từ S tập lồi suy Ix,v khoảng Rõ ràng Ix,v bao hàm [0,1] Từ (2.89) ta có ψ(0) ≥ ψ(1) < Hơn nữa, độ dốc hàm tuyến tính
ψ (t) = v T M v t + v T (M x + q) âm , tức vT M v < Mặt khác, tồn ≤ t < cho
ψ t = v T (M x + q) = x = x + tv ∈ S, điều mâu thuẫn với (2.88) Do F ánh xạ giả đơn điệu Nhận xét 2.32 Theo kết Định lí 2.29 Định lí 2.31, câu hỏi đặt điều kiện (2.88) có phải điều kiện cần để F trở thành ánh xạ tựa đơn điệu S tập lồi không tập mở Câu trả lời 37 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 trường hợp âm Ánh xạ ví dụ Nhận xét 2.28 ánh xạ tựa đơn điệu tập lồi đóng R+ , với # " " # −2 , y= x= ta có v T (M x + q) = 0, v T M v < Một hệ thú vị từ Định lí 2.29 phát biểu sau Hệ 2.33 Giả sử tồn x0 ∈ Rn cho F (x0 ) = M x0 + q Khi ánh xạ F (x) = M x + q, đơn điệu Rn (tức là, M nửa xác định dương) tồn lân cận mở N (x0 ) x0 cho F ánh xạ tựa đơn điệu N (x0 ) Chứng minh Điều kiện đủ: Hiển nhiên ánh xạ đơn điệu tựa đơn điệu Điều kiện cần: ý
v T M x0 + q = với v ∈ Rn , theo Định lí 2.27, 2.29 ta có v T M v ≥ với v ∈ Rn Do , M nửa xác định dương Ngay ta có hệ sau Hệ 2.34 Nếu F (x) = M x + q tựa đơn điệu, không đơn điệu tập lồi mở S ⊂ Rn Khi F (x) 6= với x ∈ S Cuối cùng, ta xét trường hợp đặc biệt S = Rn Trong trường hợp này, tính tựa đơn điệu tương đương với tính đơn điệu Định lý 2.35 Nếu ánh xạ F (x) = M x + q tựa đơn điệu Rn Khi ánh xạ đơn điệu Rn , tức là, M nửa xác định dương 38 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chứng minh Giả sử M ánh xạ tựa đơn điệu Rn , khơng đơn điệu Khi tồn v ∈ Rn cho vT M v < Lấy x véc tơ tùy ý Rn xác định Ix,v ψ : Ix,v → R (2.59) Từ Bổ đề 2.19, ta biết Ix,v = R; từ độ dốc hàm tuyến tính
ψ (t) = v T M v t + v T (M x + q) âm, tồn t1 , t2 ∈ Ix,v cho ψ (t1 ) ≤ 0, ψ (t2 ) > 0, với t2 < t1 Điều suy ψ khơng có tính chất bảo tồn dấu Ix,v , F khơng ánh xạ tựa đơn điệu, mâu thuẫn với giả thiết Kết luận Trong chương luận văn trình bày số khái niệm tính chất ánh xạ đơn điệu suy rộng 39 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Trong chương sử dụng tính giả đơn điệu ánh xạ để nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Những kiến thức trình bày chương chủ yếu mô lấy từ [1], [3] [7] 3.1 Bất đẳng thức biến phân Cho K tập khác rỗng Rn F ánh xạ từ Rn vào Bài tốn bất đẳng thức biến phân kí hiệu (V I(K, F )) tìm véc tơ x ∈ K cho hF (x), y − xi ≥ với y ∈ K (3.1) Ta kí hiệu S (V I(F, K)) tập véc tơ x thỏa mãn (3.1) Dưới số giả thiết cổ điển • Các giả thiết cấu trúc tập, sử dụng giả thiết sau: 40 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 (H1 ) K tập lồi đóng, • Các giả thiết tính liên tục F , ta sử dụng giả thiết: (H2 ) F liên tục K • Các giả thiết tính đơn điệu F , ta xét dạng điều kiện yếu: (H3 ) F giả đơn điệu K, tức với x1 , x2 ∈ K, hF (x1 ), x2 − x1 i ≥ ⇒ hF (x2 ), x2 − x1 i ≥ Một toán liên quan mật thiết với (V I(F, K)) tìm x ∈ K cho Sup hF (x) , y − xi ≥ với y ∈ K Ta kí hiệu tốn (V ) S(V ) tập nghiệm Rõ ràng S(V I(F, K)) ⊆ S(V ) Hơn nữa, giả thiết (H1 ) suy S(V I(F, K)) = S(V ) Để thấy điều này, ta có tập U (x) = {d ∈ T (K, x) : kdk ≤ 1} Ở T (K, x) nón tiếp tuyến K x Cho x ∈ S(V ) inf hF (x), di = d∈U (x) Theo Định lý minimax cổ điển, tồn điểm yên ngựa cho hF (x), di ≥ với d ∈ U (x) x ∈ S(V I(F, K)) Theo Karamadian [5], ta đưa tốn (V 00 ): Tìm x ∈ K cho hF (y), x − yi ≤ với y ∈ K (3.2) Kí hiệu S(V 00 ) tập nghiệm (3.2) Rõ ràng S(V I(F, K)) ⊆ S(V 00 ) F giả đơn điệu Theo [1], Auslender đưa hàm độ lệch g(x) = sup [hF (y), x − yi : y ∈ K] Hàm khơng âm K, đóng lồi Rn supremum hàm affin Hơn x ∈ S(V 00 ) x ∈ K g(x) = Do 41 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 tốn (V 00 ) xem tốn giảm lồi Có thể xảy g hàm không phù hợp Để tránh trường hợp ta sử dụng hàm sau h i ˆ gˆ = sup hF (y), x − yi : y ∈ K Trong Fˆ (y) = F (y) max( kF (y)k , 1)max( kyk , 1) Ở đây, gˆ khơng âm K, lồi đóng Rn ngồi hữu hạn Rn cách xây dựng hFˆ (y), x − yi ≤ ||x|| + với y ∈ K Với cách thức, tốn (V 00 ) có liên quan đến việc cực tiểu hóa gˆ K từ quan hệ tương đương ta có: x ∈ S(V 00 ) x ∈ K gˆ(x) = Tuy nhiên cơng thức điều kiện tốn tối ưu khơng sử dụng cho mục đích tính tốn biểu thức hàm giám đoạn nói chung không tổng quát Kết sau Karamadian [5] Mệnh đề 3.1 Giả sử giả thiết (H1 ), (H2 ) (H3 ) Khi S(V I(K, F )) = S(V ) = S(V 00 ) Chứng minh Ta biết S(V I(K, F )) = S(V ) Bao hàm S(V I(K, F )) ⊆ S(V 00 ) dễ dàng suy từ F ánh xạ giả đơn điệu Giả sử x ∈ K x ∈ / S(V ) tồn y ∈ K cho hF (x), y − xi < Cho t ∈ [0; 1], tập x(t) = x + t(y − x) µ(t) = hF (x(t)), y − x(t)i Từ µ(0) < F liên tục, µ(r) < với r > đủ nhỏ Khi < hF (x(r)), x − x(r)i ≤ g(x) Điều suy x ∈ / S(V 00 ) 42 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z