Một số suy luận trong dạy học chứng minh hình học không gian ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Hồng Vân MỘT SỐ SUY LUẬN TRONG DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Hồng Vân MỘT SỐ SUY LUẬN TRONG DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Lí luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực LỜI CẢM ƠN Lời tơi trân trọng bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người ln động viên, tận tình hướng dẫn tơi mặt nghiên cứu khoa học góp phần quan trọng vào việc hồn thành luận văn Tơi trân trọng kính lời cảm ơn đến:  PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Thị Nga, TS Vũ Như Thư Hương Mỗi thầy tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu cho didactic Toán thật sinh động, cụ thể đầy ý nghĩa  Đặc biệt, TS Vũ Như Thư Hương, sau chun đề Hợp đồng Didactic, cịn dành buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp kỹ cần thiết tin học trình bày luận văn  GS Annie Bessot, GS Claude Comiti góp ý q báu cho luận văn Và tơi chân thành biết ơn:  Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập  Các bạn lớp cao học khóa 24 chia sẻ, động viên để hoàn thành luận văn  Sở GD&ĐT tỉnh Long An, Ban Giám Hiệu, thầy cô trường THPT Chuyên Long An – tỉnh Long An tạo điều kiện giúp tơi hồn thành khóa học  Thầy học sinh trường THPT Chuyên Long An – tỉnh Long An tạo điều kiện giúp đỡ tiến hành thực nghiệm Cuối cùng, xin dành lời cảm ơn chân thành đến gia đình tơi chỗ dựa tin thần lớn cho tạo điều kiện tốt để hồn thành khóa học Đặng Thị Hồng Vân MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục từ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU Chương SUY LUẬN TÌM TỊI CHỨNG MINH TRONG DẠY HỌC CHỨNG MINH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 1.1 Những kết lý luận có 1.1.1 Suy luận gì? 1.1.2 Tại phải tìm tịi lời giải cho toán chứng minh? 1.1.3 Nhìn từ lịch sử 1.1.4 Những kiểu suy luận tìm tịi chứng minh 11 1.2 Suy luận chứng minh nghiên cứu trước thể chế dạy học 12 1.2.1 Kết luận phân tích chương trình, SGK Hình học 7, NXB GD tác giả Lê Văn Tiến 12 1.2.2 Kết luận phân tích chương trình, SGK Hình học 7, Nhà xuất Giáo dục 1999 Trần Thị Thanh Hương: 14 1.2.3 Kết luận phân tích chương trình, SGK Hình học thí điểm, Nhà xuất Giáo dục 2001 Trần Thị Tuyết Dung: 14 1.2.4 Kết luận phân tích chương trình SGK Tiểu học THCS tác giả Trần Thị Ngọc Diệp, suy luận chứng minh có đặc trưng sau: 15 1.2.5 Kết luận phân tích chương trình SGK THCS tác giả Nguyễn Thị Thu Huyền mối quan hệ thể chế với đối tượng suy luận chứng minh thiết lập qua hai giai đoạn: 16 1.2.6 Vấn đề cần nghiên cứu 18 1.3 Phương pháp tìm tịi chứng minh thể chế hình học 11 19 1.3.1 Khó khăn dạy học hình học khơng gian 11 theo Noospheres 19 1.3.2 Cấp độ chương trình 19 1.3.3 Tìm tòi chứng minh sách giáo khoa Cơ hình học 11 21 1.3.4 Tìm tịi chứng minh sách giáo khoa Nâng cao 11 27 1.4 Kết luận câu hỏi đặt 28 Chương THỰC NGHIỆM 29 2.1 Thực nghiệm giáo viên 29 2.1.1 Phân tích tiên nghiệm 29 2.1.2 Phân tích hậu nghiệm 32 2.2 Thực nghiệm học sinh 36 2.2.1 Phân tích tiên nghiệm 36 2.2.2 Phân tích hậu nghiệm 40 2.3 Kết luận 45 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT CB : Cơ NC : Nâng cao SBT : Sách tập SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên THCS : Trung học Cơ Sở THPT : Trung học Phổ Thông Tr : trang DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1: Thống kê câu trả lời giáo viên 32 Bảng 2.2: Thống kê câu trả lời học sinh phiếu số 41 Bảng 2.3: Thống kê câu trả lời học sinh phiếu số 42 Bảng 2.4: Thống kê câu trả lời học sinh phiếu số 44 Bảng 2.5: Thống kê câu trả lời học sinh phiếu số 44 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Theo tác giả Lê Văn Tiến (2004), “suy luận diễn dịch nói chung chứng minh nói riêng nội dung chương trình tốn trường phổ thơng” Khả suy luận điều quan trọng học sinh việc giải toán Từ suy luận, phán đoán đưa đến chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ mệnh đề Chúng tơi đặc biệt quan tâm đến suy luận chứng minh hình học khơng gian chương trình THPT – phần xem khó trừu tượng học sinh SGV Hình học 11 NC, tr 42 nhận định: “Ở lớp 10 đầu lớp 11, học sinh học hình học phẳng học hình học khơng gian gặp nhiều khó khăn.” Như q trình suy luận dạy học chứng minh hình học khơng gian diễn thể chế trường THPT? Xét toán sau: Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện vng góc với đơi (SBT Hình Học CB 11, trang 32) A I D B C Bài giải Giả sử ta cần chứng minh AB ⊥ CD Gọi I trung điểm AB Ta có: CI ⊥ AB   ⇒ AB ⊥ ( ICD ) DI ⊥ AB  Do đó, AB ⊥ CD CD nằm mp (CID) Tương tự, ta chứng minh BC ⊥ AD AC ⊥ BD Để tìm lời giải cho toán học sinh phải dùng suy luận dựa mối quan hệ tính chất hình học không gian, cụ thể sau: AB ⊥ CD CD ⊥ mp ( Q ) ⊃ AB AB ⊥ mp ( P ) ⊃ CD Mp(P) mp(BCD) Mp(P) mp(ACD) Sai  = 600 AB ⊥ AC BAC ( ) Sai AB ⊥ BC Mp(P) mp(ICD) Tìm mp(P) ??? - Mp(P) có sẵn hình - Mp(P) chưa có ẵ Mp (P) mp (ICD) Có thể giải thích sơ đồ sau: + Muốn chứng minh AB ⊥ CD ta cần tìm mp(P) chứa CD vng góc với AB ngược lại, tìm mp(Q) chứa AB vng góc với CD +Giả sử, cần tìm mp(P) Mp(P) khơng phải (ACD) (BCD) (khơng có sẵn hình vẽ) Cần tìm mặt phẳng khác +Gọi mp ( P ) ⊥ AB I, suy AB ⊥ CI , AB ⊥ DI Mà ABC ABD tam giác nên I trung điểm AB +Vậy mp ( P ) mp ( ICD ) Quan sát sơ đồ trên, nhận thấy để giải tốn cần có kết hợp phép suy luận như: phép suy luận lùi (muốn chứng minh AB vng góc CD cần chứng minh ), suy luận bác bỏ (mp(P) là… ) cần nắm 44 Nhóm 2: Học sinh trả lời có thêm kinh nghiệm để giải toán tương tự Nhóm 3: Học sinh trả lời có thêm kinh nghiệm dựng thêm yếu tố phụ Nhóm 4: Học sinh trả lời cần đọc kĩ giả thiết, đối tượng cần chứng minh, hình vẽ Nhóm 5: Học sinh khơng trả lời Bảng 2.4: Thống kê câu trả lời học sinh phiếu số Câu trả lời Số học sinh Tỉ lệ Nhóm 16 27% Nhóm 16 27% Nhóm 20 34% Nhóm 9% Nhóm 3% 34% học sinh hỏi, nhận cần phải dựng thêm hình Điều cho phép họ tự đặt câu hỏi: dựng hình này?  Với câu hỏi số 2: Những góp ý em muốn nói với Thầy (Cơ) dạy tốn chứng minh kiểu này? Chúng tơi quan sát kết tạm chia nhóm câu trả lời sau: Nhóm 1: Học sinh khơng có ý kiến góp ý Nhóm 2: Học sinh khen tặng Nhóm 3: Học sinh góp ý nên cho nhiều tập để rút kinh nghiệm Nhóm 4: Học sinh góp ý nên định hướng cách chứng minh Nhóm 5: Học sinh góp ý cách dạy: Giải theo cách dễ hiểu, rõ ràng, ngắn gọn, Nhóm 6: Học sinh góp ý hình vẽ bảng cần rõ, dễ nhìn, Bảng 2.5: Thống kê câu trả lời học sinh phiếu số Nhóm Số học sinh Tỉ lệ Nhóm 30 51% Nhóm 5% Nhóm 9% Nhóm 10% Nhóm 15% Nhóm 6 10% 