Phan dang va bai tap xac suat cua bien co

CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ BÀI 1+2: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: I BIẾN CỐ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử Khơng gian mẫu Tập hợp kết xẩy phép thử gọi không gian mẫu phép thử ký hiệu Ω Ví dụ: Khi ta tung đồng xu có mặt, ta hồn tồn khơng biết trước kết nó, nhiên ta lại biết chắn đồng xu rơi xuống trạng thái: sấp (S) ngửa (N) Không gian mẫu phép thử Ω ={S ; N } Một biến cố A (còn gọi kiện A ) liên quan tới phép thử T biến cố mà việc xẩy hay khơng xẩy cịn tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu n ( A ) Ω A Để đơn giản, ta dùng chữ A để kí hiệu tập hợp kết thuận lợi cho A Khi ta nói biến cố A mơ tả tập A Biến cố chắn biến cố xẩy thực hiện phép thử T Biến cố chắn mô tả tập Ω ký hiệu Ω Biến cố biến cố không xẩy thực phép thử T Biến cố mô tả tập ∅ Các phép toán biến cố * Tập Ω \ A gọi biến cố đối biến cố A , kí hiệu A Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có: * Tập A ∪ B gọi hợp biến cố A B * Tập A ∩ B gọi giao biến cố A B ∅ ta nói A B xung khắc * Nếu A ∩ B = Bảng đọc ngôn ngữ biến cố Kí hiệu A⊂Ω A= ∅ A= Ω C= A ∪ B A A A C C= A ∩ B C Ngôn ngữ biến cố biến cố biến cố không biến cố chắn biến cố “ A B ” biến cố “ A B ” A B xung khắc A B đối A∩ B = ∅ B=A II ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT Định nghĩa cổ điển xác suất: Cho T phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu Ω tập hữu hạn Giả sử A biến cố mô ta Ω A ⊂ Ω Xác suất biến cố A , kí hiệu P( A) , cho công thức P( A = ) n ( A) = n (Ω) A Số kết thuận lợi cho A = Số kết xảy Ω Chú ý: • ≤ P ( A) ≤ • P (Ω= ) 1, P (∅= ) Định nghĩa thống kê xác suất Xét phép thử ngẫu nhiên T biến cố A liên quan tới phép thử Nếu tiến hành lặp lặp lại N lần phép thử T thống kê số lần xuất A n Khi xác suất biến cố A định nghĩa sau: P( A) = n N III CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Quy tắc cộng a) Quy tắc cộng xác suất * Nếu hai biến cố A, B xung khắc P ( A ∪ B= ) P ( A) + P ( B ) * Nếu biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak xung khắc P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ A= P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( Ak ) k) b) Công thức tính xác suất biến cố đối Xác suất biến cố A biến cố A ( ) P A = − P ( A) Quy tắc nhân xác suất Biến cố giao Cho biến cố A B Biến cố “ A B xảy ra” kí hiệu AB gọi giao hai biến cố A B Một cách tổng quát, cho k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak Biến cố: “Tất k biến cố Biến cố độc lập Hai biến cố gọi độc lập việc xảy hay không xảy biến cố không ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố Một cách tổng quát, cho k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak Chúng gọi độc lập xảy ra”, kí hiệu với việc xảy hay không xảy A1 A2 A3 Ak gọi giao k biến cố nhóm biến cố khơng làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố lại A1 , A2 , A3 , , Ak Quy tắc nhân xác suất Nếu A B hai biến cố độc lập P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Một cách tổng quát, k biến cố A1 , A2 , A3 , , Ak độc lập P ( A1 , A2 , A3 , , Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) Chú ý: * Nếu A B độc lập A B độc lập, B A độc lập, B A độc lập Do Nếu A B độc lập ta cịn có đẳng thức ( ) ( ) P ( AB ) = P ( A) P ( B ) P ( AB ) = P ( A) P ( B ) P AB = P ( A) P