Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NG[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - VŨ THỊ THẢO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP BỐN VỚI HỆ ĐIỀU KIỆN BIÊN PHỨC TẠP hồn thành nhận thức tơi, không trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình cơng bố Thái Ngun, tháng năm 2019 Người viết Luận văn VŨ THỊ THẢO Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới TS.Vũ Vinh Quang, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phịng Sau Đại học, thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2019 Người viết luận văn VŨ THỊ THẢO ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu Một số ký hiệu viết tắt Một số kiến thức 1.1 1.2 Lý thuyết phương pháp lặp giải hệ đại số tuyến tính 1.1.1 Khơng gian Metric 1.1.2 Ánh xạ co 1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co 1.1.4 Hệ đại số tuyến tính với ma trận chéo trội 1.1.5 Phương pháp lặp đơn 1.1.6 Phương pháp lặp Jacobi 1.1.7 Phương pháp lặp Gauss - Seidel 10 Phương pháp sai phân phương trình vi phân cấp 13 iii 1.2.1 Công thức Taylor 1.2.2 Một số phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ xác cấp bốn 1.2.3 1.3 13 14 Hệ phương trình sai phân 19 Phương pháp Runge - Kutta phương trình vi phân cấp cao 23 1.3.1 Mơ hình tốn tổng quát phương trình cấp cao 23 1.3.2 Xây dựng thuật tốn với độ xác cấp 24 1.3.3 Giới thiệu thư viện QH− 2015 26 Sự tồn nghiệm dương lớp toán biên với hệ điều kiện biên phi tuyến tính 29 2.1 Mơ hình tốn biên phi tuyến thứ 30 2.1.1 Sự tồn nghiệm 31 2.1.2 Nghiệm dương toán 32 2.2 Mơ hình tốn phi tuyến thứ hai 35 2.3 Mô hình tốn biên với hệ số phụ thuộc tích phân, điều kiện phi tuyến 37 2.3.1 Mơ hình toán 37 2.3.2 Sự tồn nghiệm 38 2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm số 39 Phương pháp lặp tìm nghiệm số toán biên phi tuyến cấp bốn 42 3.1 42 Phương pháp phân rã giải tốn tuyến tính cấp iv 3.2 Dạng toán điều kiện đầu phi tuyến 44 3.3 Dạng toán điều kiện biên phi tuyến 48 3.4 Dạng toán biên chứa hệ số tích phân 51 Tài liệu tham khảo 57 v Mở đầu Phương trình vi phân dạng phi tuyến tính lớp phương trình quan trọng lý thuyết phương trình vi phân, lớp phương trình có ứng dụng quan trọng toán thực tế đặc biệt lý thuyết điều khiển ổn định Việc tìm nghiệm giải tích phương trình thực phương trình dạng đặc biệt cịn chủ yếu phải xác định nghiệm xấp xỉ qua phương pháp gần dựa sở thuật toán số việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính sơ đồ lặp thơng qua phương pháp sai phân Mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu số phương pháp giải số phương trình vi phân cấp với hệ điều kiện biên phức tạp bao sơ đồ lặp, nghiên cứu tính chất hội tụ sơ đồ lặp kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp thơng qua chương trình máy tính điện tử Nội dung đề tài: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Sự tồn nghiệm dương lớp toán biên với hệ điều kện biên phi tuyến tính Chương 3: Phương pháp lặp tìm nghiệm số toán biên phi tuyến cấp bốn Một số ký hiệu viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm A ma trận A−1 ma trận khả nghịch A ||C|| chuẩn ma trận C d(x, y) khoảng cách từ phần tử x đến phần tử y limx→x0 giới hạn x đến x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc un đạo hàm cấp n hi tích vơ hướng U, K1 , K2 , F, Uα vecto n chiều Chương Một số kiến thức 1.1 Lý thuyết phương pháp lặp giải hệ đại số tuyến tính 1.1.1 Khơng gian Metric Định nghĩa 1.1.1 Tập X phần tử x, y, z, gọi không gian Metric với phần tử x, y tương ứng với số không âm d(x, y) thoả mãn điều kiện sau: + d(x, y) > 0, d(x, y) = x = y + d(x, y) = d(y, x) + d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y hay thường gọi Metric Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } gọi dãy ∀ε > 0, tồn số N > cho với m, n > N ta có d(xn , xm ) ≤ ε Nếu dãy không gian X hội tụ đến phần tử thuộc X Bước 3: Biến đổi tương tự, ta thu a0,2 = 0; an,n−2 = Trong phép biến đổi trên, thành phần F0 , Fn nhận giá trị thay đổi theo bước biến đổi Cuối cùng, sau ba bước biến đổi, ta nhận hệ phương trình tương đương ma trận hệ có dạng ba đường chéo với số hạng xác định sau: a = c0 + ch1 ; a0,1 = − ch1 ; 0,0 ai−1,i = 1; ai,i = −2; ai,i+1 = 1; i = 1, 2, , n − 1, an−1,n = d1 ; an,n = d0 + d1 h h Do điều kiện c0 , c1 > 0, d0 , d1 ≥ 0, hệ số hệ thỏa mãn tính chất |a0,0 | > |a0,1 | , |an,n | > |an−1,n | , |ai,i | = |ai,i−1 | + |ai,i+1 | , ∀i = 1, 2, , n − 1, tức hệ thu hệ phương trình đại số dạng ba đường chéo có tính chất chéo trội Một số kết tính tốn: Để kiểm tra độ xác lược đồ xây dựng, kí hiệu uε nghiệm toán, u nghiệm xấp xỉ thu giải hệ phương trình sai phân, ε = kuε − uk∞ sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ toàn lưới sai phân, sử dụng thuật toán truy đuổi ba đường chéo giải hệ phương trình sai phân Kết kiểm tra độ xác lược đồ đưa Bảng (1.1) Bảng (1.2) Bảng 1.1: Giá trị sai số ε lưới điểm c0 = 1; c1 = 2; d0 = 2; d1 = 22 Hàm nghiệm 10 100 1000 sin x + cos x 1.1 × e − 1.4 × e − 9.0 × e − 13 e−x 8.0 × e − 1.0 × e − 3.1 × e − 13 ex + x4 + cos x 1.0 × e − 1.7 × e − 2.0 × e − 12 Bảng 1.2: Giá trị sai số ε lưới điểm c0 = 1; c1 = 0; d0 = 1; d1 = Hàm nghiệm 10 100 sin x + cos x 1.0 × e − 1000 2.1 × e − 14 3.1 × e − 18 e−x 2.0 × e − 10 1.0 × e − 14 1.0 × e − 18 ex + x4 + cos x 2.0 × e − 10 8.0 × e − 15 8.0 × e − 19 Các kết Bảng 1.1 độ xác phương pháp tương đương với o(h4 ) Khi lựa chọn c1 = d1 = (Bảng 1.2) độ xác tương đương với o(h6 ) Kết luận: Bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai ln ln tìm nghiệm xấp xỉ với độ xác cấp bốn thuật toán truy đuổi ba đường chéo với độ phức tạp tính tốn O(n) 1.3 Phương pháp Runge - Kutta phương trình vi phân cấp cao 1.3.1 Mơ hình tốn tổng qt phương trình cấp cao Xuất phát từ kết truyền thống phương trình vi phân cấp 1, sau đưa kết mở rộng phương pháp cho phương trình vi phân dạng tổng quát cấp n 23 Xét toán biên u(n) = f (x, u, u′ , , u(n−1) ), x ∈ [a, b] , u(a) = u0,a , , u (n−1) (1.14) (a) = un−1,a Việc xây dựng phương pháp sai phân trực tiếp cho phương trình vi phân cấp cao khó khăn vấn đề xác định công thức sai phân cho đạo hàm cấp cao khó, nhiên sử dụng phép biến đổi dạng vector để đưa dạng phương trình vi phân cấp sau: Đặt U = u u′ u(n−1) ; F (x, U ) = u′ u0a ′′ u1a u ; Ua = (n−1) f (x, u, , u ) un−1,a Khi tốn (1.14) tương đương với toán sau đây: U ′ = F (x, U ), x ∈ [a, b] , U (a) = Ua 1.3.2 Xây dựng thuật tốn với độ xác cấp Sử dụng sơ đồ tính tốn tương tự phương pháp Runge-Kutta, ta có sơ đồ sai phân cách hình thức sau: Sơ đồ QH− m Uk+1 = Uk − 61 [K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ] K1 = hF (xk , Uk ), K2 = hF (xk + h2 , Uk + K3 = hF (xk + h2 , Uk + K2 ), K4 24 K1 ) = hF (xk + h, Uk + K3 ) (1.15) Các kí hiệu U, K1 , K2 , K3 , K4 , F, Ua vector n chiều Bài toán cấp u′′ = f (x, u, u′ ), x ∈ [a, b] , u(a) = u0,a , u′ (a) = u1,a pi u u0a , i = 1, 2, 3, Ki = , v = u′ , U = , U0 = ki u1a v Sơ đồ QH− ∆ uk vk = 1 Bài toán cấp p2 k2 p3 k3 p4 k4 p1 k1 p1 + 2 = h k1 = = = f (xk + p2 k3 + 2 vk f (xk , uk , vk ) vk + h , uk + vk + f (xk + h , uk + k1 p1 , vk p3 k3 + 1 + k1 2) k2 p2 , vk + k2 2) v k + k3 f (xk + h, uk + p3 , vk + k3 ) p4 k4 u′′′ = f (x, u, u′ , u′′ ), x ∈ [a, b] , u(a) = u0,a , u′ (a) = u1,a , u′′ (a) = u2a u0a u ri ′ ′′ , U = , v = u , w = u , U = Ki = v u1a , i = 1, 2, 3, pi u2a w ki 25 Sơ đồ QH− r1 r2 uk 1 = p + 2 p ∆ v k 6 6 k1 k3 wk r2 p k2 r3 p k3 r4 p k4 + r3 r4 1 2 + p p 6 6 k3 k4 vk r1 p = h w k k1 f (xk , uk , vk , wk ) vk + p21 k1 = w + k p1 r1 k1 h f (xk + , uk + , vk + , wk + ) vk + k22 k2 = wk + p2 r2 k2 h f (xk + , uk + , vk + , wk + ) vk + p3 = wk + k f (xk + h, uk + r3 , vk + p3 , wk + k3 ) Hoàn toàn tương tự, xây dựng sơ đồ QH− 4, QH− 5, QH− 6, tìm nghiệm số cho phương trình vi phân cấp 4,5,6, 1.3.3 Giới thiệu thư viện QH− 2015 Xuất phát từ lược đồ tính tốn phương trình vi phân cấp 1, lược đồ phương trình vi phân cấp tuyến tính sơ đồ QH− 2, QH− 3, 26 phương trình vi phân phi tuyến cấp cao hệ phương trình vi phân Chúng xây dựng thư viện QH− 2015 gồm hàm cho phép trả lại nghiệm số phương trình tương ứng Trong thiết kế thư viện, chúng tơi thống sử dụng hệ thống kí hiệu sau: + a, b giá trị đầu mút đoạn [a, b] + n số nút lưới chia đoạn [a, b] +h= b−a n bước