45 Chúng tơi ghi nhận 10% học sinh yêu cầu rõ việc định hướng chứng minh Như việc để tìm chứng minh số học sinh đặt 2.3 Kết luận Thực nghiệm cho thấy, đứng trước yêu cầu làm sáng tỏ phương pháp tìm tịi chứng minh tình đặt ra, phần lớn giáo viên sử dụng suy luận lùi Điều khơng giúp học sinh giảm bớt khó khăn tốn chứng minh mà phải dựng thêm hình khơng biết để dựng thêm hình Giáo viên khơng nhấn mạnh việc vẽ hình làm rõ giả thiết – kết luận Kết thực nghiệm phía học sinh cho thấy, họ thực tốt việc vẽ hình, xác định giả thiết – kết luận Những việc này, giúp họ hiểu rõ tốn (họ ủy thác tình huống) Phần lớn học sinh vấn đề cập đến suy luận lùi tìm tịi chứng minh Hai kiểu suy luận bác bỏ tiến không học sinh biết đến Một số học sinh nhận khó khăn phải xây dựng thêm hình để chứng minh cần thiết phải tìm phương pháp chứng minh 46 KẾT LUẬN Trong chương 1, qua phân tích kết mang yếu tố tri thức luận nhận thấy, số kiểu suy luận đặc trưng giúp tìm tịi chứng minh hình học khơng gian lớp 11 bao gồm: suy luận lùi, suy luận bác bỏ suy luận tiến Đặc biệt, suy luận tiến cần thiết tốn chứng minh địi hỏi phải dựng thêm hình Qua phân tích thể chế nhận thấy, kiểu suy luận đề cập sách giáo viên sách giáo khoa Đặc biệt suy luận tiến không xuất Từ đó, chúng tơi đặt câu hỏi sau: Trong trình dạy học chứng minh hình học không gian lớp 11 (giới hạn hai quan hệ song song vng góc), giáo viên sử dụng kiểu suy luận để giúp học sinh tìm tịi chứng minh tốn địi hỏi phải dựng thêm hình? Học sinh lĩnh hội kiều suy luận nào? Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi này, chúng tơi tiến hành thực nghiệm hình thức vấn giáo viên phát phiếu câu hỏi học sinh Kết thực nghiệm ghi nhận đứng trước yêu cầu làm sáng tỏ phương pháp tìm tịi chứng minh tình đặt ra, phần lớn giáo viên sử dụng suy luận lùi Phần lớn học sinh vấn đề cập đến suy luận lùi tìm tịi chứng minh Hai kiểu suy luận bác bỏ tiến không học sinh biết đến 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hoài Châu Lê Văn Tiến, 2009, Những yếu tố Didactic Toán, Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh Phan đức Chính (Tổng chủ biên), Tơn Thân (Chủ biên), 2012, Tốn tập 1, tập 2, NXBGD Hồng Chúng (1998), Phương pháp dạy học mơn tốn trường phổ thông trung học sở, NXB GD Văn Như Cương (2006), SBT Hình Học 11 Nâng Cao, NXB GD Văn Như Cương (2006), SBT Hình Học 11 Nâng Cao, NXB GD Trần Thị Ngọc Diệp (2009), Dạy học mở đầu chứng minh hình học trường THCS – tiểu đồ án Didactic đào tạo giáo viên, luận văn thạc sĩ ĐHSP TP HCM Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2001), Logic toán, NXB Thanh Hóa Lê Văn Tiến, Đồn Hữu Hải (2004), Chứng minh trường phổ thông: Nghiên cứu lịch sử, khoa học luận, didactic điều tra thực trạng dạy học chứng minh trường phổ thông Việt Nam nay, Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ Dịch giả: Đoàn Hữu Hải, Lê Đình Phi, Nguyễn Thành Tâm (1995), Nhập môn lập luận suy diễn trường trung học sở, NXB GD 10 Trần Văn Hạo (2010), SGV Hình Học 11 Cơ Bản, NXB GD 11 Trần Thị Thanh Hương (2002), Nghiên cứu mối liên hệ kiến thức chứng minh hình học giảng dạy cho sinh viên Cao đẳng sư phạm cho học sinh trung học sở, luận văn Thạc sĩ ĐHSP TPHCM 12 Nguyễn Thị Thu Huyền (2012), Bước chuyển từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn đầu cấp trung học sở, Luận văn Thạc sĩ ĐH SP TP.HCM 13 Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB ĐHSP 14 Bùi Thị Bích Ngân (2012), Nghiên cứu didactic phép chứng minh phản chứng trường THPT, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM 15 Đồn Quỳnh (2006), SGK Hình học 11 Nâng Cao, NXB GD 48 16 Đoàn Quỳnh (2006), SGK Hình học 11 Cơ Bản, NXB GD 17 Đồn Quỳnh (2011), SGV Hình Học 11 Nâng Cao, NXB GD 18 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), 2012, Đại số Giải tích 10 Nâng Cao, NXBGD 19 G.Polya (2010), Tốn học suy luận có lí, NXB GD Việt Nam 20 Kenneth H Rosen, người dịch Bùi Xuân Toại (2010), Toán học rời rạc ứng dụng tin học, NXB Lao động 21 Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn tốn trường Phổ thơng, NXB ĐHQG TPHCM PHỤ LỤC Phụ lục 1: PHIẾU PHỎNG VẤN GIÁO VIÊN Trường THPT Chuyên Long An Giáo viên: Thực nghiệm nhằm tìm hiểu cách thức hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn chứng minh hình học, khơng nhằm mục đích khác Xin q Thầy/Cơ vui lòng giúp đỡ Xét tập trang 32 SBT Hình Học 11 Cơ Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện vng góc với đơi A D B C Quý Thầy/Cô hướng dẫn học sinh giải tập nào? Xin vui lòng nêu bên đây: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Phụ lục 2: PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH Trường THPT Chuyên Long An Lớp: Mã số học sinh: PHIẾU BÀI TẬP SỐ Thời gian: 10 phút Cho tứ diện ABCD (các mặt tứ diện tam giác đều) Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện vng góc với đơi Em vẽ hình ứng với tập ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Em tóm tắt giả thiết kết luận toán Giả thiết: ……………………………………………………… ………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Kết luận: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Trường THPT Chuyên Long An Lớp: Mã số học sinh: PHIẾU BÀI TẬP SỐ Thời gian: 10 phút Cho tứ diện ABCD (các mặt tứ diện tam giác đều) Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện vng góc với đơi A D B C Em chọn chứng minh cặp vuông góc nào? Tại sao? ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Giả sử ta chọn chứng minh AB ⊥ CD , em làm bước tiếp theo? Tại em làm vậy? ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………… Khi dạy học chứng minh tập tương tự, Thầy (Cô) em khuyên (hay yêu cầu) em làm để tìm cách chứng minh? ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… Trường THPT Chuyên Long An Lớp: Mã số học sinh: PHIẾU BÀI TẬP SỐ Phần Xét giải sau Thời gian: 20 phút Giả sử ta cần chứng minh AB ⊥ AC Gọi I trung điểm cạnh AB (h.3.26) Ta có: CI ⊥ AB   ⇒ AB ⊥ ( CID ) DI ⊥ AB  Do đó, AB ⊥ CD CD nằm mặt A phẳng ( CID ) I Bằng lập luận tương tự ta chứng minh BC ⊥ AD AC ⊥ BD D B Việc đọc giải đem lại C kinh nghiệm cho em giải toán khác, với yêu cầu chứng minh hai đường thẳng vng góc khơng gian? ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………… Những góp ý em muốn nói với Thầy (Cơ) dạy tốn chứng minh kiểu này? ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………… Cảm ơn em giúp Cơ hồn thành thực nghiệm! Phụ lục 3: KẾT QUẢ PHỎNG VẤN GIÁO VIÊN Giáo viên T12: Giáo viên T11: Giáo viên T3: Giáo viên T6: Giáo viên T9: Giáo viên T7: Giáo viên T4: Giáo viên T2: Giáo viên T8