B * Nếu đẳng thức bị vi phạm hai biến cố A B khơng độc lập với B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Mô tả không gian mẫu, mô tả biến cố: a) Phương pháp: - Liệt kê kết xảy phép thử - Liệt kê tất khả thuận lợi cho biến cố b) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Phần thưởng chương trình khuyến cửa hàng là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bát đĩa Bác Hoa tham gia chương trình chọn ngẫu nhiên mặt hàng a Mô tả không gian mẫu b Gọi A biến cố: "Bác Hoa chọn mặt hàng đồ điện" Hỏi A tập không gian mẫu? Lời giải a Không gian mẫu tập hợp phần thưởng chương trình khuyến siêu thị, Ω ={ ti vi; bàn ghế; tủ lạnh; máy tính; bếp từ; bát đĩa} b A = {ti vi; tủ lạnh; máy tính; bếp từ} Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên đồng xu a) Mô tả không gian mẫu b) Gọi A biến cố “ Không mặt xuất hiện” Hãy viết tập hợp mô tả biến cố A Gọi B biến cố “Mặt ngửa xuất lần ” Hãy viết tập hợp mô tả biến cố B Gọi C biến cố “Mặt ngửa xuất lần ” Hãy viết tập hợp mô tả biến cố C Lời giải Kí hiệu mặt sấp S , mặt ngửa N a) Không gian mẫu Ω ={SS ; SN ; NS ; NN } b) A biến cố “ Không mặt xuất hiện” Tập hợp mô tả biến cố A A = ∅ B biến cố “Mặt ngửa xuất lần ” Tập hợp mô tả biến cố B B = {SN ; NS } C biến cố “Mặt ngửa xuất lần ” Tập hợp mô tả biến cố C C = {SN ; NS ; NN } Ví dụ 3: Tung đồng xu ba lần liên tiếp a) Viết tập hợp Ω khơng gian mẫu trị chơi b) Xác định biến cố: A : “Lần đầu xuất mặt ngửa” B “Mặt ngửa xảy lần” Lời giải Kí hiệu mặt sấp S , mặt ngửa N a) Không gian mẫu trò chơi tập hợp Ω ={SSS ; SSN ; SNS ; NSS ; SNN ; NSN ; NNS ; NNN } b) Biến cố A tập hợp: A = { NSS ; NSN ; NNS ; NNN } Biến cố B tập hợp: B = {SSN ; SNS ; NSS } Ví dụ 4: Xét phép thử ngẫu nhiên việc gieo hai xúc xắc lúc a) Mô tả không gian mẫu b) Có kết thuận lợi cho biến cố sau: A biến cố “ Mặt có số chấm giống xuất hiện” Gọi B biến cố “tổng số chấm xuất mặt hai xúc xắc ” C : “Tổng số chấm xuất hai xúc xắc nhỏ 13 ” D : :Tổng số chấm xuất hai súc sắc 13 ” Lời giải a) Kết phép thử cặp số (a;b) a, b số chấm xuất xúc xắc thứ thứ hai Khơng gian mẫu Ω={(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;1)(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;1), (3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),(4;1);(4;2);(4;3),(4;4),(4;5),(4;6),(5;1);(5;2);(5;3);(5;4); 5;5),(5;6),(6;1);(6;2);(6;3);(6:4);(6;5);(6;6)} b) Ta có A = {(1;1); (2; 2); (3;3); (4; 4); (5;5); (6; 6)} Do số khả thuận lợi cho biến cố A b) Ta có a + b = = + = + = + = + = + Do B = {(1;5); (5;1); (2; 4); (4; 2); (3;3)} Vậy số khả thuận lợi cho biến cố B c) Ta có tổng số chấm xuất mặt hai xúc xắc tối đa 12 < 13 Nên C = Ω Vậy số khả thuận lợi cho biến cố C 36 d) Ta có D = ∅ Vậy số khả thuận lợi cho biến cố D Ví dụ 5: Gieo đồng thời xúc xắc đồng xu a Mô tả không gian mẫu b Xét biến cố sau: C : "Đồng xu xuất mặt sấp"; D : "Đồng xu xuất mặt ngửa số chấm xuất xúc xắc " Các biến cố C , C D , D tập khơng gian mẫu? Lời giải a Kí hiệu S mặt sấp, N mặt ngửa Không gian mẫu phép thử Ω ={(1, S );(1, N );(2, S );(2, N );(3, S );(3, N );(4, S );(4, N );(5, S );(5; N );(6; S );(6; N )} b) C = {(1, S );(2, S );(3, S );(4, S );(5, S );(6; S )} , C = {(1, N );(2, N );(3, N );(4, N );(5; N );(6; N )} D = {(1, N );(2, N );(3, S );(3, N );(4, N );(5; N );(6; N )} D = {(1, S );(2, S );(4, S );(5, S );(6; S )} Ví dụ 6:Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương không lớn 20 a Mô tả không gian mẫu b Gọi A biến cố: "Số chọn số nguyên tố" Các biến cố A A tập không gian mẫu? c) Gọi B biến cố: "Số chọn số nguyên tố số lẻ" Các biến cố B B tập không gian mẫu? d) Gọi C biến cố: "Số chọn số nguyên tố số lẻ " Các biến cố C C tập không gian mẫu? Lời giải a) Không gian mẫu Ω ={1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19; 20} bTa có: A = {2;3;5; 7;11;13;17;19} A = {1; 4; 6;8;9;10;12;14;15;16;18; 20} c) Ta có B {1; = 2;3;5; 7;9;11;13;15;17;19}, B {4; 6;8;10;12;14;16;18; 20} d) Ta có: D = {3;5; 7;11;13;17;19} D = {1; 2; 4; 6;8;9;10;12;14;15;16;18; 20} Ví dụ 7: Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương nhỏ 100 a) Hãy mô tả không gian mẫu b) Gọi M biến cố “Số chọn nhỏ 10” Hãy viết tập hợp mô tả biến cố M c) Gọi N biến cố “Số chọn số lẻ” Hãy tính số kết thuận lợi cho N d) Gọi A biến cố “Số chọn số phương” Hãy viết tập hợp mô tả biến cố A e) Gọi B biến cố “Số chọn chia hết cho 4” Hãy tính số kết thuận lợi cho B Lời giải a) Không gian mẫu phép thử là: Ω ={1; 2;3; ;99} b) M = {1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} biến cố “Số chọn nhỏ 10” nên tập hợp mô tả biến cố M 99 − +1 = 50 (kết quả) d) A biến cố “Số chọn số phương”, nên tập hợp mô tả biến cố A A = {1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81} a) N = {1;3;5; 97,99} Do số kết thuận lợi cho N e) Số chia hết cho có dạng 4k (k ∈ ) 99 ⇔ x − 17 x + 60 < ⇒ < x < 12 ⇒ ≤ x ≤ C9 Vậy giá trị nhỏ x Vậy số thẻ phải rút Câu 106: Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm; 3cm; 5cm; 7cm; 9cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng năm đoạn thẳng Xác suất để ba đoạn thẳng lấy tạo thành tam giác A B C D 10 10 Hướng dẫn giải: Chọn A Phân tích: Cần nhớ lại kiến thức bất đẳng thức tam giác Ba đoạn thẳng với chiều dài a, b, c cạch tam giác a + b > c  a + c > b b + c > a  Hướng dẫn giải: Số phần tử không gian mẫu là: C53 = 10 Gọi A biến cố “lấy ba đoạn thẳng lấy lập thành tam giác” Do P(A) > Các khả chọn ba đoạn thẳng lập thành tam giác [3;5;7] ; [3;5;9] ; [5;7;9] Số trường hợp thuận lợi biến cố A Suy xác suất biến cố A P(A) = 10 Câu 107: Người ta sử dụng sách Toán, sách Vật lý, Hóa học (các loại giống nhau) để làm giải thưởng cho học sinh, học sinh sách khác loại Trong số học sinh có bạn X Y Xác suât để hai bạn có giải thưởng giống 13 A B C D 12 18 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi A biến cố “ A B có giải thưởng giống nhau” Vì học sinh nhận sách loại, nên giả sử có a học sinh nhận sách (Lí Hóa) − a học sinh nhận sách (Tốn Hóa) Số phần tử không gian mẫu Ω C9= = C37 C44 1260 TH1: X Y nhận sách (Tốn, Lí), số khả C37 C44 = 35 TH2: X Y nhận sách (Tốn, Hóa), số khả C17 C62 C44 = 105 TH1: X Y nhận sách (Lí, Hóa), số khả C72 C53 C22 = 210 ΩA = 18 Ω Câu 108: Xếp ngẫu nhiên bạn nam bạn nữ vào bàn trịn Xác suất để khơng có ba bạn nữ ngồi cạnh 5 A B C D 7 84 84 Hướng dẫn giải: Chọn B Theo cơng thức hốn vị vịng quanh ta có: Ω =7! ⇒ Ω A = 25 + 105 + 210= 350 ⇒ P (A)= Để xếp bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp bạn nam vào bàn trịn: có 4! cách, bạn nam ta có ngăn (do bàn tròn) Xếp chỉnh hợp bạn nữ vào ngăn có A53 cách 4! A53 = 7! Câu 109: Đạt Phong tham gia chơi trò trò chơi đối kháng, thỏa thuận thắng ván trước thắng chung hưởng toàn số tiền thưởng chương trình (khơng có ván hịa) Tuy