lưới + α0 , α1 , β0 , β1 , A, B hệ số hệ điều kiện biên phương trình vi phân tuyến tính cấp + u0 , u1,a , , un−1,a , giá trị đầu cho phương trình vi phân phi tuyến cấp n tổng quát Các hàm xây dựng thư viện gồm: + Hàm Rk1(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân cấp theo phương pháp Euler + Hàm Rk2(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân cấp theo phương pháp Euler + Hàm Rk4(a, b, n, u0,a ) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân cấp theo phương án Runge-Kutta + Hàm qh4(a, b, n, α0 , α1 , β0 , β1 , A, B) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ điều kiện đầu với độ xác cấp sử dụng thuật tốn truy đuổi đường chéo + Hàm qhm(a, b, n, U0 ) trả lại kết nghiệm số phương trình vi phân phi tuyến cấp n sử dụng lược đồ tính tốn QH− m + Hàm qhhm(a, b, n, X0 ) trả lại kết nghiệm số hệ phương 27 trình vi phân phi tuyến cấp sử dụng lược đồ tính tốn QH− m N Sai số phương pháp m=2 m=3 m=4 m=5 m = 10 10 8.0e − 3.0e − 5.7e − 2.4e − 3.3e − 100 7.8e − 11 3.0e − 11 5.5e − 11 2.1e − 11 3.0e − 11 500 1.2e − 13 4.8e − 14 8.8e − 14 3.3e − 14 4.8e − 14 1000 8.8e − 15 4.8e − 15 6.8e − 15 3.4e − 15 4.8e − 15 10000 2.6e − 15 2.8e − 15 2.8e − 15 2.8e − 15 2.8e − 15 Bảng 2.1: Kết kiểm tra sai số lược đồ QH− m, u∗ (x) = e−x , x ∈ [0, 1] N Sai số phương pháp m=2 m=3 m=4 m=5 10 3e − 2e − 6e − 2e − 100 3e − 11 2e − 10 7e − 10 2e − 500 5e − 14 4e − 13 1e − 12 4e − 12 1000 6e − 15 1e − 14 8e − 14 2e − 13 10000 2e − 14 3e − 14 3e − 14 4e − 14 Bảng 2.2: Kết kiểm tra sai số lược đồ QH− m Qua kiểm tra tính tốn ví dụ cụ thể thấy hàm xây dựng thư viện QH− 2015 có độ xác theo lý thuyết đưa Thư viện QH− 2015 cung cấp cho người sử dụng cơng cụ chuẩn để tìm nghiệm số phương trình vi phân hệ phương trình vi phân 28 Chương Sự tồn nghiệm dương lớp toán biên với hệ điều kiện biên phi tuyến tính Tồn nghiệm dương số tốn thuộc lớp phương trình vi phân với hệ điều kiện biên phi tuyến tính Các kết tham khảo tài liệu [7,8,9] Xét toán biên tổng quát dạng u(4) (x) = f (x, u, u′ , u′′ , u′′′ ), x ∈ (0, 1) u(0) = g , u′ (0) = g , u′′ (1) = g , u′′′ (1) = g (2.1) Với toán đàn hồi, tốn tổng qt mơ tả dao động chùm dây dẫn mỏng đàn hồi với chiều dài L = 1, hai đầu gắn vào thiết bị đàn hồi đầu x = x = Các thiết bị mô tả hàm số phi tuyến với biến số biên độ dao động điểm gối tựa tương ứng Tùy điều kiện đầu, thu loại điều kiện biên khác Trong trường hợp tổng quát việc nghiên cứu tính tồn nghiệm phương pháp tìm nghiệm tốn 29 khó, chưa thực Người ta thu kết nghiên cứu dạng toán với hệ điều kiện đơn giản Một vấn đề mà toán học quan tâm vấn đề tồn nghiệm dương tốn trường hợp này, nghiệm dương có tính thực tế Sau đưa số kết lý thuyết tồn nghiệm dương số tốn phí tuyến 2.1 Mơ hình tốn biên phi tuyến