nhiên Đạt thắng ván Phong thắng ván xảy cố kĩ thuật chương trình buộc phải dừng lại Biết giới chuyên môn đánh giá Phong Đạt ngang tài ngang sức Hỏi phải chia số tiền thưởng cho hợp lý (dựa quan điểm tiền thưởng tỉ lệ thuận với xác suất thắng người) A Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt Phong : B Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt Phong 1: C Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt Phong :1 D Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt Phong : Vậy xác suất xảy = là: P Chọn C Phân tích: Đề cho điều kiện dài dòng, ta cần đưa chúng dạng ngắn gọn dễ hiểu +) “Biết giới chuyên môn đánh giá Phong Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong Đạt thắng ván 0,5 +) “Khi Đạt thắng ván Phong thắng ván rồi”: nghĩa Đạt cần thắng ván ván, Phong phải thắng ván đạt Hướng dẫn giải: Để xác định xác suất thắng chung Đạt Phong ta tiếp tục chơi thêm ván “giả tưởng” Để Phong thắng chung anh phải thắng Đạt ván liên tiếp (vì Đạt cịn ván thắng) (P) 0,5 = Như xác suất thắng Phong là: P= ⇒ Xác suất thắng Đạt P( Đ ) =1 − = 8 ⇒ Tỉ lệ chia tiền phù hợp : = :1 8 Câu 110: An Bình thi đấu với trận bóng bàn, người thắng trước séc giành chiến thắng chung Xác suất An thắng séc 0, (khơng có hịa) Tính xác suất An thắng chung A 0, 064 B 0,1152 C 0,13824 D 0,31744 Hướng dẫn giải: Chọn D Phân tích: Bài điểm mấu chốt phải liệt kê trường hợp mà An thắng Bình ching Ví dụ như: Séc : An thắng; Séc : An thắng; Séc : Bình thắng; Séc : An thắng ⇒ An thắng chung Lưu ý ta phải tính thứ tự séc An thắng thua Như ví dụ An thua séc thứ Hướng dẫn giải: Giả sử số séc trân đấu An Bình x Dễ dàng nhận thấy ≤ x ≤ Ta xét trường hợp: TH1: Trận đấu có séc ⇒ An thắng séc Xác suất thắng trường hợp là: = P1 0, 4.0, 4.0, − 0, 064 TH2: Trận đấu có séc ⇒ An thua séc: 1, thắng séc thứ Số cách chọn séc để An thua là: C31 (Chú ý xác xuất để An thua séc 0, ) = ⇒ P2 C31.0,= 43.0, 0,1152 TH3: Trận đấu có séc ⇒ An thua séc thắng séc thứ Số cách chọn séc đầu để An thua C42 cách = ⇒ P3 C42 0,= 43.0, 62 0,13824 Như xác suất để An thắng chung là: P = P1 + P2 + P3 = 0,31744 Nhận xét: Trong bạn dễ mắc sai lầm sau: trường hợp lại tính số cách chọn ván An thua C52 mà không để ý séc thứ chắn phải An thắng Câu 111: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án Một thí sinh chọn ngẫu nhiên phương án trả lời, hỏi xác suất thí sinh có điểm cao nhất? Biết câu trả lời điểm, trả lời sai không bị trừ điểm A điểm B điểm C điểm D điểm Chọn D Phân tích: Với yêu cầu tìm giá trị lớn cách mà ta nghĩ đến đặt ẩn (là số điểm) sau tính biểu thức cần tính (xác suất đạt số điểm) sau tính biểu thức cần tính (xác suất đạt số điểm) theo ẩn đó, việc cịn lại xử lí biểu thức Hướng dẫn giải: Gọi x số điểm bạn đạt ( ≤ x ≤ 10 )( x ∈  ) ⇒ Bạn trả lời x câu trả lời sai 10 − x câu +) Xác suất câu bạn là: ; sai 3 x +) Có C10 cách chọn x câu Do xác suất x điểm là: x 10 − x 10! 210− x x 1  2 = P ( x) C= 10     310 x !(10 − x)! 3  3  P( x) ≥ P( x + 1) Do P ( x) lớn nên   P( x) ≥ P( x − 1) 10! 210− x 10! 29 − x ≥  310 x !(10 − x)! 310 x + !(9 − x)! ( )  ⇔ 10 − x 10! 211− x 10! ≥  310 x !(10 − x)! 310 ( x − 1) !(11 − x)!   x +1 ≥ ⇔ + ≥ − ⇔ ≥ x x 2(x 1) 10 10 − x ⇔  x ≤ ⇔ x ≤ 11 − x ⇔ x ≤ 11 11 − x 11 ⇔ ≤ x ≤ Mà x ∈  nên x = 3 Nên xác suất bạ đạt điểm lớn Câu 112: Một xạ thủ bán từ khoảng cách 100m có xác suất bắn trúng đích là: - Tâm 10 điểm: 0,5 - Vòng điểm: 0,25 - Vòng điểm: 0,1 - Vịng điểm: 0,1 - Ngồi vịng điểm: 0,05 Tính xác suất để sau lần bắn xạ thủ 27 điểm A 0,15 B 0, 75 C 0,165625 Hướng dẫn giải: Chọn C D 0,8375 Ta có 27 = 10 + 10 + = 10 + + = + + Với (10;10;7 ) có cách xáo trộn điểm lần bắn Với (10;9;8 ) có cách xáo trộn điểm lần bắn Với ( 9;9;9 ) có cách xáo trộn điểm lần bắn Do xác suất để sau lần bắn xạ thủ 27 điểm là: = P 3.0,52.0,1 + 6.0,5.0, 25.0,1 + 0, 25= 0,165625 Câu 113: Nam tung đồng xu cân đối lần liên tiếp Xác suất xảy để Nam tung lần đồng xu mặt sấp A 0,5 B 0, 03125 C 0, 25 D 0,125 Hướng dẫn giải: Chọn B Vì đồng xu cân đối nên xác suất sấp – ngửa lần tung 0,5 Xác suất để lần tung đồng xu sấp 0,55 = 0, 03125 Câu 114: Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu cách độc lập với Xác suất bắn trúng xạ thủ thứ nhất, thứ hai thứ ba 0,6; 0,7; 0,8 Xác suất để có xạ thủ bắn trúng A 0,188 B 0, 024 C 0,976 D 0,812 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi Aj biến cố “Xạ thủ thứ j bắn trúng” Với j = 1;3 ( ) ( ) ( ) − 0, = 0,3; P A3 = − 0,8 = 0, ⇒ P A1 = − 0, = 0, ; ⇒ P A2 = Gọi A biến cố “Có xạ thủ bắn trúng” = P (A) P (A1 ).P (A = 0,= 4.0,3.0, 0, 024 ).P (A ) ⇒ P (A) = − P( A) = − 0, 024 = 0,976 Câu 115: Trong dịp nghỉ lễ 30-4 1-5 nhóm em thiếu niên tham gia trò chơi “Ném vòng cổ chai lấy thưởng” Mỗi em ném vòng Xác suất ném vào cổ trai lần đầu 0,75 Nếu ném trượt lần đầu xác suất ném vào cổ chai lần thứ hai 0,6 Nếu ném trượt hai lần ném xác suất ném vào cổ chai lần thứ ba (lần cuối) 0,3 Chọn ngẫu nhiên em nhóm chơi Xác suất để em ném vào cổ chai A 0,18 B 0, 03 C 0, 75 D 0,81 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi K biến cố “Ném vòng vào cổ chai”, A1 biến cố “Ném vòng vào cổ chai lần đầu”, A2 biến cố “Ném vòng vào cổ chai lần thứ 2”, A3 biến cố “Ném vòng vào cổ chai lần thứ ba” ⇒ P ( K ) = P ( A1 ) + P ( A1 A2 ) + P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) + P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 0, 75 + 0, 25.0, + 0, 25.0, 4.0,3 = 0,81 ; = Câu 116: Một lớp có 20 học sinh, có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi môn Giáo viên chủ nhiệm chọn em Xác suất em học sinh giỏi 11 169 21 A B C D 20 190 190 20 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi X tập hợp học sinh giỏi Toán, Y tập hợp học sinh giỏi Văn ⇒ X ∩ Y tập hợp học sinh giỏi môn X ∪ Y tập hợp học sinh giỏi hai môn (tập hợp học sinh giỏi) Theo quy tắc cộng tổng quát ta có X ∪ Y = X + Y − X ∩ Y =5 + − =7 Gọi A biến cố “chọn em học sinh giỏi” ⇒ Ω= C20 = 190 21 Ω A = C72 = 21 ⇒ P ( A ) = 190 Câu 117: Một hộp quà đựng 16 dây buộc tóc chất liệu, kiểu dáng khác màu sắc Cụ thể hộp có dây xanh, dây đỏ, dây vàng Bạn An chọn ngẫu nhiên dây từ hộp quà để làm phần thưởng cho Tính xác suất để dây bạn An chọn có dây vàng không dây đỏ 11 8005 6289 1719 A B C D 14 8008 8008 8008 Hướng dẫn giải Chọn ngẫu nhiên dây từ 16 dây số cách chọn n ( Ω = ) C166= 8008 Gọi A biến cố “ dây bạn An chọn có dây vàng khơng q dây đỏ” Do tính trực tiếp có q nhiều trường hợp, từ STUDY TIP ví dụ 7, ta sử dụng biến cố đối để giải toán: Trường hợp 1: Khơng có dây vàng, số cách lấy là: C13 Trường hợp 2: Có dây vàng dây đỏ, số cách lấy là: C31 C55 Suy n ( A ) = C166 − C136 − C31.C55 = 6289 n ( A ) C166 − C136 − C31.C55 6289 = = 8008 n (Ω) C166 Câu 118: Xét số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ 1, 3, 5, 7, Xác suất để viết số bắt đầu 19 59 19 A B C D 60 20 20 Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt 19 số a Ta có số số có chữ số khác tạo thành từ a, 3, 5, với a chữ số đứng đầu 1.3.2.1 = (số) ⇒ Ω B =96 Nên P= ( A) ⇒ P ( B) = 120 Câu 119: Một hộp đựng 15 viên bi, có biên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ 1 12 418 A B C D 13 13 455 Hướng dẫn giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn C153 = 445 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” biến cố A “ ba viên bi lấy khơng có màu đỏ” ( tức lấy ba viên bi màu xanh” 35 ⇒ n A = 35 Số cách chọn viên bi mà viên bi màu xanh C73 = ( ) ⇒ Số cách chọn viên bi mà có viên bi màu đỏ 455 − 35 = 420 cách ⇒ n ( A ) = 420 n ( A ) 420 12 ⇒ P ( A) = = = n ( Ω ) 455 13 Câu 120: Một hộp đựng 15 viên bi, có biên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ 418 12 A B C D 455 13 13 Hướng dẫn giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn C153 = 445 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: *Trường hợp 1: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C81.C72 *Trường hợp 2: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C82 C71 *Trường hợp 3: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C83 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A n ( A ) = C81.C72 + C82 C71 + C83 = 420 C81.C72 + C82 C71 + C83 12 = C153 13 Câu 121: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho A ( −2;0 ) , B ( −2;2 ) , C ( 4;2 ) , D ( 4;0 ) Chọn ngẫu = Vậy P ( A ) nhiên điểm có tọa độ ( x; y ) ; ( với x, y số nguyên) nằm hình chữ nhật ABCD (kể điểm nằm cạnh) Gọi A biến cố: “ x, y chia hết cho ” Xác suất biến cố A 13 A B C D 21 21 21 Hướng dẫn giải Ta = có Ω {( x; y ) , −2 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2} , với x, y ∈  Vậy x ∈ {−2; −1;;1;2;3;4} y ∈ {0;1;2} Suy n ( Ω )= 7.3= 21 (mỗi điểm giao điểm hình) Ta có A : “ x, y chia hết cho ” Nên ta có = A {( x; y ) : x ∈{−2;0;2;4}; y ∈{0;2}} 4.2 ⇒ n ( A) = ⇒ P ( A) = Theo quy tắc nhân ta có n ( A) == 21 Câu 122: Một tổ gồm em, có nữ chia thành nhóm Tính xác xuất để nhóm có nữ 27 53 19 A B C D 56 84 56 28 Hướng dẫn giải Chọn B Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu Chọn ngẫu nhiên em em đưa vào nhóm thứ có số khả xảy C93 Chọn ngẫu nhiên em em đưa vào nhóm thứ hai có số khả xảy C63 Cịn em đưa vào nhóm cịn lại số khả xảy cách Vậy = Ω C93= C63 1680 Bước 2: Tìm số kết thuận lợi cho A Phân nữ vào nhóm có 3! cách Phân nam vào nhóm theo cách có C62C42 cách khác = ⇒ ΩA 3!.= C62C42 540 ΩA 540 27 = = Ω 1680 84 Câu 123: Giải bóng chuyền VTV Cup có 12 đội tham gia có đội nước ngồi đội củaViệt nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng đấu A , B , C bảng đội Xác suất để đội Việt nam nằm bảng đấu 2C 3C 6C 3C 3C 3C A P = 49 46 B P = 49 46 C P = 49 46 D C12C8 C12C8 C12C8 Bước 3: Xác suất biến cố A P (= A) P= C93C63 C124 C84 Hướng dẫn giải Chọn B + Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) =C124 C84 C44 3! (bốc đội từ 12 đội vào bảng A – bốc đội từ đội lại vào bảng B – bốc đội từ đội cịn lại vào bảng C – hốn vị bảng) Gọi A : “ đội Việt Nam nằm bảng đấu” Khi đó: n ( A ) = C93 C63 C33 3!.3! (bốc đội NN từ đội NN vào bảng A – bốc đội NN từ đội NN lại vào bảng B – bốc đội NN từ đội NN cịn lại vào bảng C – hốn vị bảng – bốc đội VN vào vị trí lại bảng) n ( A ) C C C 3!.3! 