thứ Trong phần này, nghiên cứu tồn nghiệm dương cho phương trình bậc với điều kiện biên phi tuyến Bài toán tác giả đưa tài liệu [7] Bài tốn có dạng: u(4) (x) = f (x, u(x)), x ∈ (0, 1) u(0) = u′ (0) = u′′ (1) = 0, u′′′ (1) = g(u(1)) (2.2) với điều kiện f ∈ C([0, 1] × R) g ∈ C(R) Bài tốn xuất ta nghiên cứu độ lệch chùm dây dẫn đàn hồi hệ đàn hồi phi tuyến Bài tốn mơ tả thí nghiệm vật lý sau: chùm dây dẫn có tính chất đàn hồi mỏng, dẻo có độ dài L=1 với đầu trái x = 0, đầu phải x = Bài toán biểu diễn mơ hình cân tĩnh tải, dọc theo chiều dài dây, đặc trưng hàm f Đầu trái gắn chặt, đầu phải gắn vào thiết bị đàn hồi Một số tác giả nghiên cứu toán theo nhiều hướng khác nhau: tính đa dạng, tính đối xứng tính kì dị Một số phương pháp tìm nghiệm số tác giả đề xuất 30 2.1.1 Sự tồn nghiệm Để nghiên cứu tính chất nghiệm tốn (2.2), đưa vào không gian hàm E = u ∈ H (0, 1) ; u(0) = u′ (0) = Trong H (0, 1) kí hiệu khơng gian Sobolev tất hàm u : [0, 1] → R, mà u đạo hàm yếu liên tục tuyệt đối u” thuộc L2 (0, 1) Có thể thấy, E khơng gian Hilbert với tích vơ hướng dạng chuẩn: Z u′′ (x) v ′′ (x) dx, kukE = ku′′ k2 (2.3) hu, vi = Ngồi ra, E thuộc không gian L2 (0, 1) C[0, 1], đó, tồn số α, β > thoả mãn: kuk2 ≤ α kukE , kuk∞ ≤ β kukE (2.4) (các chuẩn không gian E không gian L2 tương đương) Chúng ta xét phiếm hàm hàm J : E → R, định nghĩa bởi: Z Z 1 ′′ J(u) = F (x, u (x)) dx + G (u(1)) , u (x) dx − 0 (2.5) Trong hàm F G xác định công thức Z u F (x, u) = f (x, t)dt G(u) = Z u g(t)dt Tức F G nguyên hàm hàm f g tương ứng Vì f, g liên tục, suy J thuộc lớp C đạo hàm cho Z Z ′ ′′ ′′ hJ (u), ϕ)i = u (x)ϕ (x)dx − f (x, u(x))ϕ(x)dx + g(u(1))ϕ(1) 0 31 Trong kí hiệu (P (x), ϕ) kí hiệu giá trị đạo hàm hàm P(x) theo hướng ϕ Theo lý thuyết nghiệm yếu, nhận kết luận: u nghiệm cổ điển toán (2.2) u điểm cực tiểu phiếm hàm J(u) Theo kết định lý Mountain Pass khẳng định: Phiếm hàm J thỏa mãn điều kiện Palais-Smale (PS) Thì dãy số {un } thỏa mãn J(un ) tồn giới hạn J ′ (un ) → dãy số hội tụ Định lý 2.1.1 Mountain Pass: cho E không gian Banach J : E → R u ∈ C [0, 1] giá trị thoả mãn (PS) J(0) = Khi : (mp1) tồn ρ, r > cho J (u) ≥ ρ kuk = r, (mp2) tồn e ∈ E cho kek > r J(e) ≤ 0, Khi J có điểm cực trị u ∈ E thoã mãn J(u) > ρ Bổ đề 2.1.2 Cho E không gian Banach J : E → R Giả sử có tồn khoảng B = B(O, R), cho inf J < inf J B ∂B Khi tồn dãy un ∈ B, thoả mãn J(un ) → inf J J ′ (un ) → B Việc chứng minh bổ đề đưa [7] Bổ đề khẳng định với số điều kiện đưa định lý (2.1.1) nghiệm tốn (2.2) tồn 2.1.2 Nghiệm dương toán Trong phần này, chúng tơi trình bày số số kết nghiên cứu tồn nghiệm dương cho toán (2.2) Chúng ta giả thiết hàm g f thoả 32 mãn điều kiện + g(u) = −k1 u, mơ tả mơ hình nguồn tuyến tính thoả mãn định luật Hook + f (x, u) = k2 u3 k1 , k2 > Định lý 2.1.3 Giả sử tồn giá trị x, θ > cho: lim ( u→0 f (x, u) ) 0, (2.6) ∀x ∈ [0, 1] (2.7) Ngồi có tồn µ > 0, đó: lim ( u→0 g(u) ) > −µ u (2.8) Và tồn a, b > 0, cho: g(u) ≥ −au − b, ∀u ∈ R (2.9) Và ≥ 2G(u)u ≥ g(u)u, ∀u ∈ R (2.10) Khi − λα2 − µβ > (2.11) Với α, β > xác định (2.4), tốn (2.2) có nghiệm dương Khẳng định kết dựa nguyên tắc tối ưu toán bậc 4: u(4) (x) = f (x), x ∈ (0, 1) (2.12) u(0) = u′ (0) = u′′ (1) = 0, u′′′ (1) = γ Với f hàm số liên tục γ không đổi 33 Bổ đề 2.1.4 Nếu f ≥ γ < R1 (3t2 − t3 )f (t)dt với nghiệm u tốn (2.12) khơng âm Hơn nữa, u khác u > khoảng (0,1) Chứng minh Chúng ta lưu ý γ viết dạng số hạng f u(1) Bằng cách xuất phát từ (2.12), ta có: Z x2 f (x)dx = γ + 2u′ (1) Và Z x3 f (x)dx = γ + 6u′ (1) − 6u(1) Nếu ta khử u′ (1) phương trình trên, ta được: Z 1 γ = −3u(1) + (3t − t3 )f (t)dt Sau đó, f ≥ từ giả thuyết bổ đề, ta suy u(1) ≥ Do vậy, quay lại toán u(4) (x) ≥ 0, x ∈ (0, 1) u(0) = u′ (0) = u′′ (1) = 0, (2.13) u(1) ≥ Chúng ta u ≥ Thực tế, từ u(4) ≥ nhận thấy u′′ hàm lồi, thoả mãn u′′ (0) ≤ u′′ (0) > + Trong trường hợp thứ nhất: u′′ (1) = 0, điều dẫn tới u′′ ≤ khoảng (0,1) Sau đó, u(0) = u(1) ≥ suy u ≥ khoảng (0,1) Hơn nữa, u 6= u > khoảng (0,1) + Trong trường hợp thứ hai: Sẽ tồn η ∈ (0, 1), thỏa mãn u′′ > ∈ [0, η) u′′ ≤ [η, 1] Nhưng u(0) = u′ (0) = 0, u có giới hạn tối thiểu 34 x = tính chất lồi suy u > (0, η) Trong (η, 1) biết u′′ ≤ 0, u(η) > u(1) ≥ điều u > Do vậy, u > khoảng (0, 1) Kết luận: Với giả thiết đưa ra, toán xét ln ln có nghiệm dương Chú ý: Chúng ta khẳng định tốn khơng có nghiệm dương mà cịn có hai nghiệm dương Các nghiệm goi nghiệm nghiệm tốn 2.2 Mơ hình tốn phi tuyến thứ hai Chúng ta nghiên cứu toán biên với điều kiện biên phi tuyến dạng Bài toán tác giả đưa tài liệu [8] u(4) (x) = f (x, u(x)), x ∈ (0, 1) u′′ (0) = u′′ (1) = 0, u′′′ (0) = −g(u(0)), u′′′ (1) = g(u(1)) (2.14) Bài tốn mơ tả chùm dây đàn hồi gắn hai đầu vòng bi, giới hạn x = x = Nghiệm toán tương tự cực trị phiếm hàm J(u) = Z ′′2 u dx − Z F (x, u(x))dx + G(u(0)) + G(u(1)) định nghĩa khơng gian Sobolev H (0, 1), F G nguyên hàm f g Sự tồn nghiệm dương 35 f ≥0 g(u)u ≥ 0, ∀u ∈ R Trong thực tế, u không nghiệm (2.14), thỏa mãn: u(4) (x) = f (x, u(x)) ≥ 0, x ∈ (0, 1) u′′ (0) = u′′ (1) = 0, u′′′ (0) = −g(u(0)), u′′′ (1) = g(u(1)) Bằng cách lấy tích phân, ta thấy Z (1 − x)f (x, u)dx ≥ g(u(0)) = Và g(u(1)) = Z xf (x, u)dx ≥ 0 Sau đó, từ điền kiện g, có u(0) ≥ u(1) ≥ Bởi từ tính lồi u′′ u, ta suy u > Tương tự toán trên, ta có Định lý 2.2.1 Giả sử: f (x, u) = kuγ + h(x, u), k > 0, 00, thỏa mãn < θH(x, u) ≤ h(x, u)u, ∀u > A, x ∈ [0, 1] Giả sử tồn λ thỏa mãn < λ > µ Khi đó: λµ ≤ g(u) ≤ µu, ∀u ∈ R (2.16) Khi tồn k*>0, để k ∈ (0, k*), toán (2.14) có nghiệm dương 36