6.C93 C63 Xác suất biến cố A P= ( A) = = n (Ω) C12 C8 C44 3! C124 C84 Câu 124: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số phân biệt Chọn ngẫu nhiên số từ S Xác suất chọn số lớn 2500 13 13 55 68 A P = B P = C P = D P = 81 68 68 81 Hướng dẫn giải Chọn C Số có chữ số có dạng: abcd Số phần tử không gian mẫu:= n ( S ) 9.9.8.7 = 4536 Gọi A : “ tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt lớn 2500 ” TH1 a > Chọn a : có cách chọn Chọn b : có cách chọn Chọn c : có cách chọn Chọn d : có cách chọn Vậy trường hợp có: 7.9.8.7 = 3528 (số) TH2 a = , b > Chọn a : có cách chọn Chọn b : có cách chọn Chọn c : có cách chọn Chọn d : có cách chọn Vậy trường hợp có: 1.4.8.7 = 224 (số) TH3 a = , b = , c > Chọn a : có cách chọn Chọn b : có cách chọn Chọn c : có cách chọn Chọn d : có cách chọn Vậy trường hợp có: 1.1.7.7 = 49 (số) TH4 a = , b = , c = , d > Chọn a : có cách chọn Chọn b : có cách chọn Chọn c : có cách chọn Chọn d : có cách chọn Vậy trường hợp có: 1.1.1.7 = (số) Như vậy: n ( A= 3808 ) 3528 + 224 + 49 += n ( A ) 3508 68 = = n ( S ) 4536 81 Câu 125: Cho đa giác 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh 12 đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác 1 1 A P = B P = C P = D P = 55 220 14 Hướng dẫn giải Chọn A Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω = ) C123= 220 Suy ra: P= ( A) (chọn đỉnh từ 12 đỉnh đa giác ta tam giác) Gọi A : “ đỉnh chọn tạo thành tam giác ” (Chia 12 đỉnh thành phần Mỗi phần gồm đỉnh liên tiếp Mỗi đỉnh tam giác ứng với phần trên.Chỉ cần chọn đỉnh đỉnh cịn lại xác định nhất) Ta có: n ( A= ) C=41 n ( A) = = n ( Ω ) 220 55 Câu 126: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số phân biệt Chọn ngẫu nhiên số từ S Xác suất chọn số lớn 2500 13 55 68 13 A P = B P = C P = D P = 68 68 81 81 Hướng dẫn giải Chọn C Số có chữ số có dạng: abcd Số phần tử không gian mẫu:= n ( S ) 9.9.8.7 = 4536 Khi đó: P (= A) Gọi A : “ tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt lớn 2500 ” TH1 a > Chọn a : có cách chọn Chọn b : có cách chọn Chọn c : có cách chọn Chọn d : có cách chọn Vậy trường hợp có: 7.9.8.7 = 3528 (số) TH2 a = , b > Chọn a : có cách chọn Chọn b : có cách chọn Chọn c : có cách chọn Chọn d : có cách chọn Vậy trường hợp có: 1.4.8.7 = 224 (số) TH3 a = , b = , c > Chọn a : có cách chọn Chọn b : có cách chọn Chọn c : có cách chọn Chọn d : có cách chọn Vậy trường hợp có: 1.1.7.7 = 49 (số) TH4 a = , b = , c = , d > Chọn a : có cách chọn Chọn b : có cách chọn Chọn c : có cách chọn Chọn d : có cách chọn Vậy trường hợp có: 1.1.1.7 = (số) Như vậy: n ( A= 3808 ) 3528 + 224 + 49 += n ( A ) 3508 68 = = n ( S ) 4536 81 Câu 127: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số phân biệt lấy từ số 1, , , , , , , , Chọn ngẫu nhiên số từ S Xác suất chọn số chứa số lẻ Suy ra: P= ( A) A P = 16 42 B P = 16 21 C P = 10 21 D P = 23 42 Hướng dẫn giải Chọn C Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω )= A96= 60480 (mỗi số tự nhiên abcdef thuộc S chỉnh hợp chập 9- số phần tử S số chỉnh hợp chập 9) 3 Gọi A : “số chọn chứa số lẻ” Ta có: = n ( A ) C= 28800 A6 A4 (bốc số lẻ từ số lẻ cho- chọn vị trí từ vị trí số abcdef xếp thứ tự số vừa chọn – bốc số chẵn từ số chẵn cho xếp thứ tự vào vị trí cịn lại số abcdef ) n ( A ) 28800 10 Khi đó: P= ( A) = = n ( Ω ) 60480 21 Câu 128: Một hộp đựng 11 thẻ đánh số từ đến 11 Chọn ngẫu nhiên thẻ Gọi P xác suất để tổng số ghi thẻ số lẻ Khi P bằng: 100 115 118 A B C D 231 231 231 Hướng dẫn giải Chọn D n(Ω)= C116= 462 Gọi A :”tổng số ghi thẻ số lẻ” Từ đến 11 có số lẻ số chẵn Để có tổng số lẻ ta có trường hợp Trường hợp 1: Chọn thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn có: 6.C55 = cách Trường hợp 2: Chọn thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn có: C63 C53 = 200 cách Trường hợp 2: Chọn thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn có: C65 = 30 cách 236 118 Do n( A) =6 + 200 + 30 =236 Vậy P (= A) = 462 231 Câu 129: Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng x , y 0, (với x > y ) Biết xác suất để ba cầu thủ ghi bàn 0,976 xác suất để ba cầu thủ ghi ban 0,336 Tính xác suất để có hai cầu thủ ghi bàn A P(C ) = 0, 452 B P(C ) = 0, 435 C P(C ) = 0, 4525 D P (C ) = 0, 4245 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi Ai biến cố “người thứ i ghi bàn” với i = 1, 2,3 Ta có Ai độc lập với và= P ( A1 ) x= , P ( A2 ) y= , P ( A3 ) 0, Gọi A biến cố: “ Có ba cầu thủ ghi bàn” B: “ Cả ba cầu thủ ghi bàn” C: “Có hai cầu thủ ghi bàn” ( ) ( ) ( ) ( ) Ta có: A = A1 A2 A3 ⇒ P A = P A1 P A2 P A3 = 0, 4(1 − x)(1 − y ) ( ) P A =− 0, 4(1 − x)(1 − y ) =0,976 Nên P( A) =− 47 Suy (1 − x)(1 − y ) = ⇔ xy − x − y =− (1) 50 50 Tương tự: B = A1 A2 A3 , suy ra: P= xy 0,336 xy = ( B ) P ( A1 ) P ( A2 ) P= ( A3 ) 0,= 14 (2) 25 14   xy = 25 Từ (1) (2) ta có hệ:  , giải hệ kết hợp với x > y ta tìm x + y =  x = 0,8 y = 0, Ta có: C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 Nên P(C ) =(1 − x) y.0, + x(1 − y ).0, + xy.0, =0, 452 Câu 130: Một trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn có đáp án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một học sinh không học nên đánh hú họa câu trả lời Tìm xác suất để học sinh nhận điểm A P( A) = 0, 7124 B P( A) = 0, 7759 C P( A) = 0, 7336 D P( A) = 0, 783 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có xác suất để học sinh trả lời câu xác suất trả lời câu sai 4 Gọi x số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai 10 − x Số điểm học sinh đạt là: x − 2(10 − x) = x − 20 21 Nên học sinh nhận điểm x − 20 < ⇔ x < Mà x nguyên nên x nhận giá trị: 0,1, 2,3 Gọi Ai ( i = 0,1, 2,3 ) biến cố: “Học sinh trả lời i câu” A biến cố: “ Học sinh nhận điểm 1” Suy ra: A = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 P( A) = P( A0 ) + P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) i 10 −i i 10 −i 1 3 1 3 Mà: P ( Ai ) = C   = nên P( A) ∑ 0, 7759 = C10i       4 4 4 4 i =0 Câu 131: Cho tập A = {1; 2;3; 4;5; ;100} Gọi S tập tập A Mỗi tập i 10 gồm phần tử có tổng 91 Chọn ngẫu nhiên phần tử S Xác suất chọn phần tử có số lập thành cấp số nhân là? A 645 B 1395 C 645 D 930 Hướng dẫn giải: “Bài toán chia kẹo Euler: Cho k kẹo chia cho t đứa trẻ hỏi có cách? Bài toán tương đương với số nghiệm nguyên dương phương trình x1 + x2 + + xt = k Giả sử có k − chỗ trống k kẹo Xếp t − vách ngăn vào k − chỗ trống có Ckt −−11 cách.” a= b= c , loại Nếu 91 a + b + c = Nếu  b≠c a = a ≠ c ⇒  2a + c 91 + b + c 91 = a = Vậy chọn a có 45 cách từ đến 45 chọn c có cách Tương tự cho= b c= , c a nên số phần tử không gian mẫu:  C − 45.3  3870 = Ω  90 = = 645  3!   91 ⇒ + q + q ∈ Ư ( 91) = {1; 7;13;91} ⇒ q ∈ {2;3;9} Nếu a + qa + qa = ⇒ ( a; b; c ) ∈ (1;9;81) ; ( 7; 21; 63) ; (13; 26;52 ) Vậy Ω A = Chọn C